军考真题：数学考题筛选汇总(二十四)
2021年军考高中学历士兵考军校数学专项练习试卷及答案
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷双曲线、抛物线1．已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y =，则双曲线的标准方程是()A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=2．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为()A ．221204x y -=B ．221412x y -=C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为()A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=4．已知双曲线C 的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．221205x y -=D ．221520y x -=5．已知双曲线的实轴长为2，焦点为(4,0)-，(4,0)，则该双曲线的标准方程为()A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．22115y x -=D ．22115y x -=6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22128x y -=的渐近线方程为()A ．2y x =±B ．12y x=±C ．2y x =D ．y =7．抛物线22y x =的准线方程是()A ．12x =B ．12y =C ．12x =-D ．12y =-8．抛物线2y ax =的准线方程是2y =-，则a 的值为()A ．4B ．8C ．18D ．149．抛物线的准线为4x =-，则抛物线的方程为()A ．216x y=B ．28x y=C ．216y x =D ．28y x=10．抛物线212x y =的准线方程为()A ．3y =-B ．3x =-C ．6y =-D ．6x =-11．已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是()A ．212x y=-B ．212x y=C ．212y x =-D ．212y x=12．已知抛物线的准线方程12x =，则抛物线的标准方程为()A ．22x y=B ．22x y=-C ．2y x =D ．22y x=-13．抛物线212x y =-的焦点坐标是()A ．1(0,)4-B ．1(0,)8-C ．1(0,)8D ．1(0,414．抛物线24y x =的准线方程是()A ．1y =B ．1y =-C ．116y =D ．116y =-15．抛物线218y x =-的准线方程是()A ．132x =B ．132y =C ．2y =D ．2y =-16．抛物线24x y =的准线方程是()A ．12y =B ．1y =-C ．116x =-D ．18x =17．以(0,1)F 为焦点的抛物线的标准方程是()A ．24x y=B ．22x y=C ．24y x=D ．22y x=18．焦点是(0,1)F 的抛物线的标准方程是()A ．24x y=B ．24y x=C ．24x y =-D ．24y x=-19，且与椭圆22184x y +=有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为．20．焦点在y 轴上，虚轴长为8，焦距为10的双曲线的标准方程是．参考答案与详解1．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由24c =，则2c =，渐近线方程为y =，即ab=由222c a b =+，解得：1b =，a =∴双曲线的标准方程为：2213y x -=．故选：B ．2．【解答】解：由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =，又双曲线的离心率为2c a=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选：B ．3．【解答】解：由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a=，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+，所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选：B ．4．【解答】解：双曲线2214x y -=的渐近线方程为：12y x =±，由题意设双曲线C 的方程为：22221y x a b-=，由焦点坐标(0,5)可得2225a b +=，①渐近线的方程为：ay xb =±再由C 与双曲线2214x y -=的渐近线相同，所以12a b =，②，由①②可得25a =，220b =，所以双曲线C 的方程为：221520y x -=，故选：D ．5．【解答】解：由题意可设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，4c =，则1a =，22216115b c a =-=-=．∴双曲线的标准方程为22115y x -=．故选：C ．6．【解答】解：双曲线22128x y -=的渐近线方程：2y x =±．故选：A ．7．【解答】解：由抛物线22y x =，可得准线方程24x =-，即12x =-．故选：C ．8．【解答】解：由抛物线2y ax =，得21x y a=，由其准线方程为2y =-，可知抛物线开口向上，则0a >．12p a ∴=，则124p a=．∴124a -=-，得18a =．故选：C ．9．【解答】解： 抛物线的准线为4x =-，∴可知抛物线是开口向右的抛物线，设方程为22(0)y px p =>．则42p=，8p =．抛物线方程为216y x =．故选：C ．10．【解答】解：抛物线212x y =的焦点在y 轴正半轴上，且212p =，则6p =，32p=．∴抛物线212x y =的准线方程为3y =-．故选：A ．11．【解答】解：依题意可知焦点在y 轴，设抛物线方程为22x py= 焦点坐标是(0,3)F -，∴132p =-，6p =-，故抛物线方程为212x y =-．故选：A ．12．【解答】解： 抛物线的准线方程12x =，可知抛物线为焦点在x 轴上，且开口向左的抛物线，且122p =，则1p =．∴抛物线方程为22y x =-．故选：D ．13．【解答】解：由题意，抛物线的焦点在y 上，开口向下，且122p =，∴128p =．∴抛物线212x y =-的焦点坐标是1(0,8-．故选：B ．14．【解答】解：抛物线24y x =化成标准方程，可得214x y =，∴抛物线焦点在y 轴上且124p =，得1216p =，因此抛物线的焦点坐标为1(0,16，准线方程为116y =-．故选：D ．15．【解答】解：整理抛物线方程得28x y =-，4p ∴=，抛物线方程开口向下，∴准线方程是2y =，故选：C ．16．【解答】解：124p = ，18p ∴=，开口向右，∴准线方程是116x =-．故选：C ．17．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是(0,1)，所以抛物线开口向上，且2p =，则抛物线的标准方程24x y =，故选：A ．18．【解答】解：焦点是(0,1)F 的抛物线的标准方程是24x y =．故选：A ．19．【解答】解：椭圆22184x y +=的焦点为(2,0)-和(2,0)，可设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，由题意可得2c =，即224a b +=，又ce a==，解得a =，b =，则双曲线的标准方程为22122x y -=．故答案是：22122x y -=．20．【解答】解：由题意，设方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则虚轴长为8，焦距为104b ∴=，3a ==∴双曲线的标准方程是221916y x -=故答案为：221916y x -=。
