衍射衬度基本方程-衍射束强度计算

Fg f j exp(i 2 (k0 k g ) rj
j 1
n
满足布拉格条件时=gHKL n：晶胞中原子个数 fj：第j个原子对电子的散射因子（或原子散射 振幅）。与原子序数Z、θ以及λ有关（如前所 述），数据可查相关文献。 rj：第j个原子的位置矢量 kg ：衍射波矢 k0 ：入射波矢 k0· rj是j原子衍射波比原点衍射波沿着入射方向 多走的一段距离与λ之比， kg· rj是j原子衍射波比原点衍射波沿着衍射方向 少走的一段距离与λ之比。
θ KT
第1层的Kg 第j层的Kg
g i
j 1
m
nFg cos( )
exp(i 2 (k0 k g ) ja
关于 i 因子
很多教科书上有i因子
g i
j 1
m
nFg cos( )
A0 exp(i 2 (k0 k g ) ja
或者是带i因子的微分形式的公式（见ppt文件：材料现代
电子源
电子0
原子核0 +
电子1
原子核1
+
物镜 聚焦点
电子运行路径0：从电子源到原子核0 附近，被原子核0的引力散射后到达 聚焦点， 电子运动路径1：从电子源到原子核1 附近，被原子核1的引力散射后到达 同一聚焦点。注意到达在透镜后，从 各方向汇聚到焦平面上某一点的各个 电子，之前在透镜另一侧的运动方向 是平行的。 如果这两条路径的光程差是波长的整 数倍（简而言之光程相同），则意味 着，可以让电子源在间隔为一个时间 周期的不同时刻发射电子同时通过该 聚焦点。
聚焦点
1. 一个原子对电子的散射
原子核对电子的作用力（负号表示吸引），导 致的散射主要是弹性散射。
Ze2 Fn 2 r
Z原子序数 e电子电荷量 r电子与核距离
原子中电子对电子的作用力（正值表示排斥），导致 的散射主要是非弹性散射。
e2 Fe 2 r
电子与原子核的作用力是与电子的作用力的Z倍， 可见电子在物质中的弹性散射大于非弹性散射Z倍， Z越大，弹性散射就越重要。
k0
k0· rj rj 1（原点）
2
kg
kg· rj
3. 一层晶胞（单位面积）的散射
单位面积晶层包含n个晶胞
入射束 2. 每个晶胞的 面积=1/n，其 入射束振幅 1/cos(θ) （备注1） θ 2θ 1. 单位横截面积的入射束的振幅A0， 它照射的晶层面积=1/cos(θ)，单位 晶层面积的晶胞数=n，则单位横截 面积的入射束照射到n/cos(θ)个晶胞 上。 4. 对于衍射方向，每个晶胞的衍 射束之间的相位相同（相位=2nλ 即认为相位相同），每个晶胞的 振幅= Fg λ ，所以这n个晶胞的衍 射束合成振幅= nFg λ
2nFg k cos( )

