九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
1. 求tanA的值。 2. 求AB的长。
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
① ① ② ③ ④ 互余； sin α= cos （90°- α） cosα = sin （90°-α） 平方： sin 2α+ cos 2α=1 sin α 相除： tan α= —— cos α 倒数： tan α· tan （90-α）=1 文字叙述及证明上述关系。
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦, B 记作cosA,即 A的邻边 cosA=
A的斜边
斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
锐角A的正弦,余弦,正切和都 是做∠A的三角函数.
A
三．正弦和余弦的概念（Rt△中任一锐角α）
1. 2. 3. 4. 正切：α的正切tan α= ———— 正弦：α的正弦sin α= ———— 余弦：α的余弦cos α= ———— 注意：
【例1】
1. △ABCBiblioteka ，∠C=90°，AB=6，BC=2求 tanA的值。 2. △ABC中，∠C=90° tanA= √3，BC=3，求 另外两边的长。
二．坡角与坡度
1. 2. 坡角：一个坡，我们把坡面与水平面所成的 角叫做坡角，通常用α表示——两面的夹角 坡度：一个斜坡的坡角一旦确定，其坡高与 对应坡宽的比值是一个确定不变的值。我们 把这个比值叫做这个斜坡的坡度。用i来表 h 示，即i= tanα= —— （注意： P h l α l P点取不同的位置比值不变！） 坡度越大（ tanα）越大，坡越陡。 总结，理解记忆坡度与正切的关系。 坡度的本质：单位长度坡长坡高升高的米数。
BC=3，sinA=0.6，则AC＝_____. ┐ 2 10 A C 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10， cosA=0.8，那么BC＝______.
4.已知△ABC中，AC=4，BC=3， AB=5，则sinA=______.
3
快速回答二
驶向胜利 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC， 的彼岸
3. 4. 5.
【例2】拦水坝的横断面为梯形ABCD， BC∥AD，斜坡AB 的坡度为1：3，坝顶 宽BC=3米，坝高为4米，斜坡CD=5米，
1. 比较斜坡AB和CD哪个更陡。 2. 计算坝底AD的长。 A
B C D F
E
探索-发现
正弦与余弦
驶向胜利 的彼岸
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA= A的对边
第一章
直角三角形边角关系
九年级（下）
第一单元：梯子的倾斜度与直 角三角形边角关系
探索发现
正切
便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent）。
驶向胜利 的彼岸
在直角三角形中,一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= ， 4 D 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ， A 3 则cosA= ______.
公式应用：正 余互求，正余 互变 切弦互化。余 角三角函数之 间的转化——— ——
2.
【例4】已知α是锐角，且cosα=0.8，求sinα 及tanα的值 。
五．整理小结
一．锐角三角函数的实质是反映了直角三角形中 边与角的关系。 二．角→比值→知一边→求一边。这是以前没法 实现的。
【典例1】△ABC中，∠ACB=90°， 3 CD⊥AB，垂足为D，若tanB= 3 CD=3
【例3】△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c，其中a=5， b=12，求sinA， cosA， tanA及sinB， cosB， tanB的值。对比这些值，你发现了 什么？
快速回答一
驶向胜利 1.在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=2，AB=3， 的彼岸
则sinA＝____， cosB＝____，tanB＝____; sinB＝____；cosB＝____，tanB＝____. B 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， 3 5
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
① ① ② ③ ④ 互余； sin α= cos （90°- α） cosα = sin （90°-α） 平方： sin 2α+ cos 2α=1 sin α 相除： tan α= —— cos α 倒数： tan α· tan （90-α）=1 文字叙述及证明上述关系。
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦, B 记作cosA,即 A的邻边 cosA=
A的斜边
斜边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
锐角A的正弦,余弦,正切和都 是做∠A的三角函数.
