初中数学竞赛—— 等腰三角形
八年级等腰三角形数学教案【优秀6篇】
八年级等腰三角形数学教案【优秀6篇】作为一名专为他人授业解惑的人民教师，总归要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
来参考自己需要的教案吧！小编为您精心收集了6篇《八年级等腰三角形数学教案》，如果能帮助到您，小编将不胜荣幸。
等腰三角形篇一9.3章等腰三角形教案（一）、温故知新，激发情趣：1、轴对称图形的有关概念，什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
(首先教师提问了解前置知识掌握情况，学生动脑思考、口答。
)(二) 、构设悬念，创设情境：3、一般三角形有哪些特征？（三条边、三个内角、高、中线、角平分线）4、等腰三角形除具有一般三角形的特征外，还有那些特殊特征？(把问题3作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。
问题4给学生留下悬念。
)（三）、目标导向，自然引入：本节课我们一起研究——9.3 等腰三角形(板书课题) 9.3 等腰三角形(了解本节课的学习内容)(四)、设问质疑，探究尝试：结合问题4请同学们拿出准备好的不同规格的等腰三角形，与教师一起演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，引导学生观察实验现象。
[问题]通过观察，你发现了什么结论？（让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的特征）[结论]等腰三角形的两个底角相等。
（板书学生发现的结论）等腰三角形特征1：等腰三角形的两个底角相等在△ ABC中，△AB=AC（）△△B=△C（）[方法]可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。
例1：已知：在△ABC中，AB=AC,△B＝80°，求△C和△A的度数。
〔学生思考，教师分析，板书〕练习思考：课本P84 练习2（等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？）〔继续观察实验纸片图形〕（以下内容学生可能在前面实验中就会提出）[问题]纸片中的等腰三角形的对称轴可能是我们以前学习过的什么线？（通过设问、质疑、小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学问题的能力）[引导学生观察]折痕AD是等腰三角形的对称轴，AD可能还是等腰三角形的什么线？[学生发现]AD是等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高。
初中数学竞赛专题：三角形
初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。
，过C作CE与a）垂直且交8。
延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。
,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。
,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。
= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。
，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。
£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。
= 60。
,/4(78 = 40。
初中数学竞赛资料第二辑专题13 三角形的基本知识
专题13三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.【例4】在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值.对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________.（“缙云杯“试题）（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.（第7题）（第9题）6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（）A .)90(21A ∠-︒B .A ∠+︒2190C .)180(21A ∠-︒D .A ∠-︒211807.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C .其中正确的是（）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A .6个B .7个C .8个D .9个9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（）A .∠A =∠1+∠2B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2）D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）A .1个B .3个C .5个D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°.（1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .图1图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ；（2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论；（4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）B 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是 m ，最小值是 n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）（第4题）（第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（）①∠EPF =100°；②∠ADC +∠ABC =160°；③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°；④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（）A . 4536≤≤βB . 6045≤≤βC . 9060≤≤βD .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）A .4个B .5个C .6个D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）.（1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMF BCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.图1图2图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m .图1图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标；（3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECO ABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13三角形的基本知识例1130°或50°例2B例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117 x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6解法1我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况，有下表所示的关系：三角形内点数1234…连线得到的小三角形个数3579…不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n ＝360×2008＋180，解得n ＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1.2（b ＋c ）2.－5＜a ＜－23.钝角4.180°5.90°6.C7.D8.B9.B 10.B11.提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF .12.（1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33°（2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，①同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D .∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°.13.（1）（2）略提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ，故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1.82.193.175提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204.2a5.A6.D7.D8.B9.提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ，则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =.10.711.设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y x x ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22.所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°).12.（1）S △BCD ＝2（2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°.∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。
初中三数学等腰三角形典型例题分析
初中三数学等腰三角形典型例题分析模型一：向两边作垂线得距离相等如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；模型二：角的两边取等线段构全等如下图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；模型三：角平分线加垂线得三线合一如下图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；模型四：角平分线遇见平行线得等腰三角形如下图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.证法一：如下图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.∵BD平分∠ABC∴ DM=DN又∵ AD=CD∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）∴∠NAD=∠C∵∠BAD＋∠NAD=180°∴∠BAD＋∠C=180°.证法二：如下图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）∴∠A=∠BED, AD=ED∵AD=CD∴ED=CD∴∠C=∠DEC∴∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.证法三：如下图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED. 可证△BDE≌△BDC（SAS）∴∠E=∠C， ED=CD.∵AD=CD∴ AD=ED.∴∠E=∠DAE，∠C=∠DAE，∴∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路分析：注意到BD平分∠ABC，CE⊥BE，这种情况完全和第三种模型吻合，于是延长CE、BA相交于F，如下图，则易证△BEF≌△BEC（ASA）∴ EF=CE ∴ CE=EF=1/2CF.∵ CE⊥BE∴∠1=90°-∠F. 同理∠3=90°-∠F∴∠1= ∠3 又∵AB=AC ∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴ CE=1/2BD.。
初中数学压轴题(等腰三角形问题)
（1）∵C（0， ），∴OC= .
