基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

【考试要求】

1.掌握基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(a ，b ≥0)；

2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中

a ＋b

2

称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号.

(2)ab ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号.

3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2

4(简记：和定积最大).

【微点提醒】

1.b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.

21a ＋

1b

≤ab ≤a ＋b 2

≤a 2＋b 2

2

(a >0，b >0).

3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2

＋b 2

≥2ab 与

a ＋b

2

≥ab 成立的条件是相同的.( )

(2)函数y ＝x ＋1

x

的最小值是2.( )

(3)函数f (x )＝sin x ＋4

sin x 的最小值为4.( )

(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x

≥2的充要条件.( )

【教材衍化】

2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18

C.36

D.81

3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1

x

( )

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为－2

D.有最大值，且最大值为－2

【真题体验】

4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，3上的最小值为( )

A.1

2 B.43

C.－1

D.0

5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.

6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a

＋18b 的最小值为________.

【考点聚焦】

考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值

【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0

2，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.

(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为______.

角度2 利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a

1－x

(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，

且m ，n 为正数，则1m ＋1

n

的最小值为________.

角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化

【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.

【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值.

【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：

(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.

【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1

ab

的最小值为( )

A.2

B.12

C.4

D.14

(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.

考点二 基本不等式在实际问题中的应用

【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).

假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭

⎪⎫2＋x 2

360升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；

(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【规律方法】

1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.