数列等差等比性质应用、证明
等差、等比中项在数列解题中的应用
等差、等比中项在数列解题中的应用一、等差、等比中项的定义三个实数b A a ,,，满足b a A +=2，则b A a ,,成等差数列，A 叫做b a ,的等差中项。
即b A a ,,成等差数列的充要条件是b a A +=2或2b a A +=或A b a A -=- 三个非零实数b A a ,,，满足ab A =2，则b A a ,,成等比数列，A 叫做b a ,的等比中项。
即b A a ,,成等比数列的充要条件是ab A =2或ab A ±=或Ab a A = 二、等差、等比中项的应用例1 已知b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列，且 ()1log 0<<ab m ，则m 的取值范围.解：由b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列得，()b a a b ++=2，ab a b ⋅=2，解得4,2==b a ，因18log 0<<m ，解得8>m ，即m 的取值范围为()∞+.8.【点评】本题利用了等差中项与等比中项的性质，直接得到a 与b 的关系式，从而解得a 与b 的值，简化了解题过程。
对于等差中项或等比中项公式我们在数列中还可推广：1）等差数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等差中项，即p n p n n a a a +-+=2（2≥n 且p n >）2）等比数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等比中项，即p n p n n a a a +-⋅=2（2≥n 且p n >）。
利用这两个数列的重要性质，能使解题过程变得简捷。
例2 已知()1+=bx n f 为x 的一次函数，且()()()()()⎩⎨⎧>-==1111n n g f n n g ，若{}n a 中， ()()n g n g a n -+=1，其中*N n ∈，求证：数列{}n a 为等比数列证明：当1>n 时，Θ()()n g n g a n -+=1，∴()()121+-+=+n g n g a n ，()()232+-+=+n g n g a n()()[]()()[]2312+-+⋅-+=⋅+n g n g n g n g a a n n Θ()()[]()()()()[]121+-+⋅-+=n g f n g f n g n g ()()[]()()[]121+-+⋅-+=n bg n bg n g n g()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]12111+-+⋅+-++=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n g f n g f()()[]()()[]1212+-+⋅+-+=n g n g n g n g()()[]21212+=+-+=n a n g n g ， 而33221,0,0b a b a b a =≠=≠=，0≠∴n a ，且1=n 时，2231a a a =， 故数列{}n a 为等比数列【点评】证明数列是等差数列或等比数列，我们除了用定义证明之外，也可利用数列的中项的方法去证明，即若满足212+++=n n n a a a ，则数列为等差数列，若221++⋅=n n n a a a ，则数列为等比数列。
等差等比数列性质以及证明
等差等比数列性质以及证明知识点：1．等差数列的性质 ⑴(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- ⑵在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+ ⑶若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．⑷在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．⑸等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等差数列，公差为2n d ．⑹若等差数列的项数为2n ，则有1,nn S a S S nd S a +-==奇偶奇偶． ⑺等差数列的项数为奇数n ，则n n S S S a S S =+=-奇偶中间项奇偶且，11S n S n +=-奇偶． ⑻{}n a 为等差数列，()2121n n S n a -=-．⑼通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠是不含常数项的二次函数的形式．（注当0d =时，1n S na =，1n a a =）（10）若10a >，0d <，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．2.等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，n q =； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．3．主要方法⑴解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．⑵深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键． ⑶错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．板块一 等差数列与等比数列——性质以及运用 一、 利用“下标和相等” ①等差数列3071020251.30255,.S a a a a =+++（二星）等差数列前项的和求答案：34 123181920201.24,78,.a a a a a a S ++=-++=（二星）等差数列求 510131621251.20,_______.a a a a a S ++++==（二星）等差数列则 1.421467286（二星）等差数列前项和为，末项和为，且各项和为，求项数. 211212.