第四章 部分相干理论
XXGX第4章 部分相干理论
迈克尔逊干涉仪原理图
考察迈克尔逊干涉仪中
光波的干涉来时间相干性。
用u (t )表示P 点发出的解析信号P
3
进入探测器D的两路信号分别写作：其中，探测器上的合成解析信号为：C 补偿板
12()()K u t K u t τ+2/h c
τ
=12()()()
D u t K u t K u t τ=++
Q O
Q O
单色光入射到无限大表面上后，光场中一点Q 的复振幅如何表示？(惠更斯菲涅耳原理)如果是非单色光入射？
1exp[2/]
()()()d j r u Q u P K S j r πλθλ∑
=
∫∫假设表面上的光场为u (P ,t )其解析信号为u (P ,t ),假设该面上的光场在Q 点产生的光场为u(Q,t),对应的解析信号为u (Q ,t )可得，该解析信号可表示为
d
(,/)
d (,)()d 2u P t r c t u Q t K S
rc θπΣ
−=∫∫2
Σ*
2)(,)
u Q t
4.7 范西特-策尼克定理
α
β
x
y
Σ2
Σ1
2
Σ
μ
12
v
源的宽度为多少？
x。
相干的基本理论
12 1, 完全相干 12 0, 不相干 0 12 1，部分相干
2.条纹可见度
光场的相干性质，可通过实验测定干涉条纹的清晰度或可见度 来确定。在干涉图样中，光强在 I max 和 I min 两个极值之间变化。 从上面的分析，我们可以得出这两个极值是由以下式子决定的
bc
（31）
该式表明，相干范围的孔径角与扩散光源尺寸成反比，该式 也叫做空间相干性公式。
4.时间相干性
与波传播时间差有关的，不确定的位相差导致的，只有传播 时间差在一定范围内的波才具有相对固定的位相差从而相干 的特性叫波的时间相干性。
M2
h
M1
B
S
C
P
M3
D
图4.迈克尔逊干涉仪示意图
I1 (Q) I2 (Q) 2K1K2 Re12
（12）
在许多情况下，用归一化互相干函数处理问题，比用互相 干函数本身更为方便，于是有
12
12 11 0 22 0
12
12 I1 I 2
（13）
我们称这个归一化互相干函数 最终表示为
12
为复相干度。公式（12）
（14）
I Q I1 (Q) I 2 (Q) 2 I1 (Q) I 2 (Q) Re 12
上式正是平稳光场的普遍干涉定律。利用许瓦兹不等式易 证明 12 12 ( ) 11 0 22 0 （15）
（21）
（22） ，
（23）
由（22）和（23）式： （24）
（25）
R1
s1
部分相干光理论
Chapter 4部分相干光理论31, May, 2014光源：凡能发光的物体称为光源。
光源的最基本发光单元是分子、原子。
光源的发光机理原子能级及发光跃迁原子从高能量的激发态，返回到较低能量状态时，就把多余的能量以光波的形式辐射出来。
能级跃迁辐射波列波列长称为相干时间1.相干性的基本概念(1)普通光源:自发辐射不同原子发的光波列同一原子先后发的光波列τc L =L独立独立波的独立传播和线性叠加原理),(),(),(21t p E t p E t p E+=221111221E E I I I I I I=⋅++=++=•光波的频率相同•振动方向相同(存在相互平行的振动分量产生干涉的必要条件和补充条件IminImax设代表一实扰动2 实多色场的复数表示——解析信号),(),(),()()(t r iu t r ut r u i r +=)(),()(∞<<-∞t t r ur 则是的解析信号),(t r u ),()(t r u r υπυυd t i r Ut r u r r )2exp(),(),()()(⎰∞∞-=υπυυd t i Ut ur r )2exp()()()()(⎰∞∞-=υπυυυπυυd t i Ud t i Ut ur r r )2exp()()2exp()()(0)(0)()(⎰⎰∞∞-+=对于实函数有)()(t u r )()()()(t ut u r r *=dtt i t uUr r )2exp()()()()(πυυ-=⎰∞∞-又因为)()()()(υυ-=*r r UU 所以（厄米性）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞υπυυd t i U t u r r )2exp()(Re 