第7章 图与网络模型
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chapter7图与网络PPT课件
10：3－4
1
成圈，不进
11：2－5
6
完成
5
3
.
16
破圈法－－在原来图中，找到任意一个圈，去 掉圈上最长的边。
顺序：去掉的 边用红色标出 圈1－3－5，
去14 圈1－3－5－2，
去12 圈1－3－4－2，
去10
2
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11
2、最小生成树（支撑树）问题
一个乡有九个自然村，其间道路见下图：要以v0 村为中心建有线电视网络，如何架线，费用最低？
v1
4
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1
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1
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v0
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5
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. v6
2
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12
树：如某单位的组织结构
.
13
树：无圈的连通图
得到图的生成子图 边数＝点数－1 例：高速公路建设；光缆通讯线路铺设
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称作不连通图。 网络：有起点和发点的赋权有向图，称为网络。 树：无圈连通图；无圈图又称为树林，子连通图是树。
.
7
定理一：所有顶点次数之和等于所有边数 的2倍。
定理二：在任一图中，奇点的个数必为偶 数。
定理三（树的性质）六种等价描述。
数学建模方法之图与网络模型
如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
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§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
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(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
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(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
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(v5) 周
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(v6)吴 a13
第7章 图与网络模型gai
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v3 7
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G5
§3 最短路问题
• 最短路问题是对一个赋权的有向图G（权数可能是路 程的长度、花费的成本等等）中的指定的两个点Vs和 Vt找到一条从Vs到Vt的路，使得这条路上所有弧的权 数的总和最小，这条路被称为从Vs到Vt的最短路，这 条路上所有弧的权数的总和被称之为从Vs到Vt的距离。
3.1 求解最短路的Dijkstra算法（Dijkstra algorithm, 1959）
Dijkstra算法也称为双标号算法。所谓双标号，也就是对图中的点vj 赋予两个标号(lj,kj)，第一个标号lj表示从起点vs到vj的最短路的长度，第 二个标号kj表示在vs到vj的最短路上vj前面一个邻点的下标。
1.3 端点，关联边，相邻，次
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 • 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 (end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incid%nt edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同 端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两 个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的 “次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的 图称为偶图(even graph)
• 相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)，又称 为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走 • 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 则称为有向路径(directed path)
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§3 最短路问题
• 最短路问题是对一个赋权的有向图G（权数可能是路 程的长度、花费的成本等等）中的指定的两个点Vs和 Vt找到一条从Vs到Vt的路，使得这条路上所有弧的权 数的总和最小，这条路被称为从Vs到Vt的最短路，这 条路上所有弧的权数的总和被称之为从Vs到Vt的距离。
3.1 求解最短路的Dijkstra算法（Dijkstra algorithm, 1959）
Dijkstra算法也称为双标号算法。所谓双标号，也就是对图中的点vj 赋予两个标号(lj,kj)，第一个标号lj表示从起点vs到vj的最短路的长度，第 二个标号kj表示在vs到vj的最短路上vj前面一个邻点的下标。
1.3 端点，关联边，相邻，次
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 • 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 (end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incid%nt edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同 端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两 个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的 “次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的 图称为偶图(even graph)