(){0(2),4.2.0.1.2n n n n n a a a a n S n A B C D +---+=≥-=-（二星）江西文在各项均不为零的等差数列}中,若则（ ）221:20,2,42(21)42,.n n n n a a a S n n n A --=∴=∴-=--=-解选2.（一星）(2015全国2文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 答案：A3.（二星）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9420S S =+，则13S 的值为 . 解：S9-S4=a5+a6+a7+a8+a9=5a7=20，所以a7=4，S13=13(a1+a13)/2=13a7=526.（二星）（2016广州市调研）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（D ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72②等比数列{}2199205080371127124.0,,10160[]28,512,.n n a a a a x x a a a a a a a a a q >-+=⋅⋅=++=⋅⋅=（二星）等比数列中为方程的两根，则类似题求答案：64 243546355.0,225,n a a a a a a a a a >⋅+⋅+⋅=+=（二星）等比数列则 答案：53.1100,2,.n n n +（二星）在与之间插入个正数使这个数成等比数列求插入的个数的积 答案：略 5631323106.0,9,log log log n a a a a a a >⋅=+++=（二星）等比数列则答案：10二、利用“连续等长片段和”为等差（比） ①等差数列101001101.3021003[]100,10,.m m m S S S ===（二星）等差数列中前项和为，前项和为，前项和类似题求答案：210。
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等比数列的性质及应用
4.一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和
与奇数项和之比为32：27，则公差d
5.等差数列an 的前n项和为S n，等差数列bn 的前n项和为Tn，
Sn 3n 1，则 a6 ___
Tn 4n 1
b6
始抖动摇晃起来，一种怪怪的鹿欢榆蕾味在震撼的空气中闪动！紧接着把柔软的屁股抖了抖，只见三道闪耀的极似铁砧般的褐影，突然从轻灵的淡红色榴莲般的手掌中飞出，
4.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 S奇 nd
若项数为2n 1(n 2, n N ), S奇 n 1
5.设等差数列 bn
的前n项和为ST偶n，则nabnn
S2n1 T2n1
6.若a1 0, d 0, Sn有最大值
可由aa
n 0 n1
0来确定n
若a1 0, d 0, Sn有最小值
也成等比数列，公比为q k
3.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 q S奇
等差数列和等比数列的性质及应用
二、基础训练
1.在等差数列an中，已知a8 a14 20，则S21 ___
2.在等差数列an
中，项数为2n
1，S奇 S偶
44 ,则数列项数为___ 33
3.已知等比数列an中，前n项和5.Sn 10，S2n 30，则S3n ___
等差数列和等比数列的性质及应用
三、应用举例
例1、等比数列an中，a1 an 66，a2an1 128，
前n项的和Sn 126，求n和公比q
等差数列和等比数列的性质及应用
三、应用举例
例2、等差数列an中，前n项的和Sn，且S10 100，
S100 10，求S110
等差数列和等比数列的性质及应用
等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。
下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。
等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
1. 通过公式法证明等差数列：假设有数列{an}，首项为a1，公差为d，我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。
通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d，从而证明这是一个等差数列。
2. 通过递推法证明等差数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公差d，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等差数列。
3.通过数列的性质证明等差数列：等差数列有很多重要的性质，例如，等差数列的中项等于首项与末项的平均数，等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。
如果我们通过对这些性质进行验证，可以得出结论这是一个等差数列。
等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
1. 通过公式法证明等比数列：假设有数列{an}，首项为a1，公比为r，我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。
通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r，从而证明这是一个等比数列。
2. 通过递推法证明等比数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公比r，我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等比数列。
