不等式选讲大题及答案
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲(含答案及解析)
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：20 不等式选讲1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a +1c≥3．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c ≥13，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有[a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c ≥13，由权方和不等式知1a +1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3，当且仅当1a =24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a +1c≥3.2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc≤19；(2)ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．(1)证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 32>0，b 32>0，c 32>0， 所以a 32+b 32+c 323≥√a 32⋅b 32⋅c 323，即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 32，即a =b =c =√193时取等号．(2)证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以a b+c≤2√bc=a 322√abc，b a+c≤2√ac=b 322√abc，ca+b≤2√ab =322√abc a b +c +b a +c +ca +b ≤a 322√abc +b 322√abc c 322√abc=a 32+b 32+c 322√abc=12√abc当且仅当a =b =c 时取等号．3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 4．【2021年乙卷文科】已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法 当1a =时，()|1||3|f x x x =-++． 当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-； 当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解； 当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥． 综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞． （2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值 依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一. [方法三]：分类讨论+分段函数法 当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解． 当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-．[方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法． 方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况， 方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.5．【2020年新课标1卷理科】已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．6．【2020年新课标2卷理科】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 7．【2020年新课标3卷理科】设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c=-+-≥34,a ≥a【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<． ［方法二］：消元法由0a b c ++=得()b a c =-+，则()ab bc ca b a c ca ++=++()2a c ac =-++()22a ac c =-++223024c a c ⎛⎫=-+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当0a b c ===时取等号，又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知0,a ≠0,a b c ++=(),a c b =-+()222224a c b c b cb bc =+=++≥，又()ab bc ca a b c bc ++=++2a bc =-+224a a ≤-+2304a =-<，故结论得证．方式2：因为0a b c ++=，所以()22220222a b c a b c ab bc ca =++=+++++ ()()()22222212222a b b c c a ab bc ca ⎡⎤=++++++++⎣⎦()()122222232ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥+++++=++． 即0ab bc ca ++≤，当且仅当0a b c ===时取等号， 又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法四］：因为0,1a b c abc ++==，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设0,a b c ≤<<则(),a b c =-+()20ab bc ca bc a c b bc a ∴++=++=-<.［方法五］：利用函数的性质方式1：()6b a c =-+，令()22f c ab bc ca c ac a =++=---，二次函数对应的图像开口向下，又1abc =，所以0a ≠， 判别式222Δ430a a a =-=-<，无根， 所以()0f c <，即0ab bc ca ++<．方式2：设()()()()()31f x x a x b x c x ab bc ca x =---=+++-，则()f x 有a ，b ，c 三个零点，若0ab bc ca ++≥，则()f x 为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以0ab bc ca ++<．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c =-+-≥则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0a >，且,1,b c a bc a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩则关于x 的方程210x ax a++=有两根，其判别式24Δ0a a =-≥，即a故原不等式成立． ［方法三］：不妨设{}max ,,a b c a =，则0,a >(),b a c =-+1,abc =()1,a c ac -+=2210ac a c ++=，关于c 的方程有解，判别式()22Δ40a a =-≥，则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设{}max ,,a b c0a b ≤<<1ab c =>a b c --=1132a b ---≥=={}max ,,a b c ≥证． 【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设函数(m＞0)(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0，1)∪(，＋∞)【解析】(1)利用绝对值基本性质：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|及基本不等式可得；(2)分类写出f(2)关于m的解析式，解相关分式不等式即可试题解析：(Ⅰ)由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． 4分(Ⅱ)f(2)＝|2－|＋|2＋m|．当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． 10分考点:绝对值不等式2.设，且满足：，，求证：.【答案】详见解析【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．，，，又，，. 10分【考点】不等式的证明3.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.4.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)【答案】A【解析】由题意a|x|≥－x2－1，∴a≥＝(x≠0)．∵≤－2，∴a≥－2.当x＝0时，a∈R，综上，a≥－2，选A5.设函数,其中。
（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求a的值。
【答案】（1）或（2）【解析】（1）当时，可化为。
由此可得或。
故不等式的解集为或。
