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三年级数学四边形常用知识点归纳
三年级数学四边形常用知识点归纳三年级数学四边形知识点【正方形】概念：四条边都相等四个角都是直角的四边形是正方形。
特点：有4个直角，4条边相等。
(正方形既是长方形，也是菱形)周长：正方形的周长=边长×4【长方形】概念：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。
特点：长方形有两条长，两条宽，四个直角，对边相等。
周长：长方形的周长=(长+宽)×2【平行四边形】概念：两组对边互相平行的四边形，它的对边平行且相等，对角相等。
(正方形长方形数属于特殊的平行四边形)特点：①对边相等对角相等。
②平行四边形容易变形。
周长：平行四边形的周长=两条边的边长相加×2【梯形】概念：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
特点：只有一组对边平行。
周长：上底+下底+两腰长度【等腰梯形】概念：两条腰相等的梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。
特点：有一组对边平行且两腰等长。
周长：上底+下底+两腰长度【菱形】概念：一组邻边相等的平行四边行是菱形。
特点：①四条边都相等②对角线互相垂直平分③一条对角线分别平分一组对角周长：两条不同的边长相加×2【每个四边形都有哪些联系】1正方形既是长方形，也是菱形。
2正方形长方形数属于特殊的平行四边形。
3正方形还是特殊的长方形。
三年级数学四边形教案一教学内容1.四边形平行四边形的认识2.周长的概念，长方形正方形的周长计算3.长度的估计二教学目标1.使学生认识四边形的特征，初步认识平行四边形，会用不同的方式表示平行四边形。
2.使学生了解周长的概念，会计算长方形正方形的周长。
3.通过对长度和周长的估计，培养学生的长度观念。
三编排特点1.从日常生活中引入几何概念，使学生在熟悉的情境中学习几何知识。
利用校园的情境认识四边形和平行四边形。
利用学生熟悉的事物(树叶教科书小国旗钟面)来认识和计算周长。
2.利用活动巩固对几何概念的认识。
教材中设计了各种形式的活动：涂色分类拉一拉平行四边形在钉子板上围平行四边形在方格纸上画平行四边形用长方形纸剪平行四边形用七巧板拼图实际测量一个物体的周长，等等。
知识必备07 四边形(公式、定理、结论图表)
知识必备07四边形（公式、定理、结论图表）考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.典例1：2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形=21ab=ch.（a、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）S 平行四边形=ah.a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG ＝90°，∠EGF ＝60°，∠AEF ＝50°，则∠EGC 的度数为（）A ．100°B ．80°C ．70°D ．60°【分析】由平行四边形的性质可得AB ∥DC ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF 的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故选：B．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．典例5：（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．典例6：（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4B．2C．2D．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．典例7：（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD ＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．典例8：（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，＝×AC×BC＝×2×2＝2．∴S△ABC【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．典例9：（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．典例10：（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；＝DF•（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDFAF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF 的面积S为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∴S矩形ABDF∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，＝BD•CD＝×4×3＝6，∴S△BCD+S△BCD＝12+6＝18，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.典例14：（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是4答案不唯一．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．。
(完整版)四边形知识点总结(已整理)
四边形知识点总结6．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒ABCD 是等腰梯形 7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 注：被中位线分成的三角形的周长是原三角形的1/2 被中位线分成的三角形的面积是原三角形的1/48．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 注：梯形的面积等于中位线乘高.第二部分、常用的辅助线技巧1.平行四边形与特殊的平行四边形常见的辅助线：①.平行四边形:（1）连对角线或平移对角线 （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 ②.菱形：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.注意：当菱形有一个内角为60°或有一条高垂直平分底边时连接对角线即可得到等边三角形。
③．矩形：计算题型（翻折问题），一般通过作辅助线（垂线等）构造直角三角形借助勾股定理解题 证明题型（探究问题），一般连接对角线借助对角线相等来解决问题注意：当矩形的对角线与一边（或另一条对角线）的夹角为60°时，其对角线与边长围成的三角形是等边三角形。
④．正方形：连接对角线 2．梯形中常见的辅助线：①．延长两腰交于一点（使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
）②．平移一腰（使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
）③．作高（使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
）④.平移一条对角线(得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和，S 梯形ABCD =S DBE ）⑤.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
