平面向量的数乘和运算律
7.1.4平面向量的数乘
3a与a的方向相反 3a 3 a
一、向量的数乘运算的定义：
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下： （1） a a ; （2） 当 0, a与a 的方向相同；当 0, a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
因为O分别为AC，BD的中点，所以 1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 1 1 1 1 OD BD （b − a）＝ a＋ b， 2 2 2 2
AO、 OD 可以用向量a，b线性表示．
运用知识
强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
例1：计算下列各式
(1)(3) 4a (2)3(a b ) 2(a b ) a
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
ad????b试用ab表示向量解ac????abbd????b?a因为o分别为acbd的中点所以1122????????aoac1212abab1122????????odbd12?12b?aab1212ab和12?12ab都叫做向量ab的线性组合或者说aood????????可以用向量ab线性表示
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
向量的数乘
一、①λ
a 的定义及运算律 b=λa 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0)
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
平面向量的所有公式归纳总结
平面向量的所有公式归纳总结平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.ab+bc=ac.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).如果a、b就是互为恰好相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0ab-ac=cb.即“共同起点,指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').1、定义：已知两个非零向量a,b.作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量内积(内积、点内积)就是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'.3、向量的数量内积的运算律ab=ba(交换律);(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律);4、向量的数量内积的性质aa=|a|的平方.a⊥b〈=〉ab=0.|ab|≤|a||b|.5、向量的数量内积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2.（2）向量的数量积不满足用户解出律,即为：由ab=ac(a≠0),推不出b=c.（3）|ab|≠|a||b|（4）由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任一.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.备注：按定义言,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,则表示向量a的存有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上弯曲为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足用户下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘坐向量的解出律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b 和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量内积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量内积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.备注：向量没乘法,“向量ab/向量cd”就是没意义的.1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b逆向时,左边挑等号;②当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.①当且仅当a、b同向时,左边取等号;②当且仅当a、b逆向时,右边挑等号.定比分点公式(向量p1p=λ向量pp2)设p1、p2就是直线上的两点,p就是l上不同于p1、p2的任一一点.则存有一个实数λ,并使向量p1p=λ向量pp2,λ叫作点p棕斑向线段p1p2阿芒塔的比.若p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x,y),则有op=(op1+λop2)(1+λ);(的定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(的定比分点座标公式)我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式1、三点共线定理若oc=λoa+μob,且λ+μ=1,则a、b、c三点共线2、三角形战略重点推论式在△abc中,若ga+gb+gc=o,则g为△abc的重心3、向量共线的关键条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的关键条件就是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量横向的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0.a⊥b的充要条件就是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
新人教版高中数学必修2课件：6.2.3 向量的数乘运算
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
第六章
6.2.3 向量的数乘运算
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意
义.(数学抽象、直观想象)
2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)
3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向
量.(数学运算、直观想象)
2
1 3
7
2 5 11
5 11
③原式=3 4-3 + 3 - 2 + 4 = 3 (2a-12b)=3a-18b.
(2)由 x-4y=2b,可得 x=4y+2b,代入 2x+3y=a,可得 2(4y+2b)+3y=a,
1 4
于是 8y+4b+3y=a,解得 y=11a-11b,
4
6
再代入 x=4y+2b 中可得 x=11a+11b.
2
1 1
③3 (4-3) + 3 - 4 (6-7) .
(2)已知 2x+3y=a,x-4y=2b,试用 a,b 表示 x,y.
分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解
法求解.
解 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
探究三
向量共线问题
例 3(1)已知非零向量 e1,e2 不共线,如果 =e1+2e2, =-5e1+6e2, =7e1-2e2,
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
向量的运算律及其应用
向量的运算律及其应用向量是数学中常用的一种表示方式，它具有大小和方向的特性。
在实际问题中，向量的运算律是解决向量相关问题的重要工具。
本文将介绍向量的基本运算律，并探讨它们在实际应用中的具体运用。
一、向量的基本运算律1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的加法运算可以表示为A = A + A。
向量的加法满足以下运算律：- 交换律：A + A = A + A- 结合律：(A + A) + A = A + (A + A)2. 向量的减法向量的减法是指两个向量相减后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的减法运算可以表示为A = A - A。
向量的减法满足以下运算律：- A - A = A + (-A)3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数得到一个新向量的操作。
对于一个向量A和一个实数A来说，它们的数乘运算可以表示为A= AA。
向量的数乘满足以下运算律：- 结合律：A(AA) = (AA)A- 分配律：(A + A)A = AA + AA二、向量运算律的应用1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到一个新向量的操作。
例如，给定向量A、A和A，它们的线性组合可以表示为AA + AA + AA，其中A、A和A为实数系数。
2. 向量的数量积向量的数量积（内积）是指两个向量相乘后得到一个实数的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的数量积可以表示为A·A = |A||A|cosθ，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后得到一个新向量的操作。
对于两个向量A和A来说，它们的向量积可以表示为A×A= |A||A|sinθA，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角，A为垂直于向量A和A所在平面的单位向量。
平面向量基本定理
e1
6e1
3 2
e2
10e2
D.