3.通过数列的性质证明等比数列：等比数列有很多重要的性质，例如，等比数列的任意两项的比值都相等，等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。
等比数列的性质及应用
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新做主食和菜，待会儿要吃月饼和果子呢，中午剩的这些也凑乎够了。”耿老爹说：“是啊，喝碗粥少吃点儿就行了，一会儿 有的吃呢！”耿直调皮地说：“我真想现在就吃月饼！还有那几个苹果，又红又大，看着真馋啊！”耿正拍拍弟弟的肩膀亲切 地说：“先喝粥吧，吃那些供品还不到时候呢！”简单吃完晚饭收拾好后，天儿已经完全黑了，父子四人各搬一把椅子来到临 窗的桌子前。在这个看不见圆月的八月十五夜里，耿老爹的心情是异常复杂的。在家里时，一直都是妻子郭氏操持“供月”仪 式的，他自己只是参与仪式后半部分的许愿程序而已。然而在今儿晚上，却是只有他和三个娃儿一起过节，而他自己又不会絮 叨那些个“请月儿爷爷享用月饼瓜果”之类的话；再说了，天空中也看不到月儿爷爷！于是，耿老爹建议：“娃儿们，反正这 天上也看不到月儿爷爷，咱们不如干脆免了‘供月’仪式得了。月儿爷爷若想要享用这些东西，欢迎光临自行享用就是了！咱 们现在就坐了恭候吧；略等一等，谁想吃什么，就吃一些！”耿正兄妹三人觉得也是，到处都是黑乎乎的，“供”得哪门子 “月”啊！于是，耿正和耿老爹坐在桌子两边，耿英挨着爹坐下，耿直坐在哥哥和姐姐的中间，大家一起默默地望着黑乎乎的 夜空，好一会儿谁也没有说话。黑暗中，耿直忽然抽泣起来，并且带着哭声说：“我，我想娘，想兰兰”耿英伸出一只胳膊揽 住弟弟不断颤动着的小肩膀，柔声安慰他说：“小直子，别难过”耿老爹站起身来要去点灯，耿英赶忙拉住爹爹的胳膊，低声 说：“爹，别，别点灯”是啊，想要抛洒眼泪的人是不需要光亮的。在黑暗中，人的内心更加安静，可以想得更多、思得更远 在这个本应该明月高悬的八月十五夜，远离故土的耿家父子四人，在黑暗中守着摆在面前的月饼和瓜果，想着故乡的亲人和明 月，心潮涌动，思绪万千他们除了思念，还是思念那些南国的月饼和瓜果，谁也没有去动。此时此刻，除了默默地流泪，谁也 不再想做其他的任何事情了耿直低低的抽泣声一直持续了很久很久125第十七回 老乡送书信喜煞人|（喜鹊飞来报喜讯，老乡 送书信喜煞人；全家人述说心里话，老乡代笔写家信。）和去年一样，秋高气爽的八月十六又是一个大晴天。郭氏一早就起床 了。尽管心里老想着去年今日里此时此刻的情景，眼前老是晃动着朦胧的晨光中丈夫和三个儿女匆匆离家时的身影，耳畔好像 还能听到他们说话的声音；但今年的庄禾长得挺好，三亩水田的苞米呢，她得去掰啊！秋收的日子里家家都很忙呢，郭氏打心 眼儿里不想给大家伙儿添麻烦，希望自己带着耿兰全部收回来。娘儿俩简单地吃完早饭后，郭氏收拾了俩人的碗筷，顺便洗了 两个苹果放到耿兰的小竹篮子里，对瞪着一双好看
证明或判断等差等比数列的常用方法
证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义等差（等比）数更最主要的方法•如:记 bn""1"1,2,….1 1 所以｛b n ｝是首项为a ，公比为一的等比数列. 42评析：此题并不知道数列｛b n ｝的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明, 这是常规做法。
1猜想：｛b n ｝是公比为一的等比数列.21 1 证明如下：因为b n^a 2n^V-a 2n 2n 42bn,(nN )在数列{a n }中，若a na n-1（d 为常数）或a na n-1q （ q 为常数），则数列｛a n｝为等差（等比） 数列.这是证明数列｛耳｝为例1 • （2005北京卷）设数列｛a n ｝的首项a1 =:a =丄，且a41-an 2 1|a 」 an 4n 为偶数n 为奇数 所以b 1 （n ）判断数列｛b n ｝是否为等比数列，并证明你的结论.)a ? = a 1 ■—4 =a ；，a 3a ?=-2 : * 1 13 1 a4 = a 3 = a，所以 a5 = 4 2 82 1 1 b 2 = 1 1 =a 1a - 4 *3 一 a 1 4 3 4 2 . J a 」， 4 .4(i)求 a ?, 83 ；解：（i 1a 1 ；2 81 3a 4 一 4a16， 1 4」例2 •（ 2005山东卷）已知数列｛a n｝的首项a i =5 ,前n项和为S n ,且Sn 1 =2S n n •5（T N）（i）证明数列｛a n 1｝是等比数列；（n）略.解：由已知S n .1 =2S n • n • 5(n • N*)可得n _ 2时，& -n • 4两式相减得：S n 1 -S n = 2(S n -S ni) 1，即a n 1 = 2a n • 1，从而a n 1 T = 2(a n 1), 当n =1 时，s2=20 1 5，所以a2 a^2a1 6,又q =5，所以a2=11，从而a2 1 ^2(a1 1).a +1故总有a n「仁2(a n 1), n • N ”，又=5, a1 ^0，从而亠2 .a n +1所以数列｛a n 1｝是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含S n的式子再类似写出含S n」的式子，得到a n pa n q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项a n的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子a n—a n」=d和a n 4 -a n = d有差别，前者必a须加上“ n > 2 ”否则n=1时a0无意义，等比中一样有：n > 2时，有亠才|| = q (常a n」数式0 )；②n w N州时，有(常数=0).二•运用等差或等比中项性质a n■ a n2 - 2a n1 ：= ｛a n｝是等差数列，a n a n2 - a n1(a n0) ：= ｛a n｝是等比数列，这是证明数列｛坯｝为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列｛a n｝的前项为S n，已知a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，且(5n -8)S n 1 -(5n 2)S n=An B, n =1,2,3,|,其中A, B 为常数.