一元二次方程的重难点及题型
一元二次方程的重难点及题型
【重难点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【思路点拨】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【题型】①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；
③x+3＝1/x属于分式方程，故错误；
⑤√x+1＝x﹣1属于无理方程，故错误；
故选：B
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
【重难点2 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0
【题型】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，得
m²﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念
【重难点3 用指定方法解一元二次方程】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤
【思路点拨】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【重难点4 一元二次方程根的判别式】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．
【题型】（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，
解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；
（2）由题意知a＝3，
则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac的关系是解答此题的关键．
【重难点5 一元二次方程根与系数的关系】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.
【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂。
（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可。
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法。
【重难点6 有关一元二次方程传播问题】
【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。
根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。
根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。
检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【例6】今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数。
【思路点拨】设每轮传染的人数是x人，根据有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，列方程求解即可。
【题型】设每轮传染的人数是x人，根据题意得：
4x+4+（4x+4）x＝196，
解得：x＝6或x＝﹣8（不合题意，舍去）。
答：每轮传染的人数是6个人。
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。
【重难点7 有关一元二次方程面积问题】
【思路点拨】（1）用（总长+2个2米的门的宽度）﹣3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【题型】（1）由题意得：（48﹣3x）米。
故题型是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x₁＝6，x₂＝10
【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
【重难点8 有关一元二次方程增长率问题】
【例8】“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点
区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林．2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率。
【思路点拨】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）列出方程。
【题型】设2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为x，
根据题意得23（1+x）²＝38.87，
解得x₁＝0.3＝30%，x₂＝﹣2.3（不合题意，舍去）。
答：2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为30%。
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题，若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²，即原数×（1+增长百分率）²＝后来数。
【重难点9 有关一元二次方程利润问题】
【例9】某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件(x>10)
（1）若x=15，则售价应是元/件；
（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；
【重难点10 有关一元二次方程动点问题】
【例10】如图，在Rt△ABC中∠C=90º，AC=30cm，BC=21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？。
一元二次方程重难点题
解一元二次方程重难点题1、已知m ，n 是方程x 2-2x-1=0的两个根，是否存在实数a 使(7m 2-14m+a)(3n 2-6n-7)的值等于8？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。
2、若（a 2+b 2-3）2=25，则a 2+b 2=3、若x 2-3x+1=0，求221x x的值。
4、关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x 1=-2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0的解是5、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为6、等腰三角形的底和腰满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的周长为7、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x 2-6x+q=2可以配方成下列的（ ）A 、(x-p)2=9B 、(x-p+2)2=9C 、(x-p)2=5D 、(x-p+2)2=58、已知点（5-k 2，2k+3）在第四象限的角平分线上，则k=9、若a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，你能判断这个三角形的形状吗？10、若a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且满足a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，你能判断这个三角形的形状吗？11、若(x-y)2-2(x-y)+1=0，则y 与x 的函数关系式为12、已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m+1)x+m 2-2m-3=0的两个不相等的实数根中，有一个根是0，试求m 的值。
13、若a 是一元二次方程x 2+x-1=0的根，则a 3+2a 2-7的值为14、若关于x 的方程ax 2+2(a+2)x+a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是15、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值。
