高一数学必修一化根式为分数指数幂
人教A版高中数学必修第一册n次方根与分数指数幂课件
如果xn=a，x叫做a的
.
学习新知——n次方根的概念
学习新知——n次方根的概念
27的3次方是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
学习新知——根式的性质
=-2 =2 =3 =3
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
例题讲解
例1：求下列各式的值
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0） 类比
结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
1
2a3b 2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
人教A版高中数学必修第一册n次方根 与分数 指数幂 课件
课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
数学人教A版必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质(2)
它是一个确定的实数
5
2
定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由本来的有理数范围扩充到了实数
范围.
实数指数幂的运算性质：
对于任意的正数, ，都有：
① ∙ = + ，
②
= ，
③
= ∙ ，
, ∈ .
题型一
无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式：
题型三 实际问题
例4 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水
4
填满，以此继续下去，则至少应倒_____次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积
之比低于10%.
解析 由题意，得第 n
1
1n
1
次操作后溶液的浓度为1－2 ， 令2n<10，验证可得
(4)最后结果只能保留根式或分数指数幂的一种，分式和负指数幂的一种。
公式：
完全平方公式：(a +b) a 2ab b ;
2
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
(a-b) a 2ab b ;
2
2
2
平方差公式：a -b （a+b）(a-b)
2
2
立方和公式 : a b (a b)(a ab b )
(2)原式=
n
( + - )( 2 - - + -2 )
=a2x-1+a-2x
1 7
=3-1+ = .
3 3
+ -
m
2 2
3
.
题型二
课前预学
利用已知条件求值
课堂练习2：
4.1.1+n次方根与分数指数幂教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（一）课时教学内容：n次方根的概念和分数指数幂的概念（二）课时教学目标：1.通过具体的实例，与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂和根式的概念及相互关系.2.掌握分数指数和根式之间的相互转化.3.培养学生观察分析，抽象的能力；通过运算训练，养成学生一丝不苟的学习习惯.（三）教学重点与难点1.教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算2.教学难点：分数指数幂的概念（四）教学过程设计【问题1】复习回顾，回答下列问题1.什么是平方根？什么是立方根？2.一个数的平方根有几个？立方根呢？师生活动：1.学生思考回顾之前所学的知识，回顾平方根和立方根的概念；2.教师归纳总结以上知识，带领学生回顾.为了简洁明了地引出n次方根的概念，我们需要举几个例子来说明.设计意图：回顾平方根和立方根的概念，从而引出n次方根的概念.追问：那你觉得n次方根的概念应该是什么呢？该如何表示？师生活动：1.学生根据已知的平方根和立方根的概念，猜测n次方根的概念；2.教师总结n次方根的概念，并指明正数与负数的区别，以及n的范围.设计意图：了解n次方根的概念和表示.【问题2】阅读课本104页，思考下列问题1.a的n次方根中n的奇偶与a的正负之间有什么关系？例如，当a是正数，n 是奇数时，a的n次方根是正数还是负数？2.负数有偶次方根吗？为什么？师生活动：1.学生根据课本内容，思考问题，自己寻找原因，可以小组讨论；2.教师找学生回答问题，并结合学生所答总结知识.给出根式，根指数和被开方数的概念.探究：n n a表示a n的n次方根，n n a=a一定成立吗？如果不一定成立，那么n na等于什么？师生活动：教师引导学生，结合刚刚思考的问题回答探究问题.当a为负数，n为偶数时，a n为偶数，而此时不仅仅等于a.设计意图：得到a 的n 次方根在不同条件的时的公式.【问题3】判断以下问题是否正确？为什么？ 1.2的平方根是2； 2.416等于±2； 3.2不是2的平方根，2±是2的平方根； 4.24-）（的平方根是±2．