虚功-动力学普遍方程和拉格郎日方程
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3动力学方程解析
光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程
例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC
动力学方程
− ( P + FgA )∆v A + ( P2 − FgB )∆vB + ( M − M gC )∆ϕ C − M gD ∆ϕ D = 0 & & 1 P P 1 即 − ( P + a A )∆v A + ( P2 − 1 a A )∆v A + 1 g g Qr ∆v Qr ∆v (M − aA ) A − aA ⋅ A = 0 8 2g r 2g r
碰撞后，正方形作平面运动，设质
投影，有
u A = uC + u AC u Ax = uCx + u AC cos 45°
u Ay = uCy − u AC sin 45°
其中 u AC 2 = bω ' 2
（e）
(f)
18
将式（c）、（f）代入（e），解得 uCx=-0.5bω′， uCy= v1+0.5bω′ ∆uCx=-0.5b∆ω′， ∆uCy= 0.5b∆ω′ (3)受力分析 重力非碰撞力，可忽略。角A承受碰 撞力，对应为Sx、 Sy 。 (4)建立碰撞过程的动力学方程 本题为刚体的平面运动，只有一个 刚体（i=1），由式(3.2.13) 得:
所以式（A）为
d ∑[mO (Fi ) − dt LOi ]⋅ ∆ω = 0 i=1
动量矩 在t——t+τ 时间内积分，得
n
n
(3.2.7)
∑[m
i=1
O
(Si ) − (LOi − lOi )]⋅ ∆ω = 0
t +τ
(3.2.9)
这就是用动量矩和冲量矩表述的动力学方程。其中：
冲量矩 mO(Si ) = ∫ mO(F )dt i
u By − u Ay u Bx − u Ax kx = , ky = v Ax − vBx v Ay − vBy
拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程
i
0
在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动 力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零。 ——动力学普遍方程（达朗贝尔-拉格朗日原理）
解析表达式： x y z (( Fxi mi i ) xi ( Fyi mi i ) yi ( Fzi mi i ) zi ) 0
(a)
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
(b)
22
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-5
(a)
s1 πR 2s2 2c 2πR a R l
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
例 题 13-3
或
Hale Waihona Puke 1 g a 2 R 0 （a） 2 令 1 0, 2 0, 则 h R1。根据动力
学普遍方程
Ⅰ O
M I1
1
或
Ⅱ FI 2
mgh FI h M I 11 0 1 g a 1R 0 2
（b）
考虑到运动学关系
s 2
2
,
a2 a1 2
a 2 s 2 ) 0 2 2
( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1
消去δs2 ，得
FI1
m1g
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
6
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-2
两个半径皆为r的均质轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的 斜面上作纯滚动，如图所示。设轮子质量皆为m1 ，对轮心的 转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的加速度。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
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ml M a cos a g 2 2 ml w
sin a 0
第二个解 a = 0 是不稳定的，只要稍加扰动，调 速器就会有张角，而最终在第一个解给出的位置上 处于相对平衡。
例16-2 在图16-2所示系统中，物块A的质量为m ，与接触面处的滑动摩擦因数为 fs，均质圆柱体的质 量为 M。不计绳重及定滑轮质量，当系统运动时，试
若主动力是有势力，势能是广义坐标及时间的函 数，即 V ＝V（q1, q2,…, qk, t） ，则 V j 1, 2,, k Qj qj
d T T V ( ) dt qj q j qj
T V d T V ( ) 0 dt qj qj
vi ri qj q j
（16-9）
（2）速度对广义坐标的偏导数
d ri dt q j ri ri q + q q q 1 q q 2 qk 1 1 2 2 s 1 qs
1 1 a a a x x a A x a x C A C A A C C r r 系统的惯性力和惯性力偶矩分别为
FIA m aA m x FIC M aC M xC A 1 1 2 1 x x xC M IC J C a M r M r xC A A 2 r 2
O a D FIA mg A a Mg
及轴承的摩擦，
试求稳态运动时 调速器的张角a 。
x
a
a a
a C ω
E B FIB mg
解：（1）受力分 析，球A、B作匀速圆周运 动，其加速度为
a A aB l w 2 sina
y 图 16-1
虚加在小球A、B上的惯性力的大小分别为
FIA FIB m l w 2 sin a
Mg xC FS x A mx A x A MxC xC 1 1 x Mr xC A xC x A 0 2 r 1 M xC x Mg MxC A xC 2
求物块 A和圆柱体质心 C 的加速度 。