军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(M N =)A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(-∞，1]2．函数221(2x y -=的单调递减区间为()A ．(-∞，0]B．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)+∞3．设02x π<<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()A ．235x y z<<B ．523z x y<<C ．352y z x <<D ．325y x z<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()A ．[4-，3]-B ．{3}-C ．{3}D ．[3，4]6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)A ．33B ．28C ．4D ．4或287．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()A ．14B ．12C ．18D ．138．2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A ．15-B ．52-C ．15D ．529．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题（共8小题）10．49log 43log 2547lg lg ++=．11．已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2πβ∈，则sin β=．12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为．13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是．15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =．16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当1122x-时，()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为．参考答案与解析一．选择题（共9小题）1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，得{0MN =，1}(0⋃，1][0=，1]．故选：A ．2.【解答】解：令22t x =-，则1()2t y =，即有y 在t R ∈上递减，由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，AB x x <，∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选：A ．4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505lgtz lg =>，∴5321225z lg x lg =>，可得52z x >．29138x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11()022f -=>，排除A ．取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1()102f =>，排除CD ．故选：B ．6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2216a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．综上可得104a =或28．故选：D ．7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩．其面积为12，能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，其面积为18，则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==．故选：A．8.【解答】解：222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22149x y +=上的点，∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，21088189y ∴+，即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71243115310072244log log lg -=++=-++=．故答案为：154．11.【解答】解：22sin 3α=，(0,2πα∈，1cos 3α∴==，α∴，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，又1cos()3αβ+=-，sin()3αβ∴+=．则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：429．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，①当0a 时，2()30f x x a '=->，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33x >（舍)．()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，3(()()20333f a ∴-=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．故答案为：4-．13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：1637(1)17C -=；同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以11(1)1nn n S =+-=，1n S n =，1111(1)n a n n n n -=-=--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故答案为：1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩．16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，又因为11()()22f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．故答案为：4．17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=，2sin a A ''=，2sin b B ''=，3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=，由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==，当且仅当3A B C π'''===时，取得等号，可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=．即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=，故答案为：332。