（可得△ADE ≌△FCE ，所以使S 梯形ABCD =S △ABF .）。
四边形基本知识点
第四章四边形性质探索知识点归纳 一．四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ．（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线．注意：①四边形共有两条对角线．②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．（4）四边形的内角和等于 360．（5）四边形的外角和等于 360．注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．二．多边形的概念和性质：（1）n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ．（2）任意多边形的外角和等于 360．（3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线．（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于n n 180).2(-三、平行四边形．1．平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．(4)平行四边形的对角线互相平分．（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．4．平行四边形的面积S=底边长×高=ah(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对（1）、平行四边形边的距离)．（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．四．矩形、1．矩形的定义：_________________________________2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。
初中数学四边形知识点归纳
初中数学四边形知识点归纳四边形(四边形具有不稳定性)1定理四边形的内角和等于360°2四边形的外角和等于360°3多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°4推论任意多边的外角和等于360°5平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等6平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等7推论夹在两条平行线间的平行线段相等8平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线相互平分9平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形10平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形11平行四边形判定定理3 对角线相互平分的四边形是平行四边形12平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形13矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角14矩形性质定理2 矩形的对角线相等15矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形16矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形17菱形性质定理1 菱形的四条边都相等18菱形性质定理2 菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角19菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷220菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形216菱形判定定理2 对角线相互垂直的平行四边形是菱形22正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等23正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角24定理1 关于中心对称的两个图形是全等的25定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分26逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称27等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等28等腰梯形的两条对角线相等29等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形30对角线相等的梯形是等腰梯形31平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等32 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰33推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边34 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半36 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h37 (1)比例的基本性质假如a:b=c:d,那么ad=bc 假如ad=bc,那么a:b=c:d38 (2)合比性质假如a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d39 (3)等比性质假如a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b40平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例41 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例42 定理假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边43平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例44 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相像45 相像三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相像(asa)46 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像47 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像(sas)48 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相像(sss)49 定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像50 性质定理1 相像三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比51 性质定理2 相像三角形周长的比等于相像比52 性质定理3 相像三角形面积的比等于相像比的平方53任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值54任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值大家看过中学数学知识点归纳之四边形，大家要熟记多边形内角和定理为n边形的内角的和等于(n-2)×180°。
