人教A版高中数学三维设计必修4课时跟踪检测

阶段质量检测（一） 三角函数(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析：选A y ＝sin x 2为奇函数，T ＝2π12＝4π，故选A.2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．36解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6.∴S ＝12lr ＝12×6×6＝18.3．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵－π2＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2 解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得12cos α＝6sin α，即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞) 解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0， ∴π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4， 当π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝⎛⎦⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6. 7．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数 解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确；当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π6，f (x )＝sin 5π6＝12，B 不正确；把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，C 正确；当x ＝π12时，f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π2＝1，当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2π3＝32＜1，在⎣⎡⎦⎤0，π6上f (x )不是增函数，D 不正确．8．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P离地面的高度h (米)与时间t (分钟)的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25510．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝________，sin θsin θ＋cos θ＝________.解析：∵角θ的终边过(4，－3)， ∴cos θ＝45，sin θ＝－35.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.sin θsin θ＋cos θ＝－35－35＋45＝－3.答案：－45－311.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则T ＝________，φ＝________.解析：由题图可知T ＝2⎝⎛⎭⎫4π3＋2π3＝4π， A ＝12(2＋4)＝3，B ＝－1.∵T ＝4π，∴ω＝12.令12×4π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 答案：4π －π612．函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3－1的最小正周期为________，f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3－1， ∴其最小正周期为2π4＝π2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫43π＋π3－1＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3－1 ＝2cos π3－1＝2×12－1＝0.答案：π213．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的解析式为________________，单调减区间为________________．解析：由题意，知A ＝3，ω＝2πT ＝2π2π7＝7，φ＝π6， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6， 由2k π＋π2≤7x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z.得2k 7π＋π21≤x ≤2k 7π＋421π，∴这个函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤2k 7π＋π21，2k 7π＋421π，k ∈Z. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6 ⎣⎡⎦⎤2k 7π＋π21，2k 7π＋421π，k ∈Z 14．已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1和y ＝2所得的线段长分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是________．解析：∵两条直线所截得的线段长都为y ＝tan ωx (ω＞0)的最小正周期，∴m ＝n ＝πω.答案：m ＝n15．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为______． 解析：根据题意得g (x )＝2sin ωx ，又y ＝g (x )在⎣⎡⎤－π6，π4上为增函数，∴T 4≥π4，即ω≤2，所以ω的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos (3π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－4π)cos (θ＋2π)cos (3π＋θ)＋cos (－θ)的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12. 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 17．(本小题满分15分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4， 因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.18．(本小题满分15分)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值． (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.19．(本小题满分15分)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1. (1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值．解：(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1的图象． (2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z)．当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π8＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式． (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝2π，所以ω＝1， 易知B ＞0，又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且－π2＜φ＜π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1. (2)因为函数f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3＋1的周期为2π3， 又k ＞0，所以k ＝3.令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，如图：sin t ＝s 在t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上有两个不同的解必须满足s ∈⎣⎡⎭⎫32，1，所以方程y ＝f (kx )(k ＞0)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时恰好有两个不同的解必须满足m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．