16、若方程x 2-3x+3=(x 2+x-2)0成立，则实数x 的值为17、①x 2+8x+k 是一个完全平方式，则k=②x 2+kx+4是一个完全平方式，则k=③x 2-6x+k 2是一个完全平方式，则k=。
一元二次方程(讲义)
教学目标1．了解整式方程和一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学建议教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1．教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2）重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
教学设计示例一元二次方程（1）教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点:重点:1．一元二次方程的有关概念2．会把一元二次方程化成一般形式难点: 一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
一元二次方程定义及其解法(配方法)
一元二次方程定义及其解法(配方法) 一元二次方程的定义及其解法（配方法）一、目标导航1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
二、教学重难点重点：1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
难点：配方法解一元二次方程。
三、走进教材知识点一：一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
举例：x^2+2x-3=0.3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练：下列方程中，是一元二次方程的有。
（填序号）①x=5；②x+y-3=0；③3x^2+2x-5x-3=0；④x(x+5)=x-2x^2；⑤2x^2-5x+8=0；⑥4x^2-2y^2=0.知识点二：配方法解一元二次方程1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成(x+n)^2=p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。
3.配方法具体操作：1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x^2+2x-3=0.2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。
举例：解方程2x^2+2x-3=0.4.(x+n)^2=p（p≥0）的解法：对于方程(x+n)^2=p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即x+n=√p和x+n=-√p，解两个一元一次方程即可。
专题1.1一元二次方程的定义及解(3个考点七大题型)(原卷版)
专题1.1 一元二次方程的定义及解（3个考点七大题型）【题型1 一元二次方程的判断】【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】【题型3 一元二次方程的一般形式】【题型4 由一元二次方程的解求字母的值】【题型5 由一元二次方程的解求代数式的值（常规型）】【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值（整体法）】【题型7 已知一元二次方程的跟求另一方程的根】1．（2023春•南岗区校级期中）下列方程，是一元二次方程（其中x，y是未知数）的个数是（）①x2+1＝0，②2x2﹣3xy＝﹣1，③，④ax2﹣x+2＝0A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）C．（x+1）（x﹣2）＝x2D．3x2+1＝03．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝04．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c＝0C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4D．x2﹣3x+2＝0【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】5．（2023春•青田县月考）若方程x m+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣16．（2023春•定远县校级月考）已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．以上选项都不对7．（2023春•攸县月考）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是（）A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝±1D．m＝2 8．（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（）A．m≠0B．m≠﹣2C．m≠2D．m＝2 9．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2 且a≠2B．a≥0 且a≠2C．a≥2D．a≠2 10．（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）x b﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（）A．a≠0，b＝4B．a≠0，b＝2C．a≠﹣3，b＝4D．a≠3，b＝4【题型3 一元二次方程的一般形式】11．（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0B．3x2+5x﹣1＝0C．3x2﹣5x+1＝0D．3x2+5x+1＝012．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c ＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 13．（2022秋•双峰县期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．﹣3x2，1，6B．3x2，1，6C．3，1，6D．3，﹣1，﹣6 14．（2023春•江岸区校级月考）方程x2﹣x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，0B．0，1，0C．0，﹣1，0D．1，﹣1，0 15．（2022秋•甘井子区期末）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．4，8，25B．4，2，﹣25C．4，8，﹣25D．1，2，25 16．（2022秋•达川区期末）一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，1B．3，1，5C．3，﹣5，1D．3，1，﹣5【题型4 由一元二次方程的解求字母的值】17．（2023春•庐阳区校级期中）若关于x的方程x2+3x+c＝0有一个根为﹣1，则c的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 18．（2023•金水区校级三模）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个实数根，则a的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 19．（2023春•鄞州区校级期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（）A．4B．5C．﹣4D．﹣5 20．（2023春•龙湾区期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3 21．（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣3或3【题型5 由一元二次方程的解求代数式的值（常规型）】22．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．2020 23．（2023•官渡区校级模拟）已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a 的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．