第七章 网络的灵敏度分析
7.4 伴随网络法灵敏度分析
分析步骤(1) 用某种分析方法求解原网络，得到原网络的支路电压和支路电流的解答；(2)构造相应伴随网络，根据网络函数定义，构造相应伴随网络的端口，再构造伴随网络的内部元件模型；(3) 求解伴随网络，得到伴随网络支路电压和支路电流的解答；(4) 由灵敏度相应公式计算网络函数对所有微变参数的绝对灵敏度。
例1 网络如图 所示，定义网络函数。
用伴随网络法求 H 对的绝对灵敏度。
o i /H U U =m g C L R 、、、i 1V U =解：1) 令 求解原网络 L R I I ωj 121+== LR R g I I m ωj 54+=-= L R L U ωωj j 1+= L R R U U ωj 32+== 45o j (j )m g R U U U C R L ωω===-+03=I 1I i U R L2I 3U +-4I 3m g U C IU +-3I1I 1A R L 2I 4I 4m g U CI 4U +-3I 2) 构造伴随网络如下图3) 求解伴随网络得 )j (j ~1L R C R g I m ωω+-= )j (j j ~2L R C Lg I m ωωω+= C g I m ωj ~3-= 123j j (j )m Lg R U U U C R L ωωω=-=-=-+C U U ωj 1~~54-== 4) 计算各灵敏度 C L R Lg I I R Hm 222)j (~ω+-=-=∂∂ C L R R g I I L H m 211)j (~j ωω+=-=∂∂ )j (j ~j 255L R C Rg U U C Hm ωωω+==∂∂ )j (j ~43L R C RU U g H m ωω+-==∂∂。
第七章 网络的灵敏度分析
原网络中电阻R在伴随网络中仍是电阻R
R
T ˆ I R I R R
R
ˆ ˆ ˆ U R I R I RU R I R I R R
灵敏度公式
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导
电导的VAR为 I G GU G 增量方程 I G GU G GU G
只讨论频域一阶微分灵敏度
相对灵敏度
广义网络函数的相对变化量与元件参数的 相对变化量的比值，即
x T T S T x T
T x
x ln T x ln x
• 相对灵敏度的其它表示法
x T (1) S 100 x
T x
x T x T T (2) S , Sx 100 x 180 x
ˆ ˆ (I DU D U D I D )
D
T
T xk k 1 xk
n
(1)Байду номын сангаас输出支路
Uo
Io
ˆ Uo
1A
输出为电压，则ΔI0＝0
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0 I 0
ˆ 取 I 0 1A
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0
D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
对于任一参数xk
A0 B0 xk T ( xk ) C0 D0 xk
B0 D( x) D0 N ( x) S 2 D ( x)
T xk
N ( x1 , x2 ,, xn ) N ( x) T ( x) 由 D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
第七章网络的灵敏度分析(1)
T (x) T (x0) T (x x0)
T 标量函数T的梯度
T
T
x1
T x2
T
xn
T的变化量ΔT为
T T (x) T (x0) T (x x0 ) T x
n k 1
T xk
xk
n
DT xk
xk
k 1
n
T
DT xk
xk
k 1
T
T
n k 1
T xk
xk T
S
T x
lim
X 0
T x
/ /
T x
T T
x x
x T
T x
（ llnnTx）
T变化的百分率 参数x变化的百分率
即:网络特性的相对变化量与网络参数的相对变化量之比， 是无量纲的纯数。(假定变化量足够的小)
3 . 半归一化灵敏度
T
0，S
T x
def
lim
X 0
T x / x