（2）由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故6.不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【答案】C【解析】不等式x2﹣4x+a＜0可化为：x2﹣4x＜﹣a，设y=x2﹣4x，y=﹣a，分别画出这两个函数的图象，如图，由图可知，不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则有：﹣a＞﹣3．故a＜3．故选C．7.已知，，，．求证．【答案】详见解析【解析】利用分析法或作差法证明不等式. 即，而显然成立，【证明】因为，，所以，所以要证，即证．即证， 5分即证，而显然成立，故． 10分【考点】不等式相关知识8.若不等式的解集为，则的取值范围为________;【答案】【解析】令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题.9.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.10.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(填上正确的序号).①<;②a2>b2;③>;④a|c|>b|c|.【答案】③【解析】①,当a是正数,b是负数时,不等式<不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2也不成立,当a,b是负数时,不等式a2>b2不成立.③在a>b两边同时除以c2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.【答案】-<2a+3b<【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.12.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.13.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P=Q D．无法确定【答案】A【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>0,a9>0,q≠1,a 3≠a9,所以>,即P>Q.14.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.15.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.16.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax17.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A．|a+b|+|a-b|>2B．|a+b|+|a-b|<2C．|a+b|+|a-b|=2D．不能比较大小【答案】B【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.18.若关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,则实数a的取值范围为()A．(-∞,1]B．(-∞,1)C．(-∞,5]D．(-∞,5)【答案】C【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,所以a≤5.19.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).20.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，8]【解析】因为不等式|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则a≤8，即实数a的取值范围是(－∞，8]．21.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.22.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．23.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.24.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:++≥5.(2)求+的最小值.【答案】(1)见解析 (2) 18【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,当且仅当==,即x=,y=,z=时取等号.因为5x+4y+3z=10,所以++≥=5.(2)根据平均值不等式,得+≥2=2·,当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,等号成立.综上,+≥2·32=18.当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.所以+的最小值为18.25.设n∈N*,求证:++…+<.【答案】见解析【解析】证明：由=<=(-)可知<(1-),<(-),…,<(-),从而得++…+<(1-)<.26.设0< a,b,c <1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于.【答案】见解析【解析】证明：假设(1-a)b >,(1-b)c >,(1-c)a>,则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>①.又∵0< a,b,c <1,∴0<(1-a)a≤[]2=.同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤,以上三式相乘:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾,∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.27.设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪(3，＋∞)，则a的值为________．【答案】a＝2【解析】由题意知，f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.28.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.29.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥30.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【答案】2【解析】由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥＝mn(a＋b)2＝2.31.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.32.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】（Ⅱ）【解析】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．∴直线与圆相交的弦长=解：∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，∵f（x）的最小值为3，∴|a-4|=3，∴a=1或7，∵a＞1，∴a=7，∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；综上3≤x≤8，故答案为：3≤x≤8．【考点】坐标系与参数方程，不等式选讲点评：主要是考查了不等式选讲以及坐标系与参数方程的运用，属于基础题。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。
【答案】9【解析】由柯西不等式可知。
5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。
不等式选讲大题及答案()
选修4-5：不等式选讲不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式，包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。
1.（2013全国I 24．）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+。
（Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。
2.（2014全国I 24）若,0,0>>b a 且ab b a =+11（I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.3.（2015全国I 24. ）已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.4.（2013全国II 24．）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥． 5.（2014全国II 24.）设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.6.（2015全国II 24. ）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,>（II ）>a b c d -<-的充要条件.选修4-5：不等式选讲答案1.1．解：（I ）当2()a f x =-时，不等式<g(x)化为21223x x x -+---<0.设函数y=21223x x x -+---，则15,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示从图像可知，当且仅当x (0,2)∈时，y <0，所以原不等式的解集是{}02x x <<；（II ）当)1,,()1.22a x f x a ⎡∈-=+⎢⎣ 不等式()f x ≤g(x)化为1+a ≤x+3.所以x ≥a-2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22a a -≥-，即43a ≤，所以a 的范围 41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2.解：（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.故33a b +≥≥，且当a b ==.所以33a b +的最小值为……5分（II ）由（I）知，23a b +≥≥由于36>，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……10分 3. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）……10分4．5.解：（I ）()f x 111()2x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥.所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-.当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a 。
高考数学复习：不等式选讲练习及答案
－ 2<x<1， 或
－（ x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
x≤－2， 或
－（ x－1）－（ x＋ 2） ≥５， 解得 x≥２或 x≤－3. 故原不等式的解集为 { x|x≤－ 3 或 x≥2}． 答案 { x|x≤－ 3 或 x≥2} 高频考点二 不等式的证明
例 2．【 2017 课标 II ，理 23】已知
.
（ 2）当 x 1,1 时， g x 2 .
所以
的解集包含 1,1 ，等价于当 x 1,1 时 f x 2 .