﹣4或﹣10 24．（2023春•瑶海区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，则2018﹣a﹣b的值是（）A．2022B．2012C．2019D．2023 25．（2022秋•信都区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的一个根，则a﹣2b的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2 26．（2023•衡南县一模）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n的值是（）A．2B．﹣2C．﹣1D．1 27．（2022秋•德惠市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x ＝1，则a+b+c的值是（）A．0B．﹣1C．1D．不能确定28．（2023•芜湖模拟）设a是方程x2+x﹣2023＝0的一个根，则a2+a+1的值为．【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值（整体法）】29．（2023春•乐清市期中）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣6D．﹣430．（2023春•乐清市期中）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣6D．﹣4 31．（2022秋•武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018B．2019C．2020D．2021 32．（2023•南沙区一模）若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046B．﹣4046C．﹣2023D．0 33．（2022秋•雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2017的值为（）A．2022B．2023C．2024D．2025 34．（2023春•沭阳县月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2+4m+2021的值为．【题型7 已知一元二次方程的跟求另一方程的根】35．（2022秋•福州期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方程必有一个根是（）A．x＝﹣2B．x＝2C．D．36．（2023春•瑞安市期中）已知关于x方程x2+bx+c＝0的两个实数根是x1＝2，x2＝﹣3，则方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣2，x2＝﹣1B．x1＝2，x2＝1C．x1＝6，x2＝﹣1D．x1＝6；x2＝137．（2023春•崇左月考）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0B．1，﹣2C．1，﹣1D．无法确定38．（2022秋•仙居县期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是（）A．m+1，﹣m﹣1B．m+1，﹣m+1C．m+1，m+2D．m﹣1，﹣m+139．（2023春•花山区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（）A．2021B．2022C．2023D．2024 40．（2023春•北仑区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2023，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（）A．B．C．2023D．﹣2023 41．（2023春•鹿城区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，则方程x2+bx+a＝0有一个根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C．D．x＝1﹣m 42．（2023春•瓯海区期中）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3．则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0的两根分别为．43．（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为．44．（2023春•花山区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程+bx+2b＝1必有一根为．。
一元二次方程知识点归纳和重难点精析
一元二次方程知识点归纳和重难点精析一、知识点归纳1.一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
2.一元二次方程的解法公式一元二次方程的解法公式为x=[-b ±sqrt(b²-4ac)] / (2a)。
其中，sqrt表示求平方根，x为未知数，a、b、c为方程的系数。
二、重难点精析九年级数学一元二次方程的重难点1.高次项：一元二次方程中，二次项的系数a不能为0.且最高次数为2.这是在解一元二次方程时需要特别注意的难点。
2.整体化简：在求解一元二次方程时，需要将方程进行整体化简，从而得到未知数的值。
这需要学生具备一定的化简和运算能力。
针对重难点的解决方法及相关思考题1.高次项注意事项：在一元二次方程中，要确保二次项的系数不为0.且最高次数不超过2.如有其他高次项，可将其合并或转化为二次项。
2.整体化简技巧：为了更好地求解一元二次方程，学生需要掌握整体化简的方法。
可以通过移项、合并同类项等方式，将方程化简为更易于求解的形式。
思考题：求解一元二次方程x²-6x+9=0时，有哪些方法可以解题?哪种方法更适合处理此类方程?三、扩展知识一元二次方程的历史背景及应用领域一元二次方程作为九年级数学的重要知识点，在实际生活和后续学习中有着广泛的应用。
例如，在解决实际问题时，一元二次方程可用于解决诸如最大化、最小化、平均值等优化问题。
此外，在物理、化学、生物等科学领域中，一元二次方程也常常用于描述现象和解决问题。
相关知识点补充在求解一元二次方程的过程中，可能会涉及到其他数学知识点，如三角函数、平移和缩放等。
这些知识点对于理解一元二次方程的解法和实际应用都有一定的帮助。
例如，三角函数可以用于求解一元二次方程的近似解；平移和缩放可以用于将复杂的一元二次方程转化为简单的形式，从而更容易求解。
因此，学生在学习的过程中需要注意知识点的联系与运用。
专题12公式法解一元二次方程-重难点题型(学生版)
专题2.4 公式法解一元二次方程-重难点题型【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x 2﹣5x ﹣1＝0．【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x 2﹣x ﹣1＝0．【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：34x 2−2x −12=0（公式法）．【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x 2﹣4√3x +2＝0（用公式法解）．【题型2 求根公式的应用】【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0），则b +√b 2−16=（ ） A ．mB ．﹣mC ．2mD ．﹣2m【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42，下列判断一定正确的是（ ） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝﹣1D ．ca =−1【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根， （1）求a 2﹣4a +2013的值； （2）化简求值：√a 2−2a+1a−1−1−2a+a 2a−1．【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，若各项的系数之和为零，即a +b +c ＝0，则有一根为1，另一根为ca ．