A
三．正弦和余弦的概念（Rt△中任一锐角α）
1. 2. 3. 4. 正切：α的正切tan α= ———— 正弦：α的正弦sin α= ———— 余弦：α的余弦cos α= ———— 注意：
【例1】
1. △ABCBiblioteka ，∠C=90°，AB=6，BC=2求 tanA的值。 2. △ABC中，∠C=90° tanA= √3，BC=3，求 另外两边的长。
二．坡角与坡度
1. 2. 坡角：一个坡，我们把坡面与水平面所成的 角叫做坡角，通常用α表示——两面的夹角 坡度：一个斜坡的坡角一旦确定，其坡高与 对应坡宽的比值是一个确定不变的值。我们 把这个比值叫做这个斜坡的坡度。用i来表 h 示，即i= tanα= —— （注意： P h l α l P点取不同的位置比值不变！） 坡度越大（ tanα）越大，坡越陡。 总结，理解记忆坡度与正切的关系。 坡度的本质：单位长度坡长坡高升高的米数。
BC=3，sinA=0.6，则AC＝_____. ┐ 2 10 A C 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10， cosA=0.8，那么BC＝______.
4.已知△ABC中，AC=4，BC=3， AB=5，则sinA=______.
3
快速回答二
驶向胜利 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC， 的彼岸
3. 4. 5.
【例2】拦水坝的横断面为梯形ABCD， BC∥AD，斜坡AB 的坡度为1：3，坝顶 宽BC=3米，坝高为4米，斜坡CD=5米，
1. 比较斜坡AB和CD哪个更陡。 2. 计算坝底AD的长。 A
B C D F
E
探索-发现
正弦与余弦
驶向胜利 的彼岸
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA= A的对边
第一章
直角三角形边角关系
九年级（下）
第一单元：梯子的倾斜度与直 角三角形边角关系
探索发现
正切
便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent）。
驶向胜利 的彼岸
在直角三角形中,一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= ， 4 D 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ， A 3 则cosA= ______.
公式应用：正 余互求，正余 互变 切弦互化。余 角三角函数之 间的转化——— ——
2.
【例4】已知α是锐角，且cosα=0.8，求sinα 及tanα的值 。
五．整理小结
一．锐角三角函数的实质是反映了直角三角形中 边与角的关系。 二．角→比值→知一边→求一边。这是以前没法 实现的。
【典例1】△ABC中，∠ACB=90°， 3 CD⊥AB，垂足为D，若tanB= 3 CD=3
【例3】△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c，其中a=5， b=12，求sinA， cosA， tanA及sinB， cosB， tanB的值。对比这些值，你发现了 什么？
快速回答一
驶向胜利 1.在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=2，AB=3， 的彼岸
则sinA＝____， cosB＝____，tanB＝____; sinB＝____；cosB＝____，tanB＝____. B 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， 3 5
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2021年北师大版九年级数学下册第一章《 直角三角形的边角关系》公开课课件
直角三角形的 边角关系（复习）
1.能准确说出正弦、余弦、正 切的定义。
2.会计算含30˚、45˚、60˚角的 三角函数值问题。
3.会熟练运用三角函数解决与直 角三角形有关的实际问题。
知 识回 顾
2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系? 直角三角形的两个锐角互余。 即:∠A+∠B=90°
（2014昭通中考）如图，A、B、 C三点在正方形网格线的交点处。
A.1 B.1
3
2
C . 1 D .1 4
（2014南宁）如图，一渔船由西往东 航行，在A点测得海岛C位于北偏东60° 的方向，前进20海里到达B点，此时， 测得海岛C位于北偏东30°的方向， 则海岛C到航线AB的距离CD等于
__1_0____3__ 海里．
(201济 4 宁）如图 ABC中， A30,B45,AC2 3
A．6 C．8
B．7.5 D． 12.5
(2014德州中考)如图是拦水坝 的横断面，斜坡AB的水平宽度 为12米，斜面坡度为1：2，
则斜坡AB的长为（ B ）
（2014济南中考）如图，在8×4 的矩形网格中，每个小正方形的边 长都是1，若△ABC的三个顶点在图 中相应的格点上，则tan∠ACB的 值为( A )
a
┌
A
bC
sinA= cosB
tan A a b
tan B b a
tanA sinA cosA
算一算
你能求出下列图形中∠A的三个三角函数吗?
