第七章 网络的灵敏度分析
7.4 伴随网络法灵敏度分析
分析步骤(1) 用某种分析方法求解原网络，得到原网络的支路电压和支路电流的解答；(2)构造相应伴随网络，根据网络函数定义，构造相应伴随网络的端口，再构造伴随网络的内部元件模型；(3) 求解伴随网络，得到伴随网络支路电压和支路电流的解答；(4) 由灵敏度相应公式计算网络函数对所有微变参数的绝对灵敏度。
例1 网络如图 所示，定义网络函数。
用伴随网络法求 H 对的绝对灵敏度。
o i /H U U =m g C L R 、、、i 1V U =解：1) 令 求解原网络 L R I I ωj 121+== LR R g I I m ωj 54+=-= L R L U ωωj j 1+= L R R U U ωj 32+== 45o j (j )m g R U U U C R L ωω===-+03=I 1I i U R L2I 3U +-4I 3m g U C IU +-3I1I 1A R L 2I 4I 4m g U CI 4U +-3I 2) 构造伴随网络如下图3) 求解伴随网络得 )j (j ~1L R C R g I m ωω+-= )j (j j ~2L R C Lg I m ωωω+= C g I m ωj ~3-= 123j j (j )m Lg R U U U C R L ωωω=-=-=-+C U U ωj 1~~54-== 4) 计算各灵敏度 C L R Lg I I R Hm 222)j (~ω+-=-=∂∂ C L R R g I I L H m 211)j (~j ωω+=-=∂∂ )j (j ~j 255L R C Rg U U C Hm ωωω+==∂∂ )j (j ~43L R C RU U g H m ωω+-==∂∂。
第七章 网络的灵敏度分析
原网络中电阻R在伴随网络中仍是电阻R
R
T ˆ I R I R R
R
ˆ ˆ ˆ U R I R I RU R I R I R R
灵敏度公式
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导
电导的VAR为 I G GU G 增量方程 I G GU G GU G
只讨论频域一阶微分灵敏度
相对灵敏度
广义网络函数的相对变化量与元件参数的 相对变化量的比值，即
x T T S T x T
T x
x ln T x ln x
• 相对灵敏度的其它表示法
x T (1) S 100 x
T x
x T x T T (2) S , Sx 100 x 180 x
ˆ ˆ (I DU D U D I D )
D
T
T xk k 1 xk
n
(1)Байду номын сангаас输出支路
Uo
Io
ˆ Uo
1A
输出为电压，则ΔI0＝0
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0 I 0
ˆ 取 I 0 1A
ˆ ˆ ˆ U 0 I 0 I 0U 0 U 0
D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
对于任一参数xk
A0 B0 xk T ( xk ) C0 D0 xk
B0 D( x) D0 N ( x) S 2 D ( x)
T xk
N ( x1 , x2 ,, xn ) N ( x) T ( x) 由 D( x1 , x2 ,, xn ) D( x)
第七章网络的灵敏度分析(1)
T (x) T (x0) T (x x0)
T 标量函数T的梯度
T
T
x1
T x2
T
xn
T的变化量ΔT为
T T (x) T (x0) T (x x0 ) T x
n k 1
T xk
xk
n
DT xk
xk
k 1
n
T
DT xk
xk
k 1
T
