高一数学必修一课件3.2.1几类不同增长的函数模型
新课导入
函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模 型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。 例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.
澳大利亚兔子
澳大利亚兔子数“爆炸”
一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是 这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有 人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的 牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加， 不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量 达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只 兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的 载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲 口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法 消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学
通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依 据.
从表格中获取信 息，体会三种函数的增 我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 长差异。
方案一 x/天 1 2 3 4 5 6 7 8 … 30 y/元 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 增加量
方案二 y/元 增加量 10 20 10 30 10 40 50 60 70 80 … 300 10 10 10 10 10 …
y
y=xn
y=logax o
1
x
在区间(0,+∞)上，随着x的增大， logax增长 得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样， 尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn ， 但由于logax的增长慢于xn 的增长，因此总存在一 个x0 ，当x> x0时，就会有logax > xn 思考5:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0， 使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？ logax<xn <ax
教学重难点
重点
将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、 一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异， 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同函数类型增长的含义．
难点
怎样选择数学模型分析解决实际问题．
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资
方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元.
y 1.002x
y log7 x 1
o
200 400 600 800 1000 1200
x
可知道在区间（800，810）内 有一点x0，满足 1.002x0 = 5所以说 列表计算确认上述判断： 当x>x0时，y>5,该模型也不符合要 求.
奖金/万元 模型 利润
y＝0.25X
2.5 5
得到a=-0.05,b=0.35,c=0.7，所以此模拟函数为 y=-0.05x2+0.35x+0.7，则四月份的产量是1.2万件. 假如是模拟函数y=a·x+c. b
1 = ab + c 2 1.2 = ab + c 1.3 = ab 3 + c
得到a=-0.8,b=0.5,c=1.4，所以此模拟函数为 y=-0.8×0.5x+1.4，所以四月份的产量为1.45万件. 由于已知四月份的产量为1.37万件，与1.45万件更 接近，所以选用模拟函数y=a·x+c作为估计以后每 b 月的产量.
课堂小结
确定函数模型 图象讨论模型 利用数据表格、函数
体会直线上升、指数
爆炸、对数增长等不同类型函数的含义.
课堂练习
1.购买收集“全球通”卡，使用需付基本月租 费50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打 出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用 时不收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为 0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在 市内用手机，并且每月手机费预算为120元，在不 考虑其他因素的情况下，他购买这两种卡中的＿＿ “神州行”卡2个交点
1
o
1 2
4
x
思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增 长的快慢情况如何？
y
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4
x
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在 探究3x 会小于xn ，但是由于ax x的一定变化范围内，a 的增长快于xn 的增长，因此总存在一个x0 ，当x> 一般幂、指、对函数模型（y=xn,y=ax ,y= logax ） x0时，就会有ax > xn. 的差异. 思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
我们来看函数 y = log7 x +1- 0.25x 的图象:
y o
10
x
综上所述:模型 y = log7 x +1 确实符合公司要求.
对数函数，指数函数和幂函数在(0,+∞)上都是 在[10，1000]上总是 增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体 小于0. 情况是怎么样的呢？
y = log7 x +1- 0.25x
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一
天多回报10元. 方案三: 第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
探究1
（1）涉及哪些数量关系？
（2）如何用函数描述这些数量关系？ 分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：
y = 40(x N ), y = 10x(x N ), y = 0.4 2x-1 (x N* )
其中哪个模型能符合公司的要求？
y = 0.25x, y = log7 x +1, y = 1.002
x
我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到 对数增长
y8
7 6 5 4 3 2 1
y=0.25x
模型比较适合于 初步结论：按对数模型 描述增长速度平 进行奖励时符合公司的 缓的变化规律。 要求。 y=5
个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用
一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系. 模拟函数可以选用 y=ax2+bx+c或y=a·x+c.已知4月份该产品的产量 b
为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数.