讨论
B 5cm
C
13cm A
做一做
2
B
1
30°
A
C
3
1
sin30°=
2
cos30°= 3 2
1.能准确说出正弦、余弦、正 切的定义。
2.会计算含30˚、45˚、60˚角的 三角函数值问题。
3.会熟练运用三角函数解决与直 角三角形有关的实际问题。
知 识回 顾
2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系? 直角三角形的两个锐角互余。 即:∠A+∠B=90°
（2014昭通中考）如图，A、B、 C三点在正方形网格线的交点处。
A.1 B.1
3
2
C . 1 D .1 4
（2014南宁）如图，一渔船由西往东 航行，在A点测得海岛C位于北偏东60° 的方向，前进20海里到达B点，此时， 测得海岛C位于北偏东30°的方向， 则海岛C到航线AB的距离CD等于
__1_0____3__ 海里．
(201济 4 宁）如图 ABC中， A30,B45,AC2 3
A．6 C．8
B．7.5 D． 12.5
(2014德州中考)如图是拦水坝 的横断面，斜坡AB的水平宽度 为12米，斜面坡度为1：2，
则斜坡AB的长为（ B ）
（2014济南中考）如图，在8×4 的矩形网格中，每个小正方形的边 长都是1，若△ABC的三个顶点在图 中相应的格点上，则tan∠ACB的 值为( A )
a
┌
A
bC
sinA= cosB
tan A a b
tan B b a
tanA sinA cosA
算一算
你能求出下列图形中∠A的三个三角函数吗?
讨论
B 5cm
C
13cm A
做一做
2
B
1
30°
A
C
3
1
sin30°=
2
cos30°= 3 2
九年级下册第一章直角三角形的边角关系(单元小结)同步课件
三角函数
角度
sinα
cosα
tanα
2
30°
45°
60°
1
1
知识专题
当α越大时，sinα越大，tanα越大，cosα反而越小。
若∠A+∠B=90°时，
sinA=cosB
sinA与cosB的关系是_______________，
tanA·tanB=1
tanA与tanB的关系是_______________。
考点专练
【要点指点】 借助图形的性质, 把具体问题中
的相关边和角转化到 直角三角形中, 为在直角
三角形中运用三角函数的相关知识解决问题创
造条件.
作业布置
1、教材“复习题”中第5、6、9、12题.
2、完成练习册中本课时的练习.
上的广告屏幕, 测得屏幕下端D处的仰角为30° , 然后他正对大楼方向前
进5 m到达B处, 又测得该屏幕上端C处的 仰角为45° , 广告屏幕的上端
与楼房的顶端平齐. 若该楼高26.65 m, 小杨的眼睛距离
地面1.65 m, 求广告屏幕上端与下端
之间的距离. (结果精确到0.1 m,
考点专练
考点专练
知识专题
•
由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A
1
2
∠A= 30
cos A
1
2
∠A=
tan A
3
3
∠A= 30
3
sin A
2
2
60 cos A
2
tan A 3
∠A= 60 sin A 2 ∠A= 45
2
角度
sinα
cosα
tanα
2
30°
45°
60°
1
1
知识专题
当α越大时，sinα越大，tanα越大，cosα反而越小。
若∠A+∠B=90°时，
sinA=cosB
sinA与cosB的关系是_______________，
tanA·tanB=1
tanA与tanB的关系是_______________。
考点专练
【要点指点】 借助图形的性质, 把具体问题中
的相关边和角转化到 直角三角形中, 为在直角
三角形中运用三角函数的相关知识解决问题创
造条件.
作业布置
1、教材“复习题”中第5、6、9、12题.
2、完成练习册中本课时的练习.