∵tan ACO= ，∴OA=1.∴A(-1，0). ∵点 A,C 在抛物线 y=ax2-2ax+b 上，
∴
，解得
，
∴此抛物线的解析式为 y= x2-x- ；
∴P(3- ,0)， 综上所述，当△MPQ 为等腰三角形时，点 P 的坐标为(1，0)或(3- ,0).
然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起．
满分解答
（3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)． ①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 y 2 3 ． 当 P 在 (2, 2 3) 时，B、O、P 三点共线（如图 2）． ②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．所以 42 ( y 2 3)2 16 ．解得 y1 y2 2 3 ． ③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 42 ( y 2 3)2 22 y2 ．解得 y 2 3 ． 综合①、②、③，点 P 的坐标为 (2, 2 3) ，如图 2 所示．
满分解答
图2
图3
图4
②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0≤t＜4．
如图 1，在△AOB 中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， AB 4 2 ，所以 OB＞AB．因此∠OAB＞∠
AOB＞∠B．
如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x 轴．
图2
图3
考点伸展
如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．
由 y 3 x(x 4) 3 (x 2)2 2 3 ，得抛物线的顶点为 D(2, 2 3 ) ．
等腰三角形的性质应用(初中数学)
等腰三角形的性质应用一、应用“等边对等角”的性质例1 如图1，在△ABC中，△A=40°，△ABC=80°，点D，E分别在边AB，AC上，BD=BC=CE，连接CD，BE.若求△BDC和△ABE的度数.解析：因为BD=BC，△ABC=80°，所以△BDC=△BCD=12×（180°-80°）=50°.因为△A=40°，所以△ACB=180°-△A-△ABC=180°-40°-80°=60°.因为CE=BC，所以△BCE是等边三角形.所以△EBC=60°.所以△ABE=△ABC-△EBC=80°-60°=20°.二、应用“三线合一”的性质“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.例2 如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边中点，下列结论不正确的是（）A．△B=△C B．AD△BCC．△BAD=△CAD D．AB=2BC图2解析：因为AB=AC，所以△B=△C，选项A不符合题意；根据等腰三角形“三线合一”的性质，得AD是∠BAC的平分线，也是△ABC底边BC上的高，所以BAD=△CAD，AD△BC，故选项B，C不符合题意.故选D.例3（2021年北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向.（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图3所示.使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）.图3（2）在图4中确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明.证明：在△ABC中，BA=，D是CA的中点，△CA△DB（）（填推理的依据）.△直线DB表示的方向为东西方向，△直线CA表示的方向为南北方向．图1解析：（1）作BD△AC于D即可，如图3，点D即为所求作．图4（2）在△ABC中，BA=BC，D是CA的中点，△CA△DB（三线合一）.△直线DB表示的方向为东西方向，△直线CA表示的方向为南北方向.故分别填BC，三线合一.。
人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1
一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的 三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数 量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行 三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例 如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例 已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为 等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例 如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°
2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题36 全国初中数学竞赛分类汇编卷(七)三角形(提优)
专题36全国初中数学竞赛分类汇编卷〈七〉三角形〈提优〉I.如｜蜀，在.6.ABC中，LABC和ζACB的平分线相交子点。
，过0点作EF//BC交AB子点E，交AC 于点F，过点。
你OD_l_AC于D，下列四个结论．1①EF=BE+CF：②LBOC=90。
＋2LA；＠点O itl.6.ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n, 则S c,A EF=�mn，正确的结论有（）个AB cA.l个B.2个 c.3个。
.4个2.如图，四边形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且LMAN=45。