• 相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)，又称 为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走 • 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 则称为有向路径(directed path)
运筹学课件 第七章 网络优化模型
子图
生成子图
e9
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e1
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e3
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v2
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e1 v1
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e2 v4
e8 v3
e5
e5
6、网络
网络（赋权图）：由点、边以及与点边相关联的 权数所构成的图称为网络，记作N={V,E,W}
无向网络 有向网络
6 v2 2
v1 1 8
5 4
v4
解：构造一棵有 5 个叶子的最优 2 叉树，其叶子的 权分别为 50，20，5，10，15。总权为：
m（T*）= 5×4 + 10 ×4 + 15 ×3 + 20 ×2 + 50 ×1 = 195
100 50 30 15
5 10 15 20 50 C DEB A
A？
N
Y
B？
A
N
Y
E？
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D？
E
N
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6 v2 2
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6
厂长
EH A BC D F G I J KL M N
人 财总 事 务工 科 科程
师
生 产 副 厂
长
新技
产术 品科生设 供 动 开 产备 应 力 发 科科 科 科
科
经 营 副 厂 长
销检 售验 科科
7.1.2 树的概念及性质
1、树（T）：无圈的连通图称为树。树中次为1的点称 为树叶，次大于1的点称为分枝点。
优化建模与LINGO第07章
Global optimal solution found at iteration: 6 Objective value: 161.0000 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 2.000000 0.000000 X( 1, 2) 17.00000 0.000000 X( 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 2, 1) 13.00000 0.000000 X( 2, 4) 12.00000 0.000000 X( 3, 3) 21.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 161.0000 -1.000000 SUP( 1) 10.00000 0.000000
MODEL: 1]! 3 Warehouse, 4 Customer Transportation Problem; 2]sets: 3] Warehouse /1..3/: a; 4] Customer /1..4/: b;
优化建模
5] Routes( Warehouse, Customer) : c, x; 6]endsets 7]! Here are the parameters; 8]data: 9] a = 30, 25, 21 10] b = 15, 17, 22, 12; 11] c = 6, 2, 6, 7, 12] 4, 9, 5, 3, 13] 8, 8, 1, 5; 14]enddata 15]! The objective; 16][OBJ] min = @sum( Routes: c * x);
优化建模
LINDO软件虽然给出最优解，但上述模型还存在 软件虽然给出最优解， 软件虽然给出最优解 着缺点，例如，上述方法不便于推广的一般情况， 着缺点，例如，上述方法不便于推广的一般情况，特 别是当产地和销地的个数较多时，情况更为突出. 别是当产地和销地的个数较多时，情况更为突出 下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 程序， 下面写出求解该问题的 程序 用到在第三章介绍的集与数据段， 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序名： exam0702.lg4 程序， 写出相应的 程序 程序名：
MODEL: 1]! 3 Warehouse, 4 Customer Transportation Problem; 2]sets: 3] Warehouse /1..3/: a; 4] Customer /1..4/: b;
优化建模
5] Routes( Warehouse, Customer) : c, x; 6]endsets 7]! Here are the parameters; 8]data: 9] a = 30, 25, 21 10] b = 15, 17, 22, 12; 11] c = 6, 2, 6, 7, 12] 4, 9, 5, 3, 13] 8, 8, 1, 5; 14]enddata 15]! The objective; 16][OBJ] min = @sum( Routes: c * x);
优化建模
LINDO软件虽然给出最优解，但上述模型还存在 软件虽然给出最优解， 软件虽然给出最优解 着缺点，例如，上述方法不便于推广的一般情况， 着缺点，例如，上述方法不便于推广的一般情况，特 别是当产地和销地的个数较多时，情况更为突出. 别是当产地和销地的个数较多时，情况更为突出 下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 程序， 下面写出求解该问题的 程序 用到在第三章介绍的集与数据段， 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序名： exam0702.lg4 程序， 写出相应的 程序 程序名：
matlab图与网络分析模型选讲
V ( f ),
若：
f
(v,u)
f
(u,v
)
0,
uV
uV
V ( f ),
则称该网络称为守恒网络。
v vs v vs ,vt
v vt
守恒网络中的流 f 称为可行流。
若存在一个可行流f *，使得对所有可行流 f 都 有V(f *)≥ V(f )成立，则称f *为最大流。
最大流模型：
maxV ( f )
e1 v1
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边．
5)既没有环也没有重边的图，称为简单图．
6) 若图G的每一条边e 都赋以一个实数w(e)，
称w(e)为边e的权，G连同边上的权称为赋权图 ,
记为：G(V,E,W)， W={w(e)| e∈E}
7) 图G的中顶点的个数，
5
称为图G的阶；图中与某 个顶点相关联的边的数目，
@sum(node(j): f(j,9))=flow;
@for(arc:@bnd(0,f,c));
