人教版七年级数学下册 8-3 实际问题与二元一次方程组(第三课时) 教案

8.3 实际问题与二元一次方程组(第三课时)
教学反思教学目标
1.会用列表法分析应用题中的数量关系，列出相应的二元一次方程组解决较
复杂的实际问题，并进一步提高解方程组的技能.
2.通过探究3的学习，使学生学会从图表中获取信息的方法，进一步感受间
接设未知数解决问题的解题策略.
3.在解决问题的过程中，体会方程组是解决实际问题的重要模型，发展学生
的数学建模能力.
教学重难点
重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系，列二元一次方程组.
难点：从图表中获取有用信息，借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.
课前准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
教师：前面我们利用二元一次方程组解决了许多实际问题，这些问题的条
件是用文字语言给出的.还有些问题，条件由文字、图表共同给出，这就需要我
们能读懂图表.今天，我们继续研究实际问题与二元一次方程组(板书课题).
设计意图
教师通过讲解，导入新课.
探究新知
探究点：列二元一次方程组解决实际问题
教师：我们来看下面这个问题：
为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，
即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费.第一档为用电量在180千瓦时(含
180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450
千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时
的部分，执行市场调节价格.该市一名同学家今年2月份用电330千瓦时，电费
为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元.已知该市的一位居民今年4，
5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，
计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元？
教师：本题信息量比较多，为更好地理解各个量之间的关系，请根据已知
5月 180 230
学生回答，如有不足，其他同学补充.
教师：分析表格中的未知量，找出相等关系，求出4，5月份的电价总费用. 学生小组交流讨论，教师引导，学生上台板演，教师规范解答过程： 解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时. 根据题意，得 {180x +150y ＝213，180x +60y ＝150，解得 {x ＝0.6，
y ＝0.7.
所以4月份的电费为160×0.6＝96(元)；5月份的电费为180×0.6+230×0.7
＝108+161＝269(元).
答：这位居民4，5月份的电费分别为96元和269元.
新知应用
教材第100页探究3
如图1所示，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地.已知公路运价为1.5元/(t ·km)，铁路运价为1.2元/(t ·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
图1 教师：探究3最终要解决的问题是什么?
学生：产品的销售款-(原料费+运输费)＝?
教师：销售款、原料费、运输费各是多少？
学生：根据题目条件，销售款、原料费都不能直接求出，运输费＝(15 000+97
200)元.
教师：产品的销售款、原料费、运输费与哪些量有关?是什么关系?
学生回答，如有不足，其他同学补充，最终得出结论：销售款＝产品数量×产品单价，原料费＝原料数量×原料单价，运输费＝路程×运价×货物质量. 教师：销售款与产品数量、销售单价有关，原料费与原料数量、原料单价
有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此需要先求出产品数量和原料数量.设制成x t 产品，购买y t 原料，填写下表并分析数量关系：
产品x t
原料y t 合计
公路运费(元) 1.5×20x 1.5×10y 1.5×(20x+10y) 铁路运费(元) 1.2×110x
1.2×120y 1.2×(110x+120y) 价值(元) 8 000x
1 000y
学生独立完成，小组交流合作并展示交流成果，得到如上表中的关系. 教师：由上表你能否利用相等关系，列出方程组，求得未知数的值？学生
回答，如有不足，其他同学补充，最终得出结论：
铁路运费＝1.2×(110x+120y)＝97 200， 公路运费＝1.5×(20x+10y)＝15 000.
教师总结：求出x ，y 的值以后，原料款1 000y ，销售款8 000x 可求，于是问题获解.
学生独立解答，写出规范的解答过程，一名同学板演，教师巡视时，及时为学习有困难的同学提供帮助，最终得到如下解答过程：
解：设制成x t 产品，购买y t 原料.
根据题意，得 {1.5×(20x +10y )＝15 000，
1.2×(110x +120y )＝97 200，
解得 {x ＝300，
y ＝400.
故制成300 t 产品，购买400 t 原料.
所以销售款-原料费-运输费＝8 000×300-1 000×400-15 000-97 200＝1 887 800(元).
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元. 总结与反思
教师：通过探究3的解决，你学到了哪些方法?在以后的学习中需要注意些什么?
师生活动
引导学生积极回答，畅所欲言，教师给予积极地鼓励. 设计意图
由于探究3题目较长，数量关系比较多且不易理清，所以先通过几个问题引导学生准确把握题意，找出题目中的相等关系，为列方程组解决问题扫清障碍，在师生讨论交流之后，让学生写出规范的解答过程，一方面进一步熟悉分析问题的方法及题目中的数量关系，另一方面训练规范的解答格式及提高运算的速度、准确度.
课堂练习
(见导学案“当堂达标”)
参考答案
1.A
2.A
3.5
4.4 cm ，5 cm
5.解：(1)三
(2)设A ，B 两种商品的标价分别为x 元，y 元. 根据题意，得 {6x +5y ＝1 140，3x +7y ＝1 110，解得 {x ＝90，
y ＝120.
答：A ，B 两种商品的标价分别为90元，120元.
(3)设A ，B 两种商品均打a 折出售. 根据题意，得(9×90+8×120)×a
10＝1 062， 解得a ＝6.
答：商店是打6折出售这两种商品的. (见导学案“课后提升”)
参考答案
1.解： 方案一：只对蔬菜进行粗加工，易知15天内能全部加工完，获利为4 500×140＝630 000(元)；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，即精加工的数量为6×15＝90(吨). 获利为7 500×90+1 000×(140-90)＝725 000(元)；
方案三：设将x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.
根据题意，得 {x +y ＝140，x 6
+y 16
＝15， 解得 {x ＝60，
y ＝80.
所以获利为7 500×60+4 500×80＝810 000(元).
因为630 000<725 000< 810 000， 所以方案三获利最多.
2.解：(1)设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨，y 吨.
根据题意，得 {2x +y ＝10，x +2y ＝11，解得 {x ＝3，
y ＝4.
答：1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨.
(2)根据题意可得3a+4b ＝31，使a ，b 都为正整数的情况共有a ＝1，b ＝7或a ＝5，b ＝4或a ＝9，b ＝1三种，故租车方案分别为①A 型车1辆，B 型车7辆；②A 型车5辆，B 型车4辆；③A 型车9辆，B 型车1辆.
(3)方案①花费为100×1+120×7＝940(元)； 方案②花费为100×5+120×4＝980(元)； 方案③花费为100×9+120×1＝1 020(元).
故租用A 型车1辆，B 型车7辆最省钱，最少租车费用为940元.
课堂小结
1.本节主要学习从图表中获取信息及利用列表法分析数量关系，进而利用二元一次方程组解决实际问题.
2.主要用到的思想方法是方程思想：将实际问题转化成二元一次方程组解决.
3.注意的问题：
(1)读懂图表的含义，从中获取有用信息.
(2)根据题目特点确定直接设未知数或间接设未知数.
(3)解方程组时要选择适当的方法，运算速度要快，准确度要高.
布置作业
教材第102页习题8.3第7，8，9题. 设计意图
及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节.
板书设计。