．设LAMD＝口，ζCNM ＝白，则。
与自之间的关系为（〉DcNA.2 a －白＝90。
B.a+fJ=90。
C.a =2日。
.a＝自＋30。
3.如图，0是正三角形ABC内一点，OA=3,08=4, OC=S，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。
得到线段BO’，下列结论：①.6.BO' A司以由.6.BOC绕点B逆时针旋转60。
得到；②点。
与O’的距离为4；③LAOB=l50。
④s P.!I地11;AOBO ＝削σ；⑤S叫＋S c,A O时1士；中正E角的结论是〈）A℃B.①③④C②＠④⑤ D.①＠⑤4.AD与BE是6ABC的角平分线，D,E分别在BC,AC上，若AD=AB,BE=BC，贝�L'.C=()Bc AA.69。
ωTRU900c.（τ3)° D.不能确定5.在四边形ABCD中，AD=DC=2，ζDAB＝ζDCB=90。
，BC,A D的延长线交于P，求AB•S i:.PAB的最小值pDBA6.着，1个等腰三角形的顶角a1、a2、…、an两两不等，它们的共同特点是：被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则a1+ a 2＋…＋an＝·fα－ 2b = m-7 7设。
、b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长，当。
、b、川满足方程t R Ja+b＝号＋2时，m的值是8.己知ID.ABC中，AB=AC,L'.BAC=90。
初中数学等腰三角形定理公式
初中数学等腰三角形定理公式等腰三角形是指两边长度相等的三角形，其中的两条边被称为腰，而剩下的一条边则被称为底边。
在初中数学中，有关等腰三角形的定理和公式非常重要，以下将详细介绍其中的几个定理和公式。
一、等腰三角形的性质：1.等腰三角形的底角（底边两旁的两个角）相等。
这是等腰三角形的基本性质。
2.等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）同时也是它的两条腰的高线段。
这意味着等腰三角形的两条腰是等高的。
3.等腰三角形的顶角是三角形内角的最大角。
因为等腰三角形的底边较长，垂直线段划分成底边和顶点之间的短线段，所以顶角是最大的。
二、等腰三角形的面积公式：等腰三角形的面积可以通过以下公式来计算：面积=底边长度×高÷2例如，如果一个等腰三角形的底边长为8cm，而高为6cm，那么它的面积为8cm × 6cm ÷ 2 = 24 平方厘米。
三、等腰三角形的中线定理：等腰三角形的中线（从顶点到底边的中点的线段）和底边相等。
中线定理可以通过以下公式来表示：中线长=底边长÷2这个定理表明，等腰三角形的中线和底边长度相等。
所以，如果一个等腰三角形的底边长为10cm，那么它的中线也是10cm。
四、等腰三角形的角平分线定理：等腰三角形的角平分线（从顶点到底边上的其中一点）同时也是它的中线和高线。
角平分线定理可以通过以下公式来表示：中线长=高线长=底边长这个定理表明，等腰三角形的角平分线和中线、高线长度相等。
五、等腰三角形的判定：1.若一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形。
2.若一个三角形的底边上的高与这个高所对应的底角相等，则这个三角形是等腰三角形。
3.若一个三角形的两个腰相等，则这个三角形是等腰三角形。
以上是初中数学中关于等腰三角形的定理和公式的一些介绍。
通过学习和理解这些内容，我们可以更好地处理与等腰三角形有关的问题，并能够应用它们解决实际生活中的计算问题。
八年级数学竞赛等腰三角形的判定
等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A ．300B ．300或1500C ．1200或1500D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）ADBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915第5题图 第8题图 第9题图9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．B ACDBACD EBCABCADFG EENMBD⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，A BDFE C图1A B D FEC图2A ′E ′D ′ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A．A5B．A6C．A7D．A87．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CP A=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，P A=3，PC=4，则PB的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=P A+PB+PC．（湖州市中考试题）8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=12(AB+AC)．（重庆市竞赛试题）ABQCAB PACBB′图1 图210．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）11．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：12y x m =-+与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C (－4，－4)作平行于y 轴的直线交AB 于点D ，CD =10．⑴求直线l 的解析式；⑵求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x ，y 轴分别相交于点A ′、B ′，在直线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′P 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A (4，4)．ABD MCFE⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。