data: c= 0 2.5 0 5.6 6.1 0 0 0 0 0 0 7.1 0 0 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4 0 0 0 0 0 4.9 0 7.4 0 0 0 2.4 0 0 0 7.2 5.7 0 0 0 0 3.8 0 0 0 0 5.3 4.5 0 0 0 0 0 3.8 0 0 6.7 0 0 0 0 0 0 0 0 7.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddata
s.t:
v jV
f
(vi
,
v
j
)
v jV
f
(v
j
,
vi
第7章 11图与网络模型
17图与网络模型§1图与网络的基本概念§2最短路问题§3最小生成树问题§4最大流问题§5最小费用最大流问题2§1图与网络的基本概念图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示，图11-1就是一个表示这种关系的图。
(v 1)赵(v 2)钱(v 3)孙(v 4)李(v 5)周(v 6)吴(v 7)陈e 2e 1e 3e 4e 5图11-13§1图与网络的基本概念当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示，可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
(v 1)赵(v 2)钱孙(v 3)李(v 4)周(v 5)吴(v 6)陈(v 7)e 2e 1e 3e 4e 5图11-24§1图与网络的基本概念a 1a 2a 3a 4a 14a7a 8a 9a 6a 5a 10a 12a 11a 13a 15(v 1)赵(v 2)钱(v 3)孙(v 4)李(v 5)周(v 6)吴(v 7)陈图11-3如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。
图11-3就是一个反映这七人“认识”关系的图。
相互认识用两条反向的弧表示。
5§1图与网络的基本概念无向图：由点和边构成的图，记作G=（V ，E ）。
•有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V ，A ）。
•连通图：对无向图G ，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G 为连通图。
•回路：若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
•赋权图：对一个无向图G 的每一条边(v i ,v j )，相应地有一个数w ij ，则称图G 为赋权图，w ij 称为边(v i ,v j )上的权。
《图与网络》PPT课件 (2)
11.1 图与网络的基本概念
赋权图，网络
权可以代表距离、费用、 通过能力(容量) 等等
无向图 G＝(V, E)，对G的每一条 边(vi , vj) 相应赋予数量指标wij， 称wij为边(vi , vj)上的权，称图G为赋权图
赋权的有向图 D = (V, A)，指定一点为 发点（vs），指定另一点为 收点（vt），称其它点为中间点，并把 D 中每一条弧的 赋权数 cij 称为弧(vi,vj)的容量，这样的赋权有向图D就称为网络
有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整数规划 和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。因此这类问题在生产实际 中得到广泛应用。
求最短路有两种算法:
最短路问题
狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法
逐次逼近算法
11.2 最短路问题
Dijkstra 标号算法的基本思路
若序列 { vs,v1…..vn-1,vn } 是从 vs 到 vt 间的最短路，则序列{ vs,v1…..vn-1 } 必为从 vs 到 vn-1 的最短路。
v2 15
17
5 6 v4
v1 （甲地）
10
3 4
v3
4
2
v5
v7 (乙地) 6 v6
11.2 最短路问题
解：这是一个求无向图的最短路的问题。
(13,3)
v2
(0,s) 15
6
v1 （甲地）
10
3 4
v3
(10,1)
解：用图来建模。把比赛项目作为研究对象，用点表示。如果2个项目有同一名 运动员参加，在代表这两个项目的点之间连一条线，可得下图。
在图中找到一个点序
B
列，使得依次排列的
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第7章 图与网络模型
§1 §2 §3 §4 §5 图与网络的基本概念 树图与最小生成树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
图论 Graph Theory
• 哥尼斯堡七桥问题 (Königsberg Bridge Problem) • Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图 论方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理 • 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体， 线表示实体间的关联
3.1 求解最短路的Dijkstra算法（Dijkstra algorithm, 1959）
Dijkstra算法也称为双标号算法。所谓双标号，也就是对图中的点vj 赋予两个标号(lj,kj)，第一个标号lj表示从起点vs到vj的最短路的长度，第 二个标号kj表示在vs到vj的最短路上vj前面一个邻点的下标。
应用举例：某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机 联网，这个网络的可能连通的路径如图G所示，图中 v1,…,v7表示7个学院办公室，图中的边为可能联网的路 径，边上所赋的权数为这条路线的长度，单位为百米。 请设计一个网络能连通7个学院办公室，并使总的线路长 度最短。
v2 3 v1 10 v6 3 3 v7 5 4 v5 1 4 2 v3 7 v4 8
1.3 端点，关联边，相邻，次
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 • 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 (end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incid%nt edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同 端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两 个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的 “次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的 图称为偶图(even graph)
例1. 求下图中v1到v6的最短路。
v2 3 7
2
5 v4
v6
v1
2
5
3 1
1
v3 5
v5
1. 2.
3.
4.
5. 6.