x
0，S
T x
def
电流源还是电流源)，但可以不具有相同的数值
定义给出了构造伴随网络的方法；注意构造伴随网络时支路划分，独 立源应单独作为一支路，受控源必须采用其二端口模型，控制电流视 为一个短路支路的电流，控制电压视为一个开路支路的电压。
下面讨论原网络与伴随网络的结构和元件参数的关系。
3. 线性网络的伴随网络 (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
原网络中的电流源伴随网络中为开路线
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
（3）二端线性电阻和电导
UR RI R （UR UR）（R R）（ IR IR）， UR RIR RIR RIR 高阶偏差项
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
第七章网络的灵敏度分析
网络参数（广义）：网络的元件参数：Z， Y，g，μ；物理参数：如温度，频率，压 力等标称值，实际值（老化）。
例如：2002年11月验收的电科院高压试实验 室，加速老化试验装置就是一个重要组成部 分。（总投入资金1200万）。
若用 T（x1 xn）
表示任何一个系统或网络特性（广义网络函 数），则：
T（x1 ，x2 ， xn）
dT（x1 xn）
T x1
dx1
T x2
dx2
T xk
dxk
T xn
dxn
T（x1 xn）
T x1
x1
T x2
x2
T xk
xk
T xn
xn
T 称为一阶微分灵敏度。
x j
写成向量形式
T T ( X ) T ( X 0 ) T ( X X 0 ) T X
(1)绝对灵敏度
lim DxT
T x
X 0
T x
称为绝对灵敏度（微分灵敏度）
为比较分析不同参数的相对变化对网络特性
的影响，对绝对灵敏度做归一化处理，引入
相对灵敏度。
(2)相对灵敏度
lim S
T x
X 0
T / T x / x
T T
x x
ln T （微分灵敏度），x
（ln x）
T
T（增量灵敏度） x
计算灵敏度最直接的方法
设 x 时x，x x，T T，x x，
计算x
T，S
T x
x T
T x
任何（广义）网络函数，
计算机求解很容易。
如果求出T的解析表达式可以直接求导。
例7 1，求图中电路的输出 U0对R1R2的灵敏度。
电网络 - 第一章网络理论基础(1)教材
第一章
重点：
网络理论基础
网络及其元件的基本概念: 基本代数二端元件，高阶二端代数元件，代数 多口元件和动态元件。 网络及其元件的基本性质: 线性、非线性；时变、非时变 ；因果、非因果； 互易、反互易、非互易；有源、无源 ；有损、无 损，非能 。 网络图论基础知识：
Q f , B f ;KCL、KVL的矩阵形式； G，A，T，P， 特勒根定理和互易定理等。
3.本课程的主要内容：
教材的第一章~第七章的大部分内容，计划 40学时，21周考，详见后面的教学安排。
4.要求：
掌握基本概念和基本分析计算方法。使对电网络的 分析在“观念”和“方法”上有所提高。
5.参考书：
肖达川：线性与非线性电路
电路分析 邱关源：网络理论分析（新书，罗先觉）
第一章 网络理论基础
§5-7端口分析法（储能元件、高阶元件和独立源抽出跨接 在端口上—与本科介绍的储能元件的抽出替代法类似）
第二章 简单电路（非线性电路分析）
§2-1非线性电阻电路的图解法（DP、TC、假定状态法） §2-2小信号和分段线性化法 §2-3简单非线性动态电路的分析（一阶非线性动态电路分析） §2-4二阶非线性动态电路的定性分析（重点）
t
t
t
u
( )
i( )
, 取任意整数
（0） x x
基本变量（表征量）之间存在与“网络元件”无关的普遍 关系:
dq(t ) （ 1 ） i（t） ，q（t） i i（t）dt dt d (t ) （ 1 ） u（t） ， (t ) u （ t） u（t）dt dt
§1- 1 网络及其元件的基本概念 §1-2 基本二端代数元件 §1-3高阶二端代数元件 §1-4代数多口元件 §1-5动态元件（简介） §1-11网络及元件的基本性质 §1-8 图论的基础知识～§1-10网络的互联规律性
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
