电磁场与电磁波复习提要(静态电磁场及边值问题的解)
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谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
因为电场强度大小是该点电位的变化率。
3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。
此时该点电位可能是任一个不为零的常数。
3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。
3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。
答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。
答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。
计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。
表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。
广东工业大学电磁场与电磁波48学时总复习2014
C S
安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
20
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
C
F dl F dS
S
方向相反大小
相等结果抵消
n
斯托克斯定理是闭合曲线 积分与曲面积分之间的一个变
S
换关系式，也在电磁理论中有
广泛的应用。
曲面的剖分 图 1.5.5 曲面的划分
C
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
F
1 h1h2 h3
h2 h3 F1 h1h3 F2 h1h2 F3 u 2 u3 u1
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
3、旋度的计算公式: Fz Fy Fx Fz Fy Fx 直角坐标系 F ex y z e y z x ez x y ex e y ez x y z Fx Fy Fz 圆柱坐标系 e 1 F F 球坐标系
e F ez z Fz
er 1 F 2 r sin r Fr
re rF
r sin e r sin F
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
20
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
C
F dl F dS
S
方向相反大小
相等结果抵消
n
斯托克斯定理是闭合曲线 积分与曲面积分之间的一个变
S
换关系式，也在电磁理论中有
广泛的应用。
曲面的剖分 图 1.5.5 曲面的划分
C
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
F
1 h1h2 h3
h2 h3 F1 h1h3 F2 h1h2 F3 u 2 u3 u1
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
3、旋度的计算公式: Fz Fy Fx Fz Fy Fx 直角坐标系 F ex y z e y z x ez x y ex e y ez x y z Fx Fy Fz 圆柱坐标系 e 1 F F 球坐标系
e F ez z Fz
er 1 F 2 r sin r Fr
re rF
r sin e r sin F
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
第一章 矢量分析
标量场:梯度描述
静态场(稳态场):不随t变
场
场 矢量场:散度和旋度描述 时变场：随t变化
单位矢量：模为1的矢量
与矢量 A同方向的单位矢量：
eA
Aˆ
A A
A eAA
坐标单位矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量
如：ex
ey
ez或者xˆ
yˆ
zˆ
A Axex Ayey Azez
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q d’
d
r1 q
q a q, d
d a2 d
第4章 时变电磁场
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
E(r) (r )
静磁场：B A
已知电位表达式可以用E(r) (r )求场强E
已知电场强度也可以求电位（P）
等于边界电流面密度。
1、E1t E2t
nˆ (E1 E2 ) 0
2、B1n B2n
3、D1n D2n s
nˆ B1 B2 0 nˆ (D1 D2 ) s
4、H1t H2t Js
nˆ H1 H2 Js
标量场:梯度描述
静态场(稳态场):不随t变
场
场 矢量场:散度和旋度描述 时变场：随t变化
单位矢量：模为1的矢量
与矢量 A同方向的单位矢量：
eA
Aˆ
A A
A eAA
坐标单位矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量
如：ex
ey
ez或者xˆ
yˆ
zˆ
A Axex Ayey Azez
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q d’
d
r1 q
q a q, d
d a2 d
第4章 时变电磁场
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
E(r) (r )
静磁场：B A
已知电位表达式可以用E(r) (r )求场强E
已知电场强度也可以求电位（P）
等于边界电流面密度。
1、E1t E2t
nˆ (E1 E2 ) 0
2、B1n B2n
3、D1n D2n s
nˆ B1 B2 0 nˆ (D1 D2 ) s
4、H1t H2t Js
nˆ H1 H2 Js
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
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第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
