矩形判定(1)

1821 矩形(1)1•矩形的定义：有一个 __________________叫做矩形•2•矩形是一个 ________ 平行四边形• 3•矩形的性质：(1) 具备的平行四边形的性质有：(2) 具有特殊性质：4•直角三角形的性质：直角三角形斜边上的 _________ 等于 ______ 的 _______ •是（ ）A . 8B . 6C . 4D . 2矩形性质的应用【例2】长方形ABCD 中，已知AB=8 ,理解矩形的性质【例1】求证：矩形的对角线互相 相等• 分析：先写出“已知”和“证明”, 如图，可证 △ ABC 也△ BAD ,可得 AC=BD.解：已知：如图，四边形ABCD 是矩形，连接AC , BD.求证：AC=BD.AD••• AD=BC ，/ BAD= / ABC=90 ,又 BA=AB ,• △ ABC 也△ BAD ( SAS ), • AC=BD点评：理解好矩形的性质，对以后学习 正方形打下基础•分析：由矩形的对角线互相平分可得边AC 的长，由矩形的四个角都为直角的性质 以及勾股定理可求得 BC ,便能求得面积解：••• A0=5 , • AC=10 ,在直角△ ABC 中，已知 AB=8、AC=10 ,BC= i AC ? -'AB ? =6,•矩形ABCD 的面积为6 X 8=48. 点评：要清楚理解矩形与平行四边形的 性质的共同点与不同点•■矩形ABCD 中，对角线 AC=10cm ,AB :BC=3 : 4，则它的周长是 ________ cm .直角三角形的性质【例3】如图，在厶ABC 中，/ A 、/B 、/ C 的度数之比为 1： 2： 3, AB 边上的中 线DC=4，求△ABC的面积.如图，在矩形 ABCD 中，AB V BC , AC , BD 相交于点0,则图中等腰三角形的个数分析：根据三角形的内角和定理求出 /A 、/B 、/ C 的度数，根据直角三角形 性质求出AB 、BC ,根据勾股定理求出 AC ,根据三角形的面积求出即可.解:J / A+ / B+ / C=180 ,•••在△ ABC中，/ A、/ B、/ C的度数之比为1：2：3,•••/ A=30°, / B=60°, / C=90 ,•/ AB边上的中线DC=4 ,1--AB=2CD=8，…BC= AB=42 ，由勾股定理得：AC=4 ,3 ,点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出AC、BC的长是解此题的关键. I如图所示，Rt△ ABC 中，/ ACB=90 , / A=30°, AB=8 , CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长.综合运用【例4】如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O,过O作OF丄AD于点F,0F=2 , 过A 作AE 丄BD 于点E, 且BE: BD=1 : 4,分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB ,根据比例设BE=x,表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出△ABO是等边三角形，然后判断出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可.解：•••四边形ABCD是矩形，•OA=OB ,■/ BE : BD=1 : 4,•••设BE=x，贝U BD=4 x,•OE=4 x-2x-x=x,•BE=OE ,又J AE丄BD ,•△ ABO是等边三角形，•OA=AB ,J OF 丄AD , OF=2 ,•OF是厶ABD的中位线，•AB=2OF=X 2=4,•AC=2OA=2AB=2 4=8.点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△ ABO是等边三角形是解题的关键.如图，已知四边形ABCD和四边形EFGC为全等的矩形，B、C、E在一条直线上，试判断△ ACF的形状.1. （2013?重庆）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm , BC=8cm ,现将其沿AE对折, 使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A. 6cmB. 4cmC. 2cmD. 1cm--ABC= AC X BC=2X4 >4、3 =8 3 .2.（2013?茂名）如图，矩形 ABCD 的 两条对角线相交于点AD=2，贝U AC 的长是（A . 23. （2013?台湾）如图，△ ABC 中，为AB 中点，E 在AC 上，且BE 丄AC .若DE=10,AE=16，则BE 的长度为何？（）A . 10B . 11C .12 D . 13 4. （2011?无锡）如图，在 Rt △ABC 中, / ACB=90 , D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、贝U EF= __ cm .5. （ 2013?扬州）矩形的两邻边长的差为 2, 对角线长为4，则矩形的面积为 —6. （ 2011?遵义）把一张矩形 ABCD 纸 片按如图方式折叠，使点 A 与点E 重合， 点C 与点F 重合（E 、F 两点均在BD 上）, 折痕分别为BH 、DG .（1）求证：△ BHE ◎△ DGF ;（2 ）若 AB=6cm , BC=8cm ，求线段 FG 的 长.用时 __________ 分数 _____________ 一、（每题4分，共32分）1 . （2013?普洱）矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O , / AOD=120° , AC=8 ,则厶ABO 的周长为（ ）A . 16B . 12C . 24D . 202 . （2012?苏州）如图，矩形 ABCD 的 对角线AC 、BD 相交于点O , CE // BD , DE //AC ,若AC=4，则四边形 CODE 的周 长（ ）A . 4B . 6C .8 D .103. （ 2012?黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3 , AD=1 , AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数 轴的正半轴于M ,则点M 的坐标为（）DCi --------A . (2, 0)B . ( ^5-1 , 0)O ，/ AOD=60 ,)4B .C. ( 10T , 0)D. (、5 , 0)4. (20J?贵港)如图所示，在矩形ABCD 中，AB= :, BC=2，对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点S A ABC = _______ .10. （2004?盐城）若直角三角形斜边长为6,则这个直角三角形斜边上的中线长为.11 . （2013?遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F 分别是AO、AD的中点，若AB=6cm , BC=8cm，贝U△ AEF 的周长= ___________________ cm.5. （2008?攀枝花）四边形ABCD为矩形，已知点A （1, 1）, B （3,1）, C （3, 5）,那么D点坐标为（）A. （1 , 3）B. （1 , 5）C. （5, 3）D. （5, 1）6. （2005?泸州）如图，在宽为20m,长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为（）= ---- 30 耕AA . 600m2B . 551m22C . 550mD . 500m27. (2013?枣庄) 如图，△ ABC中,AB=AC=10 , BC=8 , AD 平分/ BAC 交BC 于点D，点E为AC的中点，连接DE,则△ CDE的周长为（）12. ______________________ （2012?龙岩）如图，Rt△ ABC 中， / C=90 ° ,AC=BC=6 , E 是斜边AB 上任意一点，作EF±AC于F, EG丄BC于G , 则矩形CFEG的周长是_________________________________ .13. （2012?哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE 交AB 于点F，/ AED=2 / CED，点G 是DF的中点，若BE=1 , AG=4，贝U AB的长为.AB=AC , AD丄BC，垂足为D. E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF .如果/ AED=62，那么/ DBF=( )A. 62°B. 38 °C. 28°D. 26°二、填空题（每题3分，共18分）9. （2009?内江）已知Rt△ ABC的周长是4+4匚，斜边上的中线长是2,则15. （6 分）（2011?乐山）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF.求证：BE=CF.14.（2011?盘锦）如图，矩形纸片ABCD ,AD=2AB=4，将纸片折叠，使点C落在ADB. ■'D . 1.5B C C G BA -；16. （6分）（2012?广东模拟）已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，/ ACD 是厶ABC的外角，延长EF交/ ACD的平分线于G点，求证：AG丄CG.17. （6分）已知：在矩形ABCD中，对角线AC , BD相交于O, AC=2AD ,过点B作BE// AC交DA的延长线于点E,试判断厶BDE的形状.20. （2013?烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A , B 重合），分别过A , B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F, Q为斜边AB的中点.（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是______________ , QE与QF的数（2）如图2,当点P在线段AB上不与点Q 重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3,当点P在线段BA （或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.18. 如图，点P是矩形ABCD内一点，已知△ PBC的面积为5,△ PCD的面积为2, 求厶PAC的面积.19. （2013?重庆）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF ,连接EF、BF , EF与对角线AC交于点O, 且BE=BF，/ BEF=2 / BAC .（1）求证：OE=OF ;（2 ）若BC=2二，求AB的长.二参考答案基础为本、掌握新知1•直角的平行四边形2•特殊的3. (1)对边互相平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线互相平分(2)四个角都为直角；对角线相等.4•中线斜边一半一例一练、活用数学1..C 【解析】•••四边形ABCD 是矩形，••• AO=BO=CO=DO ,•••△ ABO , △ BCO , △ DCO , △ ADO都是等腰三角形，故选：C.2.28【解析】根据矩形的性质得到△ ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm , AB : BC=3 :4，根据勾股定理得到BC2 = AC2 - (3 BC)2= 100…~9 BC2，解得BC=8 , AB=6，故它416的周长=2X8+2X6=28cm .3. 解：T Rt△ ABC 中，/ ACB=90°，/ A=30° , AB=8 , CD 是斜边AB 上的高，CE 是中线，•BC=BE=CE=4 BCE是等边三角形，：CD是斜边AB上的高，• CD也是BE边上1的中线，• ED= EB=2 .24. 