T
n k 1
T xk
xk T
S
T x
lim
X 0
T x
/ /
T x
T T
x x
x T
T x
（ llnnTx）
T变化的百分率 参数x变化的百分率
即:网络特性的相对变化量与网络参数的相对变化量之比， 是无量纲的纯数。(假定变化量足够的小)
3 . 半归一化灵敏度
T
0，S
T x
def
lim
X 0
T x / x
x
0，S
T x
def
电流源还是电流源)，但可以不具有相同的数值
定义给出了构造伴随网络的方法；注意构造伴随网络时支路划分，独 立源应单独作为一支路，受控源必须采用其二端口模型，控制电流视 为一个短路支路的电流，控制电压视为一个开路支路的电压。
下面讨论原网络与伴随网络的结构和元件参数的关系。
3. 线性网络的伴随网络 (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
原网络中的电流源伴随网络中为开路线
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
（3）二端线性电阻和电导
UR RI R （UR UR）（R R）（ IR IR）， UR RIR RIR RIR 高阶偏差项
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
第7章灵敏度分析
3.用伴随网络法求解稳态灵敏度的步骤： (1)求解原网络方程TX B ，得到原网络各支路电压和 支路电流信息。
ˆ ˆ T T X B 。其系数矩阵是原网 (2)建立伴随网络方程
络方程系数矩阵的转置。如果是非线性网络，则应是非
ˆ 线性迭代收敛后的原网络系数矩阵的转置。右端向量 B
中只需填入输出支路的贡献，是一个最多含有两个非零 元的向量。
因为导数网络方程的系数矩阵与原网络系数因为导数网络方程的系数矩阵与原网络系数矩阵相同矩阵相同所以在原网络方程求解过程中系数矩所以在原网络方程求解过程中系数矩阵的lulu分解的结果分解的结果可以在导数网络方程的求解可以在导数网络方程的求解中直接应用中直接应用故求解导数网络方程所需乘除运算故求解导数网络方程所需乘除运算量仅是向前量仅是向前向后替代所需的乘除次数向后替代所需的乘除次数比求解比求解原网络方程的运算量小得多原网络方程的运算量小得多
ˆ 随网络 N 是个线性网络。
(2)当参量 p 发生变化时，有
f f dI g dp U g p
代入(2)式，得；
ˆ dU U f dU U f dp dU 0 ˆ Ig g ˆg g g O U g p
将(3) 式代入上式得
ˆ f dp dU 0 U g O p
(3)求解伴随网络方程，得到伴随网络中各支 路电压和支路电流信息 (4)根据原网络和伴随网络方程的结果，利用 各元件灵敏度公式，计算出输出变量对网络中所 有元件参数的灵敏度值。 (5)如果还进一步求网络中另外一个输出变量 对元件参数的灵敏度，则需要重新填写伴随网络 方程的右端向量，然后重复(3)、(4)步骤。 采用伴随网络法每求解一次伴随网络方程， 只能计算出网络的一个输出变量对所有网络元件 参数的灵敏度，如果还想计算其他输出变量的灵 敏度，则需要再求解伴随网络方程。一般人们只 对网络中少数几个输出变量的灵敏度感兴趣，所 以求解伴随网络的次数不会很多。但当网络较大 时，每次所需计算的网络参数灵敏度值会很多。
第七章网络的灵敏度分析
网络参数（广义）：网络的元件参数：Z， Y，g，μ；物理参数：如温度，频率，压 力等标称值，实际值（老化）。
例如：2002年11月验收的电科院高压试实验 室，加速老化试验装置就是一个重要组成部 分。（总投入资金1200万）。
若用 T（x1 xn）
表示任何一个系统或网络特性（广义网络函 数），则：
T（x1 ，x2 ， xn）