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第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与波第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
D d S
S
dV
V
E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP
Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0
1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P
O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
D d S
S
dV
V
E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP
Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0
1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P
O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1
《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场是电磁场的一种特珠形式。
当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。
静止电荷产生的静电场、在导电媒质中恒定运动电荷形成的恒定电场以及恒定电流产生的恒定磁场都属于静态电磁场。
由麦克斯韦方程组可以看出，当场量不随时间变化时，电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的，也就是说在静态情况下，电场和磁场是各自存在的，我们可以分别讨论。
本章将分别介绍静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法，最后介绍静电场边值问题的解法。
3.1 静电场分析静电场是静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的和特珠的形式。
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件1． 基本方程考虑到电磁场的源量（静止电荷q ）和场量（E 、D ）不随时间变化这一特征，由麦克斯韦方程组得出静电场的基本方程为积分形式d d (3.1.1)d 0(3.1.2)SV cVρ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰D S E l微分形式(3.1.3)0(3.1.4)ρ⎧∇⎪⎨∇⨯=⎪⎩D =E以及ε=D E （3.1.5）基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场通量源；电力线（E 线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。
2. 边界条件在两种电介质的分界面上，电场强度满足以下关系式()120n ⨯-=e E E 或 12t t E E = （3.1.6）表明电场强度的切向分量是连续的。
电位移矢量满足的关系式是()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.1.7）表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。
若分界面上不存在面电荷，即0S ρ=，则()120n -=e D D 或 12n n D D = （3.1.8）此时，在分界面上，D 的法向分量是连续的。
式（3.1.8）可改写为1122n n E E εε=可见，当12εε≠时E 的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。
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地运用镜像法求解静电场问题。 • 了解分离变量法解题的基本原理和解题的步骤。
（三）解题
运用镜像法解题
③ 位于接地导体圆柱面附近的线电荷的静电场问题
④ 位于介质分界平面附近的的电荷的静电场问题
⑤
例 3.20 如例 3.20
例 3.20 图
例 3.21
3.22
3.22
3.22
q(Q q)
4 0 D2
线电荷与接地导体圆柱面 l l , d a2 d
⑥ 电介质分界面的镜像 ⑦
q1
1 1
2 2
q, q2
1 1
2 2
q
3. 分离变量法
• 分离变量法的基本原理和解题的步骤 • 直角坐标系中二维问题的分离变量解
（二）基本要求
• 掌握边值问题的概念，深刻理解唯一性定理及其重要意义。 • 理解镜像法的原理及相关概念，记住一些典型的像电荷分布，并熟练
载流回路的固有能量与相互作用能量
对于两个电流回路 C1 和回路C2 ，有
Wm
1 2
C1
(
A11
A21)
I1dl1
1 2
C2 ( A12 A22 ) I2dl2
1 2
I111
1 2
I1 21
1 2
I 2 12
1 2
I 2 22
1 2
L1I12
1 2
L2
I
2 2
MI1I 2
C1和C2的互能
带电导体系统的电场能量
第 i 个导体的电位
We
1 2
i
Si
SiidS
1 2
i
i
Si
Si dS
1 2
i
i qi
第 i 个导体所带的电荷
点电荷系统的电场能量
We
1 2
i
i qi
第 i 个点电荷的电量 除第 i 个点电荷外的其余点电荷产生的电位
（5）静电力
• 各带电导体的电荷不变
Fi
We xi
回路C1的自有能
回路C2的自有能
（7）磁场力
• 各载流回路的电流不变
Fi
Wm xi
I不变
说明：磁场力所做的功等于系统增加的磁场能量
• 各载流回路的磁通不变
Fi
Wm
xi 不变
说明：磁场力所做的功等于系统减少的磁场能量
（二）基本要求 • 理解磁矢位A的概念，了解磁矢位性质及所满足的微分方程。 • 理解自感、互感和磁场能量的概念，掌握自感、互感的计算方法。 • 会计算磁场能量以及用安培定理或虚位移法计算磁场力。 （三）解题
q不变
说明：电场力所做的功等于系统减少的静电能量
• 各带电导体的电位不变
Fi
We xi
不变
说明：电场力所做的功等于系统增加的静电能量
（二）基本要求 • 理解电位的概念和物理意义，掌握电位与电场强度的关系；掌握
电位的微分方程和边界条件；会计算一些典型电荷分布的电位。 • 熟悉静电场中导体的性质，掌握电容的概念及电容的计算方法。 • 理解静电场能量的概念，掌握静电场能量的计算 • 会运用虚位移法计算静电力。
1.
