数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式

数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。

例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。

由初始条件得到12(,0)()()()u x F x F x x ϕ=+=(14.3.3a)12()()()a x aF x x F ψ′−=′(14.3.3b)将(14.3.3b)积分得到121()()()d xx F x F x caψξξ−=+∫(14.3.3c)0,x cx x =其中均为常数．其中c 可以通过上式令代入确定，即为1020()()c F x F x =−由式(14.3.3a)和(14.3.3c)联立求解得到001102021020111()()()d [()()]222111()()()d [()()]222x x x x F x x F x F x a F x x F x F x a ϕψξξϕψξξ=++−=−−−∫∫将上两式代入(14.3.2)得到定解问题的解11(,)[()()]()d 22x atx atu x t x at x at a ϕϕψξξ+−=++−+∫(14.3.4)()x ϕ()x ψ当函数是二次连续函数，函数是一次连续可微的函数时，(14.3.4)式即为无界弦自由振动定解问题的解，表达式(14.3.4)称为达朗贝尔(D.Alembert)公式. 无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解.§14.3.2 达朗贝尔解的物理意义()()()12,u x t f x at f x at =−++000()(),.x f x x x a t d x a d t−==0对于函数f 来说，其图形相对原点向右移动x 一段距离，其表达式变为若令，则其移动速度为()()x a t x a t x −−11所以函数f 的物理意义为：弦上质点的振动所构成的外形函数f 以常速a 向轴正向传播，即它代表一个以速度为a 沿x 轴正向传播的行波或正向波。

()x a t +1与此类似，函数f 代表一个以速度为a 沿x 轴负方向传播的行波或反向波。

通解(14.3.2)表示弦上的任意扰动总是以行波的形式向相反的两个方向传播出去,传播的速度为泛定方程中的常数a，这就是达朗贝尔公式的物理意义，故达朗贝尔解法又称为传播波解法.T Ta ρρ==i ２千克米／秒米／秒千克／米由于,可见张力越大,或者说弦拉的越紧,波就传播的越快Ta ρ=密度越小或者说弦越轻细,波也传播的越快.达朗贝尔公式的意义补充例题⎪⎩⎪⎨⎧==∞<<∞−=−−=−=222|,|,0002x t t x t xx tt axeu e u x u a u ∫+−−−−+−++=atx atx s aat x at x dsase eex u 2222][)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式∫+−−−−+−++=atx atx s at x at x ds eee221)()(21222][at x atx sat x at x e e e +−−−−+−−++=222[][21)()(212)(at x e−−=达朗贝尔公式的意义图示10.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-224681010.80.60.40.2-2246810§14.3.3 达朗贝尔公式的应用为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔公式的应用.齐次方程类型主要讨论自由振动问题, 即没有强迫力作用，故泛定方程是齐次的. 可以直接利用达朗贝尔公式求解.例14.3.1已知初始速度为零，初始位移如图14.2所示的无界弦振动，求此振动过程中的位移.2,0(14.3.1)00(,0)()00(.0)0t t x x tx t u a u c x h c x c c x u x x h x cc x cu x ϕ−∞<<+∞>⎧−=⎪⎧⎪+−≤≤⎪⎪⎪⎪⎪−⎪==≤≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪>⎩⎪⎪=⎩例x()x ϕhc−c如上即为如图所示的无界弦自由振动的定解问题，按达朗贝尔公式得其位移函数：()()()11,22u x t x at x at ϕϕ=−++uc−c2c c −−2c c +2c−2cxx x x x x 当t=0时当t= 时4ca 当t= 时24ca 当t= 时34ca 当t= 时44ca54c 54c −34c c +34c c −−54c c +54c c −−当t= 时54c a(),0[||]2,[||][||]22[||]2x c at c at x x c at x c at x c at hc x at c at c u x t h hc x at c x at c at c c h c x at c at c−∞<<−−+<<+∞<<−+<<−<<+⎧⎪⎪−+−−⎪⎪=⎨−++−−−+⎪⎪⎪−−−⎪⎩或0ct t a=<<当常数，且时ct t a=<<+∞当常数，且时(),0[||]2,0[||]2x c at c at x x c at x c at x c athc x at c at cu x t c at hc x at c at c−∞<<−−+<<+∞<<−<<−+<<+⎧⎪⎪−+−−⎪=⎨−⎪⎪−−−+⎪⎩或具体课本上作了证明，实质是把x ，t 的二维区域进行划分，在不同区域对应不同的函数关系式。

找到这些关系式即得弦的位移函数式。

()x at ϕ−、()x at ϕ+【解】根据达朗贝尔公式，初始速度为0，而初始位移为)(x ϕ2,0(14.3.1)(,0)()(.0)0tt xx tx t u a u u x x u x ϕ−∞<<+∞>−===⎧⎪⎨⎪⎩例得到无界弦自由振动的定解问题：),(21x x 上不为零，且在221x x x +=处达到最大值u 由于初始位移只在区间)(x ϕ故的表达式应为：)(x ϕ补充例题：已知初始速度为零，初始位移如图14.1所示的无界弦振动，求此振动过程中的位移.1x 2x 0u x()x ϕ图 11.1x112012********* ( )2()2 ()20 x x x x u x x x x x x x x x u x x x x ϕ−+≤≤−−+=≤≤−12 (,) x x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪∉⎪⎩根据达朗贝尔公式（14.3.4）即得位移为()()()11,22u x t x at x at ϕϕ=−++根据上面例题，分析求出位移的具体表达式。