相似及对应线段成比例
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。
相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”，读作“相似于”。
相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。
考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。
2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。
位似中心的位置：形内、形外、形上。
线段的比例与相似
线段的比例与相似在几何学中，线段的比例与相似是一个十分重要的概念。
比例可以帮助我们理解和计算不同线段之间的关系，而相似则描述了一种形状上的相似性。
本文将介绍线段的比例与相似的基本概念，并提供一些相关的例子和计算方法。
比例是指两个量之间的比较关系。
在线段中，我们同样可以通过比较两个线段的长度来确定它们之间的比例关系。
假设有两个线段AB和CD，它们之间的比例可以表示为AB：CD或者AB/CD。
如果AB：CD = 2：1，意味着线段AB的长度是线段CD的两倍。
同样地，如果AB：CD = 3：4，就表示AB的长度是CD的三分之四。
我们可以通过几何图形来表示线段的比例关系。
假设有一个三角形ABC，其中线段DE平行于边BC，并且与边AB和边AC相交于点D和点E。
根据等腰三角形的性质，线段BD与线段CE的长度是相等的。
我们可以用比例来表示这个关系，即BD：CE = AB：AC。
这个比例关系可以推广到其他类型的几何图形中。
相似是指几何图形在形状上的相似性。
如果两个几何图形的相应边的比例相等，并且对应的角度相等，那么这两个图形就是相似的。
对于线段来说，它们的相似性可以通过比较它们的长度比例来确定。
如果两个线段的长度比例相等，那么这两个线段就是相似的。
如何计算线段的比例和相似性呢？我们可以使用直角三角形的性质来进行计算。
假设有一个直角三角形ABC，其中边AB是斜边，而边AC和边BC分别是直角的两个边。
线段BD垂直于直角边BC，将BC分成了两个线段，即BD和DC。
根据直角三角形的相似性质，线段BD与边AC的比例等于边BC与斜边AB的比例。
即BD：AC = BC：AB。
通过这个比例关系，我们可以计算出线段间的比例。
例如，假设有一个直角三角形ABC，其中AB = 5 cm，BC = 12 cm。
线段BD将BC分成了BD = 4 cm和DC = 8 cm。
根据前面的比例关系，BD：AC = BC：AB，我们可以计算出BD：AC = 4：10。
中考数学《相似三角形》知识点及练习题
相似三角形一. 知识梳理1.平行线分线段成比例定理定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
2.相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
3.相似三角形的判定平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。
两角法：两角分别相等的两个三角形相似。
边角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边法：三边对应成比例的两个三角形相似。
4.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应边上高的比，对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
这时的相似比又叫位似比6. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 二.课后作业1.下列图形中不一定属于相似形的是( )A.两个圆B.两个等边三角形C.两个正方形D.两个矩形2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( )A. 1∶16B. 1∶4C. 1∶6D. 1∶23.已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE=1:2，则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:14.如图，给出下列条件：其中，不能单独判定△ABC∽△ACD 的条件为( )A.∠B＝∠ACDB.∠ADC＝∠ACBC.AC CD ＝AB BCD.AC AD ＝AB AC5.如图，DE ∥BC ，且AD=2，BD=5，则△ADE 与△ABC 的相似比为( )A.2:5B.5:2C.2:7D.7:26.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 E A D CB A BC DE7.已知△ABC ∽△DEF ，且它们的周长之比为1:2，那么它们的相似比为 。
相似比例线段
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的线段对应成比例.示意图结论如图，AB //CD //EF ，则AC BDCE DF=,CE DF AC BD =,AC BD AE BF =,CE DFAE BF= 若将AC 称为“上”，CE 称为“下”，AE 称为“全”，上述比例式可形象的理解为：=上上下下，=下下上上，=上上全全，=下下全全平行线分线段成比例定理的推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例.示意图 结论已知△ABC ，直线EF //BC ，交直线AB 于E ，交直线AC 于F ，则AE AFBE CF=FED C B A FE CBA FECB A比例线段与比例线段有关的重要知识点平行线分线段成比例定理的推论2: 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.示意图 结论如图，已知△ABC ，直线EF //BC ，交直线AB 于E ，交直线AC 于F ，则AE AF EFAB AC BC==推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.示意图 结论如图：已知AE AFBE CF=，则：EF //BC 或已知AE AFAB AC=，则EF //BC 就成了A 字型或X 字型. 这两种模型都是常见的比例线段模型.A 字型 X 字型F E CBA FECB AF E CBA FECB AF E CBA FECBA线束模型：如图，已知△ABC ，直线EF //BC ，交直线AB 于E ，交直线AC 于F ，过A 点的直线交EF 于G ，交BC 于H ，求证：EG BHGF CH=.总结：A 型线束，左右之比一致；X 型线束，左：右=右：左 A 型、X 型，线束模型，都是常用的比例线段模型.角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.