师生活动：1.教师引导学生分析1和2:1:错误，颠倒了，应该“是2的平方根”；2:错误，是指16的正的4次方根，所以；2.学生根据前两道题的思路，自行解决3和4题，教师给出答案.【问题4】计算课本105页例1师生活动：学生小组讨论进行计算，教师找一组学生回答问题，并根据回答内容总结分析给出答案.设计意图：巩固以上所学知识.【问题5】思考问题根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道）（0)(a 5102552510>===a a a a , )0()(4123443412>===a a a a a , 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.思考，如果根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否也表示成分数指数幂的形式？师生活动：1.学生小组讨论，说出自己的想法和理解；2.教师点评小组讨论结果，给出最终结果，引导学生深入理解和思考问题，从而给出分数指数幂的概念和表示方法.并把整数指数幂的运算性质拓展到有理数. 设计意图：引出分数指数幂的概念，将整指数幂的运算性质拓展到有理数.【问题6】计算课本106页例2和例3师生活动：学生自己进行计算，并小组讨论正确答案；教师找学生回答问题，让学生说出思考计算过程，并针对不会的问题进行讲解.设计意图：让学生加深理解分数指数幂的运算性质.【课后作业】课本109页第1、2题设计意图：第1、2题练习所学的n 次方根和分数指数幂的概念和表示方法.（五）目标检测设计目标检测题：1.用根式的形式表示下列各式（a>0）：（1）32a ； （2）32-a检测目标：根式与n 次方根之间的转化.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）)0(32>x x ; (2))0(56>p p p检测目标：分数指数幂与n 次方根之间的转化关系.3.计算下列各式：（1）63125.1332⨯⨯; （2）512131-a a a检测目标：分数指数幂的运算性质.。
新版高一数学必修第一册第四章全部课件
课堂小结
1、n次方根和根式的概念。
当
n
为奇数时，
a
的
n
次方根是
2、
n
。
a
当n为偶数时，正数a的n次方根是 a
n
负数没有偶次方根。
3、 0的任何次方根都是0
当n是奇数时， a a
n
n
当n是偶数时， a | a |
n
n
a , a 0
a , a 0
{
4.分数指数概念
一般地，如果 x n＝a，那么
x
叫做 a 的 n 次方根 ，
其中 n＞1，且 n∈N*
n 是奇数
a＞0
a＜0
个数
x＞0 x 仅有一个值，记
x＜0 为
n
a
x 有两个值，且互为相反数，
n 是偶数
a＞0
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
2．根式
(1)定义：式子
(2)已知 x6＝2 016，则 x＝________.
4
(3)若 x＋3有意义，求实数 x 的取值范围为________.
6
(1)3；±2 (2)± 2 016 (3)[－3，＋∞]
解析：(1)27 的立方根是 3；16 的 4 次方根是±2.
6
(2)因为 x ＝2 016，所以 x＝± 2 016.
【答案】－x
[∵x<0，∴－x>0，∴ －x2＝－x.]
6．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
－4
3
答案 1 a 3
高中数学人教A版必修1《指数与指数幂的运算——根式与分数指数幂的互化》PPT
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
高中数学必修一《指数幂与运算》精选练习(含详细解析)
高中数学必修一《指数幂与运算》精选练习（含详细解析）一、选择题1.若(1-2x有意义,则x的取值范围是( )A.x∈RB.x≠0.5C.x>0.5D.x<0.52化简[的结果为( )A.5B.C.-D.-53.+(-1)-1÷0.75-2+= ( )A. B. C.- D.-4.化简()4·()4的结果是( )A.a16B.a8C.a4D.a25设-=m,则= ( )A.m2-2B.2-m2C.m2+2D.m2二、填空题6.化简= .7已知a>0,化简-= .三、解答题8.(10分)将下列根式化为分数指数幂的形式.(1)(a>0).(2).(3)((b>0).9.(10分)已知+=3,求下列各式的值:(1)a+a-1. (2)a2+a-2.参考答案与解析1选D.将分数指数幂化为根式,可知需满足1-2x>0,解得x<0.5.2选B.[=(===.3选A.原式=-1÷+=-1÷+=-+=.4选C.原式=()4·()4=()4·()4=a2·a2=a4.5选 C.将-=m平方得(-)2=m2,即a-2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,即a+=m2+2⇒=m2+2.6【解析】==a+b.答案:a+b7【解题指南】利用完全平方公式展开后合并同类项计算.【解析】因为a>0,所以-=-=4.答案:48【解析】(1)原式====.(2)原式======.(3)原式=[(==.9【解析】(1)因为+=3,所以(+)2=a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.(2)因为a+a-1=7,所以(a+a-1)2=a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47.。