dT（x1 xn）
T x1
dx1
T x2
dx2
T xk
dxk
T xn
dxn
T（x1 xn）
T x1
x1
T x2
x2
T xk
xk
T xn
xn
T 称为一阶微分灵敏度。
x j
写成向量形式
T T ( X ) T ( X 0 ) T ( X X 0 ) T X
(1)绝对灵敏度
lim DxT
T x
X 0
T x
称为绝对灵敏度（微分灵敏度）
为比较分析不同参数的相对变化对网络特性
的影响，对绝对灵敏度做归一化处理，引入
相对灵敏度。
(2)相对灵敏度
lim S
T x
X 0
T / T x / x
T T
x x
ln T （微分灵敏度），x
（ln x）
T
T（增量灵敏度） x
计算灵敏度最直接的方法
设 x 时x，x x，T T，x x，
计算x
T，S
T x
x T
T x
任何（广义）网络函数，
计算机求解很容易。
如果求出T的解析表达式可以直接求导。
例7 1，求图中电路的输出 U0对R1R2的灵敏度。
电网络 - 第一章网络理论基础(1)教材
第一章
重点：
网络理论基础
网络及其元件的基本概念: 基本代数二端元件，高阶二端代数元件，代数 多口元件和动态元件。 网络及其元件的基本性质: 线性、非线性；时变、非时变 ；因果、非因果； 互易、反互易、非互易；有源、无源 ；有损、无 损，非能 。 网络图论基础知识：
Q f , B f ;KCL、KVL的矩阵形式； G，A，T，P， 特勒根定理和互易定理等。
3.本课程的主要内容：
教材的第一章~第七章的大部分内容，计划 40学时，21周考，详见后面的教学安排。
4.要求：
掌握基本概念和基本分析计算方法。使对电网络的 分析在“观念”和“方法”上有所提高。
5.参考书：
肖达川：线性与非线性电路
电路分析 邱关源：网络理论分析（新书，罗先觉）
第一章 网络理论基础
§5-7端口分析法（储能元件、高阶元件和独立源抽出跨接 在端口上—与本科介绍的储能元件的抽出替代法类似）
第二章 简单电路（非线性电路分析）
§2-1非线性电阻电路的图解法（DP、TC、假定状态法） §2-2小信号和分段线性化法 §2-3简单非线性动态电路的分析（一阶非线性动态电路分析） §2-4二阶非线性动态电路的定性分析（重点）
t
t
t
u
( )
i( )
, 取任意整数
（0） x x
基本变量（表征量）之间存在与“网络元件”无关的普遍 关系:
dq(t ) （ 1 ） i（t） ，q（t） i i（t）dt dt d (t ) （ 1 ） u（t） ， (t ) u （ t） u（t）dt dt
§1- 1 网络及其元件的基本概念 §1-2 基本二端代数元件 §1-3高阶二端代数元件 §1-4代数多口元件 §1-5动态元件（简介） §1-11网络及元件的基本性质 §1-8 图论的基础知识～§1-10网络的互联规律性
信息网络中流问题的灵敏度分析
信息网络中流问题的灵敏度分析
随着科技的发展,一种新型的信息传输方式——信息网络流传输成为主流,信息网络理论的研究成为热点问题。
而信息网络的拓扑结构并不是固定不变的,所以研究拓扑结构的变化对网络流最优解的影响对于信息网络的稳定性有非常重要的意义。
本文以信息网络为研究对象,着重研究了信息网络中流问题的灵敏度分析。
本文的主要内容包括:1、针对静态网络最大流的弧容忍度问题,分析了最大流和最小截的性质,由此给出了求解每条弧的最大流弧容忍度上下界的算法,并且证明了在算法中采用不同的最大流和最小截得到的弧容忍度上下界是相同的。
2、在动态网络最大流问题中,细化了原有的最大动态流算法,由此提出了最大动态流的关键弧算法,并将算法与原有算法和按定义求解的算法进行分析,最后通过构造辅助网络来求解关键顶点问题。
