第七章网络的灵敏度分析
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型鲁棒性的技术，它可以帮助我们了解模型输出对于输入参数的变化的反应程度。
通过灵敏度分析，我们可以识别出哪些参数对于模型输出具有重要影响，从而优化模型的性能和可靠性。
本文将介绍灵敏度分析的基本概念、方法和应用，并探讨其在科学研究和工程领域的重要性。
首先，让我们来了解一下灵敏度分析的基本概念。
灵敏度分析是通过对模型输入参数进行逐一变化，并观察模型输出的变化情况来评估模型的鲁棒性。
在进行灵敏度分析时，我们通常会选择一个基准点作为参考，比如模型输入参数的平均值或某个特定值。
然后，通过改变输入参数的值，并观察模型输出的变化情况，来评估模型对于输入参数的变化的敏感程度。
灵敏度分析有多种方法和指标可以使用，常见的方法包括一元灵敏度分析、总变差分析和区间分析等。
一元灵敏度分析是最简单的方法，它通过改变单个参数的值，观察模型输出的变化情况来评估参数的影响程度。
总变差分析则是通过改变所有参数的值，观察模型输出的总变差情况来评估参数的综合影响程度。
区间分析则是通过将参数的取值范围划分为多个子区间，观察模型输出在不同子区间的变化情况来评估参数的影响程度。
灵敏度分析在科学研究和工程设计中具有广泛的应用。
在科学研究中，灵敏度分析可以帮助我们理解模型的复杂性和不确定性，从而提高模型的可信度和预测能力。
在工程设计中，灵敏度分析可以帮助我们识别出对于系统性能具有关键影响的输入参数，并进行优化和控制，从而提高系统的稳定性和可靠性。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们进行风险评估和决策分析。
通过评估不同参数对于模型输出的影响程度，我们可以识别出可能导致系统失败或风险增加的敏感参数，并制定相应的风险控制策略。
同时，灵敏度分析还可以提供决策支持，帮助我们在不同参数取值的情况下，评估和比较不同决策方案的优劣。
综上所述，灵敏度分析是一种可以评估模型鲁棒性的重要技术。
通过灵敏度分析，我们可以识别出对于模型输出具有重要影响的参数，并优化模型的性能和可靠性。
第七章 网络的灵敏度分析
原网络中电阻R在伴随网络中仍是电阻R
R
T ˆ I R I R R
R
ˆ ˆ ˆ U R I R I RU R I R I R R
灵敏度公式
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导
电导的VAR为 I G GU G 增量方程 I G GU G GU G
只讨论频域一阶微分灵敏度
相对灵敏度
广义网络函数的相对变化量与元件参数的 相对变化量的比值，即
x T T S T x T
T x
x ln T x ln x
• 相对灵敏度的其它表示法
x T (1) S 100 x
T x
x T x T T (2) S , Sx 100 x 180 x
ˆ ˆ (I DU D U D I D )
D
T
T xk k 1 xk
n
(1)Байду номын сангаас输出支路
Uo
Io
ˆ Uo
1A
输出为电压，则ΔI0＝0
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0 I 0
ˆ 取 I 0 1A
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0
D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
对于任一参数xk
A0 B0 xk T ( xk ) C0 D0 xk
B0 D( x) D0 N ( x) S 2 D ( x)
T xk
N ( x1 , x2 ,, xn ) N ( x) T ( x) 由 D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
第七章网络的灵敏度分析(1)
T (x) T (x0) T (x x0)
T 标量函数T的梯度
T
T
x1
T x2
T
xn
T的变化量ΔT为
T T (x) T (x0) T (x x0 ) T x
n k 1
T xk
xk
n
DT xk
xk
k 1
n
T
DT xk
xk
k 1
T
T
n k 1
T xk
xk T
S
T x
lim
X 0
T x
/ /
T x
T T
x x
x T
T x
（ llnnTx）
T变化的百分率 参数x变化的百分率
即:网络特性的相对变化量与网络参数的相对变化量之比， 是无量纲的纯数。(假定变化量足够的小)
3 . 半归一化灵敏度
T
0，S
T x
def
lim
X 0
T x / x
x
0，S
T x
def
电流源还是电流源)，但可以不具有相同的数值
定义给出了构造伴随网络的方法；注意构造伴随网络时支路划分，独 立源应单独作为一支路，受控源必须采用其二端口模型，控制电流视 为一个短路支路的电流，控制电压视为一个开路支路的电压。