解：分别求出模拟函数中的a,b,c。假如是 模拟函数y=ax2+bx+c
1 = a + b + c 1.2 = 4a + 2b + c 1.3 = 9a + 3b + c
2.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开 始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间， 则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( D )
d d d d
0
A
t
0
B
t
0
C
t
0
D
t
3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次 （一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个 可繁殖成( B ) A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
思考2:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况 是如何变化的？
思考3:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn? 思考4:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如 何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
3.482 4.595 6.063 3.24 4.84 6.76
10.556 … 11.56 … …
y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
思考2：观察在同一坐标系中这三个函数 图象，标出使不等式log2x<2x<x2 , log2x<x2<2x 成立的自变量x的取值范围。
4.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场 销售发生变化，A产品连续两次提价20％，B产品 连续两次降价20％，结果都以23.04元出售，此时 厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为 ( B ) A．不亏不赚 B．亏5.92元 C．赚5.92元 D．赚28.96元
结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案； 投资7天，应该选择方案一或方案二；投资8－10天， 应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上， 应选择第三种投资方案.
例2涉及了哪几类 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准 函数模型？本例的实质 备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 是什么？ 利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元） 的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
方案三 y/元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 … 增加量 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 …
0 0
0 0 0 0 0 … 0
10 214748364.8 107374182.4
我们看到，底为2的指数函 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对 数函数描述后期增长的.
前期
后期
实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函 数模型来刻画呢？
3.2.1
几类不同增长 的函数模型
x y=a y=ax+b y=lnx
教学目标
知识与能力
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增 长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长 差异性．
y
函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模 型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。 例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.
澳大利亚兔子
澳大利亚兔子数“爆炸”
一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是 这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有 人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的 牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加， 不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量 达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只 兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的 载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲 口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法 消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学
通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依 据.
从表格中获取信 息，体会三种函数的增 我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 长差异。
方案一 x/天 1 2 3 4 5 6 7 8 … 30 y/元 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 增加量
方案二 y/元 增加量 10 20 10 30 10 40 50 60 70 80 … 300 10 10 10 10 10 …
y
y=xn
y=logax o
1
x
在区间(0,+∞)上，随着x的增大， logax增长 得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样， 尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn ， 但由于logax的增长慢于xn 的增长，因此总存在一 个x0 ，当x> x0时，就会有logax > xn 思考5:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0， 使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？ logax<xn <ax
教学重难点
重点
将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、 一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异， 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同函数类型增长的含义．
难点
怎样选择数学模型分析解决实际问题．
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资
方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元.
y 1.002x
y log7 x 1
o
200 400 600 800 1000 1200
x
可知道在区间（800，810）内 有一点x0，满足 1.002x0 = 5所以说 列表计算确认上述判断： 当x>x0时，y>5,该模型也不符合要 求.
奖金/万元 模型 利润
y＝0.25X
2.5 5
得到a=-0.05,b=0.35,c=0.7，所以此模拟函数为 y=-0.05x2+0.35x+0.7，则四月份的产量是1.2万件. 假如是模拟函数y=a·x+c. b
1 = ab + c 2 1.2 = ab + c 1.3 = ab 3 + c
得到a=-0.8,b=0.5,c=1.4，所以此模拟函数为 y=-0.8×0.5x+1.4，所以四月份的产量为1.45万件. 由于已知四月份的产量为1.37万件，与1.45万件更 接近，所以选用模拟函数y=a·x+c作为估计以后每 b 月的产量.
课堂小结
确定函数模型 图象讨论模型 利用数据表格、函数
体会直线上升、指数
爆炸、对数增长等不同类型函数的含义.