2)(0)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞-υπυυd t i U t u r r )2exp()(Re 2)(0)()(或者又[])(Re )()(t u t u r =υπυυd t i U t u r )2exp()(2)(0)(⎰∞=若设)()()()(υυ-=*r r U U[])(exp )()()(υφυυi A U r =由可知)()(υυ-=A A )()(υφυφ--=3 互相干函数用解析信号和分别表示的光场),(11t P u ),(22t P u 到达P 点后的叠加光场用解析信号u12复相干度的辐角光程差引起的相位因子τγ)(()(21221+I P I ，完全相干叠加)(2)1+I P I 此即杨氏双缝干涉场的表达式，完全非相干叠加4 互相干函数的谱表示首先引入截断函数u ),(11t p u T ()(1p u r T 是U t P u T ),(011⎰∞=2),(111υU P U T =⎩⎨⎧=u t p u r r T (),(1114 相干度的测量由可得可见度)()(1+=P I P I V 则若)(1P I =时间相干度的测量4.1 利用迈克尔逊干涉仪（有限谱宽点光源）)()()(21t u t u P u ++=τ[])(Re 2)(2)(111τΓ+=P I P I )2(ch =τ)0()()(1111ΓΓ=ττγ复时间相干度c利用杨氏双缝干涉仪（有限谱宽扩展光源）)()()(2211P u P u P u +=)()()0()0(211212P I P I Γ==τγ空间相干度的测量4.2 零光程差时5 准单色光场的干涉准单色条件是指：①光的谱线很窄，有效宽度远远小于平均频率②在光路中，从光源到干涉区域所涉及到的最大光程差远小于光的相干长度或cττ<<τi i ⎰∞≈=Γ=Γ01212exp(exp(~)(τ+tτ+t τ+t t tt6 准单色光的传播和衍射对于中心频率为的准单色光场0υ波动方程：),(2-∇t r u ),()(1112t P u +=Γττ1221Γ∇=左边(121u ∇=右边1111))(2(exp )2exp()(ds d c r t i ds d t i K υπυυπυθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---做傅里叶逆变换可得)(K r θ21),ds ds P υ点的光强为]21221121)()()ds ds r K r K r r λθλθ-),()(21Q Q J Q I =8. 范西特---泽尼克定理由互强度定义),(),(),(2121t P u t P u P P J *=122111),,(),,()(ds P Q h P Q h P I ⎰⎰*υυ()()()1212111122--=y y x x y x I y x y x J ,,,;,δ1012011),,(),,ds P Q h P Q *υυ2=ξ∆的均匀强度的准单色圆形光源，其辐射光强分布为傍轴近似条件，有相对于光源中心的张角(x 为远场条件下部分相干光的普遍的衍射公式。
部分相干理论
第4章 部分相干理论在前几章讨论光的干涉、衍射以及传播特性时，常假设光源为一几何点，且具有严格的单色性。
这样的光波扰动具有完全的相干性，干涉图的对比度可以达到1。
除此以外则假设光源为完全不相干的，用完全不相干的光源照明得不到干涉条纹，干涉图的对比度为零。
实际光源有一定的大小，发出的光波扰动也不可能是严格单色的。
同时实际光源发出的光波扰动经过一定距离的传播也不可能是完全不相干的。
用实际光源照明做杨氏干涉实验产生的干涉条纹对比度小于1大于0，一般是可以观察到的。
即使用通常认为完全不相干的太阳光来照明，只要两个小孔靠得很近，也能看到杨氏干涉条纹。
这种介乎完全相干和完全不相干之间的情况，就是部分相干理论研究的内容。
4.1 实多色场的复值表示第1`章中已经说明了线性系统的本征函数是形为)exp(t j -πν2的复指数函数。
输入到线性系统的复指数函数产生的输出也是复指数函数，系统的作用仅体现为对幅值和相位的影响。
因此用复指数函数表达一个实值信号来进行线性系统分析常常是方便的。
复数表示的方法是构造一个复指数函数使得其实部为原来的实值信号，这样一来若仅对复值信号做线性运算，在运算的任何一步，只要取复数信号的实部，就可以确定相应的实值信号。
