材料力学习题解答4

0
解： (2) 简化处理

Tr Ip
Ip Ip
p

TR 0 Ip
R0


2
r d A
2
2

0

0
R0 d A R0
2
2

2
0
R 0 d 2 R 0
3

T 2R0
2
5． 如图所示，由厚度 8 mm 的钢板卷制成的圆 筒，平均直径 D 200 mm ，接缝处用两排铆钉铆接， d 20 ，许用切应力为 mm [ ] 60，许用 MPa 铆钉直径 [ ] 160 MPa 挤压应力为 ，圆筒受简单扭转作用，外 m 30 kN m 力偶矩 ，试求铆钉的间距。
2k m 2k
2k
4 4
2 max
m2 W p2

1
4
2k 1 W p2

m
[ ]
1
1
[ ]W
p1
2k
4

W p1 W p2
k
3
m
4
[ ]W p 2
2k 1
d 2 2d1
7．如图所示两端固定的阶梯状圆轴，在轴的 B 截面 处作用有集中外力偶矩 m ，材料的许用切应力 为 [ ] 。试确定两段圆轴的直径 d 和 d 。
bs
解： 每个螺钉的挤压力：
F bs Fs n
L
n

TL 2 nR 0
2
挤压面积：
A bs d
挤压应力条件： 螺钉间距： s
L n
bs

Fs 0 A bs
2

TL 2 nd R 0
] bs
2
[ bs ]
2
2 d R 0 [ T
2 3 . 14 20 8 100 30 10
6
160

32 3 . 14 16 30
53 . 6 mm
故螺钉间距应取：
s 39 . 4 mm
6．如图所示两端固定的圆轴，在轴的 B , C 截面处作用有 相同的集中外力偶矩 m 3 kN m ，已知 [ ] 72 MPa ， G 50 GPa L 300 mm。（1）试确定圆轴的直径。（2）根 ， 据所选定的圆轴直径，计算 AB 以及 AC 截面间的相对扭转 角度。 解： 结构是对称结构，则中 间截面上的扭矩为零。
2 I p1 I p2 m1 W p1
m1a GI
m2 2k
4 4

2m2a GI
p2
p1
m1
m1 2 k m 2
4
k
d1 d2
m1
2k
4
4
2k 1
m
m2
1 2k 1
4
m
1 max

2 k 1 W p1

m
[ ]
当两段轴的最大切应力均达到屈 服切应力时，轴的直径最合理。
材料力学习题解答4
轴的扭转
1． 如图所示实心圆轴的直径为 D 60 mm ，受外力偶矩m 1 kN m 作用，试求：（1）圆轴横截面上的最大切应力。（2）圆轴横 截面上直径 d 30 mm 的圆形部分所承担的扭矩占全部横截面上 扭矩的百分比是多少？ 解：
max
T Wp 16 m
1
2
解：
1 max

m1 W p1

2k
4
4
2 k 1 W p1

m
[ ]
2 max
m2 W p2

1
4
2k 1 W p2
1 2

m
[ ]
d 2 2d1
k
W p2
d 2
16
3

1
4
2 k 1 [ ]

m
d2
16
3 4
2 k 1 [ ]
4
2 4
D (1 )

192 (1 ) ma
4 4
E D (1 )
(
d D
)
3． 同种材料制成的长度相同的实心和空心圆轴其重量相 等，在简单扭转情况下，证明：当两轴作用的扭矩相同时， 1 则两轴中的最大切应力之比为 。其中
2 max 1

max 2
max
m Wp

A B
C

16 m
d
3
[ ]
d
16 m
3
[ ]
mL GI
p
3
16 3 10 3 . 14 72

6
59 . 7 mm
6
d 60 mm
32 5 3 . 14 4 36
AB

32 mL G d
4
32 3 10 300 50 10 3 . 14 60
0
解： (1) 切应力沿壁厚均匀分布 几何关系不变，为：
G Gr
d dx GR 0
p
r
d dx
d d x
R0


物理关系：
T
G

A
R 0 ( d s ) R 0
T 2 R 0
3

A
GR 0
d dx
R 0 d GR 0
3
d dx
D
3
d
23 . 6 MPa 3 3 . 14 60 d 30 max 23 . 6 11 . 8 MPa D 60
1 d 2 1 30 2 d) d 11 . 8 30 2 2 3 2 2 3
d

16 1 10
6
max
Td (
2
2

2
2 m A
2

(1 )
2

f ( )
2
( dR 0 ) [ ] 2T

( 3 . 14 20 100 ) 60 2 30 10
2
6
( 3 . 14 2 ) 39 . 4 mm
5． 如图所示，由厚度 8 mm 的钢板卷制成的圆 筒，平均直径 D 200 mm ，接缝处用两排铆钉铆接， d 20 ，许用切应力为 mm [ ] 60，许用 MPa 铆钉直径 [ ] 160 MPa 挤压应力为 ，圆筒受简单扭转作用，外 m 30 kN m 力偶矩 ，试求铆钉的间距。
2 2
2
D' D
2

1
2
max max
1 2

W p2 W p1

D'
3
3 4
D (1 )

(1 ) 1
2
(1 )
4

1 1
2
2
4． 薄壁圆筒某横截面上的扭矩为 T ，该截面壁厚中线的半 径为 R ，壁厚为 。采用下述两种方法推导横截面上的切应 力公式：（1）由于圆筒壁厚 很小，可近似认为横截面上 的切应力沿壁厚是均匀分布的。（2）利用圆轴扭转的切应 Tr 力公式 I ，在壁厚 很小的条件下进行简化处理。

m

16
3
(1 / 8 ) 1 [ ]

m
d 2 23
16 m 9 [ ]
d1
16 m
3
9 [ ]
8．如图所示两端固定的状圆轴，其抗扭刚 度 GI 为常数，试求固定端的支反力偶矩。
p
(1) 解：结构是反对称结构。则中间截面 的转角为零，考虑一半结构。
AO 0
AO
ma GI
p
mA
(a) (b)
mB

m1 (a a / 2 ) GI
1 3
p
0
m1
2 3
m
mA mB
m
8．如图所示两端固定的状圆轴，其抗扭刚 度 GI 为常数，试求固定端的支反力偶矩。
p
(2) 解：结构是对称结构。则中间截面上 的扭矩为零，考虑一半结构。
mA
mB
mA mB
3
( F R)a
w st w Al
( Ra ) L G St I p
3
R
Ra
a
3 E St I
R
(F R)L 3 E Al I
R (4a )
3

( F R ) aL G Al I p
4 Ra
3
a
G st

E St 2 (1 St )
3
G Al

E Al 2 (1 Al )
max

T 2 min

1 2
80 ( 80
6
3 2
) 2771 . 3 mm
2
max

TL GI
t
m 2

0 . 5 10
2 2771 . 3 6
15 MPa 4
2
It
4
2

6
ds


4 2771 . 3 6
2
3a
3
qa 2
9． 如图所示结构，左右两杆的直径相等，左杆为钢杆， 泊松比为0.3;右杆为铝杆,泊松比为0.33 ，两杆材料的剪切 弹性模量之比为3 /1，L=4a。如不考虑两杆端部曲臂部分 的变形，则载荷F将以怎样的比例分配到左右两杆？ 解： 结构是一次超静定问题。