2021年军考解放军武警(高中)士兵考军校数学综合测试卷及答案
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1．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知sin()2sin b A C a C +=，且a b =．（1）求sin B ；（2）若ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．2．已知函数()log (1)(0x a f x a a =->，1)a ≠（1）求函数()f x 的定义域；（2）求满足不等式log (1)x a a f ->（1）的实数x 的取值范围．3．在公差不为零的等差数列{}n a 中，138a a +=，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设211n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <．4．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．（1）求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．5．已知函数21()22f x lnx ax ax =+-，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，实数1x ，2(0,)x ∈+∞，且12()()3f x f x +=-，证明：22122x x +．6．已知圆2:(M x +2241)9p y +=经过抛物线2:2C x py =的焦点．（1）求p 的值；（2）当0p >时，直线l 与抛物线C 、圆M 均只有一个公共点，求直线l 的方程．7．如图，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =，CE 与平面ABE 所成的角为45︒．（1）证明：AD CE ⊥；（2）求二面角A CE B--的正切值．参考答案与详解1.【详解】（1）因为sin()2sin b A C a C +=，可得sin 2sin b B a C =，所以22b ac =，⋯（2分）因为a b =，可得12c b =，所以22222214cos 12422b b b ac b B ac b b +-+-===⨯⨯，⋯（4分）因为0B π<<，所以sin B ==．⋯（6分）（2）因为ABC ∆的面积为211sin 24ac B ==所以4b =，⋯（8分）所以4a =，2c =，⋯（9分）故ABC ∆的周长为44210a b c ++=++=⋯（12分）2.【详解】（1）当01a <<时，10x a ->，则0x >即定义域为(0,)+∞；当1a >时，10x a ->，则0x <，则定义域为(,0)-∞（2）log (1)x a a f ->（1）log (1)a a =-当01a <<时，11x a a-<-(0,1)x ∴∈；当1a >时，11(,0)x a a x ->-∴∈-∞3.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，依题意，12111228(8)(2)a d a a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩．从而{}n a 的通项公式为2n a n =；证明：（2） 22111111(1(2)1(21)(21)22121n nb a n n n n n ====----+-+，1111111111[(()((1)2133521212212n S n n n ∴=-+-+⋯+-=-<-++．4.【详解】5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，把3个选择题记为1x 、2x 、3x ，2个判断题记为1p 、2p ．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：1(x ，1)p ，1(x ，2)p ，2(x ，1)p ，2(x ，2)p ，3(x ，1)p ，2(x ，2)p ，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：1(p ，1)x ，1(p ，2)x ，1(p ，3)x ，2(p ，1)x ，2(p ，2)x ，2(p ，3)x ，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：1(x ，2)x ，1(x ，3)x ，2(x ，1)x ，2(x ，3)x ，3(x ，1)x ，3(x ，2)x ，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：1(p ，2)p ，2(p ，1)p ，共2种，（1）“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为632010=，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为632010=，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为33310105+=．（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为212010=，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1911010-=．5.【详解】（1）()f x 的导函数2121()2ax ax f x ax a x x-+'=+-=，因为0a >，所以221y ax ax =-+为开口向上的二次函数，①△2444(1)0a a a a =-=-，即01a <时，()0f x '恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞单调递增；②△4(1)0a a =->，即1a >时，()0f x '=有两个根1x 和2x ，由韦达定理知121212,0x x x x a +==>，10x ∴>，20x >，且12x x ==，所以()f x 在和)∞上单调递增，在上单调递减．（2）证明：1a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，且21()22f x lnx x x =+-，∴13(1)222f =-=-，121x x ∴==时，12()()3f x f x +=-，若12x x ≠，则不妨设12x x <，则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，于是221111111111()(2)32(2)(2)2(2)322f x f x lnx x x ln x x x +-+=+-+-+---+21111(2)21lnx ln x x x =+-+-+，令2()(2)21g x lnx ln x x x =+-+-+，则211222(1)(1)()222202(2)(2)x x x g x x x x x x x x x ---'=++-=+-=>---恒成立，那么()g x 在(0,1)单调递增，又因为g （1）0=，则1()0g x <，11()(2)30f x f x ∴+-+<即11()(2)3f x f x +-<-，12(2)()f x f x ∴-<，122x x ∴-<，122x x ∴+>，10x > ，20x >，2221212()2()x x x x ++，∴22122x x +．6.