信息网络中流问题的灵敏度分析
信息网络中流问题的灵敏度分析
随着科技的发展,一种新型的信息传输方式——信息网络流传输成为主流,信息网络理论的研究成为热点问题。
而信息网络的拓扑结构并不是固定不变的,所以研究拓扑结构的变化对网络流最优解的影响对于信息网络的稳定性有非常重要的意义。
本文以信息网络为研究对象,着重研究了信息网络中流问题的灵敏度分析。
本文的主要内容包括:1、针对静态网络最大流的弧容忍度问题,分析了最大流和最小截的性质,由此给出了求解每条弧的最大流弧容忍度上下界的算法,并且证明了在算法中采用不同的最大流和最小截得到的弧容忍度上下界是相同的。
2、在动态网络最大流问题中,细化了原有的最大动态流算法,由此提出了最大动态流的关键弧算法,并将算法与原有算法和按定义求解的算法进行分析,最后通过构造辅助网络来求解关键顶点问题。
3、在动态网络中,分析了最短时间流的性质,说明了最短时间流与最大动态流的关系,由此给出了一个求解最短时间流问题的算法,在此基础上提出了最短时间流的关键弧算法,并将算法与按定义求解的算法进行了数值比较。
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三.（补充）借助信号流图得到 N a 1．规则： t
xi
xj
原信号流图
t
x i k
x j k
x i k
x j
t
k
t与k无关
xi t与k有关
t k
2．应用 x （1）已知：a，f是温度T的函数，计算 T c a xs f x1 d x2 e
b
xs
a/T a
c
x1/T
三.推导
Ip1
＋
Ip2 Up1
-
N (b条支路)
原网络
＋
Up2
-
＋
I p1
I p2
U p2
＋
U p1
-
N
伴随网络
由特勒根定理，得
U
i 1
2
pi
I pi
2
U
k 1
b
k Ik
0
（ 1） （ 2）
T UT I U b b b Ib
或： U pi I pi U k I k 0
M L2 L1
··
·
··
·
L2
+ Uk gmUk
gm U k
-
+
Uk
+
Ik
-
rm Ik
rm I k
+ -
Ik
N
Ik β Ik
N
+ -
Uk
Uk
-
+
+ Uk -
+ μ k Uk
+
k I k
-
Ik
2．网络端口关系
I p1
I p2
U p1
U p 2 可以根据计算需要，任意假设。
3．解析灵敏度公式 p283 T1T2 T1 T2 (1) S x Sx Sx (2) S
T1 T2 x
1 T1 T2 (T1 S x T2 S x ) T1 T2
证明见“书”
(3) S
Tn x
1 T x
nS
T x
T x
(4) S S (5) S S
T 1 x
UT b ΔIb
又 ΔUb Δ(Zb I b ) ΔZb I b Zb ΔIb
T ΔUT I U p p p ΔIp
T ΔUp Ip UT p ΔIp
IT b ΔZb I b
IT b ΔZb I b
IT b Zb ΔIb
( Zb Ib )ΔΔ b
由图1得：
R1 (1 u1
R3 )I s R2
（省略）
作业：p9 3－10
备注：
1.根据对不同参数求灵敏度，选择相应公式； Λ Λ I b 或 Ub Ub 2.求 N 与 N 的 I b 3.表中CCCS，VCVS两种形式受控源，先将控制量进行变形 成VCCS或CCVS，再根据受控源形式，分别选择相应的公 式；若原网络中所求的参数灵敏度与公式一致，如：
U 0 Y1
T （7）T是常量，S x 0
4．应用 p284 例7－2－1（自己看）
第三节 伴随网络法（Adjoint Network）
一.概念 引入伴随网络目的 （1）原网络 N ：线性时不变网络，且内部不含独立源。 （2）伴随网络 N ：为计算需要，人为引进的。 (3) 为简化讨论，只考虑单输入、单输出的情况。
xs
c
xs/T=0
f b
f
d
x2/T
d
x1
f/T
e
e x1
（2）求灵敏度 S
＋
u0 Is R2
I2 Is
R2
＋
u1
-
R1
R3
u0
-
解：网络 N 信号流图
Is R1 u1 -R1 -1/R2
1/R2
I2
R3
u0
图1
Is/R2=0
R1
-R1
-1/R2
u0/R2 u1/R2 1/R2 I /R R3 2 2 2 (1/R2)2 -(1/R2)