给起始点v1标以(0,s)，表示从v1到v1的距离为0。 已标号点集I={v1}，未标号点集J={v2,v3,v4,v5,v6}，弧集 {(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4)}，并有 s12=l1+c12=0+3=3,s13=l1+c13=0+2=2,s14=l1+c14=0+5,min( s12,s13,s14)=s13=2. 我们给弧(v1,v3)的终点v3标以(2,1). I={v1,v3},J={v2,v4,v5,v6},弧集 {(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v1,v2),(v1,v4),(v3,v4)}且 s34=l3+c34=2+1=3,min(s12,s14,s34)=s12=s34=3.给弧(v1,v2) 的终点标以(3,1),弧(v3,v4)的终点标以(3,3). I={v1,v2,v3,v4},J={v5,v6},弧集 {(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v2,v6),(v4,v6)},并有 s26=l2+c26=3+7=10,s46=l4+c46=3+5=8,min(s26,s46)=s46=8. I={v1,v2,v3,v4,v6},J={v5},弧集为∅，计算结束。v5没 有标号表明从v1到v5没有有向路。 最短路径为v1￫v3￫v4￫v6.
G
1. 在G中找到一个圈（v1,v7,v6,v1），并知在此圈上边 [v1,v6]的权数10为最大，在G中去掉边[v1,v6]得图G1。
1
3 4
v2
v3 7 2 v4
8 v5
v1 10
v6
3 3
v7
5 4
G1
2. 在G1中找到一个圈（v3,v4,v5,v7,v3），并知在此圈 上边[v4,v5]的权数8为最大，在G1中去掉边[v4,v5]得图G2。
A
A D C B
C
D
B
§1 图与网络的基本概念
1.1 图与网络
• 节点 (Vertex) – 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
• 边 (Edge) – 节点间的连线，表示有 关系 – 一般用 eij 表示 • 图 (Graph) – 节点和边的集合， – 一般用 G(V,E) 表示 – 点集 V={v1,v2,…, vn} • 网络 (Network) – 边上具有表示连接强度 的权值，如 wij – 又称加权图(Weighted graph)
v2
3
1
v3 7
v1
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2
v4
v6
v5
G5
§3 最短路问题
• 最短路问题是对一个赋权的有向图G（权数可能是路 程的长度、花费的成本等等）中的指定的两个点Vs和 Vt找到一条从Vs到Vt的路，使得这条路上所有弧的权 数的总和最小，这条路被称为从Vs到Vt的最短路，这 条路上所有弧的权数的总和被称之为从Vs到Vt的距离。
e22 v1 e'13 v3 e13 e34 图 6.1 e12 v2 e24 e45 v4 v5
– 边集E={eij}
1.2 无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图，如图1 • 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序 是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 • 图中既有边又有弧，称为混合图
2.2 图的生成树
• 树 T 是连通图 G 的生成树(spanning tree)，若 T 是 G的子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部 分指定节点的树称为 steiner tree
2.3 最小生成树
• 有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的， 如何铺设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度 最短 • 显然，这要求在已知边长度的网路图中找最 小生成树
• 首尾相连的路径称为回路(circuit)；
1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路 定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 1.4 连通图，子图，成分 • 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 • 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component) • 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图 • 平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没 有任何边相交
1. 给起点v1以标号(0,s)表示从v1到v1的距离为0，v1为起点。 2. 找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集 合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}，这里这个弧的集合是指所有从已 标号的点到未标号的点的弧的集合。 3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号 (lt,kt)，则vs到vt的距离即为lt，而从vs到vt的最短路径， 则可以从kt反向追踪到起点vs而得到。如果vt未标号，则 可以断言不存在从vs到vt的有向路。否则转下一步。 4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算sij=li+cij在所有的sij 中，找到其值为最小的弧，不妨设此弧为(vc,vd)，则给此 弧的终点以双标号(scd,c),返回第2步。
v2
3
1
4
v3 7 2 v4
v1
3 3
v7
v6
4
v5
G4
5. 在G4中找到一个圈（v2,v3,v7,v2），并知在此圈上 边[v3,v7]的权数5为最大，在G2中去掉边[v5,v7]得图G3。
1
3 4
v2
v3 7 2 v4
v1
3 3
v7
v6
v5
G5
6. 在G5中已找不到任何一个圈了，可知G5即为图G的 最小生成树。这个最小生成树的所有边的总权数为 3+3+3+1+2+7=19。
v2 15 v1 甲地 10 v3 3 6 17 v4 5 2 v7 乙地 6 v6
4 4 v5
1. 2.
3.
4.
5.