【详解】（1）抛物线2:2C x py =的焦点为(0,)2p ，可得2240(1)29p p ++==，解得6p =或67-；（2）当0p >时，6p =，可得圆22:(1)16M x y ++=，抛物线2:12C x y =，①当直线l 的斜率不存在时，设方程为x n =，由l 与M 中只有一个公共点，即相切，可得4n =或4n =-，:4l x =与抛物线C 交于4(4,)3；:4l x =-与C 交于4(4,)3-；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由l 与圆M 相切，可得4=，即2221516m m k +-=，由212y kx m x y =+⎧⎨=⎩只有一个实数解，即方程212120x kx m --=有两个相等的实数解，则△2144480k m =+=，化为23m k =-，代入2221516m m k +-=，可得42922150k k --=，即为22(3)(95)0k k -+=，解得k =9m =-；或k =，9m =-．综合①②可得，直线l 的方程为40x +=，40x -=90y --=90y ++=．7.【详解】证明：（1）如图，取BC 的中点H ，连接HD 交CE 于点P ，连接AH 、AP ．AB AC = ，AH BC∴⊥又 平面ABC ⊥平面BCDE ，AH ∴⊥平面BCDE ，AH CE ∴⊥，又HC CD CD DE ==，Rt HCD Rt CDE∴∆∆∽CDH CED ∴∠=∠，HD CE∴⊥CE ∴⊥平面AHDAD CE ∴⊥．（2）由（1）CE ⊥平面AHD ，AP CE ∴⊥，又HD CE⊥APH ∴∠就是二面角A CE B --的平面角，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，连接CG 、EG ．BE BC ⊥ ，且BE AH ⊥，BE ∴⊥平面ABC ，BE CG ∴⊥，CG ∴⊥平面ABE ，CEG ∴∠就是CE 与平面ABE 所成的角，即45CEG ∠=︒，又CE =CG EG ∴==又2BC =，60ABC ∴∠=︒，2AB BC AC ∴===，AH ∴=又HD ，23CH HP HD ∴==，tan 3AH APH HP∴∠==．。
2021解放军士兵考军校大专军考数学专项复习练习试题(含答案)
师之航·高中学历士兵军考物理专项练习导数的应用 关键字：2021军考 军考辅导 军考复习 军考真题 师之航军考 军考试卷 军考资料 部队考军校 士兵考学 军考培训 当兵考军校 军考数学 考军校辅导 义务兵考军校 消防兵考军校 武警士兵考军校 士兵考军校辅导1．曲线31233y x x =-+在在点4(1,)3处的切线的倾斜角为( )A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π2．设函数2()f x lnx x =+，则( )A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点3．函数2()(1)f x ln x =+的图象在点(1，f （1）)处的切线的倾斜角为() A ．0 B ．2πC ．3πD ．4π4．函数()(2)x f x x e =+的单调递增区间是( )A ．(,3)-∞B ．(0,3)C ．(3,0)-D ．(3,)-+∞5．设函数()xe f x x =，则函数()f x 的单调增区间是( )A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞6．函数()(2)x f x x e =-的单调递增区间为( )A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．(1,2)7．已知函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a 、b 的值为() A ．4a =-，11b = B ．3a =，3b =-或4a =-，11b =C ．1a =-，5b =D ．以上都不正确8．若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为( )A ．2B ．6C ．2或6D ．2-或6-9．函数3()3f x x x =-的极小值是( )A ．4B ．2C ．4-D ．2-10．点P 是曲线2y x lnx =-上任意一点，曲线在点P 处的切线与1y x =-平行，则P 的横坐标为( )A ．1 BC D ．11．函数2y x lnx =的图象在点(1,0)处的切线方程为( )A ．21y x =-B ．22y x =-C ．1y x =-D ．1y x =+ 12．函数21()2f x x alnx =+在2x =处取得极值，则a = ．13．过点(0,1)-作曲线(0)f lnx x =>的切线，则切点坐标为 ．14．函数()cos x f x e x =的图象在点(0，(0))f 处的切线的倾斜角为 ．15．函数2()f x x lnx =-的极值点是 ．参考答案与详解1.【详解】根据题意，设曲线31233y x x =-+在该点处切线的倾斜角为θ， 曲线方程为31233y x x =-+，其导数22y x '=-， 则有1|121x y ='=-=-，则切线的斜率1k =-；则有tan 1θ=-，故34πθ=； 故选：D ．2.【详解】因为2()f x lnx x=+， 所以22122()x f x x x x-'=-=， 当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,2)为减函数，在(2,)+∞为增函数，即2x =为函数()f x 的极小值点，故选：D ．3.【详解】函数2()(1)f x ln x =+的图象在点(1，f （1）)处的切线的斜率为121(2)|11x x x ==+，设函数2()(1)f x ln x =+的图象在点(1，f （1）)处的切线的倾斜角为θ， 则tan 1θ=，4πθ∴=， 故选：D ．4.【详解】()(2)x f x x e =+，()(3)x f x x e '∴=+， 令()0f x '>，0x e >，3x ∴>-，()f x ∴的单调递增区间是(3,)-+∞．故选：D ．5.【详解】定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， 因为()xe f x x =，所以2(1)()x e x f x x -'=， 令()0f x '>，则1x >，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞．故选：C ．6.【详解】函数()(2)x f x x e =-，则()(1)x f x x e '=-，令()0f x '>，解得1x >，故函数()(2)x f x x e =-的单调递增区间为(1,)+∞，故选：A ．7.【详解】函数的导数为2()32f x x ax b '=--，因为函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，所以f （1）10=且f '（1）0=．即2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得34311a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或． 当3a =，3b =-时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-，此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以不满足条件． 所以经检验值当4a =-，11b =时，满足条件．故选：A ．8.【详解】函数2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，它的导数为22()34f x x cx c '=-+， 由题意知，在2x =处的导数值为21280c c -+=，6c ∴=，或2c =， 又函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，故导数值在2x =处左侧为正数，右侧为负数．当2c =时，22()3843()(2)3f x x x x x '=-+=--，不满足导数值在2x =处左侧为正数，右侧为负数． 