已知△ABC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB BDAC CD=已知△ABC ，AD 是∠BAC 的外角平分线交BC 延长线与D ，求证：AB BDAC CD=HG F E CBA HG FECBAABC DABCDCB A CDB A巩固练习【例1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P . 若23AE EB =，1AF FD =，求APPC的值.【例2】 如图，已知平行四边形ABCD ，E 在BA 延长线上，G 在BC 延长线上，23AE AB =，14CG BC =，连EG 交AD 于F ，交CD 于H ，求::EF FH HG 的值.【例3】 如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，E 为OD 中点，过E 点作MN //CD交AD 于M ，交AC 于N . 求ME ：EN 的值.P FE DCB AHBACDE G FAB CD OE NM【例4】 如图，直线DEF 与△ABC 三边分别交于D 、E 、F 三点. 若14AD BD =,35CF CB =，求DEEF,AECE的值【例5】 已知：P 为△ABC 的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+=F EDBCA FEDBCA E D PNMBCA 平行线的构造【例6】 在△ABC ，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM .【例7】 如图，M 、N 为△ABC 边BC 上的两点，且满足BM =MN =NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线与点D 、E 和F . 求证：EF =3DE .【例8】 已知等腰直角△ABC 中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CE=CD ，过C 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L 、K . 求证：BL =LK.H GFEMABCCBA MEFD N EKLDABC【例9】 如图，G 为△ABC 中BC 边中点，在AB 、AC 上分别取AE =AF ，EF 交AG 于D ，求证：AC DEAB DF=【例10】 （※）若M 为△ABC 内任意一点，AM 、BM 、CM 分别于BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F . 求证：1MD ME MFAD BE CF++=DFEGCBA FEMDCBA【例11】如图，已知AB //CD ，AD交BC于E，过E作EF//AB交BD于F，求证：111AB CD EF+=. 【例12】已知梯形ABCD，AD//BC，AC交BD于O，过O作EF//BC交AB于E，交CD于F，求证：211EF AD BC=+.DCFEBAOFEDCBA三平行模型与倒数型比例【例13】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求证：（1）PQ //AD ，（2）111PQ AD BC=+【例14】 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：EF //CD . （2）若AB =a ，CD =b ，求EF 的长.【例15】 已知△ABC ，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC ，求证：111AD AB AC=+A BCDEFPQA BCD MFECB AD【例16】 已知△ABC ，∠BAC =90°，AD 平分∠BAC ，求证：112AB AC AD+=的值.【例17】 已知△ABC 中，∠BAC =60°，AD 平分∠BAC ，若AB =6，AC =4，求AD 的长.【例18】 如图，△ABC 中，DE //BC ，F 为BC 上一点，AF 交DE 于点G ，H 为AF 上一点，DH 、EH 分别交BC 于N 、M . 求证：FM ·FB =FN ·FC .【例19】 如图，△ABC 中，DE //BC ，BE 与CD 交于点F ，连AF 交DE 于H ，交BC 于G ，求证：DH EH =，BG CG =.（本题的结果，华罗庚先生称为“射影几何的基本定理”）ABDCCBADCBAEDG M NFHH FGDEA BC线束模型【例20】 如图，点G 为BC 中点，F 为AG 上任意一点，BF 交AC 于E ，CF 交AB 于D . 求证：DE //BC .【例21】 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、AB 上的点，AD 、CE 交于F ，BF 、DE交于G ，过G 作BC 的平行线分别交AB 、CE 、AC 于M 、H 、N . 求证：GH =NH .【例22】 如图，四边形ABCD 的对角线交于F ，过F 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA延长线于G 、H 、E . 若GF =1，FH =2，求EF .CBADEGFCBADE FM HN G DACBG FEH【例23】 （※）已知M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在边CD 的延长线上取P ，PM交对角线AC 于Q ，证明：NM 平分∠PNQ .【例24】 （※）如图，AD 为BC 边上的高，点E 为AD 上任意一点，BE 交AC 于G ，CE 交AB 于F ，求证：∠FDA =∠GDA .D C BAM N QPO BA CGFDE。
相似中考复习平行线分线段成比例定理
F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
对应线段成比例的三种形式
对应线段成比例的三种情形
要说对应线段成比例，咱们四川人讲起来也是头头是道，不
外乎就是那么几种情况嘛。
第一种嘛，就是平行线截割定理。
你想象一下，有两条平行线，中间被几条横七竖八的线给截了，那这些被截的线段，只要
它们在同一条直线上头，对头对的，那就是成比例的。
就好比说
你吃串串，两根签子串的肉大小一样，那就是成比例的噻。
第二种情况呢，就是相似三角形的对应边成比例。
你看嘛，
两个三角形要是长得像，那它们的对应边肯定就是成比例的。
就
像你跟你爸或者你妈长得像，那你们的一些特征，比如说眼睛大小、鼻子高低，那肯定就是成比例的。
最后一种，就是圆里面的弦的比例关系。
你画一个圆，然后
在圆里面画几条弦，只要这些弦满足一定的条件，那它们的长度
也是成比例的。
这个就跟咱们打麻将一样，有时候摸到的牌，要
是组合得好，那也是能打出好胡子的，这就叫“比例搭配得好”。
所以说嘛，对应线段成比例，其实就是要看它们是不是满足
上面这三种情况。
只要满足了，那它们就是成比例的。
这就像咱
们四川人吃火锅，只要火候、食材、调料都搭配得好，那吃起来
肯定就是美滋滋的。
所以说，数学也是跟生活息息相关的，只要
你用心去发现，就能找到其中的乐趣。