T T ( x1 , x2 xn ) T ( x)
T T ( x) T ( x0 ) T ( x x0 ) 1 ( x x0 ) T H ( x x0 ) 2
较高精度
T T T 其中： T , x x x 2 n 1
u1 图2 u0
S
u0 Is R2
S R2
u0
R3 R3 R3 u u ( u u ) 0 1 2 1 2 0 2 u0 R2 R2 R2 R2 R2 u0 R1 R3 1 R1 R3 1 ( ) R2 R2 R2 R2
R1 R3 Is R2 u0
1 U 0 U 0 R U 0 1 ( 2 ) 1 R R G R R
U 0 2 U 0 R G R
五.应用 1．p290 例7－3－1 2．p291 例7－3－2
第四节 导数网络法（增量网络法） （Incremental Network Method） 一.意义 p296
二．N 与 N 的构成原则 1． N 与 N 具有相同的拓扑结构，即关联矩阵 （结点、支路编号相同）； 2．N 与 N 内部支路
AA
Λ
ZT b
Zb
T Yb
Y H 11b H 12b 11b I1 U1 H Λ Λ H （附： ) T T U 2 I2 H 21b H 22b H 21b H 22b
通过求解导数网络可获得网络全部输出量对一个网络参 数变化的灵敏度值。
二. 导数网络 N a 1．公式 TX B 原网络 N ： 导数网络
X B T T N a ： p p p X
（式7－4－1） （式7－4－2）
两个方程系数矩阵相同，独立源贡献不同。
N a 特征：p296－p297 2． 3．线性元件模型 p300 表7－4－1
IT b ΔZb I b
T IT Z b b ΔIb
同理可推出含 ΔY
ΔUT I p UT 的公式： p p ΔIp b
UT b ΔY bUb
四.网络元件在伴随网络中的表现形式 推导过程：p286－p289 1．列表：网络内部支路
N
N
N
M L1
N
1．p281 定义 2．分类 (1)绝对灵敏度（微分灵敏度）（非归一化灵敏度） T T T Dx lim （式7－2－1） x 0 x x (2)相对灵敏度（归一化灵敏度）
T Sx
x T T T x T
x ln T x ln x
（式7－2－1）
(3) 其他灵敏度表示法
i 1 k 1
b
（1）－（2）得：
I b I b ΔIb
T UT I U p p p Ip
（ 3）
假设网络N参数发生变化，从而引起各支路电压、电流变化
Ub Ub ΔUb
Ip Ip ΔIp
Up Up ΔUp
(UT p
代入（3）式，得
T ΔUp ) Ip UT p (I p
x T S 100 x
T x
（参数变化百分之一时）
T S x
x T S 100 x
T x
x T 180 x
• 半归一化灵敏度
T 0
x0
T T S x x ln x
T x
T Sx
1 T ln T T x x
• 多参数灵敏度（只能用于参数的微小变化） p282
1 Z 1 ΔYb
U 0 则可；若 Y2
则
1 Z 2
1 g Z 4
U 0 Z1
U 0 Z 2
主对角线元素变形。
Yb 4．
Zb 是针对原网络列写。
U 0 U 0 5． 与 关系 R G
ΔIp ) (UT b
T ΔUb ) Ib UT b (I b
ΔIb )
（ 4） （ 5）
代入（5）式
IT b Zb ΔIb
（4）－（ 3）得：
T ΔUT I U p p p ΔIp
T ΔUT I U b b b ΔIb
IT b ΔUb
T x
（6）设 H ( j ) H ( )e 证明：（补充）
j
j ( )
( ) ，则 S xH ( j ) S xH ( ) j ( )S x
j x ( He ) He Sx x He j j x H e j ( e H ) j x x He x H j Sx He j j x He x H S x j S xH j S x x
第七章
网络的灵敏度分析
内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 灵敏度分析的意义 灵敏度分析基本概念 伴随网络法（Adjoint Network） 导数网络法（增量网络法）（Incremental Network Method）
第一节 灵敏度分析的意义
p281
第二节 灵敏度分析基本概念
一. 灵敏度