证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a +b +c ＝0， 知b ＝﹣（a +c ），∵x=−b±√b2−4ac2a=(a+c)±√(a+c)2−4ac2a=(a+c)±(a−c)2a∴x1＝1，x2=c a．（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2 b =1a+1c．【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（2021•河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b ＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【变式4-1】（2021•广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤14且a≠﹣2B．a≤14C．a＜14且a≠﹣2D．a＜14【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根，则m n= ．【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x 的方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值都等于n ，则n ＝ ．【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】（2021•海淀区二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x +3k ﹣3＝0 （1）求证：无论k 取何值，方程都有实根； （2）若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0． （1）若x ＝1是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根； （2）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x 的方程x 2﹣（m +3）x +4m ﹣4＝0的两个实数根． （1）求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝5，另两边b ，c 的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝a 2+b 2﹣2ab ﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x *k ＝xk （k 为实数）是关于x 的方程，则方程的根的情况为（ ）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b={a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜154B．t＞154C．t＜−174D．t＞−174【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数a的值．【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt △ABC和Rt△BED的边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
专题11配方法解一元二次方程-重难点题型(学生版)
专题2.3 配方法解一元二次方程-重难点题型将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y 1=13x 2+8x ﹣1，y 2＝6x +2，当x 取何值时y 1＝y 2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x 2﹣8x +c ＝0配方，得（x ﹣m ）2＝11，则c 和m 的值分别是（ ）A ．c ＝5，m ＝4B ．c ＝10，m ＝6C ．c ＝﹣5，m ＝﹣4D ．c ＝3，m ＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）A ．（x ﹣p ）2＝5B ．（x +p ）2＝5C ．（x ﹣p ）2＝9D ．（x +p ）2＝7 【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x 2﹣8x +m ＝0可以通过配方写成（x ﹣n ）2＝6的形式，那么x 2+8x +m ＝0可以配方成（ ）A ．（x ﹣n +5）2＝1B ．（x +n ）2＝1C ．（x ﹣n +5）2＝11D ．（x +n ）2＝6 【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为（x ﹣4）2＝k ，则k 的值为 ．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ．【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd |，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ．【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B．3√5−3C．3√5−2D．3√5−3 2【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+＝35+，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x 2+10x ﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x 2+10x ﹣39＝0，所以有x （x +10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x +10），宽为x ，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x + ）2＝39+ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x +10），宽都是x 的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x 的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x 2+2x ＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，连接CD ．以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交线段AB 于点E ，连接CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。
专题1一元二次方程重难点题型(举一反三)
专题1 一元二次方程-重难点题型【题型1 判断一元二次方程的个数】【例1】（2020秋•昭阳区期末）下列方程中，一元二次方程共有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2−1x=4；④x2﹣3x＝4；⑤x2−x3+3＝0．A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2−x3+3＝0符合一元二次方程的定义；②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；③x2−1x=4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程共有3个．故选：B．【变式1-1】（2020秋•扬州期末）下列方程中，一元二次方程共有（）个．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③2x+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③2x2+3x﹣5＝0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．综上所述，一元二次方程共有2个．故选：B．【变式1-2】（2021春•仓山区校级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+2x−4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；②x2+2x−4＝0属于分式方程；③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A．