离散时间LTI系统分析讲义-学生
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
第七章LTI离散时间系统在变换域中的分析
具有理想幅度响应的数字滤波器
• 设计数字滤波器，为了无失真的传输某些 频率上的信号：
–让滤波器的频响在这些频率上为1——通带 –让滤波器的频响在其他频率上为0——阻带
• 四类常见的具有实冲激响应函数的理想数 字滤波器的频响：P284 图7.1
–低通滤波器：通带、阻带 –高通滤波器：通带、阻带 –带通滤波器：通带、阻带 –带阻滤波器：通带、阻带
• 根据滤波器长度为奇或为偶，冲激响应是正对称或 反对称，可以有四种线性相位FIR滤波器
简单数字滤波器
• 满足频率选择要求的滤波器主要在第 九章和第十章讨论
• 本节讨论低阶系统：
–低通FIR数字滤波器 –高通FIR数字滤波器 –低通IIR数字滤波器 –高通IIR数字滤波器
zM zM
即：
AM
z
z M DM (z 1)
DM z
• 若z=rejφ是实系数全通传输函数的一个极点， 则它有一个零点在1/r*e-jφ
M阶因果实系数全通传输函数
• 全通传输函数的分子可以称为分母的镜像 多项式，反之亦然。
AM
M
i 1
*i z 1 1 i z 1
• 由于因果稳定传输函数的极点必须在单位 圆内，因此因果稳定全通传输函数的所有 零点必须在单位圆外，并且和与之对应的 极点成镜像对称。
截止频率：ωcω1ω2
滤波器的实现问题
• 理想滤波器的不可实现性
–双边无限长 –非因果 –不绝对可和
• 利用专门方法设计滤波器
–允许过渡地带 –允许通带和阻带上有一定的波动 –以几种简单的低阶FIR和IIR滤波器级联
形成各种功能的滤波器
有界实传输函数(BR)
• 定义： |H(ejω)|≤1
《LTI系统描述》课件
成本与可扩展性
在设计和实现LTI系统时，需要考 虑成本和可扩展性，以满足不同 规模和复杂度的应用需求。
06
LTI系统的扩展与优化
非线性系统的线性化处理
幂级数法
通过将非线性函数展开为幂级数形式，将非 线性系统转化为线性系统进行处理。
同频率下的行为。
频域分析常用的工具是频率响 应函数和频率特性曲线。
时域分析
时域分析是通过直接求解系统微分方程或差分方 程来分析系统在时间域内的行为。
时域分析可以提供系统输出随时间变化的详细信 息，包括超调和欠调、上升时间和峰值时间等。
时域分析常用的工具是阶跃响应和脉冲响应。
稳定性分析
稳定性分析是评估系统在受到扰动后能否恢复 平衡状态的过程。
LTI系统可以用差分方程或传递函数来 描述，具有数学表达式的形式。
特性
线性性
LTI系统的输出与输入成正比，即输入信号 的倍数等于输出信号的倍数。
因果性
LTI系统的输出只与过去的输入有关，与未 来的输入无关。
时不变性
LTI系统的特性不随时间变化，即系统在不 同时刻的响应具有一致性。
稳定性
LTI系统在输入信号消失后，系统能够逐渐 恢复稳定状态。
状态反馈系统设计的主要缺点是需要 更多的传感器和计算资源，且对于非 线性系统的适用性可能有限。
05
LTI系统的实现与仿真
数字实现与模拟实现
数字实现
使用数字信号处理（DSP）技术，通过 编程语言（如C或MATLAB）和数字信 号处理器（DSP）或通用微处理器来实 现LTI系统。数字实现具有精度高、稳定 性好、易于实现复杂算法等优点。
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
系统分析和设计
通过单位脉冲响应可以分析系统 的稳定性、频率响应和因果性等 特性，用于系统的设计和优化。
信号处理
单位脉冲响应可以用于信号的滤 波、预测和合成等处理，提高信 号的质量和性能。
控制工程
单位脉冲响应可以用于控制系统 的分析和设计，优化控制性能和 稳定性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
IIR系统
系统的输出不仅与当前的输入有关， 还与过去的输入有关，因此其单位脉 冲响应在时间上是无限的。
系统的表示方法
差分方程
离散时间LTI系统的动态行为通常由差分方 程描述，如 $y(n) = f(n) + g(n)u(n)$。
传递函数
通过将差分方程转换为传递函数的形式，可以更方 便地分析系统的频率响应和稳定性。
仿真分析的步骤与过程
建立数学模型
根据系统定义，建立离散时间LTI系统的数学模型，包括差分方程或传递函数。
生成单位脉冲信号
在仿真中，生成一个单位脉冲信号，用于输入到离散时间LTI系统中。