当6c =时，22()324363(812)3(2)(6)f x x x x x x x '=-+=-+=--， 满足导数值在2x =处左侧为正数，右侧为负数．故6c =． 故选：B ．9.【详解】函数定义域：R ．2()33f x x '=-，令()0f x '=，得1x =-或1，在(,1)-∞-，(1,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 在(1,1)-上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x f =极小值（1）31312=-⨯=-，故选：D ．10.【详解】设0(P x ，2000)(0)x lnx x ->，由2y x lnx =-，得12y x x'=-， 则由题意，可得00121x x -=，解得012x =-（舍)或01x =． 故P 的横坐标为1．故选：A ． 11.【详解】函数2y x lnx =的导数为2y xlnx x '=+， 可得函数的图象在点(1,0)处的切线的斜率为1， 则函数的图象在点(1,0)处的切线方程为01y x -=-， 即1y x =-．故选：C ．12.【详解】由已知得：()a f x x x '=+，所以(2)202a f '=+=． 解得4a =-．故答案为：4-．13.【详解】因为(0)f lnx x =>， 所以2()2f x lnx lnx ==，设切点为0(x ，0)y ， ∴2()f x x'=，根据题意可得00012y x x +=， 01y ∴=，0x =．故答案为：． 14.【详解】()cos sin x x f x e x e x '=-， 0(0)(cos0sin 0)1f e ∴'=-= ∴函数图象在点(0，(0))f 处的切线的斜率为tan 1θ= ∴函数图象在点(0，(0))f 处的切线的倾斜角θ为4π． 故答案为：4π． 15.【详解】函数()f x 的定义域{|0}x x >，2121()2x f x x x x-'=-=， 令()0f x '=，得x或（舍去），当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x的极值点是2x =，．。
军考数学真题《历年军考真题系列》
2013年军考数学真题《历年军考真题系列》历年军考真题系列之2013年军队院校招生士兵高中数学真题关键词：军考真题，德方军考，军考试题，军考资料，士兵高中，军考数学考 生 须 知 1.本试题共八大题，考试时间150分钟，满分150分。
2.将单位、姓名、准考证号分别填写在试卷及答题纸上。
3.所有答案均写在答题纸上，写在试卷上的答案一律无效。
4.考试结束后，试卷及答题纸全部上交并分别封存。
一、（36分）选择题，本题共有9个小题，每个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，将正确的结论代号写在答题纸指定位置上，选对得4分，选错、不选或多选一律得0分．1．已知集合P= {x │x (x -l)≥0，x ∈R ），Q={x │101x >-，x ∈R ），则P∩Q 等于( )．A ．∅B ．{x│x≥1，x ∈R ）C ．{x│x>1,x ∈R)D ．{x│x≥1或x<0,x ∈R)2．已知A·B·C≠0，则“A 、B 、C 三者符号相同”是“方程A x 2 +By 2 =C 表示椭圆”的( )． A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．设11221logtan 70,log sin 25,()cos 252a b c =︒=︒=︒，则有( )．A ．a <b <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5 =3(a 2 +a 8)，则53a a的值为( )． A ．16 B ．13 C ．35 D ．565．函数3sin cos y x x=+的一个单调增区间是( )．A ．7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知向量a =（2，-1，3），b =(-4，2，x )，c =（1，-x ，2），若(a + b ) ⊥c ，则x =( )． A ．4 B ．-4 C ．2 D ．-2 7．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则双曲线的离心率等于( )． A 3 B 5 C ．2 D 68．在正三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，若12AB BB =，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )． A. 90° B.60° C.75° D. 105° 9．曲线y=x 4上的点到直线x -2y-l=0的距离的最小值是( )‘ A ．12B 5C ．58D 5二、（32分）填空题，本题共有8个小题，每个小题4分，只要求给出结果，并将结果写在答题纸指定位置上． 1·设函数22,1(),1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩，若f (x )>4，则x 的取值范围为 ．2．2cos10sin 20cos 20︒-︒=︒． 3．直线l 将圆x 2+ y 2-2x -4y=0平分，且l 不通过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是____． 4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选修的课程中恰有1门相同的选法有 种（用数字作答）． 5．若321()nxx+的展开式中只有第6项的二项系数最大，则常数项的值为 ．6．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线3x -4y-12=0上，则抛物线的方程 为 ．7．21n n =+ ．8．正四棱锥P -ABCD 的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26则此球的体积为 ．三、（16分）计算题，本题共有2个小题． 1．（6分）解不等式：213x x +-<2．（10分）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，且a 、b 是方程22320xx -+=的两根，2cos （A+B ）=1(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．四．（12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列54nS ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列．五、（12分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF – A 1B 1C 1D 1E 1F 1，在每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，假如每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．假定更换一个面需要100元，用ξ表示维修时所更换的面数。
军考真题数学【完整版】