课堂练习
1.购买收集“全球通”卡，使用需付基本月租 费50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打 出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用 时不收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为 0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在 市内用手机，并且每月手机费预算为120元，在不 考虑其他因素的情况下，他购买这两种卡中的＿＿ “神州行”卡2个交点
1
o
1 2
4
x
思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增 长的快慢情况如何？
y
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4
x
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在 探究3x 会小于xn ，但是由于ax x的一定变化范围内，a 的增长快于xn 的增长，因此总存在一个x0 ，当x> 一般幂、指、对函数模型（y=xn,y=ax ,y= logax ） x0时，就会有ax > xn. 的差异. 思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
我们来看函数 y = log7 x +1- 0.25x 的图象:
y o
10
x
综上所述:模型 y = log7 x +1 确实符合公司要求.
对数函数，指数函数和幂函数在(0,+∞)上都是 在[10，1000]上总是 增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体 小于0. 情况是怎么样的呢？
y = log7 x +1- 0.25x
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一
天多回报10元. 方案三: 第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
探究1
（1）涉及哪些数量关系？
（2）如何用函数描述这些数量关系？ 分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：
y = 40(x N ), y = 10x(x N ), y = 0.4 2x-1 (x N* )
其中哪个模型能符合公司的要求？
y = 0.25x, y = log7 x +1, y = 1.002
x
我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到 对数增长
y8
7 6 5 4 3 2 1
y=0.25x
模型比较适合于 初步结论：按对数模型 描述增长速度平 进行奖励时符合公司的 缓的变化规律。 要求。 y=5
个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用
一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系. 模拟函数可以选用 y=ax2+bx+c或y=a·x+c.已知4月份该产品的产量 b
为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数.
解：分别求出模拟函数中的a,b,c。假如是 模拟函数y=ax2+bx+c
1 = a + b + c 1.2 = 4a + 2b + c 1.3 = 9a + 3b + c
2.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开 始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间， 则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( D )
d d d d
0
A
t
0
B
t
0
C
t
0
D
t
3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次 （一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个 可繁殖成( B ) A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
思考2:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况 是如何变化的？
思考3:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn? 思考4:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如 何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
3.482 4.595 6.063 3.24 4.84 6.76
10.556 … 11.56 … …
y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
思考2：观察在同一坐标系中这三个函数 图象，标出使不等式log2x<2x<x2 , log2x<x2<2x 成立的自变量x的取值范围。
4.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场 销售发生变化，A产品连续两次提价20％，B产品 连续两次降价20％，结果都以23.04元出售，此时 厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为 ( B ) A．不亏不赚 B．亏5.92元 C．赚5.92元 D．赚28.96元
结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案； 投资7天，应该选择方案一或方案二；投资8－10天， 应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上， 应选择第三种投资方案.
例2涉及了哪几类 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准 函数模型？本例的实质 备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 是什么？ 利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元） 的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
方案三 y/元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 … 增加量 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 …
0 0
0 0 0 0 0 … 0
10 214748364.8 107374182.4
我们看到，底为2的指数函 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对 数函数描述后期增长的.
前期
后期
实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函 数模型来刻画呢？
3.2.1
几类不同增长 的函数模型
x y=a y=ax+b y=lnx
教学目标
知识与能力
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增 长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长 差异性．
y
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人教A版数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型
1.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图象（a=2).
x
0.2 0.6 1.0 1.4 y
y=2x 1.149 1.516 2 2.639 5
y=x2 0.04 0.36 1 1.96 4 y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 3
1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … 2
即当x [10,1000时] ，是否有
y log7 x 1 0.25
x
x
令f (x) log7 x+1-0.25x,x [10,1000] 利用计算机作出函数 f (x) 的图象
由图象可知它是递减的， 因此 f (x) f (10) 0.3167 0,
即 log7 x 1 0.25x
y=2x y=x2 B
从图象看出y=log2x的图象与另外两函数 的图象没有交点，且总在另外两函数图 象的下方，y=x2的图象与y=2x的图象有两 个交点(2，4)和（4，16）.
4 A y=log2x 1 o 1234 x
3.根据图象,分别写出使不等式 log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围.
其中哪个模型能符合公司的要求？
思路分析：
某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖 励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售 利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合 公司要求即可.