下面讨论原网络与伴随网络的结构和元件参数的关系。
3. 线性网络的伴随网络 (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
原网络中的电流源伴随网络中为开路线
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
（3）二端线性电阻和电导
UR RI R （UR UR）（R R）（ IR IR）， UR RIR RIR RIR 高阶偏差项
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
第七章网络的灵敏度分析
网络参数（广义）：网络的元件参数：Z， Y，g，μ；物理参数：如温度，频率，压 力等标称值，实际值（老化）。
例如：2002年11月验收的电科院高压试实验 室，加速老化试验装置就是一个重要组成部 分。（总投入资金1200万）。
若用 T（x1 xn）
表示任何一个系统或网络特性（广义网络函 数），则：
T（x1 ，x2 ， xn）
dT（x1 xn）
T x1
dx1
T x2
dx2
T xk
dxk
T xn
dxn
T（x1 xn）
T x1
x1
T x2
x2
T xk
xk
T xn
xn
T 称为一阶微分灵敏度。
x j
写成向量形式
T T ( X ) T ( X 0 ) T ( X X 0 ) T X
(1)绝对灵敏度
lim DxT
T x
X 0
T x
称为绝对灵敏度（微分灵敏度）
为比较分析不同参数的相对变化对网络特性
的影响，对绝对灵敏度做归一化处理，引入
相对灵敏度。
(2)相对灵敏度
lim S
T x
X 0
T / T x / x
T T
x x
ln T （微分灵敏度），x
（ln x）
T
T（增量灵敏度） x
计算灵敏度最直接的方法
设 x 时x，x x，T T，x x，
计算x
T，S
T x
x T
T x
任何（广义）网络函数，
计算机求解很容易。
如果求出T的解析表达式可以直接求导。
例7 1，求图中电路的输出 U0对R1R2的灵敏度。
信息网络中流问题的灵敏度分析
信息网络中流问题的灵敏度分析
随着科技的发展,一种新型的信息传输方式——信息网络流传输成为主流,信息网络理论的研究成为热点问题。
而信息网络的拓扑结构并不是固定不变的,所以研究拓扑结构的变化对网络流最优解的影响对于信息网络的稳定性有非常重要的意义。
本文以信息网络为研究对象,着重研究了信息网络中流问题的灵敏度分析。
本文的主要内容包括:1、针对静态网络最大流的弧容忍度问题,分析了最大流和最小截的性质,由此给出了求解每条弧的最大流弧容忍度上下界的算法,并且证明了在算法中采用不同的最大流和最小截得到的弧容忍度上下界是相同的。
2、在动态网络最大流问题中,细化了原有的最大动态流算法,由此提出了最大动态流的关键弧算法,并将算法与原有算法和按定义求解的算法进行分析,最后通过构造辅助网络来求解关键顶点问题。
3、在动态网络中,分析了最短时间流的性质,说明了最短时间流与最大动态流的关系,由此给出了一个求解最短时间流问题的算法,在此基础上提出了最短时间流的关键弧算法,并将算法与按定义求解的算法进行了数值比较。
电网络 - 第一章网络理论基础(1)
4 网络及其元件的性质(一)（分类依据）： 1） 集中性与分布性： 如果在任何时刻 t ，流入任一端子的电流恒等于其它端子流 出的电流的代数和，则该元件称为集中参数元件（简称集 中元件），否则称为分布参数元件（简称分布元件）。
这是一种形象、直观的描述，实际上与我们大学本科 的定义是一样的。（元件或网络的几尺寸远远小于其 传播的电磁波的波长）。 描述集中元件电路（网络）方程的一般形式是常微分 方程。
第四章 电路的代数方程
§4- 1概述
§4- 2支路方程的矩阵形式
§4- 3电路代数方程的矩阵形式
§4- 4混合分析法（重点） §4- 5约束网络法（简介）
§4- 6稀疏表格法 §4- 7改进节点法（重点） §4- 9端口分析法（重点）
第六章 网络函数与稳定性
§6-3信号流图（Mason公式）
第七章 网络的灵敏度分析（重点）
证：设
u1 (t ) , i1 (t )
1 L(t )i1(t )
为其任意容允许偶,T为任意实常数 则有：
令： i2 (t ) i1 (t T )
2 L(t )i 2 (t ) L(t )i1(t T )
对应的电压分别为：
与 i1 (t ) , i2 (t ) i1 (t T )
§1- 1 网络及其元件的基本概念 §1-2 基本二端代数元件 §1-3高阶二端代数元件 §1-4代数多口元件 §1-5动态元件（简介） §1-11网络及元件的基本性质 §1-8 图论的基础知识～§1-10网络的互联规律性
第三章 多口网络
§3-1非含源多口网络的常见矩阵表示法 §3-2含源多口网络（的常见矩阵表示法） §3-3多口网络的等效电路（星网变换） §3-6不定导纳阵（归入第四章讲）
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