四边形知识点总结大全
四边形知识点总结大全集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]望牛墩中学四边形知识点总结大全※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三公式：1．S 菱形=21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）2．S 平行四边形=ah.a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）3．S 梯形=21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线）四常识：※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n -. 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 正方形、矩形、菱形和平行四边形四者知识点串联汇总图形定义平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形菱形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形矩形一个内角是直角的平行四边形叫做矩形正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行，四条边相等对角相等两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角平行四边形、菱形、矩形、正方形的判别方法图形判别方法平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形矩形一个内角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形正方形一组邻边相等的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形1.延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题。
四边形知识点总结
个图形关于这一点对称. 三 公式：
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1．S 菱形 = 1 ab=ch.（a、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为 c 边上的
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备注： 1、顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。 2、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形, 3、顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形， 4、顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形
平移与旋转 旋转 1.旋转的定义： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动 叫做旋转。 2.旋转的性质： 旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相 等。 中心对称 1.中心对称的定义： 如果一个图形绕某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫 做中心对称。 2.中心对称图形的定义： 如果一个图形绕一点旋转 180 度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。 3.中心对称的性质： 在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中 心平分。 轴对称 1.轴对称的定义： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图 形叫做轴对 称图形，这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的性质： ①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 ③等腰三角形的“三线合一”。 3.轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。 图形变换 图形变换的定义：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。
四边形知识点经典总结
四边形知识点：关系结构图：、知识点讲解：1．平行四边形的性质（重点）（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；ABCD是平行四边形？（3）两组对角分别相等;（4）对角线互相平分；（5）邻角互补.2. 平行四边形的判定（难点）3. 矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性;因为ABCD是矩形？（2）四个角都是直角；（3）对角线相等.（4）是轴对称图形. 它有两条对称轴．4 矩形的判定：矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形;（2）有三个角是直角的四边形;（3）对角线相等的平行四边形;（4）对角线相等且互相平分的四边形. ？四边形ABCD是矩形•5. 菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性;因为ABCD是菱形？（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.6. 菱形的判定：1）平行四边形一组邻边等（2）四个边都相等？四边形四边形ABCD是菱形•3）对角线垂直的平行四边形7. 正方形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性；ABCD是正方形？（2）四个边都相等，四个角都是直角;（3）对角线相等垂直且平分对角.8. 正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形一个直角？四边形ABCD是正方形.（3）矩形一组邻边等二.精典例题解答：1. 已知：如图.E、F是平行四边形ABCD勺对角线AC上的两点.AE=CF。
求证：(1)△ ADF^A CBE( 2) EB// DF。
证明：(1)v AE=CF ••• AE+EF=CF+FE即AF=CE又ABCD是平行四边形• • AD= // BC • / DAF=Z BCE 在厶ADF与厶CBE中• △ADF^A CBE( SAS(2)v △ADF^A CBE • / DFA玄BEC • DF // EB例1图例2图2. 如图•平行四边形ABCD勺对角线AC BD相交于点、F是直线AC上的两点•并且AE=CF求证：四边形BFDE 是平行四边形。
四边形知识点