上的广告屏幕, 测得屏幕下端D处的仰角为30° , 然后他正对大楼方向前
进5 m到达B处, 又测得该屏幕上端C处的 仰角为45° , 广告屏幕的上端
与楼房的顶端平齐. 若该楼高26.65 m, 小杨的眼睛距离
地面1.65 m, 求广告屏幕上端与下端
之间的距离. (结果精确到0.1 m,
考点专练
考点专练
知识专题
•
由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A
1
2
∠A= 30
cos A
1
2
∠A=
tan A
3
3
∠A= 30
3
sin A
2
2
60 cos A
2
tan A 3
∠A= 60 sin A 2 ∠A= 45
2
九年级(下册)直角三角形的边角关系 复习课件
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
能求出其他的元素?
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
《解直角三角形》直角三角形的边角关系PPT-北师大版九年级数学下册
知2－讲
例5 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分 别为a, b, c, 且c＝100, ∠A＝26°44′．求这个三角形 的其他元素.(长度精确到0．01)
导引: 已知∠A, 可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小.而
解: 已知斜边, 必然要用到正弦或余弦函数.
∵∠A＝26°44′, ∠C＝90°,
例6 如图,
在△ABC中,
AB＝1,
AC＝
2，sin
B＝
2 4
，
求BC的长.
导引:要求的BC边不在直角
三角形中, 已知条件中
有∠B的正弦值, 作BC边上的高,
将∠B置于直角三角形 中, 利用解直角三角形就可
解决问题.
知3－讲
解: 如图, 过点A作AD⊥BC于点D．
2，
∵AB＝1, sin B＝ 4 2
2.
4
4
∴AD＝AB·sin B＝1×
AB2 AD2
＝
12
2 2 4
14 ,
4
∴BD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
CD＝ CD BD
30 4
14 4
30 14 .
4（来自《点拨》）
总结
知3－讲
通过作垂线(高), 将斜三角形分割成两个直角三角 形, 然后利用解直角三角形来解决边或角的问题, 这 种 “化斜为直”的思想很常见.在作垂线时, 要结合已知 条件, 充分利用已知条件, 如本题若过（B来点自作《A点C拨的》垂） 线,
（角度精确到1° )：
(1) 已知 a = 4， b =8；
解: 在Rt△ABC中, 由勾股定理得c＝ 42 82
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数1.1.1锐角三角函数1课件
D.不能确定
┌ C
3.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA = tanB;
A
(2)若tanA=tanB,则∠A
= ∠B.
预习反馈
4.在下图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值.
tan A tan BCD
BD 6 1 . DC 12 2
C
A
┌ D B
课堂探究
实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
北师大版版九年级下册数学;;
情境导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
本节目标
1.经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程； 2.理解正切三角函数的意义和与现实生活的联系. 3.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、 坡度等，能够用正切进行简单的计算.
预习反馈;;
课堂探究
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 比值大的梯子陡。
梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时， 梯子就一样陡。
你能设法验证这个结论吗？
4 m 3m 2 m
3m
课堂探究
如图，小明想通过测量 AC1 及 B1C1 ，算 出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小 亮则认为，通过测量 B2 C 2及 AC 2，算出他们 的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小 亮的看法吗？
课堂探究
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什 么关系?
(2)
B2
B1C 1 B 2C 2 和 有什么关系? AC 2 AC 1
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出 什么结论? 由感性到理性
A
C2
九年级数学下同步课件：第一章 直角三角形的边角关系 (3)
栏目索引
(2)求用“度、分、秒”表示的锐角的三角函数值操作流程如下: 按 这三个键之一→度 秒
3 三角函数的计算
栏目索引
温馨提示 (1)不同的计算器的按键方式可能不同,要利用自己所使用 的计算器探索出计算三角函数值的具体操作方法,大体分两种情况:先 按三角函数键,再按数字键或先按数字键,再按三角函数键; (2)用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位,教材规定:若无特别 说明,计算结果一般精确到万分位; (3)当角度用“度、分、秒”表示时,可以先把它化成以“度”为单位 后再求值;当角度以“度”为单位时,也可以先将它化为“度、分、 秒”的形式后,再求值.
图1-3-1 答案 2.6 m 解析 如图,过点C作CE⊥AB于点E,则EC=BD=10 m. 由题意可知∠ACE=65°, 在Rt△AEC中,AE=EC· tan 65°≈21.45(m), 故CD=EB=AB-AE≈2.6(m).