(1 )求A与B的值；(2)证明数列｛a n｝为等差数列；(3)略.解：(1 )由印=1, a2 =6, a3 =11，得S =1, S2 = 7, S3 = 18 .― A B 二-28, 把n =1,2 分别代入(5n-8)S1-(5n 2)S=An B，得2A• B =-48L解得，A = -20 , B = -8 .(n )由(I )知，5n(S n 1—S n) -8S n 1 —2£ = -20n -8，即又 5(n l)a n 2 -8S 2 -2S n i = -20(n 1) —8 . ②②-①得，5(n 1)a n 2 -5na n彳-8a n 2 -2a n* - -20 ,即(5n -3间2 -(5n 2)a. 1 = -20 . ③又(5n 2)a n 3 -(5n 7)% 2 - -20 . ④④-③得，(5n 2)(a n 3 — 2a. .2 a. .J =0 ,二兔3 — 2a. .2 a. 1 =0 ,…a n 3・一a n 2 = 2・一1 | = a3 —玄2 =5，又玄2 —玄1 =5 ,因此，数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘S n的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4.(高考题改编)正数数列｛a n｝和｛b n｝满足：对任意自然数n, a n, b n, a n..成等差数列，b n, a n i, b n.成等比数列.证明：数列｛Jb n｝为等差数列.证明：依题意，a n 0, b n 0,2b n =a n •a n 1，且a n d ='••、b n b n 1 ,a n =b n」b n(n > 2).2b n 二.b n」b n b n b n 1 .由此可得2 m=.昭「b n?.即._昭-m - bn -兀(门> 2).数列｛.,0｝为等差数列.5na n i . —8S n i. -2S h = _20n -8 , ①评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于 f. bj的等差数列，使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n = k时命题成立”到“ n = k • 1时命题成立”要会过渡.例5 . (2004全国高考题)数列的前n项和记为& ,已知a^1 ,n 亠2 i S Ia* 1 = S n(n =1,2」1().证明：数列-n是等比数列.n L n J证明：由a1 -1, a n 1 =Sn (n - 1,2j H)，知a? ― S = 3a1, —1 = 2 ,1 2 2勺=1，猜测 S n 是首项为1,公比为2的等比数列.1 nS下面用数学归纳法证明：令 b^S n .n（1）当 n =2时，b 2 =2b\，成立.⑵当 n = 3时，S 3 = a 1 a 2 a 3 =13 2(1 3) = 12,0 = 4 = 2b 2，成立. 假设n =k 时命题成立，即b k =2b k 」.c k 2S S + ----------------------- 2那么当 n =k 1 时，b k j =汪1 二 S k ' a k 1 Jk+1 k+1k+1综上知 §n 是首项为1，公比为2的等比数列.I n J例6. （2005浙江卷）设点 代（人,0, P n （X n ,2n 」）和抛物线2 * 1G ： y =x - a n X b n （n ・N ）,其中a . = -2 -4n - ^nJ , X n 由以下方法得到：花=1,点P （x 2,2）在抛物线G 注仝 a 1x b 上，点A （x 1,0）到p 的距离是 A 到G 上点的最短距离，…，点P n 1（X n 1,2"）在抛物线C n ： y = X 2 * a n X * b n 上，点A （绻0）到P n 1的距离是A到C n 上点的最短距离.(1 )求X 2及C 1的方程.(2)证明 {X n } 是等差数列. 解：(I)由题意得：A(1,0), G : y =x 2-7x • d .设点 P(x, y)是 C 1 上任意一点，贝U |AP|「(x-1)2 y 2「(x-1)2 (x 2-7x bj 2 令 f (x) =(x -1) (x -7x bi),则f (x) =2(x -1)2(x -7x bi)(2x _7).由题意：f ，(x 2) =0,即 2( x 2 -1) 2(X 22 -7X 2 bj(2x 2 _7) =0.又 F 2(x 2,2)在 C 1 上，2=x 22-7x 2 d,解得：x 2 =3,3 =14.，故 C 1 方程为 y =x 2 -7x • 14.2& = 2b k ,命题成立.(II)设点P(x, y)是C n上任意一点，则I A n PF ・.(X-X n)2• (X2• a n X • b n)2令g(x) =(x -X n)2(X2a n X b n)2,则g'(x) =2(x -X n) 2(X2a n X b n)(2x a n).由题意得 g '(X n 』=O ，即 2(X n 卑—X n )+2(X nf +a n X n 申 +b n )(2X n 出 +a n )=O 又；"2n =Xn] +anXn 卑 +g ,■ (X n 1 -X n ) 2n (2X nia." 0(n 一 1).即(1 2「1)X ni-X n 2匕=0(* )F 面用数学归纳法证明 x n =2n -1①当n 二1时，X-] =1,等式成立.即当n =k T 时，等式成立.由①②知，等式对 n N 成立..