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3.2函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函 数及幂函数的增长差异; 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同增长的函数模型的意义; 3.体会数学在实际问题中的应用价值.
最新课标高中数学A版必修1-3.2.1几类不同增长的函数模型 优质课件 .ppt
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案； 投资7天应选择第一种投资方案或选择第二种投 资方案,投资8－10天，应选择第二种投资方案； 投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案。
6
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准 备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利 润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的 增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
较它们的增长情况，为选择投资方案提供依
据。
3
从表格中获取信息，体会
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：三种函数的增长差异。
方案一
方案二
x/天 y/元 增加量 y/元 增加量
1
40
10
2
40
0
20
10
3
40
0
30
10
4
40
5
40
6
40
7
40
0
40
10
0
50
10
0
60
10
0
70
10
方案三 y/元 增加量
0.4
0.8
0.4
1.6
0.8
3.2
1.6
6.4
3.2
12.8
6.4
25.6 12.8
8
40
0
80
10
51.2 25.6
…
……
…
…
…
…
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1
logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增 长 速度不同 ，而且不在同一个“档次”上．随着x的增 大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn<ax.
1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区 别？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象， 如图：
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】 研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝ x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】 画出草图进行比较．
【解】 分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象 (如图)，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过 了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象， 即存在一个x0满足0.5ex0－2＝x20－1，当x>x0时，ln(x＋1)<x2 －1<0.5ex－2.
2．函数模型的选取： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模 型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长 到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变 化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较 快.
2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度 最快的是哪一个函数？
提示：y＝3x. 3．当0<a<1，n<0时，如何比较ax，logax，xn的大小？ 提示：总会存在一个x0，使x>x0时，logax<ax<xn，而当 x<x0时，ax，logax，xn的大小不确定．
1．三类函数增长的比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝ logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长 速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在 一个x0，当x>x0，就有logax<xn<ax.
1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区 别？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象， 如图：
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】 研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝ x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】 画出草图进行比较．
【解】 分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象 (如图)，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过 了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象， 即存在一个x0满足0.5ex0－2＝x20－1，当x>x0时，ln(x＋1)<x2 －1<0.5ex－2.
2．函数模型的选取： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模 型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长 到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变 化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较 快.
2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度 最快的是哪一个函数？
提示：y＝3x. 3．当0<a<1，n<0时，如何比较ax，logax，xn的大小？ 提示：总会存在一个x0，使x>x0时，logax<ax<xn，而当 x<x0时，ax，logax，xn的大小不确定．
1．三类函数增长的比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝ logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长 速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在 一个x0，当x>x0，就有logax<xn<ax.
人教A版数学必修一课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型
三种函数模型的性质
y＝ax(a＞1)
在(0，＋∞) 上的增减性
_增__函__数__
y＝logax(a＞1) _增__函__数__
y＝xn(n＞0) _增__函__数__
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
图象的变 随 x 增大逐渐近 随 x 增大逐渐近 随 n 值不同
数学建模
数学建模
问题导学 预习课本 P95－101，思考以下问题： (1)函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上 的单调性是怎样的？图象的变化规律是什么？ (2)函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)的增长速度有什 么不同？
答案：y＝2x(x∈N*)
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 018x
B．y＝x2 018
C．y＝log2 018x
D．y＝2 018x
(2)四个自变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26 y2 2 32
若 x∈(0，1)，试分析三个函数模型 y＝3x，y ＝x13，y＝ln x 的增长差异，用“>”把它们的取值大小关系连接 起来为____________． 解析：当 x∈(0，1)时，3x>1，1>x13>0， ln x<0，所以 3x>x13>ln x.