3 三角函数的计算
栏目索引
1.动物园中,猴山上有一段坡路,每前进100 m,路面就上升4 m,则猴山上 的这段坡路的坡角约为 解析
栏目索引
易错点 对仰角、俯角的概念理解不透彻 例 如图1-3-6所示,直升机在跨河大桥AB的上方点P处,此时飞机离地
面的高度为a m,A,B,O三点在同一条直线上,从点P测得点A的俯角为α, 点B的俯角为β,求大桥AB的长.
图1-3-6
3 三角函数的计算
栏目索引
错解
OA 在Rt△AOP中,tan∠APO= ,∠APO=∠α, OP OB OP
在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900,
BF 900 ∴DF= = =300 3 , tan BDF tan 60
AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300 3 -900=19 000+300 3 . 故两海岛间的距离AB是(19 000+300 3 )米.
北师大版九年级下册数学《30°、45°、60°角的三角函数值》直角三角形的边角关系说课教学课件复习
2
45°
2
2
60°
3
2
cosα tanα
3
3
2
3
2
1
2
1 2
3
想一想:
如果已知某一锐角的某种三 角函数值,你能求出这一锐 角吗?比如tanA＝1,锐角A 是多少度?
例题示范
[例1]计算： (1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°.
(3) 2 sin 600 3 cos 450
例题示范 例题2
(1)
3cos 600 5sin 300
1
(2)2sin30°＋cos230°－tan45°.
33 tan2 300 3 sin 600 2 cos2 450.
知识巩固
(1) sin 30 cos2 45
(2)2cos2 45 sin 300 1
知识巩固
3 2 sin 450 sin 600 2 cos 450.
tan30°=
CD CD AD a
则CD=a·tan30° 你能求出30°角的三个三角函数值吗?
探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于
多少度? 300
② sin30°等于多少呢?你是怎样得到
的?与同伴交流.
450
③cos30°等于多少?tan30°呢?
450 ┌ 600 ┌
2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有 两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数 值分别是多少?你是如何得到的?
三角函数
锐角α
正弦sinα
300
1
2
450
2
2
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎 样想的？与同伴进行交流.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
九年级数学北师大版下册课件：期末复习1(直角三角形的边角关系)(共43张PPT)
A．12.6 米 C．14.7 米
B．13.1 米 D.16.3 米
【解析】如图延长 AB 交 ED 的延长线于点 M，作 CJ⊥DM
于点 J，则四边形 BMJC 是矩形．在 Rt△CJD 中，DCJJ＝0.175 ＝43，设 CJ＝4k，DJ＝3k，则有 9k2＋16k2＝4，∴k＝25， ∴BM＝CJ＝85，BC＝MJ＝1，DJ＝65，EM＝MJ＋DJ＋ DE＝456，在 Rt△AEM 中，tan∠AEM＝AEMM，∴1.6＝ AB4＋6 85，解得 A
期末复习1(直角三角形的边角关系)
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
因为 sinA＝（（
BC AB
）
（ AC
），cosA＝（ AB
）），
（ tanA＝ （
BC AC
） ） ，所以 tanA＝（
sinA cosA
）.
2. 在 Rt△ABC 中，∠A＋∠B＝90°，则 sinA＝cosB, cosA＝ sinB ．
(1)求坡高 CD； (2)求斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离(精确到 0.1 米)．
【分析】利用三角函数求解，在解题中先要确定已 知量与未知量都在哪一个直角三角形中，它们构成怎样 的三角函数关系．
【 解 答 】 CD ＝ BC·sin12 ° ≈ 2.079( 米 ) ， BD ＝ BC·cos12°≈9.781(米)，AD＝taCn5D°≈23.764(米)， AB＝14.0(米)．
【例 3】海中有一个小岛 P，它的周围 18 海里内有 暗礁，渔船由西向东航行，在点 A 测得小岛 P 在北偏东 64°方向上，航行 12 海里到达 B 点，这时测得小岛 P
恰好在北偏东 45°方向上．如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？请说明理由．