在“相似形”中证明线段成比例
在“相像形”中证明线段成比率崔淑霞在相像形一章中，有大批的题目是证明线段成比率，解决这种问题，能够用下边几种方法：1.用平行截割定理（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率。
（2）平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得的对应线段成比率。
（3）相像三角形的对应边成比率。
例 1. 如图 1，△ ABC 中， D 为 AB 边上一点， DE ∥BC 交 AC 于 E。
求证： AD ：AB＝ AE：AC剖析：用定理（2），即可证。
证明：由于DE∥BC ，所以 AD ： AB ＝ AE ：AC例 2. 如图 2，△ ABC 中， P 为 AB 边上一点，且∠ ACP ＝∠ B。
求证： AC2 AP·AB剖析：欲证 AC 2 AP· AB ，只要证AC AP，只要证 ACP ~ ABC 。
AB AC 证明：由于∠ A ＝∠ A，∠ ACP ＝∠ ABC所以△ ACP ∽△ ABC所以，AC AP，AC 2 AP·AB AB AC2.用等线段代换当直接证明四条线段成比率有困难时，能够考虑把此中一条（或两条）线段用与之相等的线段替代，进而解决问题。
例 3. 在△ ABC （ AB ＞ AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E，使 AD ＝ AE ，直线 DE 和 BC 的延伸线交于点 P。
求证： BP： CP＝ BD ： CE剖析：如图 3，过 C 作 CF∥ AB ，交 PD 于 F，由 AD ＝ AE ，可证明 CE＝ CF，进而用 CF 替代 CE，转变为证明BP： CP＝ BD ：CF。
证明：作CF∥ AB ，交 PD 于点 F，则有BP： CP＝ BD ： CF由于 AD ＝AE所以∠ AED ＝∠ ADE由于 CF∥ AB所以∠ CFE＝∠ ADE即∠ AED ＝∠ CFE又∠ AED ＝∠ CEF，所以∠CFE＝∠ CEF，即 CE＝ CF故 BP：CP＝ BD ： CE3.用等比代换假如a e ，c e ，那么 a c。
相似知识点
《相似》章节知识点一、图形的相似 1. 线段的比1）如果选用一个长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么两条线段的比为a ：b=m ：n 或 其中a,b 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，那么ba =k2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．四条线段a,b,c,d 成比例,记作a ∶b=c ∶d.或 其中a,d 为比例外项;b,c 为比例内项d 称为a,b,c 的第四比例项．特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同即a ∶b=b ∶c(或表示为b 2=ac),则线段b 叫a,c 的比例中项． 3）比例基本性质 合比性质：等比性质：4）黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果 那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比 (或BC 与AC 的比 )称为黄金比.二、图形的相似 1.形状相同的图形①表象：形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例 2.相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质：①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比.③相似多边形对应对角线的比等于相似比.④相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比. ⑤相似多边形对应三角形面积比等于相似多边形的相似比的平方. ⑥相似多边形面积的比等于相似比的平方. 4.多边形与三角形n m b a =.dcb a =.bc ad d c b a ==那么如果.,dc b a bc ad ==那么如果.,d d c b b a d c b a +=+=那么如果,n m fe d c b a ==== 如果().0≠++++=++++++++nf d b b a n f d b m e c a 那么,AC BCAB AC =.618.0215≈-==AC BC AB AC 黄金比AC BC①三角形是边数最少的多边形.②相似三角形可类比相似多边形来学习. 5.相似三角形三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). 6.相似三角形性质：①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ② 相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 7.相似三角形与全等三角形的关系：相似比等于1的两个三角形全等.8.两个极具代表性的益智“模型”： “A ”型和“X ” 型相似三角形.若△ADE ∽△ABC,则∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB. 三、相似三角形判定方法1.定理 两角对应相等的两个三角形相似.2.推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;如图:如果DE ∥BC,那么△A ＤＥ∽△ＡＢＣ3.推论2 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.如果DE ∥BC ，４.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; ５.定理 三边对应成比例的两个三角形相似.６.模型“双垂直”三角形.BC DEAC AE AB AD ==;EC AE DB AD =那么;AC AE AB AD =或;AE EC AD DB =或.ACEC AB DB =或直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似. △ACD ∽△CBD ∽△ABC.认识结论:∠A=∠DCB;∠B=∠ACD;经典例题例 如图，四边形EFGH 为矩形，AD ⊥BC 于D ， BC ＝36 cm, AD ＝12 cm.求矩形EFGH 的周长.【解析】在矩形EFGH 中，EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ，∠AFE ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ABC,∴设EF=5x,FG=9x,则ID=FG=9x,∴矩形EFGH 的周长例 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C ＝90°，AC ＝12 cm ，BC ＝5 cm ，你能设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片吗？