前几章中已经用复指数函数表达单色光场，现在推广到非单色光场。
在非单色光场情况下，对应于原来的实值信号所构造的复指数函数通常称作解析信号。
设实值的非单色光场用()t u r 表示，其傅里叶谱为()υr u~，定义()t u 为()t u r 的解析信号表示()()()υπυt υd j -exp ut u r 22≡⎰∞~ []()()υ t πυυυd j -exp usgn r2+1=⎰∞∞-~ （4.1） 上式定义说明()t u r的解析信号不含有()t u r的负频分量,其正频分量则是()t u r的两倍，即便()υru~在零点之值为δ函数，复数信号()t u 的实部也可保证与原来的实值信号()t u r相同。
中科大信息光学CHAP4A
b12是与t无关的量。 如果I1(Q)和I2(Q)在观察区内近似不变，在该区域内干涉图样具有 近乎恒定的可见度，条纹可见度为
当两支路光强相同时I1(Q)＝I2(Q)，可见度
结果与严格的单色光类似，但准单色光的干涉条纹 可见度和位置分别决定于复相干度的模和位相。
Q点的光强为
引入一个归一化函数 称 为复相干度。
（4.2.13）
Q点的光强为
上式称平稳光场的普遍干涉定律。
利用许瓦兹不等式，易于证明
K1＝K2＝1
由（4.2.13）
复相干度与条纹可见度关系
设平均频率为 的窄带光，互 相干函数和复相干度可分别表示为
式中
Q点的光强为
为
的模，a12(t)为两光波在P1、P2点的相位差。
干涉条纹的可见度为
Imax和Imin分别是Q点附近干涉条纹的极大值和极小值，由（4.2.20）
于是
表明，只要测出两光束光在Q点产生的光强及 度 的模。
就能够得到复相干
的物理意义
反映Q点的干涉条纹的可见度在多大程度上达到P1和P2完全相干时 的程度。 就是相干光部分所占总光强的比例。 的辐角 的意义：
探测器上的合成解析信号为
探测器上的光强信号为对时间的平均
（4.3.2) 光强信号是统计量的平均，它与时间原点无关 （4.3.3) 依据各态历经假设，可用时间平均代替统计量的平均，解析 信号u(t)的自相关函数G(t)（光扰动的自相干函数）为 （4.3.4)
（4.3.4)和（4.3.3)代入（4.3.2)
（4.1.14）
其中
表示在a＝t处的柯西主值，即 （4.1.15）
上式表示的积分称为ur(t)的希尔伯特（Hilbet）变换。
光学原理 第四章 光场的二阶相干性基础
高压汞灯 白光
546
1
550
300
一些光源的相干长度
<10-4 <10-6
12
2、相干时间（Coherent Time）
光通过波列长度所需时间（或相干长度通过考察点所 需时间）叫相干时间。
相干时间 —τ=来自δm c光波场的时间相干性和 光源的单色性紧密相关
时或间相相干干时性间τ的（0好波坏列，延就续是时用间相）干的长长度短δ来m衡（量波的列。长度）
• 准单色光振动表示为
A (t)是一个慢变函数，它作为振幅的包络调制了一个频率为ν 0的振动。与Δν相比,ν0 具有很大的值，只有在准单色光的 条件下才能应用振幅包络的概念来描述光振动。
4、时间相干性的描述
• 虽然 A’’B’、 B’’C’ 等可能有重迭部分，但由于 A、B、C 等大量的波列之间相位关系是随机的，没有固定的联 系，有的波之间相长，有的波之间相消，就总的平均效 果来说不能形成干涉花样。
= A12 + A22 + K ( A12 + A22 ) cos Δϕ 令 I 0 = I12 + I 22 = A12 + A22
I = I0 (1 + V cos Δϕ )
▲ 决定可见度的因素：
振幅比， 光源的单色性， 光源的宽度
3
定义:
V
=
I max I max
− Imin + Imin
描述干涉花样的强弱对比
• 对于空间中的某一固定点，通过它的两个光波列的相关 程度，即它们通过这一点时最长能有多长时间是相干的 与光源的相干性质有关，这一相干性质也就是光源的时 间相干性。
• 两列光波经过该点时最长的重叠时间即相干时间τc 、两 列光波最大的重叠长度即相干长度 Lc 、光源的光谱宽度 Δν 都取决于光源中发光原子发出波列时一次持续的时 间。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
高等光学教程-第5章-参考答案