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汇报人：
价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
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灵敏度是系统、网络（或设备）的重要指标。
通过灵敏度分析不仅能直接得知网络参数变化对网络特 性的影响，还是容差分析、电路优化设计的基础
§7-2 灵敏度分析的基本概念
一 .灵敏度的概念
1. 定义: 网络函数对网络元器件参数变化的敏感程度
或说: 灵敏度就是广义网络函数对网络广义参数变化的 敏感程度
力等标称值，实际值（老化）。
二. 灵敏度的分类：
绝对灵敏度(微分灵敏度) 、相对灵敏度、和增量灵敏度。 定义：把广义网络函数表为广义网络参数的函数,
设 T（x1xn）表示任一网络特性，x表示任意参数 1 .绝对灵敏度 (微分灵敏度)
DxT
T x
lim
X 0
T x
非归一化灵敏度
举例:电路中某参数x(如某电阻)改变时,变量T(如某电压)对
2.伴随网络
定义一个网络 Nˆ ，若它与原网络N 满足下列条件，则称
网络 Nˆ 为原网络的伴随网络。
1）两个网络具有相同的拓扑结构，即关联阵等：Aˆ A
2）两个网络中，非独立源支路阻抗阵（或支路导纳阵）
互为转置，即：
Zˆb
Z
T b
,Yˆb
YbT
3）两个网络的独立源具有相同的性质(电压源还是电压源,
（4）受控源
CCVS：U r1
0 ，Ur2
rI r1
，
Ir1 +
Ur1 0 ，Ur2 rIr1 rIr1 Ur1
把上述关系代入相应的表达式，
Ir2
+
+
rIr1 Ur2
-
左侧 (U1 j Iˆ1 j I1jUˆ1 j） (U2 j Iˆ2 j I2 jUˆ2 j） 受控源
有（ U r1Iˆr1 Ir1Uˆ r1）（ U r2Iˆr2 Ir2Uˆ r2）
原网络中的电流源伴随网络中为开路线
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
（3）二端线性电阻和电导
UR RI R （UR UR）（R R）（ IR IR）， UR RIR RIR RIR 高阶偏差项
RI R IˆR RIˆRI R I RUˆ R IˆR I RR Uˆ R RIˆR
1). 广义网络函数 (网络特性)：可以是任何一个感兴趣的物理量, 可以是节点电位、支路电流，输入阻抗等等。或网络的输出误 差函数，传递函数等。也就是分析什么就赋予了什么特性
2). 广义网络参数： 实际的网络元件参数 ：Z，Y，g，μ；C; L 等 广义网络参数：影响元件参数的物理量，如温度，频率，压
有（ U1Iˆ1 I1Uˆ1）（ U 2Iˆ 2 I 2Uˆ 2）
I1Uˆ1 (I1 I1)Uˆ 2 U 2Iˆ 2 Iˆ1
I1(Uˆ1 Uˆ 2 ) U 2Iˆ 2 I1Uˆ 2 I1Uˆ 2 +
+
0
0
Uˆ 1
应取 Uˆ1 Uˆ 2 Iˆ 2 0
Uˆ 2 -
Iˆ 2
第七章 网络的灵敏度分析（P281）
§7-1灵敏度分析的意义
在任何一个系统的设计中，一个很重要的问题是了解由 于系统中某一参数发生变化时对系统的影响。
根据元件标称值所设计的网络，其性能不会符合标准设 计的要求。因为实际元件都有一定的容差，它在制造过程中 产生，或者由于温度、湿度、老化程度等环境条件变化引起。 元件参数偏离标称值，必然会引起电路输出特性的误差。所 以在设计电路时必须要研究参数变化对系统性能（系统特性） 的影响，这就是本章要讲的“灵敏度分析”。引入灵敏度来 表示这类变化关系的度量
xk xk
n
ST xk k 1
xk xk
或者
T
T (x)
T (x0)
T
(x
x0 )
1 (x 2
x0 )T
H(x
x0 )
高精度
H为对称矩阵,称为海森(Hessian)矩阵 ，矩阵元素为
hij
2T xix j
二阶微分灵敏度
3)
SxT
x T 100 x
参数变化1%，广义网络特性的增量
4）S
T x
x T 100 x
2) 多参数灵敏度（只能用于参数的微小变化）
广义网络函数与多个元件参数有关，即
T T (x1, x2,L , xn ) T (x)
T 代表表示系统对任何一个参数的灵敏度
x
将T＝T(x)在标称值处按泰勒级数展开得
T (x) T (x0) T (x x0)
将T＝T(x)在标称值处按泰勒级数展开得
-
则UIbTbTUiˆˆbb
0，（U
T b
0，（I
T b
UbT）iˆb IbT）Uˆb
0 0
UbTiˆb IbTUˆb 0 （1） 称为差分形式的特勒根定理！
写成和式为： (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
该式就是伴随网络法计算灵敏度的基本公式
为了利用此式计算灵敏度，需要构造伴随网络, 以求得伴随网 络的支路电压和电流.