你能求出这种不锈钢片的边长吗？【解析】能.方案1：如图，设正方形EFGH 的边长为x cm ， 过C 作CD ⊥AB 于D ，交EH 于点M.∵∠ACB ＝90°，AC ＝12 cm ，BC ＝5 cm ， ∵AB ·CD ＝AC ·BC ，∵EH ∥AB ，∴△CEH ∽△CAB.例 如图，设正方形CFGH 的边长为ycm.∵GH ∥AC ， 在上述两种方案中，因为x ＜y ，所以应按方案2裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为例 如图所示，在△ABC 与△ADB 中，∠ABC= ∠ADB= 90°，且AC=10，AB=8，如果图中两直角三角形相似，你能求出AD 的长吗？若能，请直接;2AB AD AC ⋅=;2AB BD BC ⋅=;2DB AD CD ⋅=.CD AB BC AC ⋅=⋅AI EFAD BC∴=，EF 5FG 9=，5x 129x 9,x ,36128-∴=∴=EF 5,FG 9= 928x 288==⨯=()31.5cm. AB 13cm.∴=AC BC 12560CD .AB1313⨯∴== ＝EH CM.AB CD ∴=()60xx 13.1313780x cm .229-=∴=即GH BHAC BC ∴=，()y 5y ,12560y cm .17-∴=∴=60cm.17求解.若不能，请说明理由.【解析】由题意知，在△ABC 和△ADB 中，只能判断点B 和点D 是一对对应顶点，其余两对对应顶点无法确定，因此分两种情况讨论：①当△ABC ∽△ADB 时，有因为AB=8，AC=10，所以 所以 ②当△ABC ∽△BDA 时，有 在Rt △ABC 中，由勾股定理， 得 所以因此AD 的长为6.4或4.8.例 (1)如图，点C ，D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形,若∠APB=120°，求证△ACP∽△PDB.(2)若没有（1）中∠APB=120°这一条件，则当AC ，CD，DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ；(3)若没有（1）中∠APB=120°这一条件，则当△ACP ∽△PDB 时，∠APB 的度数是多少？ 【解析】（1）∵△PCD 是等边三角形,∴∠CPD=∠PCD=∠PDC=60°,又∵∠APB=120°,∴∠APC+∠DPB=60°, 又∵∠A+∠APC=∠PCD=60°, ∴∠A=∠DPB,同理∠APC=∠PBD, ∴△ACP ∽△PDB.（2）∵△PCD 为等边三角形， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°， ∴∠ACP ＝∠PDB=120°,要使△ACP ∽△PDB ，需使 ∴AC ·DB ＝PC ·PD ， 又∵PC ＝PD ＝CD ， ∴CD 2＝AC ·DB.（3）要使△ACP ∽△PDB ， 需∠A ＝∠DPB ，∠APC ＝∠B ， 又∵∠A ＋∠APC ＋∠ACP ＝180°，∴∠A ＋∠APC ＝60°，即∠DPB+∠APC=60°, 又∵∠CPD ＝60°，∴∠APB ＝∠APC+∠BPD+∠CPD=120°.例 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC, ∠A=90°, AB=7, AD=2,BC=3,问：在线段AB 上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的P 点共有几个？并请你求出AP 的长.AB AD .AC AB=8AD 108=，64AD 6.4.10==AC BCAB AD=，BC 6.108AD＝，AD 4.8.10==AC PD PC DB=，【解析】假设满足条件的P 点存在，则有以下两种情形∶(1)△APD ∽△BPC,∵∠A=∠B=90°,故只需(2)△APD ∽△BCP ,∵∠A=∠B=90°, 故只需 ∴7AP-AP 2=6,即AP 2-7AP+6=0, ∴AP=1或AP=6.故P 点共有3个，AP=1或AP=6或 四、位似1．位似图形的概念如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.2．位似图形的性质性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.经典练习一、精心选一选1．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）A ．19B ．17C ．24D ．21 2．下列说法不正确的是（ ）A ．所有的矩形是相似的；B ．含︒30直角三角形与含︒60角的直角三角形是相似的；C ．所有边数相等的正多边形是相似的；D ．所有的等边三角形都是相似的。
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线段的比（一）基础知识：1．两条线段的比就是两条线段 的比.线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺A 、B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比为3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段，简称已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm课堂学习：1.两条线段的比的概念如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？巩固练习：在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?归纳与小结：1、（1）度量两条线段的必须统一（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是2. 比例线段的概念四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b =c ∶d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.【 例2】 （杭州市）已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 ．分析：这是一道多种答案的开放性创新题巩固练习1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？归纳与小结：（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 .（2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项.小结：1.两条线段的比的概念2.