【变式1-3】（2020秋•茌平区期末）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0．是一元二次方程个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2+1x+5＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0．只有②是一元二次方程．故选：A．【题型2 利用一元二次方程的概念求字母的值】【例2】（2020秋•昌图县期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是．【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．【变式2-1】（2020秋•铁锋区期末）若关于x的方程（a﹣1）x a2+1−7x+3＝0是一元二次方程，则a＝．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x a2+1−7x+3＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式2-2】（2020秋•扬州期末）已知关于x的方程(a−3)x2+√a−1x=3为一元二次方程，则a的取值范围是【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得a≠3，又∵二次根式√a−1有意义，∴a﹣1≥0，得a≥1，∴a≥1且a≠3．故本题的答案是a≥1且a≠3．【变式2-3】（2020秋•新都区校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足时，方程为一元二次方程，当m满足时，方程为一元一次方程．【解答】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案为：m≠±2；m＝﹣2．【题型3 一元二次方程的一般形式】【例3】（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是；其中二次项系数是．【解答】解：（3x +2）（2x ﹣3）＝5， 去括号：6x 2﹣9x +4x ﹣6＝5， 移项：6x 2﹣9x +4x ﹣6﹣5＝0， 合并同类项：6x 2﹣5x ﹣11＝0． 故一般形式为：6x 2﹣5x ﹣11＝0， 二次项系数为：6．故答案为：6x 2﹣5x ﹣11＝0；6．【变式3-1】（2020秋•乌苏市月考）将一元二次方程13x （x ﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【解答】解：13x （x ﹣2）＝5，13x 2−23x ﹣5＝0， x 2﹣2x ﹣15＝0，二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣15， 故答案为：x 2﹣2x ﹣15＝0；1；﹣2；﹣15．【变式3-2】（2020秋•渝北区校级月考）若关于x 的一元二次方程（a +12）x 2﹣（4a 2﹣1）x +1＝0的一次项系数为0，则a 的值为 ．【解答】解：由题意得：﹣（4a 2﹣1）＝0，且a +12≠0， 解得：a =12， 故答案为：12．【变式3-3】（2020秋•南岗区校级月考）阅读理解：定义：如果关于x 的方程a 1x 2+b 1x +c 1=0（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与a 2x 2+b 2x +c 2=0（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x 2﹣3x +1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x 2﹣3x +1＝0可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x 2﹣4x +3＝0的“对称方程”是 ．（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．【题型4 利用一元二次方程的解求字母的值】【例4】（2021春•黄冈月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（）A．2B．−12C．﹣2D．12【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，解得m=1 2．故选：D．【变式4-1】（2020秋•兰州期末）若2+√3是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，c的值是（）A．2−√3B．2+√3C．﹣1D．1【解答】解：∵2+√3是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，∴（2+√3）2﹣4（2+√3）+c＝0，解得：c＝1．故选：D．【变式4-2】（2021春•东城区期中）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a 的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．±√2【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，（a﹣2）（a+2）＝0，可得a﹣2＝0或a+2＝0，解得：a＝2或a＝﹣2，当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则a的值为﹣2．故选：A．【变式4-3】（2021春•柯桥区月考）若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（）A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定【解答】解：∵t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，∴at2+2t+c＝0，∴c＝﹣at2﹣2t，∵P＝1﹣ac＝1﹣a（﹣at2﹣2t）＝a2t2+2at+1＝（at+1）2，而Q＝（at+1）2，∴P＝Q．故选：B．【题型5 利用一元二次方程的解求代数式的值】【例5】（2021春•招远市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（）A．5B．﹣5C．3D．﹣3【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故选：D．【变式5-1】（2021春•阜阳月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2−1a−a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．5【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴a2﹣3a+1＝0，∵a≠0，∴a﹣3+1a=0，即a+1a=3，∴2−1a−a＝2﹣（a+1a）＝2﹣3＝﹣1．故选：B．【变式5-2】（2020秋•平邑县期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C．【变式5-3】（2020秋•麦积区期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则a2−2019a+2020a2+1的值为（）A．2017B．2018C．2019D．2020【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，则a2−2019a+2020a2+1=2020a﹣1﹣2019a+20202020a=a﹣1+1a=a2+1a−1=2020aa−1＝2019．故选：C．【题型6 赋值法求一元二次方程的定根】【例6】（2021春•余杭区月考）若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（）A．0B．1C．﹣1D．无法确定【解答】解：∵a﹣b+c＝0，∴a×12﹣b×1+c＝0，∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1，故选：B．【变式6-1】（2021春•唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（）A．1B．﹣1C．±1D．