答案：3x>x13>ln x
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直 线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型 y＝ax(a>1)的增长特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧， 形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随 着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平 缓．
2019版数学人教A版必修1课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型 .pdf
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3.2.1 几类不同增长的 函数模型
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
(3)指数函数、对数函数和幂函数. 在区间(0,+∞)内,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都 是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因 此,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax<xn<ax. 【做一做2】 当x>4时,a=4x,b=log4x,c=x4,则有( ) A.a<b<c B.b<a<c
C.c<a<b D.b<c<a 答案:D
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3.2.1 几类不同增长的 函数模型
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D典例透析 IANLI TOUXI
几类常见函数模型的增长特点 剖析(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0).现实生活中很多 事例可以用直线模型来表示,例如,匀速直线运动的时间和位移的 关系,弹簧的伸长量与拉力的关系等.直线模型的增长特点是直线 上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型y=k·ax+b(k≠0) 叫做指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函 数值增大的速度越来越快(底数a>1,ax的系数k>0),常形象地称之为 “指数爆炸”.通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚 地看到“指数爆炸”的威力. (3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型y=klogax+b(k≠0) 叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底 数a>1,logax的系数k>0),函数值增大的速度越来越慢.
人教版高中数学必修一_3.2.1_几类不同增长的函数模型ppt课件
解得bc＝ ＝10..45.，
则 a＝1－ b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35
比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小 要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选 指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建， 工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上 但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳 而指数函数模型恰好反映了这种趋势．
a＋b＋c＝1， 4a＋2b＋c＝1.2， 9a＋3b＋c＝1.3.
a＝－0.05， 解得b＝0.35，
c＝0.7.
所以有关系式 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实 量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开 每月下降(图象开口向下，对称轴为 x＝3.5)，不合实际．
因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 模拟比较接近 实际．
规律总结：本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观 的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图 选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大 点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数 的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
(2)对数函数和幂函数．
∞平 lloo)gg行上aa对xx一，的 _于_样随_增对_，_着长x数尽nx_.的函_管于增数在x大ynx的＝的，增l一olog长定gax，a变x(a增因化＞长此范1得)总围和越存内幂来慢在，函越一数lo慢个gy＝a，xx0可x，图n能(当象n＞会x就＞0大像)x，于是0时在x渐n，区，渐就间但地会(由与0有
高中数学人教A版必修一课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型
【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮 才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时) 体温的变化情况的是( )
解析:观察图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又
解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,故选D.
3.(函数模型)对于两个变量x,y2x 0 0.9 (B)y=2x (D)y=x2 1 2 2 4.1 C 3 7.9 4 16.2
则x,y间拟合效果最好的曲线方程是(
)
4.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的关系
式为
答案:y=
.
1 2 x (x>0) 2
课堂探究·素养提升
题型一 图象信息迁移问题 【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元) 与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话2分钟,需付电话费 (2)通话5分钟,需付电话费 .
元; 元;
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
【情境导学】
导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x;
(2)y=log2x,y=log3x,y=log4x; (3)y=x2,y=x3,y=x4;
(4)y=2x,y=log2x,y=x2.
想一想
指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的
(2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小. 解:(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=
高一数学几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修_1
t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 解：据表中数据做出散点图如图13.
图13
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比 较合理．
不妨将(2,1)代入到 y＝loga(t＋1)中， 得 1＝loga3，解得 a＝3. 故可用函数 y＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当 t＝8 时，求得 h＝log3(8＋1)＝2. 故可预测第 8 年松树的高度为 2 米．
3．计算机成本不断下降，若每隔 3 年计算机价格降低13， 现在为 8 100 元的计算机，则 9 年后的价格降为__2_4_0_0__.
4．平均增长率(减少率)：原产值基础数 N，平均增长(减少) 率为 P，则对于时间 x 的总产量 y＝___N_(_1_＋_P_)_x_(或__N_(1_－__P_)x_)__．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数 表达式；
(2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值． 解：(1)y＝g(t)·f(t) ＝(80－2t)20－21|t－10|＝(40－t)(40－|t－10|) ＝3400＋ －ห้องสมุดไป่ตู้t4500－ －tt01≤ 0≤t<t≤102 0. .