2017年军考真题士兵高中数学试题关键词：军考真题，德方军考，大学生士兵考军校，军考数学，军考资料 一、单项选择（每小题4分，共36分）．1. 设集合A={y|y=2x ，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（ ）A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（0，+∞）2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log a 2）+6，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．43. 设a b 、是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知421353=2,4,25a b c ==，则（ ）A ．b<a<cB ．a<b<cC ．b<c<aD ． c<a<b 5. 设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 设数列{a n }是首项为a 1、公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣7. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．36πD ．20π9. 已知2017ln f x x x =+（）（），0'2018f x =（），则0x =（ ） A. 2e B.1 C. ln 2 D. e二、填空题（每小题4分，共32分）10. 设向量，，且，则m=．12. 已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为．13. 已知函数f（x）=，则f（f（））= ．14. 在的展开式中x7的项的系数是．15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。
2021年军考高中士兵战友考军校数学专项复习测试卷及答案
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷平面解析几何一．选择题（共10小题）1．已知直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则原点到点(,)P a b 的距离可以是()A ．4B ．2CD ．122．已知直线:30l x y +-=交圆224240x y x y ++--=于A 、B 两点，则||(AB =)A ．2B ．1C ．D ．3．从点(,3)P m 向圆22(2)1x y -+=引切线，则切线长的最小值()A ．B ．5C D ．4．已知圆22:60C x y x +-=，过点(6,4)P 向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为()A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-5．已知O 为坐标原点，P 为圆22:(1)()1C x y b -+-=（常数0)b >上的动点，若||OP 最大值为3，则b 的值为()A ．1B ．C ．D ．26．已知抛物线24x y =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是()A B ．2C D ．57．方程22193x y +=--k k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 满足()A ．(3,)+∞B ．(,9)-∞C ．(3,6)D ．(,6)-∞8．已知倾斜角为3π的直线l 过抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点F ，若l 与圆222:(2)4C x y +-=相切，则(p =)A ．12B ．10C ．8D ．69．倾斜角为45︒的直线经过点(2,0)M ，且与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，若F 为C 的焦点，则||||(AF BF +=)A ．5B ．8C ．10D ．1210．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，y x =k 与双曲线C 交于(M M 在第一象限），N 两点，3|]||MF NF =，且23MFN π∠=，则该双曲线的离心率为()A B C D ．72参考答案与详解一．选择题（共10小题）1．【详解】根据题意，直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则2(2)30a b b +--=，变形可得22(1)4a b +-=，则点(,)a b 在以(0,1)为圆心，半径为2的圆上，点O 在圆22(1)4x y +-=内部，则1||3OP ，故选：B ．2．【详解】根据题意，圆224240x y x y ++--=，即22(2)(1)9x y ++-=，其圆心为(2,1)-，半径3r =，圆心到直线l 的距离d ==则弦长||22AB =⨯，故选：A ．3．【详解】设切线长为d ，由题设条件可得：2222(2)(30)1(2)88d m m =-+--=-+ ，∴d，当且仅当2m =时取“=“，故选：D ．4．【详解】因为圆22:60C x y x +-=，所以22(3)9x y -+=，所以圆心为(3,0)C ，半径为3R =，又点(6,4)P ，所以点P 4=，所以切线与直线PC 的夹角的正弦值为35，所以两切线的夹角的余弦值为23712(525-⨯=，故选：A ．5．【详解】圆22:(1)()1C x y b -+-=的圆心为(1,)C b ，半径为1，所以圆C 上的点P 到原点的最大距离为||||13OP OC =+=，13+=，解得b =又0b >，所以b ．故选：C ．6．【详解】抛物线24x y =的准线方程为1y =-，平行坐标轴，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线，关于y 轴对称，抛物线的准线与双曲线的渐近线组成等腰直角三角形，所以双曲线的渐近线的斜率为：1±，可得a b =，c ∴=，则ce a==．故选：A ．7．【详解】由题意方程22193x y +=--k k 表示的是焦点在x 轴上的椭圆，930->->k k ，36∴<<k ．故选：C ．8．【详解】倾斜角为3π的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，如图，切点为：B ，连接2BC ，直线的倾斜角为：3π，所以6BFO π∠=，22||2||4C F BC ==，所以422p=+，可得12p =，故选：A ．9．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则126x x +=，由抛物线的定义可知1||1AF x =+，2||1BF x =+，12||||28AF BF x x ∴+=++=，故选：B ．10．【详解】设双曲线的左焦点为F '．则MFNF '为平行四边形，||||NF MF '=．因为3||||MF NF =，所以3||||||MF NF MF '==，所以||3||MF a MF a '=⋅=．因为23MFN π∠=．所以3F MF π'∠=．所以22211923742c a a a a =-⨯⨯⨯=，得72c a =，故离心率72e =．故选：C ．。
2018年解放军军考数学真题及参考答案