又 f x 在 1,1 的学科 & 网最小值必为 f 1 与 f 1 之一，所以 f 1 2 且 f 1 2 ，得 1 a 1 .
所以 a 的取值范围为 1,1 .
1.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分） ,选修 4—5：不等式选讲
4. （ 2018 年江苏卷） [ 选修 4—5：不等式选讲 ] 学 -科网
若 x， y， z 为实数，且 x+2 y+2z=6，求
的最小值．
【答案】 4
【解析】证明：由柯西不等式，得
．
，故当且仅当
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为 4．
1.【 2017 课标 II ，理 23】已知
1. （ 2018 年全国 I 卷理数） [选修 4–5：不等式选讲 ]
已知
.
（ 1）当 时，求不等式
的解集；
（ 2）若
时不等式
成立，求 的取值范围 .
【答案】（1）
．
（2） ． 【解析】 [来源 学科网 ZXXK]
不等式选讲(用基本不等式证明不等式)
不等式选讲(用基本不等式证明不等式)一、用基本不等式证明不等式1．（2014年1卷）若0,0a b >>，且11a b +=．证明： （1） 求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b == 故33a b+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．2.（2013年2卷）设均为正数，且，证明：（1） （2） 【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥3.（2019年1卷）已知a ，b ，c正数，且满足abc=1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ ()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号， ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （1） ()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥（当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc()()()33324a b b c c a ∴+++++≥4.已知正数x 、y 、z ，且1xyz =.（1）证明：222x y z y z x y++≥+； （2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥.【详解】（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z +≥==， 当且仅当32y zx =时等号成立，即4y x =时，等号成立；同理22y z z x +≥，22x z y x +≥22222x y z y z x z y ⎛⎛⎫++≥++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即222x y z y z x z y++≥+，当且仅当1x y z ===时等号成立；（2）因为()()()222x y y z z x +++++≥由二元均值不等式得x y +≥y z +≥，z x +≥，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，所以()24x y xy +≥，()24y z yz +≥，()24z x xz +≥， ()()()()22226464x y y z z x xyz ∴+++≥=，因此，()()()22212x y y z z x +++≥=++，当且仅当1x y z ===时，等号同时成立.【点睛】本题考查利用三元和二元均值不等式证明不等式，考查推理能力，属于中等题.5.（2020年3卷）设a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a ，b ，c}表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c}．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .。
2023年高考数学真题分训练 不等式选讲(含答案含解析)
专题 35 不等式选讲 十年大数据x 全景展示年 份题号考 点考 查 内 容不等式选 讲 2011文理 24绝对值不等式的解法不等式选 讲 2023 文理 24文理 24绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法多元不等式的证明不等式选 讲 卷 12023不等式选讲 卷 2文理 24卷 1文理 24卷 2文理 24卷 1文理 24卷 2文理 24卷 1 文理 24不等式选讲 根本不等式的应用20232023不等式选讲 绝对值不等式的解法不等式选讲 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法不等式的证明不等式选讲 不等式选讲 