A B C D O 四边形知识点四边形性质和判定：（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆）平行四边形：定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.4. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形.5. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.菱形:定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 性质:1. (边) 四条边都相等. 2. (角) 两组对角分别相等.3. (线) 对角线互相垂直平分(平分对角).4. (对称性) 中心对称,轴对称－－对称中心为对角线交点;对称轴－－两条对角线.判定:1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2. 四条边都相等的四边形是菱形.3. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.矩形:定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质:1. (边) 两组对边分别平行且相等. 2. (角) 四个角都是直角.3. (线) 对角线相等且平分.4. (对称性) 中心对称,轴对称－－对称中心为对角线交点;对称轴－－(四条)两条对角线及过相对两边中点的两条直线.判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形.2. 四个角都是直角的四边形是矩形.3. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形.正方形: 定义:有一个角是直角的菱形是正方形.(有一组邻边相等的矩形是正方形)性质:1. (边) 四条边都相等.2. (角) 四个角都是直角.3. (线) 对角线相等且互相垂直平分(平分对角).4. (对称性) 中心对称,轴对称－－对称中心为对角线交点;对称轴－－(四条)两条对角线及过相对两边中点的两条直线.判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形.2. 有一组邻边相等的矩形是正方形.等腰梯形：定义：一组对边平行且不相等,另一组对边相等的四边形是梯形.性质:1. (边) 一组对边平行且不相等,另一组对边相等的四边形是梯形.2. (角) 两底角对应相等.3. 对角线相等.4. (对称性) 轴对称－－对称轴为过两底中点的直线.判定:1. 两腰相等的梯形. 2. 两底角相等的梯形.A BC DOA BCD O A BC D O对角线相等的四边形有:矩形 正方形 等腰梯形顺次连接任意一个四边形的四边中点得到的四边形的判定:(看原四边形的对角线)任意四边形ABCD 中E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,AD 的中点,则四边形EFGH 的形状为:1. 若原四边形的对角线任意,则得到的四边形(EFGH)为平行四边形.2. 若原四边形的对角线相等, ,则得到的四边形(EFGH)为菱形.3. 若原四边形的对角线垂直, 则得到的四边形(EFGH)为矩形.4. 若原四边形的对角线相等且垂直, 则得到的四边形(EFGH)为正方形. 顺次连接一个特殊四边形的四边中点得到的四边形的判定:1. 若得到的四边形为正方形,则原四边形为:正方形.2. 若得到的四边形为矩形,则原四边形为:菱形、正方形或梯形(对角线垂直).3. 若得到的四边形为菱形,则原四边形为:矩形、正方形、等腰梯形.4. 若得到的四边形为平行四边形,则原四边形任意.三角形中位线:过三角形两边中点的线段.性质: 三角形的中位线平行且等于底边的一半.梯形的中位线:过对边中点的线段:性质:梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半.在四边形证明和计算过程中需添加辅助线时,要和四边的性质集合起来.比如: 有中点要和中线,中位线联想起来.有角平分线可想到往角两边坐垂线段.A EB FC GD H O B A CEF A B C D E F。
初中四边形知识点总结归纳
初中四边形知识点总结归纳一、四边形的基本概念。
1. 四边形的定义。
- 由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。
在初中阶段，我们主要研究平面四边形。
2. 四边形的内角和与外角和。
- 内角和：四边形的内角和为360°。
可以通过三角形内角和为180°，将四边形分割成两个三角形来证明。
- 外角和：四边形的外角和为360°。
任何多边形的外角和都是360°，对于四边形，在每个顶点处取一个外角，它们的和是360°。
3. 四边形的对角线。
- 连接四边形不相邻的两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
四边形有两条对角线。
二、平行四边形。
1. 平行四边形的定义。
- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
2. 平行四边形的性质。
- 边：平行四边形的两组对边分别平行且相等。
即AB = CD，AD = BC；AB∥CD，AD∥BC。
- 角：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D；∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。
- 对角线：平行四边形的对角线互相平分。
即OA = OC，OB = OD（设AC、BD相交于点O）。
3. 平行四边形的判定。
- 边：- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 平行四边形的面积。
- 平行四边形的面积 = 底×高，即S = ah（a为底边长，h为这条底边对应的高）。
三、矩形。
1. 矩形的定义。
- 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2. 矩形的性质。
- 具有平行四边形的所有性质。
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四边形知识点总结大全1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（ 2）四边形的外角和等于360° .ADB C2．多边形的内角和与外角和定理： A 4D （1） n 边形的内角和等于 (n-2)180 °；（ 2）任意多边形的外角和等于 360° . 321B C（）两组对边分别平行；1（）两组对边分别相等；23．平行四边形的性质：因为 ABCD是平行四边形（3）两组对角分别相等；D C （）对角线互相平分；O4（）邻角互补. 5A B（）两组对边分别平行1（）两组对边分别相等2 D C 4. 平行四边形的判定：（3）两组对角分别相等ABCD 是平行四边形.O（）一组对边平行且相等4（）对角线互相平分 B5A（1）具有平行四边形的所有通性;D C 5. 矩形的性质：因为 ABCD是矩形（2）四个角都是直角 ;（3）对角线相等 . OA B（1）平行四边形一个直角D C6. 矩形的判定：（2）三个角都是直角四边形 ABCD是矩形 .（3）对角线相等的平行四边形OA BD（）具有平行四边形的所有通性；17．菱形的性质：因为 ABCD是菱形（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.OA CB（1）平行四边形一组邻边等8．菱形的判定：（2）四个边都相等四边形四边形 ABCD是菱形 . D （3）对角线垂直的平行四边形OA CB（1）具有平行四边形的所有通性；9．正方形的性质：因为ABCD是正方形（2）四条边都相等，四个角都是直角；（3）对角线相等垂直且平分对角.D C D COA B （ 1） A B （ 2）10．正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角D C（ 2）菱形一个直角四边形ABCD是正方形.（3）矩形一组邻边相等如： (3) ∵ABCD是矩形又∵ AD=AB ∴四边形 ABCD是正方形 A B（1）两底平行，两腰相等；A D 11．