排列问题的方法总结

排列问题
——方法总结
主讲：陈鑫城
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 （特殊元素优先法、 特殊位置优先法）
优先安排特殊元素或特殊位置,解决“在”与“不在”的有限制 条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁 “特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底， 不能既考虑元素又考虑位置．
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的
（相邻问题） 内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插
（不相邻问题） 在前面元素排列的空当中
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全
除法处理（倍缩法） 排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
捆绑法——相邻问题
记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两
端，不同的排法共有（ ）
A．1440 种
B．960 种
C．720 种
D．480 种
【解析】5 名志愿者先排成一排，有 A55 种方法，2 位老人作一组插入其中，且两位老人有
左右顺序，共有 2 4 A55 =960 种不同的排法，选 B．
即不同的排课方法数为 A22 A22 A32 24 ，
故选：D．
现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站
法种数为( )
A．36【解析】当甲乙相邻，捆绑后作为一个整体，与另外三人全排列共有
A22 A44 2 43 21 48 种；
市内某公共汽车站有 6 个候车位(成一排)，现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车，则
恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数为( )
A．48
B．54
C．72
D．84
[解析]先把 3 名乘客进行全排列，有 A33＝6 种排法，排好后，有 4 个空，再将 1 个空位 和余下的 2 个连续的空位插入 4 个空中，有 A24＝12 种排法，则共有 6×12＝72 种候车方式．
某学校将要举行校园歌手大赛，现有 3 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序．如果
女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有
种不同的出场顺序.
解析：先计算全部的排列可能有： A66 ，因为每一次全排列，甲乙都有 A22 种可能，
故甲和乙定序的排列有：
A66 A22
360 ；
将 A，B，C，D，E 排成一列，要求 A，B，C 在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B， A”(可以不相邻)，这样的排列数有__________种.
目顺序，则不同的安排方式有________种。
解析 法一：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个
节目顺序固定。这七个节目的不同安排方法共有 A 77种，添加三个节目后，节目单中共有十 个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有 A 1100种，而原先七个节目的顺序一 定，故不同的安排方式共有A1100＝720(种)。
有（ ）
A．72 种
B．144 种
C．288 种
D．360 种
解析：第一步排语文，英语，化学，生物 4 种，且化学排在生物前面，有 A42 12 种排法； 第二步将数学和物理插入前 4 科除最后位置外的 4 个空挡中的 2 个，有 A42 12 种排法，所
以不同的排表方法共有1212 144 种.选 B .
A77 法二：将 10 个节目看作 10 个元素排列位置。在 10 个位置中选 7 个按一定顺序排列，有 C 710种排法，其余 3 个位置进行全排列，有 A 33种排法，所以共有 C710A33＝720(种)。
本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评
顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共
故选：B
有 3 位男生， 3 位女生和1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不
能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A. 144 B. 216
C. 288
D. 432 [来源:Z,xx,]
【解析】先排与老师相邻的: C31C31A22 18 ,再排剩下的： A44 ,所以共有18 A44 432 种
题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理n A B n A nB nAB 来等价处理
某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节，并
某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16
B.18
C.24
D.32
解析：选 C 将 4 个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排 3 辆不同型号的车，在 3 个车位上任意排列，有 A33＝6(种)方法，再将捆绑在一起的 4 个车位插入 4 个空当中，有 4 种方法，故共有 4×6＝24(种)方法.
A.1 800
B.3 600
C.4 320 D.5 040
解析：选 B 先排除舞蹈节目以外的 5 个节目，共 A 55种，再把 2 个舞蹈节目插在 6 个 空位中，有 A 26种，所以共有 A55A26＝3 600(种).
一共有 5 名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3 名女生和 2 名男生，如果男生不排第一个 演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答)
捆绑法和插空法的综合问题
某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英
语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ）
A．60
B．48
C．36
D．24
【解析】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，
再将此新元素与化学全排，再在 3 个空中选 2 个空将数学和物理插入即可，
用 1,2,3,4,5,6,7,8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6
相邻,而 7 与 8 不相邻,这样的八位数共有
个.(用数字作答)
解析：第一步：相邻问题整体处理：将 1 和 2；3 和 4；5 和 6；看成三个大元素排列，共有
A33 种，然后内部再进行排列，共有 A33 A22 A22 A22 种，第二步：不相邻问题插空处理： 3 个 大 元 素 有 4 个 空 ， 把 7 和 8 插 入 到 4 个 空 中 ， 共 有 A42 种 ， 一 共 有 A33 A22 A22 A22 A42 576 种。
一等奖三个名额，一共 C230 C63 C63 C83 1044 种，
所以一等奖人选的所有可能的种数为 1176. 故选：D
将 7 个人（其中包括甲、乙、丙、丁 4 人）排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，
丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）
A．1108 种
B．1008 种
C．960 种
计划在某画廊展出 10 幅不同的画,其中一幅水彩画,4 幅油画,5 幅国画排成一行陈列,要求
同一品种的画必须连在一起,且水彩画不放在两端,则不同陈列方式有
种(用数字
作答).
解析：1 幅水彩画，4 幅油画，5 幅国画看成三个大元素，水彩画受限制，先排水彩画： A22 ，其余 元素内部再进行排列： A44 A55 ，共有 A44 A55 A22 5760 种。
D．72
变式 1：某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文
与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )
A.16
B.24
C.8
D.12
解析：选 A 根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看 成一个整体，考虑其顺序，有 A22＝2 种情况；②将这个整体与英语全排列，有 A22＝2 种情 况，排好后，有 3 个空位；③数学课不排第一节，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中 任选 1 个，安排物理，有 2 种情况，则数学、物理的安排方法有 2×2＝4 种，则不同排课 方案的种数是 2×2×4＝16.
解析 根据题意，分 2 步完成： ①将三名女生全排列，有 A33＝6 种顺序， ②排好后，有 4 个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有 3 个空位可用，在这 三个空位中任选 2 个，安排 2 名男生，有 A23＝6 种情况， 则有 6×6＝36 种符合题意的排序方式．
甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不 同的坐法有( )
D．504 种
解析：选 B 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将 6 人全排列有 A22A 66种排法；将甲排 在排头，有 A22A 55种排法；乙排在排尾，有 A22A 55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有 A22A44 种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有 A22A66－A22A55 －A22A55＋A22A44＝1 008(种).
解析：五个元素没有限制全排列数为 A55，由于要求 A，B，C 的次序一定(按 A，B，C
或
C，B，A
)，故除以这三个元素的全排列
A33，可得这样的排列数有
A55×2＝40(种). A33
某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地
邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节
消序法（倍缩法）——定序问题
A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须在 A 的右侧(A，B 可以不相邻)，那 么不同的排法共有( )