分段函数的图像，绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法不等式的证明不等式选 讲 2023 卷 2 文理 24卷 3 文理 24 不等式选 讲 不等式选讲 卷 1 文理 23不等式选 讲 2023 卷 2 文理 23不等式选讲 卷 3文理 23 绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2023卷 1文理 23不等式选讲不等式选讲卷2 文理23卷3 文理23 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法三元条件不等式的证明不等式选讲不等式选讲2023 卷1 文理23卷2 文理23 不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法不等式选讲卷3 文理23不等式选讲卷1 文理23不等式选讲2023 卷2 文理23卷3 文理23 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法三元条件不等式的证明不等式选讲大数据分析x预测高考出现频率考点2023 年预测考点120 绝对值不等式的求解23 次考4 次2023 年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值考点121 含绝对值不等式的恒成立问题23 次考12 次不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点122 不等式的证明23 次考7 次十年真题分类x探求规律考点120绝对值不等式的求解f x 3x 1 2 x 11．(2023 全国Ⅰ文理22)已知函数．y f x(1)画出的图像；(2)求不等式 f x f x 1 的解集．x 1 x 3,1 x 1 ，作出图像，如下图： f x5x 1, （解析）(1)∵ 31 x 3, x3 (2)将函数的图像向左平移1个单位，可得函数f x 1的图像，如下图：f x 7 76x 3 5 x 1 1, x ，∴不等式的解集为 ．由 ，解得 62．(2023 江苏 23)设 x R ，解不等式2 | x 1| | x | 4 ．2 32, （答案）（思路导引）依据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．x 1 1 x 0 x 0或（解析） 或 ， 2x 2 x 4 2x 2 x 4 2x 2 x 4222 x 1或 1 x 0或0 x 2, ，∴解集为 ．33 3．(2023 全国 I 文理)已知函数 f (x ) | x 1| | 2x 3|．(I)在图中画出 y f (x ) 的图像； (II)求不等式| f (x ) | 1的解集．（解析）(1)如下图：4，x ≤ 1 x3 2， f x 1．(2) f x 3x 2， 1 x 3 24 x ，x ≥当 x ≤ 1， x 4 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴x ≤ 1；31 3 1 3 3 2当 1 x ， 3x 2 1，解得 x 1或 x，∴ 1 x 或1 x ； 2 3 3当 x ≥ ， 4 x 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴ ≤x 3或 x 5 ．2 2 11 ， ，， ．综上， x 或1 x 3 或 x 5 ， f x∴，解集为 1 1 3 5 3 31 4．(2023 全国 II 文理)设函数 f x = x x a (a 0)a(Ⅰ)证明： f x ≥2；(Ⅱ)假设 f 3 5，求a 的取值范围．11 1 （解析）(I)由a 0，有 f (x ) x x a x (x a ) a 2，∴ f (x ) ≥2．a a a1 (Ⅱ) f (3) 3 3 a ．a15 21当时a ＞3 时， f (3) = a ，由 f (3) ＜5 得 3＜ ＜ a； a 21 1 5当 0＜a ≤3 时， f (3) = 6 a ，由 f (3) ＜5 得＜a ≤3． a 21 5 5 21综上：a 的取值范围是(， )． 2 25．(2011 新课标文理)设函数 f (x ) x a 3x ，其中 f (x ) 3x 2的解集；a 0 ．(Ⅰ)当a 1时，求不等式(Ⅱ)假设不等式 f (x ) 0的解集为 x | x f (x ) 3x 2可化为| x 1| 2，由此可得 x 3 或 x 11，求 a 的值．（解析）(Ⅰ)当a 1时， ．故不等式 f (x ) 3x 2的解集为（x | x 3或 x 1）．x a ( Ⅱ) 由 f (x ) 0 得 x a 3x 0 ，此不等式化为不等式组 x aa x 3x 0 或， x a 3x 0x ≥a x ≤ax |x ，由题设可得 a =1，故a 2a 即 a 或 x ≤ 4 a ，因为a 0 ，∴不等式组的解集为 ． x ≤ 2 2 2 考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题6．(2023 全国Ⅱ文理 22)已知函数 f x x 2 x 2a 1 ．a (1)当a 2时，求不等式 f x 4 的解集； (2)假设 f x 4 ，求a 的取值范围．3 2 11 2 x xx ；(2) , 1 3,．