3、在动态网络中,分析了最短时间流的性质,说明了最短时间流与最大动态流的关系,由此给出了一个求解最短时间流问题的算法,在此基础上提出了最短时间流的关键弧算法,并将算法与按定义求解的算法进行了数值比较。
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受控电流源 ⇒ VCCS ⇒ VCCS
VCVS ⇒ CCCS CCCS ⇒ VCVS
开路控制支路
∂T ∂g
= U1Uˆ 2
∂T
∂α
= −U1Iˆ2
∂T
∂β
=
I1Uˆ 2
有量纲系数保持不变 无量纲系数加“－”
N中受控源与Nˆ 中受控源满足相互互易性
(8) 理想变压器
⎧⎨⎩UI21
= =
nU 2 −nI1
Δxk
按支路类型展开
∑ ΔUo Iˆo − ΔIoUˆo =
(ΔIkUˆk − ΔUk Iˆk )
独立源
∑ ∑ + (ΔIRUˆ R − ΔURIˆR ) + (ΔIGUˆG − ΔUGIˆG )
R
G
∑ ∑ + (ΔILUˆ L − ΔULIˆL ) + (ΔICUˆC − ΔUC IˆC )
L
C
短路线
⇔ 电流源
开路线
(3) 二端线性电阻
电阻的伏安关系为
U R = RIR
当电阻有ΔR的偏差时，设电压、电流的偏差 分别为ΔUR和ΔIR，则
UR + ΔUR = (R + ΔR)(IR + ΔIR ) = RIR + ΔRIR + RΔIR + ΔR ⋅ ΔIR
忽略二阶偏差项
ΔU R = ΔRIR + RΔIR （增量方程）
R
⇒
R
− ΔU R IˆR + ΔIRUˆ R = −IR IˆRΔR
灵敏度公式
∂T ∂R
=
− I R IˆR
灵敏度公式仅由VAR中的控制量构成
(4) 二端线性电导 电导的VAR为 IG = GUG 增量方程 ΔIG = ΔGUG + GΔUG
ΔIGUˆG − ΔUGIˆG = (ΔGUG + GΔUG )UˆG − ΔUG IˆG
x的非线性函数
将T＝T(x)在标称值处按泰勒级数展开
( ) T (x) = T (x0 ) +
∂T ∂x
x= x0
⋅ Δx +O
Δx2
Δx = x − x0
T (x)
≈ T (x0 ) +
∂T ∂x
x= x0
⋅ Δx
T的变化量ΔT为
ΔT
=
T (x)
− T (x0 )
=
∂T ∂x
⋅ Δx
=
DxT Δx
∑ ∑ =
n k =1
∂T ∂xk
Δ
xk
n
=
DT xk
Δxk
k =1
∑ ∑ ΔT
T
=
n ⎛ ∂T
k
=1
⎜ ⎝
∂xk
⋅ xk T
⎞ ⎟ ⎠
Δxk xk
=
n
ST xk k =1
Δxk xk
考虑二阶时
ΔT = T (x) − T (x0 )
=
∇T
⋅
(x
−
x0
)
+
1 2
(x
−
x0
)T
H(x
−
x0
)
H为对称矩阵,称为海森(Hessian)矩阵
(8) 理想变压器
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 )
( ) ( ) = ΔI1 Uˆ1 − nUˆ2 − ΔU2 Iˆ2 + nIˆ1 − (U2 Iˆ1 + I1Uˆ2 )Δn
伴随元件方程
灵敏度公式
⎧⎪⎨⎪⎩UIˆˆ21
= =
nUˆ 2 −nIˆ2
∂T ∂n
⇒ 伴随方程 ⇒ 伴随元件
（5）参数增量的系数即为灵敏度公式
(5) 阻抗与导纳
阻抗支路
Z
Z
⇒
灵敏度公式 导纳支路
∂T ∂Z
= −IZ IˆZ
Y
⇒
Y
灵敏度公式
∂T ∂Y
=
U YUˆ Y
(5) 二端线性电感和电容
电容
∂T ∂Y
=
∂T
∂ ( jωC )
= UCUˆC
⇒
电感
∂T ∂C
=
jωU CUˆ C
取
⎧⎪⎨⎪⎩UUˆˆ12
= =
0 rIˆ2
⎧⎨⎩UU12
= =
0 rI1
U1Iˆ1 + U2Iˆ2 = U2Iˆ2 = rI1Iˆ2 Uˆ1I1 + Uˆ2I2 = Uˆ1I1 = rIˆ2I1