高中数学必修一之知识讲解_指数与指数幂的运算_提高
指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.计算：（1； （2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一：化根式为分数指数幂例1化简下列各式
；
1
()
xy-分析：将根式化为指数幂的形式，再利用有利数指数幂的运算性质进行化简．
解：
（１）原式＝
1111111
2236363
a b a b
-+-+
⋅==
（２）原式＝
11
111331
21
33
222222
()()()()()
xy x y xy xy x y xy
--
-
⋅⋅⋅=⋅
＝
11
22
()()()1
xy xy xy
-
⋅==
评注：化简根式，尤其是根式中又有分数指数幂的代数式，通常化根式为分数指数幂，然后根据运算法则运算，同时要注意结果形式的统一．
二：活用乘法公式
例１化简：
1
3
2111
3333
11
111
x x x x
x x x x
-+-
+-
+++-
解：原式＝
121121111
333333333
2111
3333
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
111
x x x x x x x x x
x x x x
-+++-++-
+-
+++-
＝
121211
333333
11
x x x x x x
-+-+--=-=
评注：要观察式中各项的结构，发现1,1
x x
-+分别是“立方差”和“立方和”，于是各个击破，达到化简之目的．计算过程中利用乘法公式进行因式分解，往往是计算简便．三：巧妙换元
例４化简
3
2
2
1
3
1
1
)
1
1
1
1
(
)
1
(
2
2
2
2
2
2
+
-
-
+
+
-
-
+
÷
-
-
-
+
-
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x．
分析：观察全式便能发现在此式中，形式上出现最多的是
x
x
1
+,而由乘法公式可知：
2
)
1
(
1
2
2
2-
+
=
+
x
x
x
x．若令
1
x a
x
+=，原式的形式会变得相当简单．这种局部换元的方法在代数变形中是十分有效的．
解：设
x
x
1
+＝a，则
原式＝1)1()11(1
21)11(2222
2222
+--∙-+--=+-+-÷---a a a a a a a a a a a a a a ＝)1(22+--a a a ＝a －１＝x
x 1
+
－１ 评注：通过换元，可把分数指数幂转化为整数指数幂，把复杂运算转化为简单熟悉的运算，快速解决问题．
四：利用性质
例５ 计算：（１）211
3
2
2
110
()(2)
(2
)3
4
27
---⋅-；（２）11
2
111222
111a a a a a -
---+--+ 解：（１）原式＝2211332239643427
()()()()24272964
--⋅-=⋅-
＝2132
34273297()()2964231616
⋅-=⋅-
= （２）原式＝
11111111
2
2
2
22
111112
2
2
2
2
(1)(1)1(1)
1a a a a a
a
a a a a a a
a
a a a
-
-
-
----
--+-+-
=
-
-+-+
＝112
2
0a
a
-
-
-= 评注：在指数运算中，利用()
()n
n a b
b
a
-=这个性质，颠倒底数的分子分母的位置，直接把负指数幂化为整指数幂，反之亦然．若能巧妙利用1p
p
a a -⋅=这个性质进行代换，则
可化难为简．简化运算过程．
五：整体代入 例１ 若2
12
1-+x
x ＝３ ．求
2
3
222
32
3-+-+--
x x x x 的值．
分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法不可取，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入．
解：∵ 2
12
1-
+x x ＝３，两边平方得112
2
2()9x x -
+=， ∴1
x x -+＝７
∴22
12()249247x x
x x --+=+-=-=
将2
12
1-
+x
x ＝３两边立方得 2
32
3-
+x
x ＝18
∴
232
22
32
3-+-+--
x x x x ＝3
1
247318=--． 评注：本题解法是求332
2
x x -+，22
x x -+的值后，整体代入，这是数学中的整体代换的
思想方法，在指数的有关运算中，若把已知的代数式视为一个整体，直接代入，常可避免局 部运算的烦琐和困难．。