阶段质量检测（二） 平面向量(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13 C.17D ．13解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B. 2．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.3．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且 AD ＝2AB －3 BC ，则点D 的坐标为( )A ．(2,16)B ．(－2，－16)C ．(4,16)D ．(2,0)解析：选A 设D (x ，y )，由题意可知 AD ＝(x ＋1，y －2)，AB ＝(3,1)， BC ＝(1，－4)，∴2AB －3 BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 4．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h ，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )A ．90 °B ．30°C ．45°D ．60°解析： 选D 如图，用 OA 表示水速，OB 表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .于是tan ∠AOC ＝| AC ||OA |＝|OB || OA |＝|v 静||v 水|＝3， ∴∠AOC ＝60°，故选D.5．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC＝2 BD ， CE ＝2 EA ， AF ＝2 FB ，则 AD ＋ BE ＋ CF 与BC( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A ∵ AD ＋ BE ＋ CF ＝( AB ＋ BD )＋( BA ＋AE )＋( CB ＋ BF )＝13 BC ＋13AC ＋⎝⎛⎭⎫CB ＋13 BA ＝13 BA ＋13 BC ＋13 AC ＋ CB ＝－13BC ， ∴( AD ＋ BE ＋CF )与 BC 平行且方向相反．6．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．7．已知平面上直线l 与e 所在直线平行且e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O ′和A ′，则O A ''＝λe ，其中λ等于( )A.115 B ．－115 C ．2 D ．－2解析：选D 由题意可知|O A '' |＝|OA |cos(π－θ)(θ为OA与e 的夹角)．∵O (0,0)，A (1，－2)，∴OA＝(1，－2)．∵e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，∴OA ·e ＝1×⎝⎛⎭⎫－45＋(－2)×35＝－2＝|OA |·|e |·cos θ，∴|OA |·cos θ＝－2.又∵|O A ''|＝|λ|·|e |，∴λ＝±2.又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故选D. 8．在△ABC 中，有下列四个命题：①AB －AC ＝BC ；②AB ＋BC ＋CA＝0；③若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC ·AB>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④解析：选C ∵AB －AC ＝CB ＝－BC ≠BC ，∴①错误．AB ＋BC ＋CA ＝AC＋CA ＝AC－AC ＝0，∴②正确．由(AB ＋AC )·(AB －AC )＝2AB －2AC ＝0，得|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．AC ·AB >0⇒cos 〈AC ，AB〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7. 答案：710．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝________.解析：∵AM ＝2MC，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB－16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ，∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1611．已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c·a ＝c·b ＝－1，则|c |＝________，|a －2b ＋3c |＝________.解析：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则c ·a ＝x ＝－1，c·b ＝y ＝－1，所以c ＝(－1，－1)，|c |＝ 2.所以a －2b ＋3c ＝(－2，－5)，所以|a －2b ＋3c |＝(－2)2＋(－5)2＝29.答案：22912．若向量a 与b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a －b )⊥a .则向量a 与b 的夹角等于________，|a ＋b |＝________.解析：因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝a 2－a·b ＝0，所以a·b ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝22×2＝22，所以〈a ，b 〉＝π4.因为|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2×2＋4＝10，所以|a ＋b |＝10.答案：π41013．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ，若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)的模为________，向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． 解析：∵e 1·e 2＝32，且e 1，e 2均为单位向量，∴向量e 1与e 2的夹角为30°， ∴f (e 1，e 2)＝e 1cos 30°－e 2sin 30°＝32e 1－12e 2， ∴|f (e 1，e 2)|＝ ⎝⎛⎭⎫32e 1－12e 22＝34e 21－32e 1·e 2＋14e 22＝12. ∵向量e 1与e 2的夹角为30°，∴向量e 2与－e 1的夹角为150°， ∴f (e 2，－e 1)＝e 2cos 150°＋e 1sin 150°＝12e 1－32e 2，∴f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎫32e 1－12e 2·⎝⎛⎭⎫12e 1－32e 2＝34e 21－e 1·e 2＋34e 22＝0， 故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.答案：12 π214．已知向量AB 与AC 的夹角为120 °，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC，且AP ⊥BC，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC＝0，即(λAB ＋AC )·(AC－AB )＝－λAB 2＋AC 2＋(λ－1)·AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：71215.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ ＝λDC ，CP＝(1－λ)CB，则AP ·AQ 的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设Q (m ，n )，由DQ ＝λDC得，(m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝1.又B (2,0)，设P (s ，t )，由CP ＝(1－λ)CB得，(s －1，t －1)＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，所以AP ·AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故AP ·AQ ∈[0,2]．