（答案）(1) 或 （思路导引）(1)分别在x 3、3 x 4和 x 4三种情况下解不等式求得结果；2(2)利用绝对值三角不等式可得到 f x a 1 ，由此构造不等式求得结果． f x x 4 x 3（解析）(1)当a 2时，．3 x 当x 3时， f x 4 x 3 x 7 2x 4 ，解得： ，无解； ； ； 2f x 4 x x 3 1 4当3 x 4时， 112f x x 4 x 3 2x 7 4 当 x 4 时， x ，解得：4的解集为 3 2 112 f xx 或 x x ． 综上所述： 2f x x a 2 x 2a 1 x a 2 x 2a 1 a 2 2a 1 a 1 (当且仅当 (2) 2a 1 x a 2 时取等号)， a 1 2，解得：a 1或a 3， a 的取值范围为 , 1 3, ． 47．(2023 全国 II 文理 23)选修 4-5：不等式选讲](10 分) f (x ) | x a | x | x 2 | (x a ). 已知 (1)当a 1时，求不等式 f (x ) 0 的解集； x ( ,1) 时， f (x ) 0a，求 的取值范围．(2)假设（解析）(1)当 a=1 时， f (x )=|x 1| x +|x 2|(x 1) ．当 x 1时， f (x ) 2(x 1) 0 ；当 x 1时， f (x ) 0，∴不等式 f (x ) 0的解集为( ,1)．2(2)因为 f (a )=0 ，∴a 1．当a 1， x ( ,1) 时， f (x )=(a x ) x +(2 x )(x a )=2(a x )(x 1)<0 ∴a 的取值范围是1, ) ． 8．(2023 全国Ⅰ文理)已知 f (x ) | x 1| | ax 1|．(1)当a 1时，求不等式 f (x ) 1的解集；(2)假设x (0,1)时不等式 f (x ) xa成立，求 的取值范围．2, x ≤ 1,（解析）(1)当a 1时， f (x ) | x 1| | x 1|f (x ) 2x , 1 x 1, ，即2, x ≥1.1 故不等式f (x ) 1的解集为（x | x ） ．2(2)当 x (0,1)时| x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1)时| ax 1| 1成立． 假设a ≤0，则当 x (0,1)时| ax 1|≥1；2 2，假设a 0 | ax 1| 1的解集为 (0, 2． 0 x，∴ ≥1，故0 a ≤2． a aa综上， 的取值范围为9．(2023 全国Ⅱ文理)设函数 f (x ) 5 | x a | | x 2 |． (1)当a 1时，求不等式 f (x )≥0 的解集； (2)假设 f (x )≤1，求a 的取值范围．2x 4, x ≤ 1,（解析）(1)当a 1时， f (x ) 2, 1 x ≤2,2x 6, x 2.可得 f (x )≥0 的解集为（x | 2≤ x ≤3）． (2) f (x )≤1等价于| x a | | x 2 |≥4．而| x a | | x 2 |≥| a 2 | ，且当 x 2时等号成立．故 f (x )≤1等价于| a 2 |≥4． 由| a 2 |≥4可得a ≤ 6或a ≥2，∴a 的取值范围是( , 6] 2, )． 10．(2023 全国Ⅲ文理)设函数 f (x ) | 2x 1| | x 1| ． (1)画出 y f (x ) 的图像；(2)当x 0, )时，f(x)≤ax b，求a b的最小值．13x, x ,21f(x) x 2, ≤x 1,（解析）(1)23x, x≥1.y f(x) 的图像如下图．(2)由(1)知，y f(x) 的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各局部所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2 时，f(x)≤ax b在0, ) 成立，因此a b的最小值为5．211．(2023 江苏)假设x，y，z为实数，且x 2y 2z 6，求x2 y z2 的最小值．（解析）由柯西不等式，得(x 2y 2 z 2 )(1 22 2 2 2)≥(x 2y 2z ) ．2x y z 2 4 4 因为 x 2y 2z =6 ，∴ x2y 2 z 2 ≥4，当且仅当 时，不等式取等号，此时 x ，y ，z ，1 2 2 3 3 3∴ x 2 y 2 z 的最小值为 4．2 f (x ) x ax 4 ， g (x ) | x 1| | x 1|．212．(2023 全国Ⅰ文理)已知函数 (1)当a 1时，求不等式 f (x )≥ g (x ) 的解集；(2)假设不等式 f (x )≥ g (x ) 的解集包含 1,1]，求a 的取值范围． （解析）(1)当a 1时，不等式 f (x )≥ g (x ) 等价于 2x x | x 1| | x 1| 4 ≤0 ．①当 x 1时，①式化为2x 3x 4≤0 ，无解；当 1≤x ≤1时，①式化为 x 2x 2≤0，从而 1≤x ≤1；1 17当 x 1时，①式化为 x 2x 4≤0 ，从而1 x ≤，∴ f (x )≥ g (x ) 的解集为 21 17（x | 1 x ≤）． 2(2)当 x 1,1]时， g (x ) 2 ，∴ f (x )≥ g (x ) 的解集包含 1,1]，等价于当 x 1,1]时 f (x )≥2 ． 