第五章 部分相干光理论5.1 证明解析信号的实部u 和虚部u 之间互为希尔伯特变换，即它们之间有下面的关系()t u t r ()()t i ()()⎰∞∞--=ξξξπd )(P.V.1)()()(t u t u r i ， ⎰∞∞---=ξξξπd )(.P.V 1)()()(tu t u i r证明：（1）由(5-10)式，解析函数的实部()()0()2Re ()exp(2)d r r u t j t νπνν∞⎡=-⎢⎣⎦⎰U ⎤⎥t （5.1-11）而，比较以上两式，可见有关系式)](Re[)()(t t u r u = （5.1-13）⎰∞-=0)(d )2exp()(2)(νπννt j t r U u 上式可表示为 （5.1-18）⎰∞∞--+=νπνννd )2exp()()sgn 1()()(t j t r U u 又因为 ()()exp(2)d t j νπνν∞-∞=-⎰u U所以有 ()()(1sgn )()r νν=+U νU )r （5.1-19）对上式两边取傅里叶逆变换11()1()()11((){()}{()}{(sgn )()}(){sgn )}{()}r r r t u t ννννν-----==+=+*u U U U U F F F F F ν上式中 1{sgn }jtνπ-=-F 再利用卷积定义⎰⎰∞∞---=*=*ηξηξηξd d ),(),(y x f g f g g f 令 t j f π-= ， )()(t j t f -=-ξπξ ， ， )()(t u g r =)()()(ξξr u g =所以 ⎰∞∞--+=ξξξπd )(..)()()()(t u V P jt ut r r u （5.1-22）可见 ⎰∞∞--=ξξξπd )(..1)()()(t u V P t ur i（2）参考教材中（5.1-10）式的推导过程，对于解析函数的虚部有下式成立（P5.1-1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰∞)()(d )2exp()(Re 2)(νπννt j t ui i U)](Re[)()(t j t u i u -= （P5.1-2）比较（P5.1-1）和（P5.1-2）式，得到⎰∞-=-0)(d )2exp()(2)(νπννt j t j i U u所以⎰∞-=0)(d )2exp()(2)(νπννt j j t i U u )()sgn 1()()(νννi j U U +=对上式两边取傅里叶逆变换得)}(){sgn )}({)}({)()(1)(11ννννi i j j t U U U u ---+==F F F)()}({}{sgn )()(11t ju j i i +*=--ννU F F )(d )(..1)()(t ju tu V P i i +--=⎰∞∞-ξξξπ所以 ⎰∞∞---=ξξξπd )(..1)()()(t u V P t ui r5.2 考察用宽带光作杨氏干涉实验(1) 证明观察屏上的入射光场可表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c r t P t c r t P t t Q 222111,d d ,d d ),(u K u K u 其中 iii i i i i i cr A s cr πθπθ2)(d 2)(k k K ≅=⎰⎰个针孔第 2,1=i 而为第个针孔的面积。
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关于时间的傅里叶变换：U ( ν ) F { u( t )} A exp( jφ )δ( v νo ) 1 r 由： u ( t ) A{exp[ j( 2πνo t φ )] exp[ j( 2πνo t φ )]}
1 ur ( α ) dα π α t
柯西积分主值
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 我们称：
t ε 1 1 1 r 1 1 r r u ( α )dα lim{ u ( α )dα u ( α )dα } t ε π αt π ε 0 αt αt
r
u( t ) u r ( t ) ju i ( t ) j δ( t ) πt