计算单位脉冲响应
将单位脉冲信号输入到系统中，并记录系统的输出，即单位脉冲响应。
分析单位脉冲响应
对单位脉冲响应进行分析，包括幅度和相位特性，以及稳定性等。
性质
单位脉冲响应是线性时不变系统的内 部动态特性，具有稳定性、因果性和 可预测性。
单位脉冲响应的求解方法
直接法
根据系统函数或差分方程，直接计算单位脉冲响 应的数值解。
迭代法
根据系统函数或差分方程，通过迭代计算单位脉 冲响应的数值解。
逆系统法
通过求解系统的逆系统，得到单位脉冲响应的数 值解。
单位脉冲响应的应用
离散时间LTI系统的时域分析
MATLAB 源程序为： >> H=sym('1/(s^3+6*s^2+11*s+6'; >> h=ilaplace(H 输出结果为： h= exp(-t/2 - exp(-2*t + exp(-3*t/2 即h t = e−t − e−2t + e−3t 2 2 1 1 方法二：部分分式展开法 MATLAB 源程序为： >> A=[1 6 11 6]; >> B=[1]; >>[r,p]=residue(B,A 输出结果为： r= 0.5000 -1.0000 0.5000 p= -3.0000 -2.0000 -1.0000 1 1 2 2 可见，两种方法的输出结果是相同的。
即h t = e−t − e−2t + e−3t 6. 一离散系统的框图如图所示： x（n）10 Σ -0.1 0.12 z-1 z-1 y（n）（1）.列写系统的差分方程；（2）.求系统函数 H （z），并求出 H （z）的零极点图（matlab）；（3）.求当输入为 x（n）=u（n）时的零状态响应 yzs（n）（matlab）；（4 ）．求系统的频域相应（matlab）（5 ）．判断系统的稳定性；解： (1 系统差分方程为y n + 0.1y n − 1 − 0.12y n − 2 = 10x(n (2 H z = 101+0.1z −1 −0.12z −2 = 10z 2 z 2 +0.1z −0.12 求零极点图的 MATLAB 源程序为： >> A=[1 0.1 -0.12]; >> B=[10 0 0]; >> zplane(B,A;grid on >> legend('零点','极点' >> title('零极点分布图' 输出的结果如图 6-1 所示：图 6-1 (3 MATLAB 源程序为： >> A=[1 0.1 -0.12]; >> B=[10]; >> n=0:30; >> x=heaviside(n; >> y=filter(B,A,x; >>stem(n,y,'fill',grid on >> xlabel('n',title(' 系统零状态响应 yzs(n' 程序运行结果如图6-2 所示：图 6-2(4 MATLAB 源程序为： >> A=[1 0.1 -0.12]; >> B=[10]; >> [Hw]=freqz(B,A,400,'whole'; >> Hm=abs(H; >> Hp=angle(H; >> subplot(121 >>plot(w,Hm,grid on >> xlabel('\omega(rad/s',ylabel('幅度' >> title('离散系统幅频特性曲线' >> subplot(122 >> plot(w,Hp,grid on >> xlabel('\omega(rad/s',ylabel('相位' >> title('离散系统相频特性曲线' 程序运行结果如图 6-3 所示：图 6-3 (5由零极点图可得，系统极点全部在单位圆内，则系统稳定。
7.3离散时间LTI系统的复频域分析
N ( z) = D( z )
系数
=K
∏(z − z )
j=1
n
m
j
z1, z2 ⋅⋅⋅ zm H 的 点 (z) 零
∏(z − p )
i=1 i
p , p2 ⋅⋅⋅ pn H 的 点 (z) 极 1
H(z)由系数、零点和极点三个参数决定. )由系数、零点和极点三个参数决定. 分子多项式的根称为零点 零点， 分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 除一系数外， ZT的完整表示由零极点 除一系数外 称为极点。 信号的ZT 称为极点。 ，信号的ZT的完整表示由零极点 极点 ROC决定 零极点图是Z变换的图示方法 决定。 变换的图示方法。 和ROC决定。零极点图是 变换的图示方法。
−1
单 ZT
已知因果系统 (1)计算h[k ],H ( z ); (2)计算输出y[k ].