cos( ) cos( ) 2k 2 2nFg nFg
a cos( ) g 2ka nFg
第2k层深度为2ka= ζg称为消光距离
Vc cos( ) Fg
Vc是晶胞体积 单位面积晶层（厚 度a）总体积为1· a， 则单位面积晶层晶 胞数目n=a/Vc，带 入上式得下式
如前所述：单位面积晶柱的衍射束的总振幅矢量为
g
j 1 m
m
nFg cos( )
exp(i 2sja)
exp(i 2sja) j 1 g
sin(sm a) exp(i 2sjm a) g s 厚度t sin(st ) exp(i 2st ) g s
λ/2 晶面间距d=L 2θ C λ/2 A
B
微线段元 间相位角 =2πdL/L
AB间入射 束合成振 幅相位 =π/2
A A处微线段元子波相位 =0（方向向右的箭头）
右图矢量AB代表左图AB之间各处入射波子波之间的合成振幅矢量=1； 入射波（平面波）经过AB成为球面波，向各个方向发生散射。
B处微线段元相位=π 入射到一个晶胞的入射束振幅大小=1 衍 射 晶 面
3. 某散射元相位的计算公式即
2 k0 k g r
原子0（原点） 位置与相位参 照点（位矢=0， 相位=0） kg·r r1 原点1， 位矢r1， 相位φ 1 K0·r Kg
K0 原点2， 位矢r2， 相位φ2
如图，K0·r是在入射束方向上 该散射元衍射束比参考散射元的 衍射束多走的光程（与波长之 比），kg·r是该散射元的衍射 束比参考散射元的衍射束在衍射 方向上多走的光程与波长之比）。
K0
ja
总层数 =m 第j层 总厚度
晶胞
t=ma
第j层晶体的衍射束振幅矢量大小如 前所述，而振幅矢量相位角取决于第j层 晶体与第1层晶体的光程差（设第1层晶 体（上表层）的相位=0），相位角 =2π(k0-kg)· ja。a是晶胞沿厚度方向的尺寸。 ja即第j层晶体的位置矢量在厚度方向分 量。 k0· ja是第j层晶体衍射波比第1层晶体 衍射波沿着入射方向多走的光程与λ之比， kg· ja是第j层晶体沿着衍射方向少走的光 程与λ之比。厚度方向所有m层晶体的衍 射波振幅之矢量和为
电子源
电子0
原子核0 +
电子1
聚光镜，可以将焦点（电子源 位置）上向各方向上发射的电 子变成平行电子束，并且垂直 于平行电子束的各点到焦点 （电子源）的光程相同
原子核1
+
物镜，可以将平行的 电子束聚焦在焦平面 上某点上，并且垂直 于平行电子束的各点 到此聚焦点的光程相 同。
物镜 聚焦点
计算各散射元某衍射束的强 度（或振幅矢量），即计算 该聚焦点的电子束强度（同 时到达此处的电子数数目）。 这需要计算两个量，一个是 电子波在该点振幅，一个是 在该点相位。
电子源
电子的波动性： 如果入射电子束的振幅矢量为
电子0
A exp(i(k0 x wt )
电子1
原子核0 +
原子核1
+
物镜
这意味着电子源每隔1/w的时间沿着x方向 （k0方向）发射m个速度为v的电子（m正 比于A2），这样在k0方向上 ，电子束将以 间隔长度为λ=v/w=1/k0的一列列团簇向前 以速度v运动的形式出现。m个电子经过各 原子核时，有一部分会受到电磁引力作用， 因引力方向垂直于速度（近似描述），则 运动方向偏转（即散射），而速度大小不 变（弹性散射）。如果各个电子团簇经过 各原子核的不同路径到达焦平面上某一聚 焦点，而这些路径的光程差= λ的整数倍， 则意味着可以让电子源在间隔为一个时间 周期的不同时刻发射电子同时通过该聚焦 点。
衍射束强度计算： 完整晶体衍衬运动学基本方程推导。
计算某散射元发射的衍射束的振幅矢量的条件： 1. 需要已知三个矢量：入射束波矢K0，衍射束波矢Kg，该散射元的位置 （位矢r）。 2. 要确定位矢r，应先确定一个参考散射元。此散射元的位矢=0（坐标原 点），相位也是0。注意，位置、时间、相位、速度、动量、能量等物理 量的值都是相对的。角动量是绝对的。
2 2
h/λ=mv
Ze Ze r 2m vsin 2h sin
显然，通过以原子核为圆心、半径r以内的截面积的电子，都将以大于2θ的 角度发生散射，即散射几率与面积πr2成正比。根据上式，散射几率与Z、λ 备注 成正比，与sin(θ)成反比。原子的散射因子f可根据相关文献查到。
小晶胞 第 j层 晶胞
A
nFg cos( )
结构因子
A0
倾斜因子
t
n：每层晶体单位面积晶胞数目 Fg：每个晶胞的结构因子。晶胞的散射振幅。 λ：电子束波长 θ：衍射半角（衍射角一半） A0：照在每个晶胞的入射束振幅，设为1
KT
Kg
3. 一个晶柱对电子的散射（晶层相位角计算）
晶柱单位横 截面积晶胞 数目为n 小晶胞
B
λ/2 晶面间距d=L 2θ C λ/2 A
B
C
A A处微线段元子波相位 =0（方向向右的箭头）
AC间的衍射波（平面波）是AB间球面波在2θ角的散射方向的相干散射 波。AB间A点处入射波子波在AC间的A点处的衍射波子波相位是0，C点 处衍射波子波相位是2π。从A到C，因为 右图矢量AC代表左图AC之间各处衍射波子波之间的合成振幅矢量。
6. 所以单位面积晶层的这n个晶胞在衍射束方向 上单位面积的衍射束振幅大小：
A
nFg cos( )
A0
nFg cos( )
1
3. 一个晶柱对电子的散射
晶柱单位面 积（垂直入 射束）晶胞 数目为n
K0
晶柱分成若干平行晶层。每层厚度方向包含一 个晶胞。每层单位面积的晶胞数=n，晶层几 乎垂直于K0或Kg（衍射角很小），各晶胞的衍 射束可认为同相位。则每层单位面积的晶体的 衍射束振幅矢量大小
θ
3. 入射束穿过晶胞 将发生散射，则每 个晶胞向原入射方 向的透射束振幅从1 减小至λ。而在2θ 方向的散射束振幅 为Fgλ/cos(θ )。 （菲涅尔半波带 法）。
备注
B处微线段元相位=π 入射到一个晶胞的入射束振幅大小=1 衍 射 晶 面
B
合成振幅大小= 大圆直径=1 合成振幅相位 =π/2