解：此系统为二自 由度系统，视 A 块的滑
xA FIA A FN Fs δxA B FIC Mg δxC 图 16-2 C δφ MIC xC
动摩擦力为主动力，可
应用动力学普遍方程求
解。 （1）受力分析，取
xA及xC为广义坐标，物块
A、柱体质心C的加速度以及圆柱的角加速度分别为
16 动力学普遍方程与拉格 朗日方程
达朗伯原理，把质点系动力学问题转化为虚拟的 静力学平衡问题求解。
虚位移原理是用分析法求解质点系静力学平衡问
题的普遍原理。 将二者相结合，就可得到处理质点系动力学问题 的动力学普遍方程（General equations of dynamics） 对此方程进行了广义坐标变换，可以导出拉格朗日
（2）虚位移分析，系统具有一个自由度，取a 为
广义坐标。
x A l sin a
x B l sin a
y B l cos a
yC 2a cosa
y A l cos a
取变分 x A l cos a a
x B l cos a a
y B l sin a a
即为系统的运动微分方程。
a A x A aC xC
Mg 3 f s mg M 3 f s m g M 3m M 3m M 2m f s m g M 3m
讨论： （1）只有 M 3 f s m 0 时符合题意。 若 M 3 f s m 0 ，则
aA 0
M fs 3m
M M 2m m 2 3 m aC g g M 3m 3
（2）由于广义虚位移的独立性，当系统虚加惯 性力后，可分别令 x A 0 ， xC 0 ；以及 xC 0 ， x A 0 。应用动力学普遍方程，可直接得到系统 的运动微分方程。
Q
k j 1
j
QIj q j 0
（16-7）
广义惯性力
ri ri ri ri vi ri q1 q2 qk q1 q2 qk t
j 1 k
ri ri qj q j t
（16-8）
q j ——广义坐标对时间的导数，称为广义速度，
质点的速度是广义坐标、广义速度和时间的已知函数。
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
ri ri ri ri vi ri q1 q2 qk q1 q2 qk t
ri ri 、 中不包括广义速度， qj t 该式两端对 q j 求偏导数
16.2 拉格朗日方程 由于系统中各质点的虚位移并不独立，在应用动
力学普遍方程求解复杂动力学问题时，寻求虚位移间
的关系将十分麻烦。
如果利用广义坐标，对动力学普遍方程进行坐标
变换，则可得到与自由度数目相同的一组独立运动微 分方程，从而使这一方程更加简洁，便于应用。 16.2.1 拉格朗日方程 设具有理想完整约束的质点系，有 k 个自由度，
y A l sin a a
yC 2a sina a
（3）应用动力学普遍方程求解
m g yA m g yB M g yC FI A xA FI B xB 0
2 2 2 mgl sin a 2 Mga sin a 2 ml w sin a cos a a 0
Fi FNi mi ai 0
i 1,2,,n
虚平衡状态
虚位移原理： 给任一组虚位移 ri
F F
i 1 i
n
Ni
mi ai ri 0
理想约束
i 1
n
FNi ri 0
F m a r 0
i 1 i i i i n
取广义坐标为q1，q2，…，qk。任一质点 mi 的矢径 ri
可表示为广义坐标和时间的函数 ri =（q1，q2，…，qk；t） （16-3）
ri ri qj j 1 q j 代入动力学普遍方程，可得
k
虚位移：
i 1, 2,, n
（16-4）
ri Fi m ai q j 0 i 1 j 1 q j
（2）虚位移分析，当系统虚加惯性力后，系 统处于虚平衡状态。 给 A 物块以虚位移 x A ，给 C 点以虚位移 xC ， 1 圆柱体的虚转角则为 xC x A r （3）用动力学普遍方程求解
Mg xC FS xA FIA xA FIC xC M IC 0
1 FS mx M A 2
x xC A xA 0
由 x A 和 xC 的独立性，得
1 Mg MxC M xC x A 0 2 1 FS mx M x x 0 A C A 2
（16-11）
QIj
i 1
n
mi vi
ri q j d ri mi vi q d t j
vi d r i q dt q j j
i 1
n
d ri vi mi dt q j
n
（16-1）
F m x x F m y y F m z z 0 ix i i i iy i i i iz i i i i 1
动力学普遍方程。 表示：具有理想约束的质点系，任一瞬时作用于其上的 于零。 动力学普遍方程与静力学普遍方程：
L T V
L 称为拉格朗日函数（Lagrangian function）或动势 （Kinetic potential）
d L L ( ) 0 j 1, 2,, k dt qj q j
主动力为有势力的拉格朗日方程
拉格朗日方程是以广义坐标表示的动力学普遍方
程，适用于理想完整约束的任意质点系。 特点： （1）由于拉格朗日方程的数目等于系统的自由度 数，无论广义坐标如何选取，而拉氏方程的形式不变
k
ri qk
2 ri qk q j t
ri i q qs s q t q t j j s 1 qs
速度 v i
d r i vi q dt q j j
方程（Lagrange’s equations of motion）。
拉格朗日方程为建立质点系的运动微分方程提供 了十分方便而有效的方法，在振动理论、质点系动力 学问题中有着广泛地应用。
16.1 动力学普遍方程
对于 n 个质点组成的质点系，在任一瞬时，作用 于系统内的任一个质点 Mi 上的力有： 主动力主矢 Fi ，约束反力主矢 FNi 。 在该质点上虚加惯性力 FIi mi ai 达朗伯原理：
n k
（16-5）
j 1
k
n ri Fi i 1 q j
ri mi ai q j i 1
n
qj 0
对应于广义坐标 qj 的广义力 Qj
对应于广义坐标 qj 的广义惯性力 （Generalized force of inertia）QIj
（16-2）
主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等
共同点：不含理想约束反力，独立方程数等于自由
度数。 区别：动力学普遍方程中除主动力外，还有惯性 力。
例16-1 瓦特离心调速器以匀角速度w 绕铅垂固