等腰梯形的性质：因为 ABCD是等腰梯形（2）同一底上的底角相等；O（3）对角线相等 . B C（1）梯形两腰相等A D 12．等腰梯形的判定：（2）梯形底角相等四边形 ABCD是等腰梯形（3）梯形对角线相等OB C如： (3) ∵ABCD是梯形且 AD∥ BC 又∵ AC=BD ∴ ABCD四边形是等腰梯形14．三角形中位线定理： A三角形的中位线平行第三边，并 D E且等于它的一半 .B C 15．梯形中位线定理： D C 梯形的中位线平行于两底，并且 E F等于两底和的一半 . A B 公式：1．S 菱形 = 1ab=ch. （ a、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长，h 为 c 边上的高）22．S 平行四边形=ah. a为平行四边形的边，h 为 a 上的高）3．S 梯形 = 1（a+b ） h=Lh. （a 、b 梯形的底， h 梯形的高 ,L 梯形的中位 ）2四 常 ：矩 正 菱 方 形形形※1．若 n 是多 形的 数， 角 条数公式是：n (n 3) .2平行四边形2． 形折叠一般“出一 全等，一 相似”.3．如 ：平行四 形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常 形中， 是 称 形的有：角、等腰三角形、等 三角形、正奇 形、等 腰梯形 ⋯⋯ ； 是中心 称 形的有：平行四 形 ⋯⋯ ；是双 称 形的有：段、矩形、菱形、正方形、正偶 形、 ⋯⋯ . 注意： 段有两条 称.※5．梯形中常 的 助 ：ADA D A DAD中点中点EB ECBC B EFCB CFEA D A D A DA F DEF中点E中点BCE BCBCB G C二、梯形常见的辅助线 1.延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线作用：（ 1）得到平行四边形ACED ，使 CE=AD ， BE 等于上、下底的和（2）S 梯形ABCD =S△DBE5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
作用：可得△ ADE ≌△ FCE，所以使 S 梯形ABCD =S△ABF。
例题例1：如图 1，平行四边形 ABCD中， AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F.求证：∠ BAE =∠DCF.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， AD ∴∠ ABE = ∠CDF ，AB= CD.FB E又∵ AE ⊥BD ，CF⊥BD ， C（图 1）∴∠ AEB = ∠CFD = 90°，∴△ ABE ≌△ CDF.∴∠ BAE = ∠ DCF.例 2：如图 2，矩形 ABCD 中， AC 与 BD 交于 O 点， BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F.求证： BE = CF.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB = OC. AE FOB（图 2）DC又∵ BE⊥ AC， CF⊥ BD，∴∠ BEO =∠CFO = 90o. ∵∠ BOE =∠ COF.∴△ BOE≌△ COF. ∴BE = CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定例3 如图 6，E、 F 分别是 ABCD 的 AD 、 BC 边上的点，且（1）求证：△ABE ≌△ CDF；（2）若 M 、 N 分别是 BE、DF 的中点，连结 MF 、EN，试判断四边形 MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论 .（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，B ∴AB = CD ，∠ A =∠C.∵AE = CF，∴△ ABE ≌△ CDF..AE = CF.A ENMF C( 图 3)D∵△ ABE≌△ CDF，∴∠ AEB = ∠CFD，BE = DF.又∵ M 、N 分别是 BE、 DF 的中点，∴ ME = FN.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ AEB = ∠FBE.∴∠ CFD =∠FBE. ∴EB∥ DF，即 ME ∥ FN.∴四边形 MFNE 是平行四边形 .评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.例 4 如图 4，ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD ，BC 分别相交于点 E，F.求证：四边形 AFCE 是菱形 . A ED证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC. ∴∠ EAC = ∠ FCA.∵EF 是 AC 的垂直平分线，∴OA = OC，∠ EOA = ∠FOC，EA = EC. ∴△ EOA≌△ FOC . ∴ AE = CE. BOCF图 4∴四边形 AFCE 是平行四边形 .又∵ EA = EC，∴四边形 AFCE 是菱形 .例5 如图 5，四边形 ABCD 是矩形， O 是它的中心， E、F 是对角线 AC 上的点 .（1）如果，则△DEC≌△ BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论 . D CEFAB 解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一 . 图 5（1）① AE=CF；② OE = OF；③ DE⊥ AC ，BF⊥ AC ；④ DE∥BF 等 .（2）①证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB = CD ， AB ∥ CD. ∴∠ DCE =∠BAF.∵AE=CF，∴ AC －AE = AC －CF，即 AF = CE.∴△ DEC≌△ BFA.例6 如图 6，已知在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB = DC ，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，E 是 BC 边上一个动点（点 E 不与 B、C 两点重合）， EF∥BD 交AC 于点 F，EG∥AC 交 BD 于点 C.（1）求证：四边形 EFOG 的周长等于 2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形 EFOG 的周长等于 2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.解析：（ 1）证明：∵在梯形ABCD 中， AD ∥BC， AB = DC ，∴梯形 ABCD 是等腰梯形 . ∴∠ ABC = ∠DCB.又∵ BC = CB， AB = DC ，∴△ ABC ≌△ DCB. ∴∠ ACB = ∠DBC.A D又∵ EG∥ AC，∠ ACB = ∠GEB.O ∴∠ DBC=∠GEB. ∴EG = BG. G F∵EG∥OC，EF∥OG， BCE∴四边形 EGOF 是平行四边形 . 图 7∴OE = OF，EF = OG.∴四边形 EGOF 的周长= 2（OG＋GE） = 2（OG＋GB）= 2OB.（2）如图 7，已知在矩形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O， E 是 BC 边上一个动点（点 E 不与 B、 C 两点重合），EF∥BD 交 AC 于点 F， EG∥ AC 交BD 于点 C.求证：四边形 EFOG 的周长等于 2OB注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？。