数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
非线性方程求解
⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法
实验报告一：实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。
二、 实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。
2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。
3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。
4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。
比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。
第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。
画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。
牛顿迭代、割线法、二分法算法实验报告
三、牛顿法计算实验
3.1 牛顿法算法思想和简要描述 我们有一个函数 f，其零点由数值计算得出，设 r 是 f 的一个零点，x 是 r 的一个近似。若 f 的二阶导数存在并且连续，则有泰勒定理，得 0=f(r)=f(x+h)=f(x)+hf ’(x)+o(h^2) 其中 h=r-x。若 h 较小（即 x 在 r 附近） ，则有理由略去 o(h^2)项并且 在余下方程中求 h。即得到 h=-f(x)/f ’(x)。故 x-f(x)/f ’(x)是比 x 更好的一个 近似。牛顿法从 r 的一个估计 x0 开始，得到更加准确的近似值 xn。递推 式定义为： f(xn ) xn+1 = xn − ′ f (xn ) 3.2 MATLAB 运行牛顿法程序 牛顿法求解 f=x^3-9 的根 参数设置：x0 设置为函数 f 零点的近似。 n 设置为牛顿法 for 语句迭代次数。 alpha 设置为最后结果 f(x)的精度。 delta 设置为最后结果 x 的精度。 （若 alpha，delta 都符合设置的计算精度时，结束迭代并得 出计算结果，否则一直迭代到 n 次） 设置初始值：设置参数 x0 分别为为 3；迭代次数 n 为 50 次；alpha 和 delta 都设置为 0.001。 列出计算结果： >> newton(f,50,3,0.001,0.001) n x f(x) delta alpha 1.0000 2.3333 3.7037 0.6667 3.7037 2.0000 2.1066 0.3483 0.2268 0.3483 3.0000 2.0804 0.0043 0.0262 0.0043 Elapsed time is 0.166680 seconds.
4.0000 2.0625 2.1250 5.0000 2.0625 2.0938 6.0000 2.0781 2.0938 7.0000 2.0781 2.0859 8.0000 2.0781 2.0820 9.0000 2.0801 2.0820 10.0000 2.0801 2.0811 11.0000 2.0801 2.0806 12.0000 2.0801 2.0803 13.0000 2.0801 2.0802 14.0000 2.0801 2.0801 elapsed time is 0.316426 seconds.
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值分析3.1.二分法、迭代法及收敛性
上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得(2.6)式. 证毕. 注：误差估计式(2.5)原则上确定迭代次数，但它由 于含有信息 L 而不便于实际应用. 而误差估计式(2.6) 是实用的，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即 可保证近似值 xk 具有足够精度.
注： 对定理1和定理2中的条件2º 可以改为导数，即 在使用时如果(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有
显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=(a)-a>0, f(b)=(b)-b<0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0，即 x*=(x*)，x*即为(x)的不动点. 再证不动点的唯一性. 设x1*, x2*∈[a, b]都是(x) 的不动点，则由(2.4)得
可以如此反复迭代计算
xk+1=(xk) 到的序列{xk}有极限 (k=0,1,2,). (2.2)
(x)称为迭代函数. 如果对任何x0∈[a, b]，由(2.2)得
lim xk x .
k
则称迭代方程(2.2)收敛. 且x*=(x*)为(x)的不动点， 故称(2.2)为不动点迭代法.
例1 用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在(1, 1.5)的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由题设条件，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 2
n 1
(b a)
1 2
n 1
(1.5 1)
1 2
n 2
0.005
2 由此解得 n 1 5.6,取 n=6, 按二分法计算过程见 lg 2
L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p 有
数值求解方法
数值求解方法数值求解方法是一种通过数值计算来解决数学问题的方法。
在许多实际问题中，我们需要求解各种方程或函数的根、极值、积分等问题，而数值求解方法可以提供一种有效的途径来解决这些问题。
本文将介绍几种常见的数值求解方法，并分析其原理和应用。
一、二分法二分法是一种简单而有效的数值求解方法，它通过不断将求解区间一分为二，并根据函数值的正负判断根的位置，最终逼近根的位置。
二分法的原理是基于函数在连续区间上的性质，通过不断缩小求解区间的范围来逼近根的位置。
二分法的优点是简单易用，但收敛速度相对较慢，对于某些特殊函数可能不适用。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法。
它通过对方程进行泰勒展开，利用切线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但对于某些复杂函数可能存在收敛性问题，需要进行合理的初始近似值选择。
三、割线法割线法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法，类似于牛顿迭代法。
它通过对方程进行割线近似，利用割线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
割线法的优点是相对于牛顿迭代法而言，不需要计算函数的导数，因此更加简单易用，但收敛速度较慢。
四、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数值方法。
它通过对方程组进行一系列的行变换，将方程组化为上三角形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单直观，适用于一般的线性方程组求解，但对于某些特殊的方程组可能存在奇异性或多解的问题。
五、龙贝格积分法龙贝格积分法是一种用于数值积分的方法，通过对区间进行逐步细分，并计算相应的复合梯形面积来逼近积分值。
龙贝格积分法的优点是收敛速度较快，精度较高，适用于各种类型的函数积分求解，但对于某些特殊函数可能存在收敛性问题。
六、插值法插值法是一种通过已知数据点来求解未知数据点的数值方法。
它通过构造一个插值函数，使得该函数在已知数据点上与原函数值相等，从而通过插值函数来求解未知数据点的近似值。
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。
其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。
然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。
它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。
割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。
它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。