答案：[0,2]三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)平面内有向量 OA ＝(1,7)， OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当 MA ·MB 取最小值时，求 OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量 OM 与 OP 共线，又OP ＝(2,1)．∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴ OM ＝(2y ，y )．又 MA MA ＝OA － OM ， OA ＝(1,7)， ∴MA ＝(1－2y,7－y )．同理 MB ＝OB － OM ＝(5－2y,1－y )．于是 MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5＝2时， MA ·MB 有最小值－8，此时 OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时， 有 MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)，| MA |＝34，|MB |＝2， MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝ MA ·MB | MA || MB |＝－834×2＝－41717.17．(本小题满分15分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2 AC ＋CB ＝0，(1)用 OA ， OB 表示 OC .(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解：(1)因为2 AC ＋CB ＝0，所以2( OC － OA )＋( OB －OC )＝0， 2 OC －2 OA ＋ OB －OC ＝0，所以 OC ＝2 OA － OB .(2)证明：如图，DA ＝ DO ＋ OA ＝－12OB ＋ OA ＝12(2OA － OB )． 故 DA ＝12OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．18．(本小题满分15分)如图，平行四边形ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 使BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量 AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求 AM ·HF . 解：(1)连接AF ，由已知得 AM ＝ AD ＋DM ―→＝12a ＋b .∵ AF ＝ AB ＋ BF ＝a ＋13b ，∴ HF ＝HA ―→＋ AF ＝－12b ＋⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12 ＝－6，从而 AM ·HF＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中， AB · AC ＝0，|AB |＝12，| BC |＝15，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点．(1)求 AD ·CB 的值；(2)判断 AE ·CB 的值是否为一个常数，并说明理由．解：(1)∵ AB ·AC ＝0，∴AB ⊥AC .又|AB |＝12，| BC |＝15，∴| AC |＝9.由已知可得 AD ＝12( AB ＋AC )， CB ＝ AB － AC ，∴ AD ·CB ＝12( AB ＋ AC )·( AB － AC ) ＝12( 2AB － 2AC ) ＝12(144－81)＝632. (2) AE ·CB 的值为一个常数． 理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，∴ DE ·CB ＝0. 故 AE ·CB ＝( AD ＋ DE )· CB ＝ AD · CB ＋ DE · CB ＝ AD · CB ＝632. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若 AB ⊥a ，且|AB |＝5| OA |，求向量 OB ；(2)若向量 AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求 OA ·OC . 解：(1)因为 AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t .又|AB |＝5| OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8.所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为 AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， 当k >4时，1>4k >0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故 OC ＝(4,8)，所以 OA · OC ＝8×4＋8×0＝32.阶段质量检测（三） 三角恒等变换(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210B ．－210C.7210D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 2．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫cos x cos π6－sin x sin π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈R ，∴x －π6∈R ，∴f (x )∈[]－3，3. 3．设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17° ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin(37°＋23°) ＝sin 60°， 故c <a <b .4．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，故sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55. 5．化简：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形． 7．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值为( )A ．－2 B.12 C.43D.12或－2 解析：选A 根据题意得tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a －3a ＝43.又∵a >1，∴tan α＋tan β<0，tan αtan β>0， ∴tan α<0，tan β<0.又∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴－π2<α＋β2<0，∴tan α＋β2<0，由tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，∴tan α＋β2＝－2⎝⎛⎭⎫tan α＋β2＝12舍去. 8．已知0<β<α<π2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝3314，则角β＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7， ∴sin α＝437，cos α＝17. 又sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. ∵0<β<π2，∴β＝π3.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 答案：2210.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析：原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案：－4 311．式子“cos( )(1＋3tan 10°)＝1”，在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则所填锐角为________．解析：设cos α·(1＋3tan 10°)＝1，则cos α＝11＋3tan 10°＝cos 10°cos 10°＋3sin 10°＝cos 10°2sin 40°＝sin 80°2sin 40°＝cos 40°.又α为锐角，故α＝40°.。