图与网络模型的基本概念
图与网络的运筹学实验报告
图与网络的运筹学实验报告图与网络的运筹学实验报告引言：图与网络是运筹学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本实验旨在通过实际案例，探讨图与网络在运筹学中的应用，并通过运筹学方法对问题进行求解和优化。
一、图与网络的基本概念1.1 图的定义与表示图是由节点和边组成的数学模型，它可以用来描述各种实际问题。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示。
1.2 网络的定义与分类网络是图的一种特殊形式，它的边具有权重或容量等属性。
根据边的属性不同，网络可以分为最短路径网络、最小生成树网络、最大流网络等。
二、图与网络在运筹学中的应用2.1 最短路径问题最短路径问题是图与网络中的经典问题之一。
通过运筹学方法，可以求解两点之间的最短路径，并找到最优解。
2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在图中找到一棵包含所有节点的树，并使得树的边权重之和最小。
通过运筹学方法，可以有效地解决最小生成树问题。
2.3 最大流问题最大流问题是在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
通过运筹学方法，可以确定网络中的最大流，并进行优化。
三、实际案例分析3.1 交通网络优化以城市交通网络为例，通过建立图模型，可以对交通流量进行优化调度，减少交通拥堵和能源消耗。
3.2 物流配送优化以物流配送为例，通过建立网络模型，可以优化货物运输路径，减少运输成本和时间。
3.3 电力网络优化以电力网络为例，通过建立图模型，可以优化电力输送路径，提高电网的稳定性和可靠性。
四、运筹学方法的求解4.1 最短路径求解算法常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以高效地求解最短路径问题。
4.2 最小生成树求解算法常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们可以高效地求解最小生成树问题。
4.3 最大流求解算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，它们可以高效地求解最大流问题。
运筹学(第6章 图与网络分析)
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
运筹学第六章图与网络分析1.
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
运筹学胡运权第五版(第6章)ppt课件
.
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
其中
i
dij（1）= min { dir（0）+ drj（0）}
dir（0）
r
r
drj（0）
j
即dij(1)为D(0)中第i行和第j行对应元素之和的最小值
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 7 12 6 ∞
D（1）= V2 5 0 7 2 7 4 10
V3 2 7 0 6 5 4 10
.
最小部分树长Lmin=14
1、最短路问题
*§6.3 最短路问题
从已知的网络图中找出两点之间距离最短（即权和 最小）的路。
2、相关记号
（1）dij表示图中两个相邻点i和j之间的距离（即权）。 易见 dii=0 约定：当i和j不相邻时，dij=∞
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
.
3 V7
1 6
V6
* 4、矩阵算法
求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
MBA数据模型与决策考试复习资料要点
数据模型与决策考试复习资料一、简答题1.数据、模型与决策的本质是什么?根据目标〔管理问题〕，确定影响目标的关键要素，采集相关的数据，构建相应模型，应用定量分析方法，进行辅助决策的科学（即管理科学）2.数据、模型与决策的基本流程是什么？确定目标→分析类型→确定因素→收集数据→整理信息→分析建模→预测决策3.数据、模型与决策的基本框架是什么？4.举例说明数据模型与决策的作用抄一实例：解决生产计划的线性规划问题。
例某企业生产A、B两种产品为畅销产品，已知，所需的资源总量和单耗如下表1，并调查知2004-2008年该企业生产A、B两种产品的单位售价分别为A：2、3、4、5、6千元，B：3、4、5、6、7千元，试问：2009年该企业A、B两种产品的生产计划是是什么？5.图与网络的概念是什么？图：由点和边组成的集合网络：带有某种数量指标的图（即赋权图）称为网络6.网络的基本特征是什么？1）三要素：点、边、权2）一般将研究“对象”作为“点”，“对象”之间的关系作为“边”，“对象”之间的关系程度作为“权”7.什么是树？什么是最小树？树：无圈连通图；最小树：权重之和最小的树8.什么情况下用破圈法，什么情况下用避圈法？破圈法适用于网络图已存在的问题，基本思路：对于网络图中每一个圈都破掉其最长边，直至网络图中不存在圈为止。
避圈法适用于网络图不存在的问题，基本思路：对网络图中在不构成圈的条件下，每次连接距离最短的边，直至网络图中各点连通为止。
9.什么是最短路？在一网络中，求给定一初始点至一终点的一条路长最短的路（即路的各边权数之和最小）。
10.什么是线性规划？线性规划是求一个线性函数在满足一组线性等式或不等式方程条件下的极值问题的统称。
11.线性规划问题的组成1）决策变量构成反映决策者目标的线性目标函数2）决策变量的线性等式或不等式构成约束方程3）限制决策变量取值范围的非负结束12.线性规划的基本特征1）目标函数是线性的2）约束条件是线性的13.线性规则的三要素决策变量、目标、约束14.线性规划建立模型的基本步骤1）根据问题确定目标2）根据目标设计决策变量3）根据目标与决策变量设计目标函数4）根据影响目标因素的关系与限制设计约束条件15.线性规划基本求解方法1）图解法；2）单纯形法；3）计算机解法16.数据的概念数据是字母、数字、下划线和符号等，用于表达事件和它们的形态，并根据正式的规则和惯例加以组织的状态（形式）17.数据收集的基本要素，基本流程基本要素：“人、财、物”基本流程：根据问题→明确目标→确定指标→准备要素→选择渠道→选用方式→运用方法→实施活动18.模型有几类？数学模型、网络模型、计算机模型、图表模型19.常用的统计调查方法定期统计报表制度、普查、典型调查、重点调查和抽样调查。
高等数学中的复杂网络与图模型
复杂网络与图模型是研究高等数学中的一个重要分支领域，它研究的是有大量节点和连接关系的网络或图的性质和特点。
在现实生活中，许多实体系统都可以用复杂网络来表示，如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
因此，复杂网络与图模型的研究对于了解现实世界的复杂系统具有重要意义。
在复杂网络与图模型的研究中，最基本的概念是节点和边。
节点代表网络中的个体或物体，边表示节点之间的连接或关系。
通过分析节点和边的特性，可以揭示网络中的结构和功能。
例如，节点的度是指与该节点相连的边的数量，它可以用来度量节点的重要性和影响力。
边的权重则表示节点之间的强弱关系，通过权重可以分析节点之间的相似性或差异性。
复杂网络与图模型的研究方法非常多样，其中最常见的方法之一是分析网络的拓扑结构。
拓扑结构包括节点的分布、节点之间的连接方式、网络的层次结构等。
常见的拓扑结构包括随机网络、小世界网络和无标度网络。
随机网络是指节点之间的连接关系是随机的，它的拓扑结构非常均匀。
小世界网络则是介于随机网络和无标度网络之间的一种网络结构，它既具有良好的聚类特性，又具有短路径长度。
无标度网络则是节点的度分布服从幂律分布的网络，即存在少量的高度连接的节点，而大多数节点只有很少的连接。
除了分析网络的拓扑结构外，复杂网络与图模型的研究还可以通过网络的动力学过程来揭示网络的行为。
动力学过程包括信息传播、疫情传播、蛋白质相互作用等。