｛x n ｝是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基本技能、 掌握数列前n 项和 这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法； 例6是个综合性比较强的题目， 通过求二次 函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 如果直接 利用递推关系式找通项，反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发， 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑.如：例7.（2000年全国高考（理））设｛a .｝，b n ｝是公比不相等的两等比数列, 明数列｛C n ｝不是等比数列.证明：设｛a n ｝｛ b n ｝的公比分别为p , q , p = q , c^ a n b n ，为证｛q ｝不是等比数 列只需证 c ；工 G L C 3 .事实上， c 2 =（a i p bq ）2 二a ： p 2 b 2q 2 2aib pq二佝 bOG b ?） = （a 「b ）（4 p 2 dq 2） =aip 2 b ^2q 2 a 1b 1（p 2 q 2）Tp^q, p 2+q 2 >2pq ，又a , b 不为零，二c f ^^Lc 3，故｛cj 不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力， 对逻辑思维能力有较高要求.要证｛c n ｝不是等比数列，只要由特殊项（如c f =6“）就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明， 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的②假设当n =k 时，等式成立, 即 x k =2k-1,则当n 二k T 时，由（* ）知 k 山1k(1 2 风 - X • 2 % 兰1又 a k = -2 -4k -2 肓X k 1kX k _ 2 a ^- 厂占=2k 1 .经过一系列的推 这时可从反面去五•看通项与前n项和法若数列通项a能表示成a n= a n・b ( a, b为常数)的形式，则数列是等差数列；右通项a n能表示成a n - cq (c, q均为不为0的常数，n・N ) 的形式，则数列^n? 是等比数列.若数列：a n f的前n项和Sn能表示成& = an2• bn(a,b为常数)的形式，则数列：a n f 等差数列；若S n能表示成S n =Aq n-A(A, q 均为不等于0的常数且1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列•这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8 (2001年全国题)若S n是数列牯」的前n项和，S n = n2,则｛a j是( ).A.等比数列，但不是等差数列 B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六•熟记一些常规结论，有助于解题若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则(1)数列｛a n｝｛ a n｝( ■为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2)若｛b n｝是公比为q ■的等比数列，则数列｛a n Lb n｝是公比为qq ■的等比数列；‘1〕 1(3)数列」丄〉是公比为1的等比数列；冃J q(4)｛a n｝是公比为q的等比数列；(5)在数列｛a n｝中，每隔k(k・N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q k 1；(6) {a n a n 1}{ a n —an 1}{ a2n4}{ a2n}, g a2 a3, a4 a5 a6, a? p等都是等比数列；(7)若m , n , p(m n, p N )成等差数列时，a m, a. , a p成等比数列；(8)S n , S2n _S n , S3^ _ S2n均不为零时，则S , Sn〜, §3^ S2n成等比数列;(9)若｛log b a n｝是一个等差数列，则正项数列｛a n｝是一个等比数列.若数列｛a n｝是公差为d等差数列，则(1) ｛ka n b｝成等差数列，公差为kd (其中k = 0, k, b是实常数)；(2)｛S(n i)k -S kn｝, ( k • N , k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3) 若｛a n｝｛ b n｝都是等差数列，公差分别为d i, d2，则｛a n二b n｝是等差数列，公差为d^d2;(4)当数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列时，数列｛lg a n｝是公差为lgq的等差数列；(5)m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，a m，a n，a p成等差数列.例9.(96年全国高考题)等差数列｛a n｝的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n 项和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260解：由上面的性质得：S n, S zn-S, S3n-S2n成等比数列，故2(S2n - S n) =S n (S3n - S2n),.2(100-30) =3O(S3n -100),S3n =210 .故选c.评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试. 记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率.。
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题型二 等差（等比）数列的判定与证明
练习 已知数列{ a n} 满足点( a n, a n+1) 在直线 y=2 x+1 上, 且 a1=1 . ( 1) 证明: 数列{ a n+1} 是等比数列; ( 2) 求数列{ an} 的通项公式 .