解：△ ACF是等腰直角三角形，理由如下：•••四边形ABCD , EFGC为全等的矩形，•AB=CE，/ B= / E=90°, BC=EF , •△ ABC ◎△ CEF,「./ ACB= / CFE , AC=CF ,•••点B、C、E 共线，ABC+ / ACF+ / FCE=180，•/ ACF=180 -( / ECF+ / EFC) =90°,•△ ACF是等腰直角三角形.1、C；2、B；3、C；4、5；5、6；6. (1)证明：•••四边形ABCD 是矩形，• AB=CD，/ A= / C=90°, / ABD= / BDC ,•/△ BEH 是厶BAH 翻折而成，•/ ABH= / EBH，/ A= / HEB=90 , AB=BE ,•/△ DGF >△ DGC 翻折而成，•/ FDG= / CDG，/ C= / DFG=90 , CD=DF ,1 1•••/ DBH= / ABD，/ BDG= —/ BDC，•/ DBH= / BDG , •△ BEH 与△ DFG 中，2 2/ HEB= / DFG, BE=DF，/ DBH= / BDG , •△ BEH ◎△ DFG,(2)解：•••四边形ABCD 是矩形，AB=6cm , BC=8cm , • AB=CD=6cm , AD=BC=8cm ,•- BD= BC2 CD2=、82 62=10,v 由(1)知，FD=CD , CG=FG ,• BF=10-6=4cm , 设FG=x,则BG=8-x,在Rt△ BGF 中，BG2=BF2+FG2,即(8-x)2=42+x2，解得x=3,即FG=3cm . 课时自测、认清自我1.B 【解析】•••四边形ABCD 是矩形，AC=8 , • AC=BD , AC=2AO , BD=2BO , • AO=BO=4 ,•••/AOD=120 ,•••/AOB=60，丄 AOB 是等边三角形，二AB=AO=4 , ：•△ ABO 的周长是4+4+4=12 ,2.C 【解析】T CE // BD , DE // AC ,•四边形CODE是平行四边形，：•四边形ABCD是矩形，• AC=BD=4 , OA=OC , OB=OD , • OD=OC=—AC=2，•四边形CODE 是菱形，•四边形CODE勺周长为：4OC=4< 2=8.3. C 【解析】由题意得，心、AB2 BC2=』AD2• DC2= . 10，故可得AM= .. 10 ,BM=AM - AB= - 3,又•••点B 的坐标为(2, 0) , •点M 的坐标为(- 1, 0).4. D 【解析】连接CE,由矩形ABCD可知O是AC的中点，又因为EO丄AC ,所以EO 是AC的垂直平分线，则AE=CE.在Rt△ CDE中，设AE=CE=x,贝U DE=2 - X,由勾股定理，得CE2=CD2+DE2，则X2=2+(2-X)2,解得AE=x=1.5.5. B 【解析】•••矩形ABCD 中，A( 1, 1) , B (3, 1) , C( 3, 5) , • AB // X 轴// CD , AD // BC // y 轴，• D的横坐标和A的横坐标相同，都是1 , D的纵坐标和C的纵坐标相同，都是5 ,即D的坐标是(1 , 5).6. B 【解析】30 >20 - 30 XI - 20 X1+1 Xl=600 - 30 - 20+1=551 (平方米).7. C 【解析】T AB=AC , AD 平分/ BAC , BC=8 , • AD 丄BC , CD=BD= —BC=4 ,2•••点E 为AC 的中点，• DE=CE=_AC=5, CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14 .28. C 【解析】I AB=AC , AD 丄BC , • BD=CD •又BAC=90°, • BD=AD=CD •又T CE=AF ,• DF=DE . • Rt △ BDF 也Rt △ ADE ( HL ). DBF= / DAE=90 - 62° =28°.9.4【解析】T Rt△ ABC的周长是4+4 '• 2，斜边上的中线长是2,.••斜边长为4,— 2 2 1设两个直角边的长为X, y,则x+y=4 2 , X +y =16，解得：xy=8, • S^ABC= xy=4.10.3【解析】T直角三角形斜边长为6,.••这个直角三角形斜边上的中线长为3.11.9; 12.12; 13. .15 14.4-2 .315. 证明：T矩形ABCD的对角线为AC和BD , • AO=CO=BO=DO , T E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF , • EO=FO，在△ BOE和厶COF中，r EO=FOT ZE0B二ZF0C •••△ BOE COF ( SAS) , • BE=CF ..B0 二CO16. 证明：T E、F分别是AB、AC的中点，• EF是厶ABC的中位线，AF=CF , • EF / BC,• / FGC= / GCD . T CG 平分/ ACD , •/ FCG= / GCD , •/ FCG= / FGC , • FG=FC .又T AF=CF , • FG是厶ACG中AC边上的中线，且:,•△ AGC是直角三角形，17. 解：△ BDE 是等边三角形.理由：•••四边形 ABCD 是矩形，二BD=AC ,AD // BC,AC=20A , BD=20D , •/ AC=2AD , A OA=OD=AD , /•△ OAD 是等边三角形，/-Z ADO=60 , •/ BE // AC , •••四边形AEBC 是平行四边形，/• BE=AC ，•/ BD=BE △ BDE 是等边三角形.18. 解：■/ S A APD +S △BPC —S 矩形 ABCD , S △ ABP +S △ CPD=—S 矩形 ABCD ,…S A APD + S A BPC =S △ABP2 2+S A C PD = s 矩形 ABCD , • S A PAB = S 矩形 ABCD — SA PCD = S 矩形 ABCD — 2 ,2 2 2--SA PAC =S A ABP +S △ BPC-SA ABC =S A ABP +S A BPCABCD =3 .19. (1)证明：在矩形 ABCD 中，AB // CD , /Z BAC= Z FCO ，在△ AOE 和厶 COF 中,fZBAC=ZFC0ZACE=ZC0F ,•△ AOE 心COF (AAS ), • OE=OF ；iAE=CF (2)6；20. 略圏1l c— s 矩形ABCD = s 矩形ABCD22。