2010电子科技大学随机信号分析期末考试A

一、已知随机变量X 服从11,22??-????

区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-===

。

若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数

()Z f z 。

2、特征函数()Z v Φ。

解：

1、随机变量X 均服从11,22??

-????区间的均匀分布，

111,()()22

0,X x f x rect x otherwise ?

-≤≤

?==???

11

()(1)(1)

22

Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以

11

()()()(1)(1)

22

Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2,

220,z otherwise ?

≤≤?=???

2、

()2rect z Sa ω??

? ?

??

且 ()()FT

z

z f z v Φ-

所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ?????

二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问：

1、信号的均值函数()E X t ???

?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。

3、()X t 的一维概率分布函数

();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。

解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=????

2、当,t t τ+在同一个时隙时：

[]

2

2

2

(,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?=

当,t t τ+不在同一个时隙时：

[]

[][](,)()()()()0.50.50.25X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?=

1、 一维分布：()()();0.50.51X F x t u x u x =+- 二维分布：

当

12,t t 在同一个时隙时 ()[][]12121212,;,0.5,0.51,1X F x x t t u x x u x x =+--

当12,t t 不在同一个时隙时：

()121211221112,;,[(),()][()][()]

X F x x t t P X t x X t x P X t x P X t x =≤≤=≤≤

()()()()121212120.25,0.251,0.25,10.251,1u x x u x x u x x u x x =+-+-+--

三、广义平稳高斯随机信号X (t )、Y(t )具有均值各态历经性，其功率谱如下图所示。

1、随机信号的()X t 直流功率。

2、互相关函数XY R ()τ。

3、概率密度函数XY x y f (x,y,t ,t )。

解：1. ()X S ω是带宽为200π的低通白噪声，其相关函数是

()()()0sin sin 200200

2200X W N W R W τπττπτπτ?==

直流功率：()2

X Y m R =∞=

交流功率：()20200X

X C σ==

2．因为X (t )与Y(t )的功率谱不重叠，故两个信号正交，互相

关函数0XY R ()=τ，且互不相关和独立。

3.

Y(t )是广义平稳带通随机信号，故0Y

m =

2

1

010012100

2

Y

Y R ()==???=σ

222200

2100

11XY x y X x Y y x y f (x,y,t ,t )f (x,t )f (y,t )e

e -

-

??==?

四、设有随机信号()X t 和()Y t 都不是广义平稳的，且

()()cos ,()()sin X t A t t Y t B t t ==，其中()A t 和()B t 是相互独立

的广义平稳信号，它们均为零均值且有相同的相关函数。判断

()()()Z t X t Y t =+的广义平稳性。

解： 1、均值：

]sin )([]cos )([)]()([)]([=+=+=t t B E t t A E t Y t X E t Z E 为

常数 2、自相关函数：

()()(,)()()()()(,)(,)(,)(,)()cos()cos ()sin()sin 00()cos Z X Y XY YX A B A R t t E X t Y t X t Y t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R τττττττττττττ

+=+++?+????=+++++++=+++++=

只与τ有关

可知()Z t 是广义平稳信号。

五、设正弦随机信号()()cos X t A t π=，其中

()2

~0,A A N σ。令()(),Y t X t =-Θ且A 和Θ统计独立，求解： 1、()X t 是否严格循环平稳？ 2、()X t 是否广义循环平稳？

3、当Θ满足什么分布时，()Y t 是广义平稳信号？ 解： 1、由

111111111111(,;,)[(),

()]

[cos(),,cos()]

[cos(2),

,cos(2)]

[(2),(2)](,

;2,

2)

X n n n n n n n n n n X n n F x x t t P X t x X t x P A t x A t x P A t x A t x P X t x X t x F x x t t ππππππ=≤≤=≤≤=+≤+≤=+≤+≤=++

可知，它是严格循环平稳的，循环周期为2。

2、由[()]0E X t =为常数,周期可为任意值。

[]2

(,)

[]cos(2)cos()X R t t E A t τππτπτ+=++

周期为1。

可知，它是广义循环平稳的，循环周期为1。

3、由定理可知，当[]~0,1U Θ时，()Y t 是广义平稳信号。

六、设随机过程0()sgn()cos()X t A t ωΘ=+,其中0ω为常数，A 与Θ相互独立，A 满足零均值、方差为1的高斯分布，sgn( )为符号函数，Θ是[0,2)π的均匀分布随机变量，试讨论()X t 的广义

各态历经性。 解：

0[()][sgn()cos()]0E X t E A t ωΘ=+=

[]

2

0000()()()sgn ()cos()cos()1

cos()2

X R E X t X t E A t t ττωωτΘωΘωτ=+??=+++??=

X (t ) 广义平稳 时间平均

001A[()]lim sgn()cos()2sgn()lim (cos cos sin sin 20

T

T

T T

T T X t A t dt T A t t dt T

ωΘωΘ-ωΘ-→∞-→∞=+=)=??