无法确定【解答】解：当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，则a+b＝2020，所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣1．故选：B．【变式6-2】（2021春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．【变式6-3】（2021春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+13c＝0，则方程必有一根为．【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+13c＝0，即方程一定有一个根为x＝﹣3，故答案是：x＝﹣3．【题型7 根据面积问题列一元二次方程】【例7】（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．故选：D．【变式7-1】（2021春•鹿城区校级期中）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（）A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468C．30×20﹣2•30x﹣20x＝468D．（30﹣x）（20﹣x）＝468【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468．故选：A．【变式7-2】（2021春•瓯海区期中）如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为（）A．（20﹣x）（30﹣x）＝503B．(20−√32x)(30−√32x)=503C．20x+30x﹣x2＝97D．20x+30x−34x2=97【解答】解：过H作HM⊥LG于M，∵∠KHB＝60°，LG⊥KH，∴∠HGM＝∠KHB＝60°，∵∠HMG＝90°，∴HM=√32x，∵长方形的面积＝20×30＝600（cm）2，∴四块草地总面积为503m2，∴通道的面积为：20x+30x−34x2＝97，故选：D．【变式7-3】（2021春•蜀山区校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为．（方程化为一般式）【解答】解：设剪去的边长为x ，那么根据题容易列出方程为122﹣（12x ×2﹣x 2）＝64，化为一般形式为：x 2﹣24x +80＝0，故答案为：x 2﹣24x +80＝0．【题型8 根据实际问题列一元二次方程】【例8】（2021春•瓯海区期中）某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，设年平均增长率为x ，则由题意可列方程 ．【解答】解：设每年投资的增长率为x ，根据题意，得：10（1+x ）2＝14.4，故答案为：10（1+x ）2＝14.4．【变式8-1】（2021春•长兴县月考）2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．设全班有x 名同学，则可列方程为 ．【解答】解：依题意得：12x （x ﹣1）＝595． 故答案为：12x （x ﹣1）＝595． 【变式8-2】（2021春•西湖区校级期中）某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意得方程（ ）A ．10（1+x ）2＝33.1B ．10（1+x ）+10（1+x ）2＝33.1C ．10+10（1+x ）2＝33.1D ．10+10（1+x ）+10（1+x ）2＝33.1【解答】解：依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．故选：D．【变式8-3】（2021春•海淀区校级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+12【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．。
专题2-7 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.7 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型【北师大版】【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2， ∴原式＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为 ．【分析】欲求x 2x 1+x 1x 2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣3， ∴x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1⋅x 2=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2x 1⋅x 2=(−3)2−2×(−3)−3=−5．故答案为﹣5．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x 2+4x +1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 2x 1−x 1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1，再通过通分和完全平方公式变形得到x 2x 1−x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1， 所以x 2x 1−x 1x 2=x 22−x 12x 1x 2=(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2=−4×√(−4)2−4×11＝﹣8√3． 故答案为﹣8√3【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根，则式子a√a b +b √ba 的值为 ．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入a√ab +b √b a =2√ab中即可求出结论． 【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根， ∴a +b =−52，a •b =12， ∴a ＜0，b ＜0，∴a√a b +b √b a =√a⋅a √a⋅b +√b⋅b √a⋅b =22√ab =2√ab =−(−52)2+2×12√12=−21√24．故答案为：−21√2 4．【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤1 4，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=ca．也考查了根的判别式．【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝．【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的二根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝m ，且x 12﹣2x 1+m ＝0， ∴x 12﹣x 1＝﹣m +x 1， ∵x 12﹣x 1+x 2＝3x 1x 2， ∴﹣m +x 1+x 2＝3x 1x 2， 即﹣m +2＝3m ， 解得：m =12， 故答案为：12．【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点． 【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0的两根x 1和x 2，且x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，则k 的值是 ．【分析】先由x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，得出x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0，再分两种情况进行讨论：①如果x 1﹣2＝0，将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0，得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0，解方程求出k ＝﹣2；②如果x 1﹣x 2＝0，那么△＝0，解方程即可求解． 