y[k ] − 5 y[k − 1] − 6 y[k − 2] = 2 x[k ] − x[k − 1], x[k ] = u[k ] y[−1] = 1, y[−2] = 0,
两边作Z变换有 解:两边作 变换有 两边作
反Z变换 变换
∴ yzs [k] = 7.5⋅ 3 u[k] − 6 ⋅ 2 u[k] + 0.5u[k]
k k
k k
∴ y[k] = yzi [k] + yzs [k] = 16.5× 3 u[k] −10× 2 u[k] + 0.5u[k]
(1)计算h[k ],H ( z );
Y zs [ z ] 2 − z −1 2 − z −1 H (z) = = = −1 −2 −1 −1 X [z] 1 − 5z + 6z (1 − 2 z )(1 − 3 z )
8离散时间LTI系统响应的时域分析
离散时间LTI 系统响应的时域分析◆迭代法◆基于求解常系数线性差分方程的方法◆基于零输入响应和零状态响应的方法离散时间LTI 系统输入信号x [k ]输出信号y [k ][例]线性常系数差分方程y [k ]－0.5y [k －1]=u [k ],y [－1]=1,求差分方程。
解：将差分方程写成]1[5.0][][-+=k y k u k y 代入初始状态5.115.01]1[5.0]0[]0[=⨯+=-+=y u y 75.15.15.01]0[5.0]1[]1[=⨯+=+=y u y 875.175.15.01]1[5.0]2[]2[=⨯+=+=y u y依此类推 1. 迭代法已知n 个初始状态{ y [－1], y [－2], y [－2],∙∙∙, y [－n ] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出，称为迭代法。
优点：简单直接，适合计算机计算；缺点：很难得到闭合形式的解。
差分方程的全解由齐次解y h [k ]和特解y p [k ]组成][][][p h k y k y k y +=✓齐次解y h [k ]的形式由差分方程对应的特征根确定✓特解y p [k ]的形式由方程右边激励信号的形式确定描述离散LTI 系统使用常系数线性差分方程差分方程的全解即为系统的输出响应。
][][00j k x b i k y a j m j i n i -=-∑∑==[例]已知描述某离散时间LTI 系统的差分方程为y [k ] －5y [k －1]+6y [k －2] = x [k ]，k ≥0初始条件y [0] = 0, y [1] = －1, 输入信号x [k ] = 4k u [k ]，求全解y [k ]。
特征根为齐次解y h [k ]解：(1) 确定齐次方程y [k ] －5y [k －1]+6y [k －2] = 0齐次解y h [k ]的形式特征方程为0652=+-r r 3,221==r r 0,32][21h ≥+=k C C k y k k解：由输入x [k ]的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可求得待定系数A = 8。
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实验四 离散时间LTI 系统分析实验目的●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位冲激响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。
●学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ●学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ●学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
实验原理及实例分析1 离散时间系统的响应离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即∑∑==-=-Mj jN i i j n x b i n y a 00)()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。
MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter 的语句格式为y=filter(b,a,x)其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。
【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n=时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 2];>>b=[1 2];>>n=0:30;>>x=(1/2).^n;>>y=filter(b,a,x);>>stem(n,y,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图1所示。
2 离散时间系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应定义为系统在)(n δ激励下系统的零状态响应，用)(n h 表示。
MATLAB 求单位冲激响应的方法是利用控制系统工具箱提供的函数impz 来实现。
impz 函数的常用语句格式为impz(b,a,N)其中，参数N 通常为正整数，代表计算单位冲激响应的样值个数。
【实例2】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y利用MATLAB 的impz 函数绘出该系统的单位冲激响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 2];>>b=[1 2];>>n=0:30;>>impz(b,a,30),grid on>>title('系统单位冲激响应h(n)')程序运行结果如图3所示。
图3-1 实例3-1系统的零状态响应3 离散时间信号的卷积和运算由于系统的零状态响应是激励与系统的单位冲激响应的卷积，因此卷积运算在离散时间信号处理领域被广泛应用。
离散时间信号的卷积定义为∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()( （2） 可见，离散时间信号的卷积运算是求和运算，因而常称为“卷积和”。
MATLAB 求离散时间信号卷积和的命令为conv ，其语句格式为y=conv(x,h)其中，x 与h 表示离散时间信号值的向量；y 为卷积结果，它默认序列从n ＝0开始。
但是如果序列是从一负值开始，即{}{}():12():12x n nx n nx h n nh n nh ≤≤≤≤如果nx1<0或nh1<0就不能直接采用conv 函数。