21 .2019 年工化75旅（高中）学员苗子选拔数学试卷单位： 姓名： 座位号：一、单项选择（每小题 4 分，共 36 分）1.设集合S = {a ，b ，c ，d ，e }，则包含元素a ，b 的S 的子集共有 .A.2 个B.3 个C.4 个D.8 个2.下列函数中，满足“f (x + y ) = f (x )f (y )”的单调递增函数是.1A. f (x ) = x 2B. f (x ) = x3C. f (x ) = 3xD. f (x ) = (1)x3.设a , b 为正实数，则“a > b > 1”是“log 2 a > log 2 b > 0”的 .A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若a > 0，b > 0，且函数f (x ) = 4x 3 − ax 2 − 2bx + 2在x = 1处有极值，则ab 的最大值等于 .A.9B.6C.3D.21 5.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为 .41 123 A.3B.2C.3 D. 46.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4 + a 5 = 24，S 6 = 48，则{a n }的公差为 .A.1B .2C.4D.87.在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和是 3 或 6 的概率是 .1 31A.B.C D.51010128.若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则a 与b 的位置关系是 .A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能9.已知直线y = kx + 1与曲线y = x 3 + ax + b 切于点(1，3)，则b 的值为 .A. 3B.−3C. 5D. −5二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）− 9 ( ) 10.设a ，b 的夹角为120°，|a | = 1，|b | = 3，则|3a − b | =. 11.设θ为第二象限角，若tan(θ + π) = 1，则sin θ + cos θ =.42x 2 y 212.若双曲线C : 2 2a 2 为.b2 = 1 a > 0，b > 0 的一条渐近线被圆(x − 2) + y = 4所截得的弦长为 2，则C 的离心率 13.若曲线y = 2x 2的一条切线l 与直线x + 4y − 8 = 0垂直，则切线l 的方程为.14.若（2x 2 − 1n (n ∈ N ∗)展开式中存在常数项，则n 的最小值是x3 ）.15. 有 3 位司机，6 位售票员分配到 3 辆公共汽车上工作，每一辆汽车分别有一位司机和两位售票员，那么所有不同的分配方法有 种.16. 在极坐标系中，点（2 π ， 6）到直线 ρ sin θ = 2的距离等于 .17. 若复数(1 + mi )(3 + i )（i 是虚数单位，m.m +2i 是实数）是纯虚数，则复数1−i的模等于三、解答题（共 7 小题，共 82 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）18.（8 分）已知f (x ) = 2x 2 + bx + c ，不等式f (x ) < 0的解集是（0，5）. （1）求f (x )的解析式；（2）对于任意x ∈ [−1，1]，不等式f (x ) + t ≤ 2恒成立，求t 的取值范围.19.（10 分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a + c = 6，b = 2，cos B = 7.（1）求a ，c 的值； （2）求sin (A − B )的值.20.（12 分）设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x ) = 2x 的图像上(n ∈ N ∗). （1）若a 1 = −2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；x−2 （2）若a = 1，函数f (x )的图像在点(a ，b )处的切线在x 轴上的截距为2 −1，求数列{a n }的前n 项和T .122ln 2b nn21.（12 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约， 1 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互2不影响.求：（1） 至少有 1 人面试合格的概率；（2） 签约人数ξ的分布列和数学期望.22.（14 分）已知椭圆x 2 + 2y 2 = 1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于A 、B 和C 、D ，设△A OC 的面积为S . （1）设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S = 1|x y − x y |；2 1 22 1（2）设l ：y = kx ， 3 ， 3)，S = 1，求k 的值；1C ( 333（3） 设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论l 1与l 2如何变动，面积S 保持不变.23.（12 分）某店销售进价为 2 元/件的产品A ，该店产品A 每日的销量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件） 满足关系式y =10+ 4(x − 6)2，其中2 < x < 6.（1） 若产品A 销售价格为 4 元/件，求该店每日销售产品A 所获得的的利润；（2） 试确定产品A 的销售价格，使该店每日销售产品A 所获得的的利润最大（保留 1 位小数）.24.（14 分）如图所示，在三棱锥P− ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC = 90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA = AC = 4，AB = 2.（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角C− EM− N的正弦值；√7（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为21，求线段AH的长.29，所以 93 272018 年军队院校招生士兵高中数学真题答案一、单项选择（每小题 4 分，共 36 分）1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.B8.D9.A二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）√1010.3√3 11.− 512.2 13.4x − y − 2 = 0√26 14.515.54016.117. 2三、解答题（共 7 小题，共 82 分）18. 本题满分 8 分解：（1）∵不等式2x 2 + bx + c < 0的解集是（0，5），∴方程2x 2 + bx + c = 0的两根为0，5.∴0 + 5 = − b，0 × 5 = c ，即b = −10，c = 0，故f (x ) = 2x 2 − 10x .（2）∀x ∈ [−1，1]，不等式f (x ) + t ≤ 2恒成立，只需f max (x ) ≤ 2 − t 即可.( ) 2( 2)5 2 25∵f x = 2x − 10x = 2 x − 5x= (x − 2) − 2，x ∈ [−1，1]，∴f max (x ) = f (−1) = 12.故12 ≤ 2 − t ，即t ≤ 10.19. 本题满分 10 分解：（1）由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ，得b 2 = (a + c )2 − 2ac (1 + cos B )，又(a + c ) = 6，b = 2，cos B = 7ac = 9， 解得a = 3，c = 3.（2）在△ABC 中，sin B = √1 − cos 2 B =4√2，由正弦定理得sin A =a sin B = 2√2b3因为a = c ，所以A 为锐角，所以cos A = √1 − sin 2 A = 1，因此sin (A − B ) = sin A cos B − cos A sin B =10√220. 本题满分 12 分解：（1）因为点(a n ，b n )在函数f (x ) = 2x 的图像上，所以b n = 2a n ，b n +12a n +1a −ad可得b n= 2a n= 2 n +1n= 2 .，b ， = . n因为点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，所以4b 7 = 2a 8 = b 8. 