【解答】解：∵x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2， x 12﹣2x 1+2x 2﹣x 1x 2＝0， x 1（x 1﹣2）﹣x 2（x 1﹣2）＝0， （x 1﹣2）（x 1﹣x 2）＝0， ∴x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0． ①如果x 1﹣2＝0，那么x 1＝2， 将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0， 得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0， 整理，得k 2+4k +4＝0， 解得k ＝﹣2； ②如果x 1﹣x 2＝0，则△＝（2k +1）2﹣4（k 2﹣2）＝0． 解得：k =−94．所以k 的值为﹣2或−94．故答案为：﹣2或−9 4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值．【分析】先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+3 2，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m=3 2；当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m=−5 2．∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+3 2）＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，∴m≥5 12；∴m=−52不合题意，舍去，则m=3 2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．0【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（）A．10B．9C．8D．7【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1•x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1是解题的关键．【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（）A．4B．4√2C．5D．5√2【分析】根据方程根的定义得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，x12=4x1﹣1，∴x13=4x12−x1，∴原式＝4x12−x1+4x22+x1﹣1＝4（x12+x22）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：55【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝．【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，则2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032． 故答案为：2032．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x ，y 分别满足99x 2+2021x ＝﹣1．y 2+2021y ＝﹣99，且xy ≠1．则xy+10x+1y= ．【分析】把y 2+2021y ＝﹣99变形为99（1y）2+2021•1y+1＝0，加上99x 2+2021x +1＝0，则实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0，利用根与系数的关系得到x +1y =−202199，x •1y =199，再把原式变形为x +10•x y+1y，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵y 2+2021y ＝﹣99， ∴99（1y）2+2021•1y+1＝0，∵99x 2+2021x ＝﹣1， 即99x 2+2021x +1＝0，∴实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0的两实数解，∴x +1y =−202199，x •1y =199，∴原式＝x +10•x y+1y=−202199+10×199 =−201199． 故答案为−201199． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ．【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a 2﹣2a ﹣1＝0，b 2+2b ﹣1＝0，且ab ≠1，则ab+b+1b的值为 ．【分析】先变形b 2+2b ﹣1＝0得到（1b）2﹣2•1b−1＝0，则a 和1b可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵b 2+2b ﹣1＝0， ∴b ≠0，方程两边同时除以b 2，再乘﹣1变形为（1b）2﹣2•1b−1＝0，∵ab ≠1，∴a 和1b 可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，∴a +1b =2， ∴ab+b+1b=a +1+1b=2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1•x 2=c a．【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为 ． 【分析】原方程变为（1α2）﹣3（1α）﹣1＝0，得到1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，∴1α+β＝3，βα=−1，1α2=1+3α，∴原式＝1+3α+3β＝1+3（1α+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10．【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．【题型5 根与系数的关系与三角形综合】【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0． （1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）先计算出△＝4（k﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1＝﹣k+6，x2＝k+2，然后分类讨论：当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵此方程的两个根都是正整数，∴m+1m−1＞0，当m +1＞0，m ﹣1＞0时，解得m ＞1，当m +1＜0，m ﹣1＜0时，解得m ＜﹣1，∴m ＝2或m ＝3；（3）∵一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0的解为x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵△ABC 是等腰三角形，第三边BC 的长为5，∴m+1m−1=5，解得m ＝1.5，经检验，m ＝1.5是原方程的解．故m 的值是1.5．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ＝0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2；①求代数式x 12+x 22−4x 1x 2的最大值；②若方程的一个根是6，x 1和x 2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【分析】（1）通过判别式△求解．（2）①通过两根之积与两根之和的关系将x 12+x 22−4x 1x 2配方求解．②把x ＝6代入方程求出m ，再将m 代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x 的值．