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初一数学联赛班七年级
第14讲等腰三角形
知识总结归纳
一.等腰三角形的性质
（1）等边对等角：等腰三角形的底角相等
（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形
二.三线合一
（1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与底边上的高相互重合
（2）“三线合一”逆定理：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则该三角形必是等腰三角形．
典型例题
【例1】（1）已知ABC
△中，AB AC
=，求证：B C
∠=∠．
（2）已知ABC
△中，B C
∠=∠，求证：AB AC
=．
初一数学联赛班 七年级
【例2】 证明：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高相互重合．
【例3】 证明：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则
该三角形必是等腰三角形．
【例4】 （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，求此三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长为多少？
初一数学联赛班七年级【例5】已知：ABC
△是等腰三角形，70
A
∠=，求B
∠．
【例6】等腰三角形被一条直线分成两个较小的三角形也是等腰三角形．这个等腰三角形的顶角可能是多少？
【例7】如图，ABC
△中，AB AC
=，D、E分别在AC、AB上，BD BC
=，AD DE BE
==，求A
∠的度数．
A
初一数学联赛班 七年级
【例8】 如图，O 是等边ABC △内一点，OCB ABO ∠=∠，求BOC ∠的度数．
【例9】 如图，ABC △是等边三角形，D 为BC 边上的一点，在ABC △的外角平分线CE 上取点E ，
使CE BD =，连接AE 、DE ．请判断ADE △的形状，并说明理由．
【例10】 如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，
垂足为E ，2cm DE =，求BC 长．
E
C
初一数学联赛班七年级【例11】如图，在ABC
△中，AB AC
=，D在BC边上，30
BAD
∠=，在AC边上取点E，使A E A D=．求EDC
∠的度数．
【例12】如图，若AB AC
=，BG BH
=，AK KG
=，则BAC
∠的度数是多少？
【例13】如图，若
1
AA、
1
BB分别是EAB
∠、DBC
∠的平分线，若
11
AA BB AB
==，求BAC
∠的度数．
C
K
H
C
B
A
B
C
D
1
B
E
A
1
A
初一数学联赛班 七年级
【例14】 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =，求证：
AB AC =．
【例15】 如图，在ABC △中，AE 平分BAC ∠，DCE B ACB ∠=∠-∠，求证：DCE △是等腰三角形．
【例16】 如图，已知AB CD =，A D ∠=∠，求证：B C ∠=∠．
E
C
B
A
初一数学联赛班七年级【例17】如图，ABC
△中，BD DC
=，ABD ACD
∠=∠，求证：AD BC
⊥．
【例18】如图，在ABC
△中，//
DE BC，FB、FC分别平分ABC
∠和ACB
∠．求证：DE BD CE
=+．【例19】如图，在ABC
△中，AE垂直于ABC
∠的平分线于E，并交ACB
∠的平分线于F，过F作MN BC
∥并交AB于M，交AC于N，求证：MN AM CN
=+．
M
B
E
F
N
D
A
C
F E
D
C
B
A
初一数学联赛班 七年级
【例20】 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为点E ，BF AC ∥交CE
的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．
【例21】 如图，等腰直角ABC △中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于F 交AB 于E ，求证：
CDF BDE ∠=∠．
【例22】 如图，在ABC △中，AB AC =，36A ∠=，BE 平分ABC ∠，AD DB =，DE 交BC 延长线于
F ，求证：AB CF =．
初一数学联赛班七年级
作业
1.已知：ABC
△是等腰三角形，80
A
∠=，求B
∠．
2.（1）如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和7cm，求此三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为4，则其他两边长为多少？
3.如图，在ABC
△中，12
ABC
∠=，132
ACB
∠=，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M、N分别在直线AC、AB上．证明：BM CN
=．
4.如图，在ABC
△中，DE BC
∥，FB、FC分别平分ABC
∠和ACB
∠．若9
BD CE
+=，求线段DE 的长．
A
B
M
C
N
F E
D
C
B
A
初一数学联赛班 七年级
5. 如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上的点．问BAD ∠与CDE ∠满足什么条件
时，AD AE =，写出你的推理过程．
6. 如图，在正方形ABCD 中，PBC △、QCD △是两个等边三角形，BP 与DQ 交于M ，与CQ 交于E ，
CP 与DQ 交于F ．求证：PM QM =．
7. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD EC =，AM BD ⊥，垂
足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F ．求证：DEF △为等腰三角形．
M B D
C A
E
Q F P。