所以2d =b 8= 4 ⇒ d = 2，又a 1 = −2，所以数列{a n }的前n 项和为 7S n = na 1 + n (n − 1)d = −2n + n 2 − n = n 2 − 3n2（ 2 ）由f (x ) = 2x ⇒ f ′(x ) = 2x ln 2 ， 所以函数f (x ) 的图像在点(a 2，b 2) 处的切线方程为y − b 2 = (2a 2 ln 2)(x − a 2)， 故切线在x 轴上的截距为a 2 −1 ，从而a2 − 1 = 2 − 1，故a 2 = 2.从而a= n ，bln 2= 2na n n ln 2 ln 2nnb n 2n1 2 3 nT n = 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2n1 上式两边同乘以 ，可得21 T= 1 + 2 + 3 + ⋯ + n两式右边错项相减可得2 n 22 23 24 2n +111 1 1 1 1 n 1 n n + 22 T n = 2 + 22 + 23 + 24 + ⋯ + 2n − 2n +1 = 1 − 2n − 2n +1 = 1 − 2n +1 故T n = 2 − n +2.221. 本题满分 12 分.解：用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意可知A 、B 、C 相互独立，且P (A ) = P (B ) = P (C ) = 12（1）至少有 1 人面试合格的概率是1 3 71 − P (A B C) = 1 − P (A )P (B )P (C) = 1 − (2) = 8（2）ξ的可能取值为 0，1，2，3.P (ξ = 0) = P (ABC ) + P (A BC ) + P (A B C ).= P (A )P (B )P (C ) + P (A )P (B )P (C ) + P (A )P (B )P (C ) 1 3 = ( ) 2 1 3 + ( ) 2 1 3 + ( )2 = 3.8P (ξ = 1) = P (ABC ) + P (ABC ) + P (AB C )1 3 1 31 3 3= P (A )P (B )P (C ) + P (A )P (B )P (C ) + P (A )P (B )P (C ) = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = 8.( ) ( ) ( ) 1P ξ = 2 = P (ABC ) = P (A )P B P C= 8.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P ξ = 3 = P A B C = P A P B P C = 8.1 所以，ξ的分布列如下表ξ的期望是( )3 3 1 122. 本题满分 14 分E ξ = 0 × 8 + 1 × 8 + 2 × 8 + 3 × 8= 1.解：（1）直线l 1的方程为y 1x − x 1y = 0，由点到直线的距离公式可知点C 到直线l 1的距离为d = |y 1x 2 − x 1y 2| ，√x 12 + y 12因为|OA | = √x 12 + y 12，所以，S = 1|OA | ∙ d = |y 1x 2 − x 1y 2|.（2）由{y = k x 2 22 2，消去y 解得 x + 2y = 1x 2 =1 ，由（1）得11 + 2k 2S = 1 ||1 √3 √3√3|k − 1|由题意知2 x 1y 2 − x 2y 1 = | x −2 3 3 kx 1| = 6√1 + 2k 2 ，√3|k − 1| = 1 ，6√1 + 2k 2 31解得k = −1 或k = − 5.(3)设l ：y = kx ，则 l ：y = mx ，设A (x ，y )，C (x ，y )1 2 k 1 1 2 2y = k x 由{，得x 2 = 1 ， x 2+ 2y 2= 11 1 + 2k 2同理x 22= 1m k 2 2 = k 2 + 2m 2 ，1 +2 ( k ) ( ) 1|| 1 x 1 ∙ mx 11 |k2 − m | | |由 1 知 ，S = 2 x 1y 2 − x 2y 1 = 2 | k − x 2 ∙ kx 1| = 2 ∙ |k | ∙x 1x 2 |k 2 − m |= ， 2√1 + 2k 2 ∙ √k 2 + 2m 2整理得(8S 2 − 1)k 4 + (4S 2 + 16S 2m 2 + 2m )k 2 + (8S 2 − 1)m 2 = 0， 由题意知S 与k 无关，则{ 8S 2− 1 = 0，解得{ S 2 = 1 8 1 ，所以4S 2 + 16S 2m 2 + 2m = 0 m = − 1 2m = − 2.23. 本题满分 12 分解：(1)当x = 4 时，y = 10+ 4 × (4 − 6)2 = 21，2此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4 − 2) × 21 = 42千元.(2)该店每日销售产品A 所获得的利润为f (x ) = (x − 2) ∙ [ 10 x − 2+ 4(x − 6)2]= 10 + 4(x − 6)2(x − 2) = 4x 3 − 56x 2 + 240x − 278(2 < x < 6)，从而f ′(x ) = 12x 2 − 112x + 240 = 4(3x − 10)(x − 6) (2 < x < 6)，令f ′(x ) = 0，得x = 10 ，易知在(2， 10上，f ′(x ) > 0，函数f (x )单调递增；3 3 )在(10，6)上，f ′(x ) < 0，函数f (x )单调递减. 3 所以x = 10是函数f (x )在（2，6）内的极大值点，也是最大值点.3即当x = 10≈ 3.3 时，函数f (x )取得最大值.3 故当销售价格为3.3元/件时，利润最大. 24. 本题满分 14 分（1）证明：取 AB 中点 F ，连接 MF 、NF ， ∵M 为 AD 中点，∴MF ∥BD ，∵BD ⊂平面 BDE ，MF ⊄平面 BDE ，∴MF ∥平面 BDE ． ∵N 为 BC 中点，∴NF ∥AC ，又 D 、E 分别为 AP 、PC 的中点，∴DE ∥AC ，则 NF ∥DE ． ∵DE ⊂平面 BDE ，NF ⊄平面 BDE ，∴NF ∥平面 BDE ． 又 MF ∩NF =F ．∴平面 MFN ∥平面 BDE ，则 MN ∥平面 BDE ；（2）解：∵PA ⊥ 底面ABC ，∠BAC = 90°．∴ 以A 为原点，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．∵PA = AC = 4，AB = 2，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），M （0，0， 1）， N （1，2，0），E （0，2，2），→→则MN = (1，2， − 1)，ME = (0，2，1)，→设平面MEN 的一个法向量为m = (x ，y ，z )，→→x + 2y − z = 0→ 由{m ⋅ MN = 0，得{ ，取z =2，得m = (4， − 1，2)． → → 2y + z = 0 m ⋅ ME = 0→由图可得平面CME 的一个法向量为n = (1，0，0)．→ →→→m⋅n 4 4√21 ∴cos ＜m ，n ＞= → →= √21×1 = 21 ．|m ||n |4√21√105∴二面角C ﹣EM ﹣N 的余弦值为21，则正弦值为 →21 ；→（3）解：设 AH = t ，则 H （0，0，t ），NH = (−1， − 2，t )，BE = (−2，2，2)．∵直线 NH 与直线 BE√7所成角的余弦值为21，→→→ → ∴|cos ＜ NH⋅BE2t−2 √7 NH ，BE ＞|=| → → |=| 2 |=21．解得：t =81或t = ．52|NH ||BE |√5+t ×2√3 8 1∴线段 AH 的长为 或 ．5 2。