a
e1
2e2和b
5e1
7e2
例1：已知向量e1,e（2 如图），求作向量-2.5e1 3e2 .
作法: 1.如图，任取一点O ,作OA 2.5e1
, OB 3e2.
2.作 OACB.
则，OC就是所求的向量
C
B
e1
e2
A-2.5e1
3e2
O
例2 : 如图， ABCD的两条对角线相交于点M ,且 AB a，AD b，用a、b表示MA、MB、MC和MD.
注意：找两个向量的 夹角时，这两个向量
的起点必须相同！
你能在等边 ABC中找到 AB与BC、BC与AC的夹角吗1、e2是同一平面内的两个向量，则有D
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R)
D向.若量e1a、都e有2不a共=λ线e1+，ue则2(同λ、一u平∈面R)内的任一
2 - = 0
k – 4 = 0
k= 8.
课堂总结： 平面向量基本定理可以联系物理学中的 力的分解模型来理解，它说明在同一平 面内任一向量都可以表示为不共线向量 的线性组合，该定理是平面向量坐标表 示的基础，其本质是一个向量在其他两
个向量上的分解。
5.已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且 a=λ1e1+λ2e2,则a与e1___不__共, 线a与e2 _______( 填不共共线线或不共线).
拓展： 设 a、b是两个不共线的向量，
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线，
平面向量知识点总结(精华)
平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。
字母表示：用小写字母a、b、c等表示。
2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。
模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。
3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。
零向量的方向是任意的。
4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。
对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。
例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。
5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
若向量a与b平行，记作a。
例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。
6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。
平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。
结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。
向量减法的定义：ab=a+(b)。
其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。
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平面向量的数乘和运算律
一、平面向量的数乘和运算律
1、向量的加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有
$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。
①常用结论
$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol
b|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。
②向量加法的运算律
交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。
结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol
a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。
2、向量的减法
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。
常用结论
$-(-\boldsymbol a)=\boldsymbol a$，$\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=(-
\boldsymbol a)+\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol a-\boldsymbol
b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)$。
3、向量的数乘
一般地，我们规定实数$λ$与向量$\boldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λ\boldsymbol a$。
它的长度与方向规定如下：
① $|λ\boldsymbol a|=|λ||\boldsymbol a|$。
② 当$λ=0$时，$λ\boldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相同。
向量数乘运算的结果仍是向量。
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+\boldsymbol a$，$λ-\boldsymbol a$无意义。
向量数乘的运算律
设$λ$，$μ$为实数，则有：
$λ(μ\boldsymbol a)=(λμ)\boldsymbol a$（结合律）。
$(λ+μ)\boldsymbol a=λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol a$（第一分配律）。
$λ(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a+λ\boldsymbol b$（第二分配律）。
特别地，我们有：
$(-λ)\boldsymbol a=-(λ\boldsymbol a)=λ(-\boldsymbol a)$。
$λ(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a-λ\boldsymbol b$。
4、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1\boldsymbol
a±μ_2\bo ldsymbol b)=$$λμ_1\boldsymbol a±λμ_2\boldsymbol b$。
二、平面向量的数乘的相关例题
已知$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$均为单位向量，若$|\boldsymbol a-
2\boldsymbol b|=\sqrt{3}$，则向量$|\boldsymbol a|$与$|\boldsymbol b|$的夹角为___
A．$\frac{π}{6}$ B．$\frac{π}{3}$ C．$\frac{2π}{3}$ D．$\frac{5π}{6}$
答案：B
解析：由$|\boldsymbol a-2\boldsymbol b|=\sqrt{3}$得$(\boldsymbol a-
2\boldsymbol b)^2=3$，即$\boldsymbol a^2+$$4b^2-$$4\boldsymbol a·\boldsymbol
b=$3，设单位向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为$θ$，则有1+4-4$\cos
θ$=3，解得$\cos θ=\frac{1}{2}$，又$θ∈[0,π]$，所以$θ=\frac{π}{3}$，故选B。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。