T (x) T (x0) T (x x0)
T 标量函数T的梯度
T
T
x1
T x2
T
xn
T的变化量ΔT为
T T (x) T (x0) T (x x0 ) T x
n k 1
T xk
xk
n
DT xk
xk
k 1
n
T
DT xk
xk
k 1
T
T
n k 1
T xk
xk T
为分析方便，把网络元件按独立源（输入支路）、输出支路、
R 、 G 、 L 、C 、CCCS 、 CCVS 、VCVS 、VCCS……把（2）
式改写成：
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
（1）输出支路 然后据此式构造输出量的全微分(增量形式)。
电流源还是电流源)，但可以不具有相同的数值
定义给出了构造伴随网络的方法；注意构造伴随网络时支路划分，独 立源应单独作为一支路，受控源必须采用其二端口模型，控制电流视 为一个短路支路的电流，控制电压视为一个开路支路的电压。
下面讨论原网络与伴随网络的结构和元件参数的关系。
3. 线性网络的伴随网络 (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
设 x 时网络特性为T，当x x时，T T，x x，
计算x
T，S
T x
x T
T x
任何（广义）网络函数，
如果求出T的解析表达式，可以直接求导。
S
T x
x T
T x
下面介绍几种工程实际中常用的灵敏度计算方法，电力 系统、控制系统、检测系统等，强弱结合。或者在电路CAD 中常用的方法(清华书PSpice:电子电路的计算机辅助分析与设 计方法）
n ln T ln x
nS
T；
x
1
（4）S
T x
பைடு நூலகம்
S
T x
（5）S
T 1
x
ln T ln 1
ln T ln x
S
T x
x
（6）设H（j）
H（）e
j（），S
H（j） x
S
H（）
x
j（）S
（） x
（7）若T为常量，S
T x
0
。
（6）设H（j）
H（）e
j（），S
H（j） x
S
H（）
x
a) 输出电压：以开路线取出
N原
N微扰
因为开路，所以：Io 0，
取 Iˆo 1A
UoIˆo IoUˆo UoIˆo
原网络开路线的伴随网络为1A的理想电
流源(电流参考方向与原电压参考方向相
同)；则方程左端变为：U o
+
+
Uo
-
∆Uo
-
Nˆ
+
1A
-
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
+
Uˆ 2
可见原网络中的CCCS，伴随网络中变为的VCVS，满足（受控 源反号）相互互易性。
同理可得原网络中的VCVS，伴随网络中为的CCCS，满足 （受控源反号）相互互易性。
I1
+
U1
I 2
+
+
U 2
- U1
Iˆ1
+
Uˆ1
Iˆ2
Iˆ 2
+
Uˆ 2
原网络中的VCCS，伴随网络中仍为的VCCS，只是受控源的
＝0
可见伴随网络中仍为R!
类似的N中的G，Z，Y在伴随网络中也不变! Y
G （ UGIˆG IGUˆG） UGUˆGG （ UY IˆY IYUˆY） UYUˆY Y
Z （ UZ IˆZ ICUˆZ） IZ IˆZ Z
电感：（ U LIˆL ILUˆ L） ILIˆL（j L） j ILIˆLL 电容：（ UCIˆC ICUˆC）UCUˆC（j C） jUCUˆCC
该参数的变化率,称为T对于参数x的灵敏度
DxT 小, 就是灵敏度低,说明参数x 的变化, 对变量T 的影响就小
由于绝对灵敏度不能确切地说明各种不同参数对网络特性的影 响程度。为比较分析不同参数的相对变化对网络特性的影响， 对绝对灵敏度做归一化处理，引入相对灵敏度。
2 . 相对灵敏度(归一化灵敏度)：
§7-3 伴随网络法 N原
1.特勒根定理的差分形式：
Ik
+