(2)当 0≤t<10 时，y 的取值范围是[1 200,1 225]， 在 t＝5 时，y 取得最大值为 1 225； 当 10≤t≤20 时， y 的取值范围是[600,1 200]， 在 t＝20 时，y 取得最小值为 600. ∴第 5 天，日销售额 y 取得最大值为 1 225 元． 第 20 天，日销售额 y 取得最小值为 600 元．
利用给定的函数模型解决实际问题 例 1：设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函 数关系式是 y＝cekx，其中 c、k 为常量．已知某天海平面的大气 压为 1.01×105 Pa,1 000 m 高空的大气压为 0.90×105 Pa，求 600 m 高空的大气压强(结果保留 3 个有效数字)? 思维突破：已知函数模型，需待定 c、k，根据 x＝0，y＝ 1.01×105 Pa 和 x＝1 000 m，y＝0.90×105 Pa 来求．
图13
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比 较合理．
不妨将(2,1)代入到 y＝loga(t＋1)中， 得 1＝loga3，解得 a＝3. 故可用函数 y＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当 t＝8 时，求得 h＝log3(8＋1)＝2. 故可预测第 8 年松树的高度为 2 米．
3．计算机成本不断下降，若每隔 3 年计算机价格降低13， 现在为 8 100 元的计算机，则 9 年后的价格降为__2_4_0_0__.
4．平均增长率(减少率)：原产值基础数 N，平均增长(减少) 率为 P，则对于时间 x 的总产量 y＝___N_(_1_＋_P_)_x_(或__N_(1_－__P_)x_)__．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数 表达式；
(2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值． 解：(1)y＝g(t)·f(t) ＝(80－2t)20－21|t－10|＝(40－t)(40－|t－10|) ＝3400＋ －ห้องสมุดไป่ตู้t4500－ －tt01≤ 0≤t<t≤102 0. .
(2)当 0≤t<10 时，y 的取值范围是[1 200,1 225]， 在 t＝5 时，y 取得最大值为 1 225； 当 10≤t≤20 时， y 的取值范围是[600,1 200]， 在 t＝20 时，y 取得最小值为 600. ∴第 5 天，日销售额 y 取得最大值为 1 225 元． 第 20 天，日销售额 y 取得最小值为 600 元．
利用给定的函数模型解决实际问题 例 1：设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函 数关系式是 y＝cekx，其中 c、k 为常量．已知某天海平面的大气 压为 1.01×105 Pa,1 000 m 高空的大气压为 0.90×105 Pa，求 600 m 高空的大气压强(结果保留 3 个有效数字)? 思维突破：已知函数模型，需待定 c、k，根据 x＝0，y＝ 1.01×105 Pa 和 x＝1 000 m，y＝0.90×105 Pa 来求．
新人教A版必修一3.2.1《几类不同增长的函数模型》ppt课件
第6天
第7天 ……
第 21 天 第 22 天
…… 第 31 天
……
……
1.07374109
…… ……
y 10x 1 x 30, xZ ，单位是万元.
1. 直线 y kx bk 0 模型，其增长特点是
.
y 2x1 1 x 30, xZ ，单位是分.
2.指数函数： y a xa 1 模型，其增长特点是
模型 3：从模型 y=log7x+1 观察，用模型 y=log7x+1 奖励时， 才符合公司的要求
3. 对数函数：y loga xa 1 模型，其增长特点是
.
1．四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表
x 0 5 10 15
20
25
30
y1 5 130 505 1130 2005
问题 2：三种方案所得回报的增长情况
方案一 x/天
y/元 增加量/元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
30
方案二 x/天
y/元 增加量/元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
30
方案三 x/天
y/元 增加量/元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
30
问题 2：三种方案所得回报的增长情况
方案一 x/天
y/元 增加量/元
1
40
2
40
0
3