初中数学竞赛—— 等腰三角形
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初一数学联赛班七年级
第14讲等腰三角形
知识总结归纳
一.等腰三角形的性质
（1）等边对等角：等腰三角形的底角相等
（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形
二.三线合一
（1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与底边上的高相互重合
（2）“三线合一”逆定理：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则该三角形必是等腰三角形．
典型例题
【例1】（1）已知ABC
△中，AB AC
=，求证：B C
∠=∠．
（2）已知ABC
△中，B C
∠=∠，求证：AB AC
=．
初一数学联赛班 七年级
【例2】 证明：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高相互重合．
【例3】 证明：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则
该三角形必是等腰三角形．
【例4】 （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，求此三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长为多少？
初一数学联赛班七年级【例5】已知：ABC
△是等腰三角形，70
A
∠=，求B
∠．
【例6】等腰三角形被一条直线分成两个较小的三角形也是等腰三角形．这个等腰三角形的顶角可能是多少？
【例7】如图，ABC
△中，AB AC
=，D、E分别在AC、AB上，BD BC
=，AD DE BE
==，求A
∠的度数．
A
初一数学联赛班 七年级
【例8】 如图，O 是等边ABC △内一点，OCB ABO ∠=∠，求BOC ∠的度数．
【例9】 如图，ABC △是等边三角形，D 为BC 边上的一点，在ABC △的外角平分线CE 上取点E ，
使CE BD =，连接AE 、DE ．请判断ADE △的形状，并说明理由．
【例10】 如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，
垂足为E ，2cm DE =，求BC 长．
E
C
初一数学联赛班七年级【例11】如图，在ABC
△中，AB AC
=，D在BC边上，30
BAD
∠=，在AC边上取点E，使A E A D=．求EDC
∠的度数．
【例12】如图，若AB AC
=，BG BH
=，AK KG
=，则BAC
∠的度数是多少？
【例13】如图，若
1
AA、
1
BB分别是EAB
∠、DBC
∠的平分线，若
11
AA BB AB
==，求BAC
∠的度数．
C
K
H
C
B
A
B
C
D
1
B
E
A
1
A
初一数学联赛班 七年级
【例14】 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =，求证：
AB AC =．
【例15】 如图，在ABC △中，AE 平分BAC ∠，DCE B ACB ∠=∠-∠，求证：DCE △是等腰三角形．
【例16】 如图，已知AB CD =，A D ∠=∠，求证：B C ∠=∠．
E
C
B
A
初一数学联赛班七年级【例17】如图，ABC
△中，BD DC
=，ABD ACD
∠=∠，求证：AD BC
⊥．
【例18】如图，在ABC
△中，//
DE BC，FB、FC分别平分ABC
∠和ACB
∠．求证：DE BD CE
=+．【例19】如图，在ABC
△中，AE垂直于ABC
∠的平分线于E，并交ACB
∠的平分线于F，过F作MN BC
∥并交AB于M，交AC于N，求证：MN AM CN
=+．
M
B
E
F
N
D
A
C
F E
D
C
B
A
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【例20】 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为点E ，BF AC ∥交CE
的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．
【例21】 如图，等腰直角ABC △中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于F 交AB 于E ，求证：
CDF BDE ∠=∠．
【例22】 如图，在ABC △中，AB AC =，36A ∠=，BE 平分ABC ∠，AD DB =，DE 交BC 延长线于
F ，求证：AB CF =．
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作业
1.已知：ABC
△是等腰三角形，80
A
∠=，求B
∠．
2.（1）如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，求此三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为4，则其他两边长为多少？
3.如图，在ABC
△中，12
ABC
∠=，132
ACB
∠=，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M、N分别在直线AC、AB上．证明：BM CN
=．
4.如图，在ABC
△中，DE BC
∥，FB、FC分别平分ABC
∠和ACB
∠．若9
BD CE
+=，求线段DE 的长．
A
B
M
C
N
F E
D
C
B
A