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(1)证明:∵点(an,an+1)在直线 y=2x+1 上, ∴an+1=2an+1. 令 bn=an+1,故只需证{bn}是等比数列即可. 又
归纳：在等比数列中，
性质 1:������ 2 ������ =a m-na m+n(m>n )及 若 k+l=m+n ，则有 ak · a l=a m· a n; 性质 1:等比数列和的性质主要是： S n, S 2n-S n, S 3n-S 2n………成等比数列.
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题型一 等差（等比）数列和的性质的应用
(2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1.
������ ������=1
于是 ∑ (ak+1-ak )= ∑ (2k-1),
������ =1
������
所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为： an=n2-2n+2.
题型一 等差（等比）数列和的性质的应用
在等差数列{a n}中,则前 3 m 项 的和为 .
210
练习 a 7+a8+a 9=
已知等差数列{ an} 中,其前 n 项和为 Sn, S3=9, S6=36, 则 .
45
星号题：已知一等差数列的前四项和为 124,后四项和为 156,
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答案
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1 .判定等比数列的方法（其中：q 均是不为零的常数,n ∈N*) ������ (1)定义法: ������+1=q ⇔{a n}是等比数列. (2)通项公式法:a n=cq n-1 ⇔{a n}是等比数列. (3)等比中项法:������ 2 a n+2⇔{a n}是等比数列. ������ +1=a n· 2 .求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分 q=1 和 q ≠1 两种情况讨论,判断单调性 时对 a1 与 q 分类讨论. 3 .求解等比数列的问题,要注意等比数列性质的应用,以减少运算量.
)
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题型二 等差（等比）数列的判定与证明
(2014 大纲全国,文 17)数列 {a n}满足 a 1=1,a 2=2,a n+ 2=2a n+ 1-a n+2 . (1)设 b n=a n+ 1-a n, 证明 {b n}是等差数列; (2)求 {a n}的通项公式.
(1)证明:由 an+2=2an+1-an+ 2 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
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练习 在各项均为正数的等比数列{a n}中,a 3= 2-1, a 5= 2+1, 则 C ) ������ 2 3+2a 2a 6+a 3a 7=( A.4 B.6 C.8 D.8-4 2
关闭
2 (1)由等比数列的性质,得 a3a7=������5 ,a2a6=a3a5, 2 2 2 所以������3 +2a2a6+a3a7=������3 +2a3a5+������5 =(a3+a5)2=( 2-1+ 2+1)2=(2 2)2=8.
������������+1 ������ +1 2������ +1+1 = ������+1 = ������ =2,b1=a1+1=2, ������������ ������������ +1 ������������ +1
∴数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 即数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:由(1)知,数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an+1=2· 2n-1=2n,∴an=2n-1.
各项和为 210,则此等差数列的项数是 .
6
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归纳：
1 .等差数列项的性质:
若 m+n=p+q，则有：am+a n=a p+a q 利用性质可以减少计算量；
2 .等差数列和的性质:在等差数列{a n}中,S n 为其前 n 项和,则数列 S m,S 2m-S m,S 3m-S 2m,…也是等差数列,
(2014 大纲全国,文 8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15, 则 S6=( C ) A.31 B.32 C.63 D.64
C ( 2)设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 Sn, 若 S6∶ S3=1∶2, 则 S9∶S3 等于( A.1∶ 2 B.2∶3 C.3∶ 4 D.1∶ 3
������ ������
方法总结 1.等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)⇔{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A,B 为常数)⇔{an}是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证 法.
(2)由等比数列的性质知 S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3· (S9-S6), 将 S6= S3 代入上式得
1 2 ������9 3 = . ������3 4
解析
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