起始点v1标号为(0,s). I={v1},J={v2,v3,v4,v5,v6,v7},边集{[vi,vj]|vi,vj中一个∈I,另 一个∈J}={[v1,v2],[v1,v3]}，且s12=l1+c12=0+15=15， s13=l1+c13=0+10=10，min(s12,s13)=s13=10，边[v1,v3]中 未标号点v3标以(10,1). I={v1,v3},J={v2,v4,v5,v6,v7},边集 {[vi,vj]}={[v1,v2],[v3,v2],[v3,v5]},且s32=l3+c32=10+3=13， s35=l3+c35=10+4=14，min(s12,s32,s35)=s32=13.边[v3,v2]中 未标号的点v2标以(13,3). I={v1,v3,v2},J={v4,v5,v6,v7},边集 {[vi,vj]}={[v3,v5],[v2,v4],[v2,v7]},且 s24=l2+c24=13+6=19,s27=l2+c27=13+17=30,min(s35,s24,s27) =s35=14.边[v3,v5]中未标号的点v5标以(14,3). I={v1,v2,v3,v5},J={v4,v6,v7},边集 {[vi,vj]}={[v2,v4],[v5,v4],[v2,v7],[v5,v6]},并有 s54=l5+c54=14+4=18,s56=l5+c56=14+2=16,min(s24,s54,s27,s5 6)=s56=16.边[v5,v6]中未标号的点v6标以(16,5).
§1 §2 §3 §4 §5 图与网络的基本概念 树图与最小生成树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
图论 Graph Theory
• 哥尼斯堡七桥问题 (Königsberg Bridge Problem) • Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图 论方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理 • 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体， 线表示实体间的关联
3.1 求解最短路的Dijkstra算法（Dijkstra algorithm, 1959）
Dijkstra算法也称为双标号算法。所谓双标号，也就是对图中的点vj 赋予两个标号(lj,kj)，第一个标号lj表示从起点vs到vj的最短路的长度，第 二个标号kj表示在vs到vj的最短路上vj前面一个邻点的下标。
应用举例：某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机 联网，这个网络的可能连通的路径如图G所示，图中 v1,…,v7表示7个学院办公室，图中的边为可能联网的路 径，边上所赋的权数为这条路线的长度，单位为百米。 请设计一个网络能连通7个学院办公室，并使总的线路长 度最短。
v2 3 v1 10 v6 3 3 v7 5 4 v5 1 4 2 v3 7 v4 8
1.3 端点，关联边，相邻，次
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 • 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 (end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incid%nt edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同 端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两 个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的 “次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的 图称为偶图(even graph)
例1. 求下图中v1到v6的最短路。
v2 3 7
2
5 v4
v6
v1
2
5
3 1
1
v3 5
v5
1. 2.
3.
4.
5. 6.
给起始点v1标以(0,s)，表示从v1到v1的距离为0。 已标号点集I={v1}，未标号点集J={v2,v3,v4,v5,v6}，弧集 {(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4)}，并有 s12=l1+c12=0+3=3,s13=l1+c13=0+2=2,s14=l1+c14=0+5,min( s12,s13,s14)=s13=2. 我们给弧(v1,v3)的终点v3标以(2,1). I={v1,v3},J={v2,v4,v5,v6},弧集 {(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v1,v2),(v1,v4),(v3,v4)}且 s34=l3+c34=2+1=3,min(s12,s14,s34)=s12=s34=3.给弧(v1,v2) 的终点标以(3,1),弧(v3,v4)的终点标以(3,3). I={v1,v2,v3,v4},J={v5,v6},弧集 {(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v2,v6),(v4,v6)},并有 s26=l2+c26=3+7=10,s46=l4+c46=3+5=8,min(s26,s46)=s46=8. I={v1,v2,v3,v4,v6},J={v5},弧集为∅，计算结束。v5没 有标号表明从v1到v5没有有向路。 最短路径为v1￫v3￫v4￫v6.