比例线段的概念练习：1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．5. 下列各组线段长度成比例的是（）A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝作业：1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际距离是（）A、60000米B、6000米C、600米D、60千米2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）A、2∶1B、3∶2C、1∶2D、3∶13、等边三角形的边与高的比是 _________．4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长是，角的实际是5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电线杆高等于 _________．6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学校的周长及面积.9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且AD AE AB AC =，①求AE 的长；②等式AD AE BD EC= 成立吗？10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3线段的比（二）基础 1、若x x y -＝2，则x y= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是 课堂学习：1. 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足d c b a =,那么ad =bc 吗？反过来，如果ad =bc ,那么d c b a =吗？与同伴交流. 【 例1 】（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d d c +; （2）如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？巩固练习:1、 已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴yx ；⑵x y x -；⑶x y x +. 2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（ ）A 、a cb d = B 、1111ac bd ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a b d b ±=±归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质【 例2】 （1）如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ （2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c=归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 求①222x y z xy xz yz+-++ ② ()x y +：(y+z) ③(x+y-3z)：(2x-3y+z)小结：1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.当堂检测：1、已知2925a b a b +=-，则a ：b= ；2、如果y y x + = 47，那么yx 的值是 3、若3x －4y = 0，则y y x +的值是 ；4、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________． 作业：1、如果53=-b b a ,那么b a =________． 2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .3、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm ．A ．72．8B ．51C ．36．4D ．285、已知dc b c =,则下列式子中正确的是（ ） A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶bC ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）A 、n x =y mB 、m y =x nC 、m x =n yD 、m x =yn 7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，23==BQ ΑQ BP AP ， 求线段PQ 的长．8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．35 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么ac bd bd ac 743--的值应等于（ ） A ．211- B ．1411- C ．45- D ．32- 4.4 相似多边形基础1．各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。
2．若四边形ABCD ∽四边形EFGH ，则对应角有 ； 对应线段3．相似多边形 叫做相似比。
课堂学习【 例1 】如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙丙乙甲 1.511.52.532归纳小结：各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。
巩固练习：1．下列图形是相似多边形的是（ ）A ．所有的平行四边形；B ．所有的矩形C ．所有的菱形；D ．所有的正方形2．在四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，•∠D=∠D ′，且2''''''''3AB BC CD DA A B B C C D D A ====，则四边形________∽四边形________，且它们的相似比是________．3．下列命题正确的是（ ）A ．有一个角对应相等的平行四边形相似B ．对应边成比例的两个平行四边形相似C ．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；D ．有一个角对应相等的两个菱形相4．下列说法中正确的是（ ）A ．相似形一定是全等形B ．不全等的图形不是相似形C ．全等形一定是相似形D ．不相似的图形可能是全等【 例2 】如图1与2,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似,∠A ′=65°,A ′B ′=6 cm, AB =8 cm, AD =5 cm,试求梯形ABCD 的各角的度数与A ′D ′、B ′C ′的长.归纳小结：相似多边形的对应边 ，对应角 。