2. 计算磁场能量的计算
3. 计算磁场力
例 3.14
例 3.14
例 3.14 图
例 3.15
例 3.16 例 3.16
例 3.16 图
例 3.17
3.18 3.18 3.18 3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.19
四、边值问题
（一）内容提要
1. 边值问题及惟一性定理
2. 镜像法
(1) 利用I S J dS、J E计算
(2) 利用电位函数计算
2. 计算导电媒质中的电荷分布和损耗功率
例 3.10 3.10
例 3.10 图
例 3.11
21
2
1
U0
例 3.12
15
例 3.12 图
例 3.13 3.13
例 3.13 图
三、恒定磁场分析
（一）内容提要
（2）
（3）
Qq (R / D)q2
Rq 2
0
D2
D[D (R / D)2 ]2
3.23
3.23
3.23
3.23
例33..2284
3.25 3.25 3.25
3.25
3.25
3.25
3.25
例 3. 26
例 3. 26 图
例 3. 26 图
例 3.27 如图（a）所示，半径为a 的长直导线架在空中，导线与墙和地面 都平行，距墙和地面分别为d1 和 d2 ，且d1 >>a 、 d2 >>a 。若将墙和地面均视为 导体，试求此导线与地之间每单位长度的电容。
d2
d1 l2
d2
d1
l3
图（b ）
导线表面上的电位为
l l1 l2 l3
l [ln 1 ln 1 ln 20 a 2d1 2
1 d12 d22
ln 1 ] 2d2
l 20
ln
a
2d1d2 d12 d22
故导线与地之间每单位长度的电容 C l
20
ln(2d1d2 ) ln(a d12 d22 )
0 导体 0
t 导体
0
U
U
v
求：1） E, ? ； 2）储能或功耗？
（二）基本要求 • 理解恒定电场的概念，掌握恒定电场的基本方程和边界条件，
能正确地分析和求解恒定电场问题； • 掌握电阻和损耗功率的计算方法； • 了解恒定电场与静电场的类比。 （三） 解题
1. 计算恒定电流和恒定电场分布
r rr r
也可用式
Fi
We xi
来计算 q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
由此可得 由于
We
q2 2C
dq2
2b[0 (l x)
x]
Fx
We x
q不变
d ( 2b[0 (l
0 )q2 x)
x]2
q
CU0
bU0 d
[0 (l
x) x]
同样得到
Fx
b(
0
)U
2 0
2d
二、恒定电场分析
（一）内容提要
d1
2a
l1
d1
d2
d1
l
d2
d2
图（a ）
d2
d1 l2
d2
d1
l3
图（b ）
解 设导线上单位长度带电荷为 l 。由于d1 >>a 、 d2 >>a ，则可近
似将导线的几何轴作为电轴。根据镜像法，其像电荷分布如图（b）所示，
其中
l1 l
l2 l
l3 l
d1
2a
l1
d1
d2
d1
l
d2
d2
图（a ）
解 平行板电容器的电容为
l
C
0
(l
x)b d
bx d
所以电容器内的电场能量为
We
1 2
CU02
bU
2 0
2d
[0 (l
x)
x]
U0
d
x
b
部分填充介质的平行板电容器
由
Fi
We xi
求得介质片受到的静电力为
不变
Fx
We x
U0不变
b(
0
)U
2 0
2d
由于ε>ε0，所以介质
片所受到的力有将其 拉进电容器的趋势
一、静电场分析
（一）内容提要
义
⑥
（3）电容
（4）静电场能量
带电体的固有能量与相互作用能量
1(rr )
1
4π
[
V1
1
(rr
)(
1 R11
)dV
V2
2