N中的CCVS与Nˆ 中的CCVS满足相互互易性
(7) 受控源
(ΔI1Uˆ1 − ΔU1 Iˆ1) + (ΔI2Uˆ2 − ΔU2 Iˆ2 ) = −ΔrI1Iˆ2
第七章 网络的灵敏度分析
主要内容
1）灵敏度分析的基本概念
2）分析方法 伴随网络法 增量网络法（导数网络法）
§7-1 灵敏度分析的意义
灵敏度(Sensitivity)
为了衡量元器件的参数变化对网络性能 的影响，引入灵敏度的概念。
§7-2 灵敏度分析的基本概念
一、灵敏度的定义
网络灵敏度是指网络中“网络函数”对“元件 参数”的敏感程度。
L
C
∑ ∑ + ⎡⎣( jω)nUDUˆ DΔD⎤⎦ + ⎡⎣−( jω)n IE IˆE ΔE ⎤⎦
D
E
∑ ∑ + (−Ir1Iˆr2Δr) + (Iβ1Uˆβ 2Δβ )
CCVS
CCCS
∑ ∑ + (−Uα1Iˆα 2Δα ) + (U g1Uˆ g2Δg) +"
VCVS
VCCS
灵敏度公式的统一形式
矩阵元素为
hij
=
∂ 2T ∂xi∂x j
三、解析灵敏度公式
(1)
S T1T2 x
=
S T1 x
+
S T2 x
(2)
S T1 +T2 x
=
T1
1 + T2
(T1
S
T1 x
+
T2
S
T2 x
)
(3)
STn x
=
nS
T x
1
(4)
S
T x
=
−
S
T x
(5)
S
T 1
=
−
S
T x
x
（6） 若 H ( jω ) = H (ω ) e jθ ( ω )
T x
=x 100
∂T ∂x
(2)
S
T x
=x 100
∂T ∂x
,
S∠T x
=
x 180D
∂T ∂∠x
(3) 半归一化灵敏度
当T
= 0时，SxT
Δ
=
x
∂T
∂x
=
∂T ∂ ln x
当x
=
0时，S
T x
Δ
=
1
T
∂T ∂x
=
∂ lnT ∂x
绝对灵敏度
DxT
=
∂T ∂x
输出与参数的关系 T = T (x)
∂T = −IIˆ ∂Z
∂T = UUˆ ∂Y
∂T ∂Zij
= −Ii Iˆj
∂T ∂Au
= −Ui Iˆj
∂T ∂n
=
−U2 Iˆ1
− I1Uˆ 2
∂T ∂Yij
= UiUˆ j
∂T ∂Ai
原网络中的电流源与伴随网络中的开路线相对应
考虑电压源电压和电流源电流的变化时 对于电压源,为了消去ΔIk，仍应取 Uˆk = 0
−ΔUk Iˆk + ΔIkUˆk = −ΔUk Iˆk
对于电流源,为了消去ΔUk,仍应取Iˆk = 0
−ΔUk Iˆk + ΔIkUˆk = ΔIkUˆk
小结：
⇔ 电压源
灵敏度公式
I1
∂T ∂r
= −I1Iˆ2
I2
Iˆ1 +
+
U1 −
+ rI1−
+ U2
⇒
Uˆ1
−
−
+ rIˆ2 −
Iˆ2 +
Uˆ 2 −
⎧⎨U1 ⎩U 2
= =
0 rI1
⎧⎪⎨⎪⎩UUˆˆ12
= =
0 rIˆ2
受控源的伴随元件
短路控制支路 ⇒ 受控电压源
受控电压源 ⇒ 短路控制支路 开路控制支路 ⇒ 受控电流源
则
S H ( jω ) x
=
S H (ω ) x
+
jθ
(ω
)S
θ x
(ω
)
例题1 例题2 例题3
§7-3 伴随网络法
单一输出对多个参数的灵敏度
特勒根定理的差分形式为
ΔubT iˆb − ΔibT uˆb = 0
标量形式为
∑( ) b Δukiˆk − Δik uˆk = 0
k −1
伴随网络法进 行灵敏度分析 的基本关系式
∑ + ⎡⎣(ΔIr1Uˆr1 − ΔUr1Iˆr1) + (ΔIr2Uˆr2 − ΔUr2Iˆr2 )⎤⎦ CCVS
∑ +" + (ΔIDUˆ D − ΔUDIˆD ) +" D
(1) 输出支路
+ Io
Uo
⇒
−
+
Uˆ o − 1A
输出为电压 ΔI0＝0