其卷积结果序列为{():1122}y n nx nh n nx nh +≤≤+，这样就可以构成一个新的卷积函数conv_m 。
如下所示： function[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)ny1=nx(1)+nh(1);ny2=nx(length(x))+nh(length(h));ny=[ny1:ny2];y=conv(x,h)值得注意的是用MA TLAB 进行卷积和运算时，无法实现无限的累加，只能计算时限信号的卷积。
图3-3 系统单位取样响应【实例3】 已知某系统的单位冲激响应为()()()[]88.0--=n u n u n h n，试用MA TLAB 求当激励信号为)4()()(--=n u n u n x 时，系统的零状态响应。
解：MATLAB 中可通过卷积求解零状态响应，即)(*)(n h n x 。
由题意可知，描述)(n h 向量的长度至少为8，描述)(n x 向量的长度至少为4，因此为了图形完整美观，我们将)(n h 向量和)(n x 向量加上一些附加的零值。
MATLAB 源程序为nx=-1:5; %x(n)向量显示范围(添加了附加的零值)nh=-2:10; %h(n)向量显示范围(添加了附加的零值)x=uDT(nx)-uDT(nx-4);h=0.8.^nh.*(uDT(nh)-uDT(nh-8));[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh);subplot(311)stem(nx,x,'fill'),grid onxlabel('n'),title('x(n)')axis([-4 16 0 3])subplot(312)stem(nh,h','fill'),grid onxlabel('n'),title('h(n)')axis([-4 16 0 3])subplot(313)stem(ny,y,'fill'),grid onxlabel('n'),title('y(n)=x(n)*h(n)')axis([-4 16 0 3])程序运行结果如图4所示。
【编程练习1】1. 试用MATLAB 命令求解以下离散时间系统的单位冲激响应。
（1）)1()()2()1(4)(3-+=-+-+n x n x n y n y n y（2）)()2(10)1(6)(25n x n y n y n y =-+-+2. 已知某系统的单位冲激响应为()()()[]10)87(--=n u n u n h n ，试用MATLAB 求当激励信号为)5()()(--=n u n u n x 时，系统的零状态响应。
图3-5 利用卷积和法求解系统的零状态响应4 z 正反变换序列()n x 的z 变换定义为()()[]()∑∞-∞=-==n n z n x n x z X Z （3）其中，符号Z 表示取z 变换，z 是复变量。
相应地，单边z 变换定义为()()[]()∑∞=-==0n n z n x n x z X Z （4）MATLAB 符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans 和z 反变换函数iztrans ，其语句格式分别为Z=ztrans(x)x=iztrans(z)上式中的x 和Z 分别为时域表达式和z 域表达式的符号表示，可通过sym 函数来定义。
【实例4】 试用ztrans 函数求下列函数的z 变换。
（1）)()cos()(n u n a n x n π=； （2）)(])2(2[)(11n u n x n n ----=。
解：（1）z 变换MATLAB 源程序为>>x=sym('a^n*cos(pi*n)');>>Z=ztrans(x);>>simplify(Z) %对Z 进行简化运算ans=z/(z+a) （2）z 变换MA TLAB 源程序为>>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)');>>Z=ztrans(x);>>simplify(Z)ans=z^2/(z-2)/(z+2)【实例5】 试用iztrans 函数求下列函数的z 反变换。
（1）65198)(2+--=z z z z X （2）32)2)(1()12112()(--+-=z z z z z z X 解：（1）z 反变换MA TLAB 源程序为>>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)');>>x=iztrans(Z);>>simplify(x)ans=-19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1)其中，charfcn[0](n)是)(n δ函数在MA TLAB 符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为)()2335()(619)(11n u n n x n n --⨯+⨯+-=δ。
（2）z 反变换MATLAB 源程序为>>Z=sym('z*(2*z^2-11*z+12)/(z-1)/(z-2)^3');>>x=iztrans(Z);>>simplify(x)ans=-3+3*2^n-1/4*2^n*n-1/4*2^n*n^2 其函数形式为)()241241233()(2n u n n n x n n n --⨯+-=。
5 系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H =（5） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为 11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （6） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到。
1， roots 的格式语句为：p=roots(A),其中A 为待求根的多项式的系数构成的行向量，返回向量p 则包含该多项式所有的根位置列向量。
2，tf2zp 的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
它的作用是将)(z H 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即)())(()())(()(2121n m p z p z p z z z z z z z k z H ------= （7） 【实例7】 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为16.032.0)(2+++=z z z z H 试用MATLAB 命令求该系统的零极点。