(rr)(
1 R21
)dV
]
11 (rr
)
21(rr
)
2 (rr )
1
4π
[
V1
1
(rr)(
1 R12
)dV
V2
2
(rr)(
1 R22
ห้องสมุดไป่ตู้
)dV
（1） 恒定电场的概念
r J
0
（2） 恒定电场的基本方程
0
t
恒定电场与静电场的比较
（3） 恒定电场的边界条件
（4） 恒定电场的电位函数 电位微分方程
r
Qr r
E ,(P) (Q) P E dl
（线性、各向同性的均匀导电媒质中）
（6） （7）
24
进一步理解静电场和恒定电场 思考题：
w t
]
12
(rr
)
22
(rr
)
总的电场能量
We
1 2
V1
11
dV
1 2
V2 22 dV
1(rr )
1
1
2
V1
1 (11
21) dV
1 2
V2 2 (12 22 ) dV
2 (rr )
2
1
2
V1
111
dV
1 2
V1
121
dV
1 2
V2
212
dV
1 2
V2 222 dV
比较：带电导体系统的电场能量与点电荷系统的电场能量
（三） 解题
C、解泊松方程（一维情况） 3. 计算电场能量和静电力
例3.1
3.1
（三）解题
运用镜像法解题
③ 位于接地导体圆柱面附近的线电荷的静电场问题
④ 位于介质分界平面附近的的电荷的静电场问题
⑤
例 3.20 如例 3.20
例 3.20 图
例 3.21
3.22
3.22
3.22
q(Q q)
4 0 D2
线电荷与接地导体圆柱面 l l , d a2 d
⑥ 电介质分界面的镜像 ⑦
q1
1 1
2 2
q, q2
1 1
2 2
q
3. 分离变量法
• 分离变量法的基本原理和解题的步骤 • 直角坐标系中二维问题的分离变量解
（二）基本要求
• 掌握边值问题的概念，深刻理解唯一性定理及其重要意义。 • 理解镜像法的原理及相关概念，记住一些典型的像电荷分布，并熟练
载流回路的固有能量与相互作用能量
对于两个电流回路 C1 和回路C2 ，有
Wm
1 2
C1
(
A11
A21)
I1dl1
1 2
C2 ( A12 A22 ) I2dl2
1 2
I111
1 2
I1 21
1 2
I 2 12
1 2
I 2 22
1 2
L1I12
1 2
L2
I
2 2
MI1I 2
C1和C2的互能
带电导体系统的电场能量
第 i 个导体的电位
We
1 2
i
Si
SiidS
1 2
i
i
Si
Si dS
1 2
i
i qi
第 i 个导体所带的电荷
点电荷系统的电场能量
We
1 2
i
i qi
第 i 个点电荷的电量 除第 i 个点电荷外的其余点电荷产生的电位
（5）静电力
• 各带电导体的电荷不变
Fi
We xi
回路C1的自有能
回路C2的自有能
（7）磁场力
• 各载流回路的电流不变
Fi
Wm xi
I不变
说明：磁场力所做的功等于系统增加的磁场能量
• 各载流回路的磁通不变
Fi
Wm
xi 不变
说明：磁场力所做的功等于系统减少的磁场能量
（二）基本要求 • 理解磁矢位A的概念，了解磁矢位性质及所满足的微分方程。 • 理解自感、互感和磁场能量的概念，掌握自感、互感的计算方法。 • 会计算磁场能量以及用安培定理或虚位移法计算磁场力。 （三）解题
q不变
说明：电场力所做的功等于系统减少的静电能量
• 各带电导体的电位不变
Fi
We xi
不变
说明：电场力所做的功等于系统增加的静电能量
（二）基本要求 • 理解电位的概念和物理意义，掌握电位与电场强度的关系；掌握
电位的微分方程和边界条件；会计算一些典型电荷分布的电位。 • 熟悉静电场中导体的性质，掌握电容的概念及电容的计算方法。 • 理解静电场能量的概念，掌握静电场能量的计算 • 会运用虚位移法计算静电力。
1.