【解答】解：（1）△＝（2m +4）2﹣4（m 2+4m ）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①x 12+x 22−4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣6x 1x 2，∵x1+x2=−−(2m+4)1=2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时x12+x22−4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程x2−2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系求出√m2−14n2=4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，∴2m＞n，又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×14n2=4m2−n2，∴4m2＞n2，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）由题意得|x 1﹣x 2|＝8，∴（x 1﹣x 2）2＝64，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝64，由韦达定理得：x 1+x 2＝2m ，x 1x 2=14n 2，∴（2m ）2﹣4×14n 2=64，即√m 2−14n 2=4， ∵等腰三角形的面积是16，如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴BD ＝CD =n 2．∴AD =√AB 2−BD 2=√m 2−14n 2，∴12×n ×√m 2−14n 2=16，∴n ＝8，代入√m 2−14n 2=4，解得m ＝4√2，∴m ＝4√2，n ＝8．【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m ，n 的关系式．【题型6 根与系数关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2=n−m，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2=−b a，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，∴b ＝﹣4a ，故ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是2的等距方程时，b 不一定等于﹣4a ，故③错误；④对于方程px 2﹣x +34=0有两根满足x 1＝3x 2，由韦达定理得：x 1x 2=34p ，x 1+x 2=1p ， ∴x 1x 2=34×1p =34（x 1+x 2），∴3x 22=34（3x 2+x 2）＝3x 2，∴x 2＝1或x 2＝0（舍去），∴x 1＝3x 2＝3，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，即px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根，若满足|x 1﹣x 2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x 2﹣4x ﹣5＝0；②2x 2﹣2√3x +1＝0；（2）已知关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，求a 的值；（3）若关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，请探索a 与b 之间的数量关系式．【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x 2+2ax ＝0是“差根方程”，且x 1＝0，x 2＝﹣2a 得到2a ＝±1，从而得到a ＝±12； （3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到√(−b a )2−4⋅1a =1，整理即可得到b 2＝a 2+4a ．【解答】解：（1）①设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝﹣5，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√42−4×(−5)=6，∴方程x 2﹣4x ﹣5＝0不是差根方程；②设x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣2√3x +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2=√3，x 1•x 2=12，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(√3)2−4×12=1，∴方程2x 2﹣2√3x +1＝0是差根方程；（2）x 2+2ax ＝0，因式分解得：x （x +2a ）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣2a ，∵关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，∴2a ＝±1，即a ＝±12；（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=1a ，∵关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，∴|x 1﹣x 2|＝1，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即√(−b a )2−4⋅1a =1，∴b 2＝a 2+4a ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx +c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2−√mx+23n＝0是倍根方程，求此倍根方程．【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2=−nm得到m＝﹣n或m=−14n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2−92ac＝0，据此求解可得．【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2=−n m，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴2=−2nm或4=−nm，即m＝﹣n或m=−14n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；（3）设其中一根为t ，则另一个根为2t ，则ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，∴b 2−92ac ＝0，∵x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，∴（−√m ）2−92×2×23n ＝0，整理，得：m ＝3n ，∵A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，∴n ＝3m ﹣8，∴n ＝1，m ＝3，∴此倍根方程为x 2−√3x +23=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z 构成“和谐三数组”．材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 均不为0）的两根，x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”.【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；（2）先根据材料2，得出1x 1+1x 2=−b c ，再求出一元一次方程的解，进而得出1x 3=−b c ，即可得出结论．【解答】解：（1）∵12+13=56， ∴65，2，3是“和谐三数组”；故答案为：65，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0 （a ，b ，c 均不为0）的两根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=−b a c a =−b c ， ∵x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解，∴x 3=−c b ，∴1x 3=−b c ， ∴1x 1+1x 2=1x 3，∴x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”．【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．。