割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。
在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。
这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。
二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。
二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。
牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。
割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。
无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。
通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。
这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。
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第
2.1二分法
思想：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。
步骤：1.取中点mid=(x0+x1)/2
2.若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与f(x0)
异号，则根在[x0,mid]之间，否则在[mid,x1]之间。
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
3.判断f(x2)是否满足精度要求，若没有则按照上述步骤继续迭代，否则输出x2.x2即为方程的近似解。
第
测试结果
函数图像
函数Y=x5-3x3+x-1
二分法
[-1.6,-1.3]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.45
5
-1.50156
10
-1.50493
表4-1
区间[-1.2,-0.9]结果x=-1
k
xk
f(xk)
1
-1.01393
0.0415678
2
-1.0002
0.000607777
3
-0.999999
-3.11969e-006
4
-1
2.11001e-010
表4-2
区间[1.5,1.8]结果x=1.69028
k
xk
f(xk)
1
1.64403
-0.676455
3
-1.50497
6
-1.50507
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
k
x
1
-1
2
-1
表3-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
1
1.6
5
1.69024
2
1.68602
6
1.69027
3
1.68893
7
1.69028
4
1.68985
8
1.69028
表3-3
双点弦法（表
区间[-1.6,-1.3]结果x=-1.50507
6
-1.50412
12
-1.50489
18
-1.50505
表2-1
初值-1
k
x
1
-1
2
-1
表2-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
k
xk
1
1.6
8
1.68862
151.690232 Nhomakorabea1.65669
9
1.68927
16
1.69025
3
1.66987
10
1.68967
17
1.69027
4
1.6779
2
1.68071
-0.151106
3
1.69126
0.0157988
4
1.69027
-0.000313515
5
1.69028
-6.3006e-007
表4-3
从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦截法的收敛速度。二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算，牛顿迭代法虽然收敛高，但要求导数，计算的复杂度高！双点弦法随稍慢于牛顿跌代法，可以用差商代替牛顿迭代法中的导数，降低了计算的复杂度！
11
1.68991
18
1.69027
5
1.68278
12
1.69006
19
1.69028
6
1.68573
13
1.69015
20
1.69028
7
1.68753
14
1.6902
表2-3
牛顿迭代法（表
初值-1.5结果x=-1.50507
k
xk
k
xk
1
-1.5
4
-1.50504
2
-1.50471
5
-1.50506
k
xk
f(xk)
k
xk
f(xk)
1
-1.5
0.03125
5
-1.50667
0.0784566
2
-1.66149
0.376502
6
-1.505
-0.010079
3
-1.47175
-1.56322
7
-1.50507
0.000440988
4
-1.492
0.186801
8
-1.50507
2.30387e-006
14
1.69029
1
1.725
8
1.69043
15
1.69029
2
1.6875
9
1.69014
16
1.69029
3
1.70625
10
1.69028
17
1.69028
4
1.69687
11
1.69036
18
1.69028
5
1.69219
12
1.69032
6
1.68984
13
1.6903
表1-3
简单迭代法（表
本科生实验报告
实验课程数值计算方法
学院名称信息科学与技术学院
专业名称计算机科学与技术
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇一六年五月二〇一六年五月
实验一
1.1
实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。
实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-1= 0在区间[-8,8]上的全部实根，误差限为10-6。
1
-1.525
6
-1.50391
11
-1.505
2
-1.4875
7
-1.50508
12
-1.50504
3
-1.50625
8
-1.50449
13
-1.50506
4
-1.49688
9
-1.50479
14
-1.50507
表1-1
区间[-1.2,-0.9]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.05
5
-0.998437
10
-1.00005
1
-0.975
6
-1.00078
11
-0.999976
2
-1.0125
7
-0.999609
12
-1.00001
3
-0.99375
8
-1.0002
13
-0.999994
4
-1.00312
9
-0.999902
14
-1
表1-2
区间[1.5,1.8]
k
xk
k
xk
k
xk
0
1.65
7
1.69102
次近似值
步骤：1.计算原函数的导数f’(x);构造牛顿迭代公式
2.计算 ,若f’(x0)=0,退出计算，否则继续向下迭代。
3.若|x1-x0|满足精度要求，x1即为方程的近似解。
2.4弦截法
思想:为加速收敛，改用两个端点都在变动的弦，用差商替代牛顿迭代公式的导数f’(x)。
步骤：1.构造双点弦法的公式
3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。
2.2简单迭代法
思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。
步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).
3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。
初值-1.5
k
xk
k
xk
k
xk
1
-1.5
7
-1.50435
13
-1.50493
2
-1.50217
8
-1.50453
14
-1.50497
3
-1.50287
9
-1.50466
15
1.50499
4
-1.50341
10
-1.50476
16
-1.50501
5
-1.50381
11
-1.50483
17
-1.50504
4．输出x1,即为方程的近似解。
2.3 Newton迭代法
思想：设r是 的根，选取 作为r的初始近似值，过点 做曲线 的切线L，L的方程为 ，求出L与x轴交点的横坐标 ，称x1为r的一次近似值。过点 做曲线
的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 ，称 为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中， 称为r的