G
1. 在G中找到一个圈（v1,v7,v6,v1），并知在此圈上边 [v1,v6]的权数10为最大，在G中去掉边[v1,v6]得图G1。
1
3 4
v2
v3 7 2 v4
8 v5
v1 10
v6
3 3
v7
5 4
G1
2. 在G1中找到一个圈（v3,v4,v5,v7,v3），并知在此圈 上边[v4,v5]的权数8为最大，在G1中去掉边[v4,v5]得图G2。
A
A D C B
C
D
B
§1 图与网络的基本概念
1.1 图与网络
• 节点 (Vertex) – 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
• 边 (Edge) – 节点间的连线，表示有 关系 – 一般用 eij 表示 • 图 (Graph) – 节点和边的集合， – 一般用 G(V,E) 表示 – 点集 V={v1,v2,…, vn} • 网络 (Network) – 边上具有表示连接强度 的权值，如 wij – 又称加权图(Weighted graph)
v2
3
1
v3 7
v1
3 3
v7
2
v4
v6
v5
G5
§3 最短路问题
• 最短路问题是对一个赋权的有向图G（权数可能是路 程的长度、花费的成本等等）中的指定的两个点Vs和 Vt找到一条从Vs到Vt的路，使得这条路上所有弧的权 数的总和最小，这条路被称为从Vs到Vt的最短路，这 条路上所有弧的权数的总和被称之为从Vs到Vt的距离。
e22 v1 e'13 v3 e13 e34 图 6.1 e12 v2 e24 e45 v4 v5
– 边集E={eij}
1.2 无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图，如图1 • 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序 是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 • 图中既有边又有弧，称为混合图
2.2 图的生成树
• 树 T 是连通图 G 的生成树(spanning tree)，若 T 是 G的子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部 分指定节点的树称为 steiner tree
2.3 最小生成树
• 有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的， 如何铺设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度 最短 • 显然，这要求在已知边长度的网路图中找最 小生成树
• 首尾相连的路径称为回路(circuit)；
1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路 定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 1.4 连通图，子图，成分 • 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 • 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component) • 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图 • 平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没 有任何边相交
1. 给起点v1以标号(0,s)表示从v1到v1的距离为0，v1为起点。 2. 找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集 合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}，这里这个弧的集合是指所有从已 标号的点到未标号的点的弧的集合。 3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号 (lt,kt)，则vs到vt的距离即为lt，而从vs到vt的最短路径， 则可以从kt反向追踪到起点vs而得到。如果vt未标号，则 可以断言不存在从vs到vt的有向路。否则转下一步。 4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算sij=li+cij在所有的sij 中，找到其值为最小的弧，不妨设此弧为(vc,vd)，则给此 弧的终点以双标号(scd,c),返回第2步。
v2
3
1
4
v3 7 2 v4
v1
3 3
v7
v6
4
v5
G4
5. 在G4中找到一个圈（v2,v3,v7,v2），并知在此圈上 边[v3,v7]的权数5为最大，在G2中去掉边[v5,v7]得图G3。
1
3 4
v2
v3 7 2 v4
v1
3 3
v7
v6
v5
G5
6. 在G5中已找不到任何一个圈了，可知G5即为图G的 最小生成树。这个最小生成树的所有边的总权数为 3+3+3+1+2+7=19。
v2 15 v1 甲地 10 v3 3 6 17 v4 5 2 v7 乙地 6 v6
4 4 v5
1. 2.
3.
4.
5.
起始点v1标号为(0,s). I={v1},J={v2,v3,v4,v5,v6,v7},边集{[vi,vj]|vi,vj中一个∈I,另 一个∈J}={[v1,v2],[v1,v3]}，且s12=l1+c12=0+15=15， s13=l1+c13=0+10=10，min(s12,s13)=s13=10，边[v1,v3]中 未标号点v3标以(10,1). I={v1,v3},J={v2,v4,v5,v6,v7},边集 {[vi,vj]}={[v1,v2],[v3,v2],[v3,v5]},且s32=l3+c32=10+3=13， s35=l3+c35=10+4=14，min(s12,s32,s35)=s32=13.边[v3,v2]中 未标号的点v2标以(13,3). I={v1,v3,v2},J={v4,v5,v6,v7},边集 {[vi,vj]}={[v3,v5],[v2,v4],[v2,v7]},且 s24=l2+c24=13+6=19,s27=l2+c27=13+17=30,min(s35,s24,s27) =s35=14.边[v3,v5]中未标号的点v5标以(14,3). I={v1,v2,v3,v5},J={v4,v6,v7},边集 {[vi,vj]}={[v2,v4],[v5,v4],[v2,v7],[v5,v6]},并有 s54=l5+c54=14+4=18,s56=l5+c56=14+2=16,min(s24,s54,s27,s5 6)=s56=16.边[v5,v6]中未标号的点v6标以(16,5).