பைடு நூலகம்nFg k
cos( )
每层晶体的衍射矢量相位角比上 一层多2π(k0-kg)·a=2πsa
微弧长
nFg cos( )
前k层晶层的合成衍射束振幅大小=π/2 前2k层晶层的合成衍射束的振幅大小=π
合成振幅从最小到最大 再到最小的一个周期变 化经历的弧长=圆周长π 这一个周期对应的深度 为第2k层晶层，2k值为
分析方法005-3TEM图像衬度理论.ppt
dg
inFg cos( )
A0 exp 2i(k g k0 ) r dz


一种解释（见下一ppt）
备注
3. 一个晶柱对电子的散射
如果kg不严格满足布拉格定律，即kg-k0=g+s （矢量加，g为倒易矢量，s为偏离矢量，与入射束平 行），将此关系式带入前面的式子得到：
关于波长λ的影响
波长越小，即电子动量越大，越不易被散射。
rn +
原子核对电子的散射
2θ
波长越小，同样作用力Fn（或距离同 一原子核相同距离rn处散射角越小），如 欲找到相同角度的散射电子，必须移至更 近的距离，导致此角度散射的电子数目更 少。
定量解释？？
备注
2. 一个晶胞对电子的散射
晶胞在HKL方向 （g）的散射振幅 因子（简称散射因 子，即散射电子振 幅与入射电子振幅 的系数关系因子） 不是指数关系因子
推导过程参考备注 m是晶体厚度方向上 总晶层层数，a是每 层厚度（晶胞厚 度），ma则是晶体 总厚度t。
原子核弹性散射本领与原子序数Z成正比（定量解释）
mv
rn
mv
原子核对电子的散射
2θ
mv
+ 2θ
mv
2
mv2θ
2θ很小
在单位时间内（时间=1），在垂直于入射束方向 的截面积上通过的电子被以2θ的角度散射，动量 的改变=Δmv=m Δv=2mvsinθ（如图），根据动 量定理2mvsinθ=Fnt=Fn=-Ze2/r2 （时间t=单位 时间=1），得
g
Kg K0
j 1
m
nFg
cos( ) 二者平行，去掉点乘负号 m nF g exp(i 2 ( g ja s ja) ) j 1 cos(

j 1 m
exp(i 2 ( g s) ja
g
s
nFg cos( )
exp(i 2sja )
二者垂直，=0
kg-k0=g+s
4. 用振幅圆描述各层晶体衍射束振幅矢 量与合成矢量
单位面积晶柱所有晶层的衍射 波的合成振幅最大值只能等于 1（前面已经设定单位面积晶 层上入射电子束振幅大小=1） 则此振幅圆周长为π。
每层晶体的衍射 矢量的大小相同

nFg cos( )
第k层时合成振幅最大（=1）， 此时圆弧（半圆）长=π/2=
原子核弹性散射本领与原子序数Z成正比 rn +
原子核对电子的散射
re
-
2θ
2θ
电子对电子的 散射
定性解释：电子在一定动能（或波长λ）下，其散射角2θ与作用力Fn有关。 如前所述，Fn=-Ze2/r2。即，被不同元素的原子核的以相同角度2θ散射的电子， 受作用力Fn相同，因为Z不同，这样的电子距离原子核的距离rn也不同，从作 用力公式看，被不同原子核散射同样角度的电子，其到原子核的距离rn与Z成 正比，Z越大，距离越大，因在距离rn的长度为2πrn圆周上（图中圆圈）通过 的所有电子都以2θ角度散射，所以以同样角度散射的电子数目越多 。