通过动力学模型的建立和分析，可以研究网络中节点的演化规律和行为模式。
复杂网络与图模型的研究不仅在理论层面上具有重要意义，还有很多实际应用。
例如，在社交网络中，通过研究网络的拓扑结构和节点的行为模式，可以预测用户的行为和兴趣，为个性化推荐和广告投放提供参考依据。
在疫情传播的研究中，通过分析网络的拓扑结构和节点的动力学行为，可以预测疫情的传播趋势和控制策略。
同时，复杂网络与图模型的研究还可以应用于交通网络、金融网络、生物网络等领域。
总之，高等数学中的复杂网络与图模型是一个研究网络和图的性质和特点的重要领域。
第5章图与网络分析163页PPT
bi j 0wi j
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
例6.4 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
v1 4
v2
36
72
v6 4
3
3
v3
5
2
v5
v4
v1 0 4 0 6 4 3
v
2
4
0
2
7
0
0
B
v3
0
2
0
5
0
3
v4 6 7 5 0 2 0
v
5
4
17
v4
树与图的最小树
v1 23 v6
20
v2
1
4
v7
9
15 v3
28 25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7
9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7 9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23
1
4
v7
v6
9
v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
②
15
9
7 ④ 14
⑤
①
10
19
20
6 ⑥
③
25
图的矩阵描述： 邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
V7 （乙地）
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
v3
解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向 图，即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法 来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成 已标号的点到未标号的点的边的集合即可。
已知：设备每年年初的价格表
年份
1
2
3
4
5
年初价格
11
11
12
12
13
设备维修费如下表
使用年数 0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
每年维修
5
6
8
11
18
费用
管理运筹学
10
§2 最短路问题
例3的解： 将问题转化为最短路问题，如下图： 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进 的
管理运筹学
8
§2 最短路问题
例2最终解得： 最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图
15 （0,s）
V1 （甲地） 10
(13,3) v2 3 V3
(10,1)
17
5 6
V4
(18,5) 4
2
4
V5
(14,3)
(22,6) V7 （乙地） 6 V(166,5)
管理运筹学
9
§2 最短路问题
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法）
步骤：
1.给出点V1以标号(0,s)
2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v1) 赵
e1 e3
e4
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
管理运筹学
3
§1 图与网络的基本概念
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
例3 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就 要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要 支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设 备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更 新设备的计划，使得五年内购置费一点，称为发点，指定另一点称为收点， 其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就 称为网络。
管理运筹学
5
§2 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其 值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号 （scd,c）,返回步骤2。
管理运筹学
6
§2 最短路问题
例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5 v3
v5
• 有向图：
由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
• 连通图：
对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为 连通图。
• 回路：
若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
• 赋权图：
为赋权对图一，个w无ij称向为图边G的(v每i,vj一)上条的边权(v。i,vj)，相应地有一个数wij，则称图G
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱
(v5) 周
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图11-1
管理运筹学
2
§1 图与网络的基本概念
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图11-3
管理运筹学
4
§1 图与网络的基本概念
▪ 无向图：
由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
各点的标号图如下： (3,1)
v2
7
(8,4) v6
（V01,s)
3 5
2
(3,3) 5 v4
21
31
5
(2,1)
v5
v3
管理运筹学
7
§2 最短路问题
例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架 设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两 地间公路的长度（单位：公里）。
v6
22
23
31
30
最终得到下图，可知，v1到v6的距离是5341，最短路径有两条： v1 v3 v6和 v1 v4 v6
59
（V01,s）
41
22
设备一直使用到第j年年初。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3
17
23
31
4
17
23
5
18
6
管理运筹学
11
§2 最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
第十一章 图与网络模型
§1 图与网络的基本概念 §2 最短路问题 §3 最小生成树问题 §4 最大流问题 §5 最小费用最大流问题
管理运筹学
1
§1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图11-1就是一个表示这种关系的图。