2. 计算磁场能量的计算
3. 计算磁场力
例 3.14
例 3.14
例 3.14 图
例 3.15
例 3.16 例 3.16
例 3.16 图
例 3.17
3.18 3.18 3.18 3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.19
四、边值问题
（一）内容提要
1. 边值问题及惟一性定理
2. 镜像法
(1) 利用I S J dS、J E计算
(2) 利用电位函数计算
2. 计算导电媒质中的电荷分布和损耗功率
例 3.10 3.10
例 3.10 图
例 3.11
21
2
1
U0
例 3.12
15
例 3.12 图
例 3.13 3.13
例 3.13 图
三、恒定磁场分析
（一）内容提要
（2）
（3）
Qq (R / D)q2
Rq 2
0
D2
D[D (R / D)2 ]2
3.23
3.23
3.23
3.23
例33..2284
3.25 3.25 3.25
3.25
3.25
3.25
3.25
例 3. 26
例 3. 26 图
例 3. 26 图
例 3.27 如图（a）所示，半径为a 的长直导线架在空中，导线与墙和地面 都平行，距墙和地面分别为d1 和 d2 ，且d1 >>a 、 d2 >>a 。若将墙和地面均视为 导体，试求此导线与地之间每单位长度的电容。
d2
d1 l2
d2
d1
l3
图（b ）
导线表面上的电位为
l l1 l2 l3
l [ln 1 ln 1 ln 20 a 2d1 2
1 d12 d22
ln 1 ] 2d2
l 20
ln
a
2d1d2 d12 d22
故导线与地之间每单位长度的电容 C l
20
ln(2d1d2 ) ln(a d12 d22 )
0 导体 0
t 导体
0
U
U
v
求：1） E, ? ； 2）储能或功耗？
（二）基本要求 • 理解恒定电场的概念，掌握恒定电场的基本方程和边界条件，
能正确地分析和求解恒定电场问题； • 掌握电阻和损耗功率的计算方法； • 了解恒定电场与静电场的类比。 （三） 解题
1. 计算恒定电流和恒定电场分布
r rr r
也可用式
Fi
We xi
来计算 q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
由此可得 由于
We
q2 2C
dq2
2b[0 (l x)
x]
Fx
We x
q不变
d ( 2b[0 (l
0 )q2 x)
x]2
q
CU0
bU0 d
[0 (l
x) x]
同样得到
Fx
b(
0
)U
2 0
2d
二、恒定电场分析
（一）内容提要
d1
2a
l1
d1
d2
d1
l
d2
d2
图（a ）
d2
d1 l2
d2
d1
l3
图（b ）
解 设导线上单位长度带电荷为 l 。由于d1 >>a 、 d2 >>a ，则可近
似将导线的几何轴作为电轴。根据镜像法，其像电荷分布如图（b）所示，
其中
l1 l
l2 l
l3 l
d1
2a
l1
d1
d2
d1
l
d2
d2
图（a ）
解 平行板电容器的电容为
l
C
0
(l
x)b d
bx d
所以电容器内的电场能量为
We
1 2
CU02
bU
2 0
2d
[0 (l
x)
x]
U0
d
x
b
部分填充介质的平行板电容器
由
Fi
We xi
求得介质片受到的静电力为
不变
Fx
We x
U0不变
b(
0
)U
2 0
2d
由于ε>ε0，所以介质
片所受到的力有将其 拉进电容器的趋势
一、静电场分析
（一）内容提要
义
⑥
（3）电容
（4）静电场能量
带电体的固有能量与相互作用能量
1(rr )
1
4π
[
V1
1
(rr
)(
1 R11
)dV
V2
2
(rr)(
1 R21
)dV
]
11 (rr
)
21(rr
)
2 (rr )
1
4π
[
V1
1
(rr)(
1 R12
)dV
V2
2
(rr)(
1 R22
ห้องสมุดไป่ตู้
)dV
（1） 恒定电场的概念
r J
0
（2） 恒定电场的基本方程
0
t
恒定电场与静电场的比较
（3） 恒定电场的边界条件
（4） 恒定电场的电位函数 电位微分方程
r
Qr r
E ,(P) (Q) P E dl
（线性、各向同性的均匀导电媒质中）
（6） （7）
24
进一步理解静电场和恒定电场 思考题：
w t
]
12
(rr
)
22
(rr
)
总的电场能量
We
1 2
V1
11
dV
1 2
V2 22 dV
1(rr )
1
1
2
V1
1 (11
21) dV
1 2
V2 2 (12 22 ) dV
2 (rr )
2
1
2
V1
111
dV
1 2
V1
121
dV
1 2
V2
212
dV
1 2
V2 222 dV
比较：带电导体系统的电场能量与点电荷系统的电场能量
（三） 解题
C、解泊松方程（一维情况） 3. 计算电场能量和静电力
例3.1
3.1