§ 2.多色光场的解析信号表示 例题2：求cos2ot的希尔伯特变换及其信号解 析式。 r u ( t ) cos 2πνo t 解： 1 r 其频谱为： U ( ν ) F {cos2πνo t } [ δ( ν νo ) δ( ν νo )] 2 i r 又： U ( ν ) j sgn( ν )U ( ν )
i r
§ 2.多色光场的解析信号表示 例题1：求(t)的希尔伯特变换及其信号解析式。 r u ( t ) δ( t ) 解： 其希尔伯特变换为：
1 1 { u ( t )} { δ( t )} δ( t ) ( ) πt πt i r 又： u ( t ) { u ( t )} 则所求的解析信号为：
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 结论： r t) 给定一个实信号 u (，对它实行希尔伯特 变换而得出： ui ( t )
1 u ( t ) { u ( t )} ( ) u r ( t ) πt 则所求的解析信号为：
i r
u( t ) ur ( t ) jui ( t ) 在线性平移不变系统中： U ( ν ) j sgn( ν )U ( ν )
2
r
有：
1 U ( ) F{u (t )} A[exp( j ) ( o ) exp( j ) ( o )] 2
r r
比较可知：u (t)变到复信号u(t)在频域可理解为： 去掉实信号的负频成分加倍实信号的正频成分 （单边谱）
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 t) 对于多色信号 ur ( 如存在傅里叶频谱 : Ur(ν ) 定义多色信号的复数表示为:
§ 1.研究部分相干的意义 a.相干光与非相干光是两种理论状态下的光 源描述。 b.时间相干性、空间相干性是极限判断依据。 c.部分相干光是实际光源的特征描述。 d.以能见度（或对比度）来作为描述部分相 干光的质量。
§ 2.多色光场的解析信号表示 a.单色信号的复表示。 对单色信号 : ur ( t ) A cos( 2πνot φ ) 复数表示为:
u( t ) 2U r ( ν ) exp( j 2πνt )dν
0
r u t) 称为实函数 (的解析信号。 u( t ) 的频谱为：U ( ν )
有：
r 2 U (ν ) ν 0 U( ν ) U r ( ν ) ν 0 ν0 0
U ( ν ) [1 sgn( ν )]U r ( ν )
1 j sgn( ν ) [ δ( ν ν o ) δ( ν ν o )] 2 1 2 j δ( ν νo ) ν 0 1 δ( ν ν o ) ν 0 2j 0 ν0
§ 2.多色光场的解析信号表示 例题2：求cos2ot的希尔伯特变换及其信号解 析式。 其原函数为：u i ( t ) F 1 { U i ( ν )} 1 F { [ δ( ν νo ) δ( ν νo )]} 2j sin 2πνo t 则所求的解析信号为：
r
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。 求解卷积：
1 u( t ) u ( t ) j [( ) u r ( t )] πt
r
1 1 1 r r ( ) u ( t ) u ( α )dα πt π t α 1 1 r u ( α )dα π αt t ε 1 1 1 r r lim{ u ( α )dα u ( α )dα } t ε α t π ε 0 α t
§ 2.多色光场的解析信号表示 b.多色信号的复表示。
u( t ) [1 sgn( ν )U ( ν ) exp( j 2πνt )dν
r
F 1 { U ( ν )} F { U ( ν )} F {sgn( ν )U ( ν )}
r r 1 1
u r ( t ) F 1 {sgn( ν )} F 1 { U r ( ν )} j u ( t ) ( ) ur ( t ) πt 1 r u ( t ) j [( ) u r ( t )] πt
} 为希尔伯特(Hilbert)变换。用 { 算子表示 r i 当定义： u( t ) u ( t ) ju ( t )
1 r u ( t ) { u ( t )} ( ) u (t ) 比较可得： πt
i r
U i ( ν ) j sgn( ν )U r ( ν )
u( t ) u ( t ) ju ( t )
r i
cos 2πνo t j sin 2πνo t