所以()X t 的均值各态历经。

[][]2

000000A[()()]

sgn ()lim cos ()cos()211lim cos 22cos()221

cos()()2

T

T T T

T T X X t X t A t t dt T

t dt T R τωτΘωΘωωτΘωτωττ-→∞-→∞+=+++??=?+++?

?==??

所以()X t 的相关函数具备各态历经性 综上所述，()X t 是广义各态历经的。

七、平稳随机信号X (t )的自相关函数为()X R τ：施加到如下图所示的RC 电路上。求差信号Q (t )=Y (t )-X (t )的功率谱密度。

1,2()20,2X T

R T

T τ

τττ?-

≤?=??>?

解：

X (t )是平稳的

()()(,)[()()][()()()()][()()][()()]

[()()][()()]()()()()()

Q Y XY YX X Q R t t E Q t Q t E Y t X t Y t X t E Y t Y t E X t Y t E Y t X t E X t X t R R R R R τττττττττττττ∴+=+=+-+-=+-+-+++=--+= 2

2

()[()]

()()()()()

()(j )()(j )()(j )()

()(j )(j )(j )1Q Q Q Y XY YX X X X X X X S F R S S S S S S H S H S H S S H H H ωτωωωωωωωωωωωωωωωω*

*=∴=--+=--+??

=--+??

1j C 1

(j )1j C 1j C H R R ωωωω==

++

2

2

2

2sin ()

()[()]2Sa ()X X T S F R T T T

ωωτωω===

2

2222

2

2222

222

222

2sin ()111

()(1)11j 1j 2sin ()1(1)12sin ()(1)

Q T S T R C RC RC

T T R C R C T T R C ωωωωωωωωωωω∴=--++-+=-+=+

八、已知平稳随机信号的相关函数如下所示，分别求它们的矩形等效带宽。

1、2

1(1||),()10,X X R σβττβττβ?-≤??

=?

?>

??

2、2()X X

R e

βττσ-=

解：

1、()X R τ是三角函数

()22[()]2X

X X S R Sa σωωτββ??∴== ???

F

()()()()22

001

22022

X X X eq X X X S R B d S S ωβσβ

ωπ

ωσ+∞

=

===?

2、()2

2

2

2[()]X X X S R σβ

ωτωβ==+F

()()()()2

20001

22044

X X X eq X X X S R B d S S ωβσβωπωσ+∞====?

九、已知复过程

()i j t

i i

X t A e

ω=∑，其中(1,2,,)i A i n =为

复随机变量，且彼此正交，(1,2,,)i i n ω=为不同实数。求()

X t 的自相关函数并讨论()X t 的广义平稳性。 解：

()

X t 的相关函数为：

()()2

()

(,)[][()]

[]()

j i j i i j s j t

X i

j i

j

j s

j t i j

i

j

j t s i X i

R t s E X t X s E Ae A e

E A A e e

E A e

R ωωωωωτ*

*

-*

-==??=?

?

==∑∑∑∑∑

()X t 相关平稳 ，

()X t 的均值为

[()][]

()cos ()sin i j t

i

i

i i i i i

i

E X t E Ae E A t j E A t ωωω==+∑∑∑

由于[()]E X t 与t 有关，所以()X t 不是平稳的

十、广义平稳的高斯带通白噪声00()()cos ()sin N t X t t Y t t ωω=-, 其均值为零, 中心频率0ω，带宽为B (Hz) ，双边谱密度为0/2N 。 求：1、()N t 的同相分量()X t 的相关系数()X ρτ；

2、写出()N t 的两个正交分量的联合概率密度函数

12(,;,)XY f x y t t 。

解：依题

1、由公式，正交分量的功率谱为

()0

X N B

S ωπω?≤=?

?其它

进而得到：

00sin sin ()X N B N B B R B πτ

πττπτ

πτ

=

=

注意到均值为零，20(0)(0)X

X X C R N B σ===

2

()

sin ()X X X

C B B τπτρτσ

πτ=

=

2、同相分量/正交分量均为高斯分布，并与N(t)有同样的均值/方差，即()0,()~(0,)X t Y t N N B 。由公式，两个分量的互谱为0，根据高斯特性，它们彼此独立，于是

2

01(;)exp 2X x f x t N B ??

=-??

??

2

01(;)exp 2Y y f y t N B ??

=-??

??

12122

2

00(,;,)(;)(;)

1exp 22X Y X Y f x y t t f x t f y t x y N B N B π=??+=-????