又 f (x ) 在 1,1]的最小值必为 f ( 1)与 f (1)之一，∴ f ( 1)≥2且 f (1)≥2，得 1≤a ≤1，∴a 的取 值范围为 1,1]．13．(2023 全国Ⅲ文理)已知函数 f (x ) | x 1| | x 2 |． (1)求不等式 f (x )≥1的解集；f (x )≥x x m 的解集非空，求m 的取值范围．2(2)假设不等式 3, x 1（解析）(1) f (x ) 2x 1, 1≤x ≤2 ，3, x 2当 x 1时， f x ≥1无解；当 1≤x ≤2时，由 f x ≥1得，2x 1≥1，解得1≤ ≤2；x 当 x ＞2时，由 f x ≥1解得 ＞2． x∴ f x ≥1的解集为 x x ≥1 ．x m 得m ≤ x 1 x 2 x(2)由 f x ≥ x 2 2x ，而23 5 5 x 1 x 2 x 2x ≤ x +1+ x 2 x 2x =- x - + ≤ ，2 4 4355 4且当 x 时， x 1 x 2 x 2x = ，故 m 的取值范围为 - ， ． 2 4 14．(2023 全国 III 文理)已知函数 f (x ) | 2x a | a (Ⅰ)当 a=2 时，求不等式 f (x )≤6 的解集；(Ⅱ)设函数 g (x ) | 2x 1| ，当 x R 时， f (x ) g (x )≥3，求 a 的取值范围． （解析）(Ⅰ)当a 2时， f (x ) | 2x 2 | 2．解不等式| 2x 2 | 2 6 ，得 1 x 3，因此 f (x ) 6的解集为（x | 1 x 3）． (Ⅱ)当 x R 时， f (x ) g (x ) | 2x a | a |1 2x |1| 2x a 1 2x | a |1 a | a ，当 x 时等号成立，2∴当 x R 时， f (x ) g (x ) 3等价于|1 a | a 3． ① 当a 1时，①等价于1 a a 3 ，无解． 当a 1时，①等价于a 1 a 3 ，解得a 2 ． ∴a 的取值范围是2, ) ．15．(201 5 全国 I 文理)已知函数 f (x ) | x 1| 2 | x a | ，a 0． (Ⅰ)当a 1时，求不等式 f (x ) 1的解集；(Ⅱ)假设 f (x ) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求a 的取值范围． （解析）(Ⅰ)当a 1时，不等式 f (x ) 1化为| x 1| 2 | x 1| 1 0， 当 x ≤ 1时，不等式化为 x 4 0，无解；2 当 1 x 1时，不等式化为3x 2 0 ，解得 x 1； 3当 x ≥1时，不等式化为 x 2 0，解得1≤x 2． 2 ∴ f (x ) 1的解集为（x | x 2）．3x 1 2a , x 1 (Ⅱ)有题设可得， f (x ) 3x 1 2a , 1≤ x ≤a ，∴函数 f (x ) 图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别x 1 2a , x a2a 1 2 2 3, 0), B (2a 1, 0),C (a ,a 1) ， (a 1) 6 ，故a 2．∴ 2 为 A ( ABC 的面积为 (a 1) 2 ．有题设得 3 3 a 的取值范围为(2, ) ．1 116．(2023 全国 I 文理)假设a 0,b 0 ，且 ab ．a b a 3 b 3 的最小值；(Ⅰ)求 (Ⅱ)是否存在a ,b ，使得2a 3b 6？并说明理由．1 1 （解析）(I)由 ab a b 2，得ab 2 ，且当a b 2 时取等号．ab 故a ∴a 3 3 b 3 2 a 3 b 3 4 2 ，且当a b 2 时取等号．b 3 的 最小值为4 2 ．(II)由(I)知，2a 3b 2 6 ab 4 3 ．由于4 3 6 ，从而不存在a ,b ，使得2a 3b 6 ．f (x ) | 2x 1| | 2x a |g (x ) x 3 ．16．(2023 全国 I 文理)已知函数 = ， = a f (x ) ＜ g (x ) (Ⅰ)当 =-2 时，求不等式 的解集；a 1 2 a x ，求 的取值范围．f (x ) ≤g (x ) a(Ⅱ)设 ＞-1，且当 ∈ ， )时， 2 a =f (x ) ＜g (x ) 化为| 2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ，（解析）(Ⅰ)当 2时，不等式 125x , x 1 x 1，设函数 y =| 2x 1| | 2x 2 | x 3 y x 2, ， = 23x 6, x 1x (0, 2) y时， ＜0， 其图像如下图，从图像可知，当且仅当∴原不等式解集是（x | 0 x 2） ． a 1 2x f (x ) =1 a f (x ) ≤ g (x ) 化为1 a ≤x 3， (Ⅱ)当 ∈ ， )时， ，不等式 2a 1 a 4 ∴ x ≥a 2 对 ∈ x ， )都成立，故 ≥a 2 ，即a ≤ ， 2 2 2 34 3a 1， ∴ 的取值范围为( ]． 17．(2023 新课标文理)已知函数 f (x ) | x a | | x 2 | ．(Ⅰ)当a 3|时，求不等式 f (x ) 3的解集；(Ⅱ)假设 f (x ) | x 4 | 的解集包含1,2]，求a 的取值范围．（解析）(1)当a 3时， f (x ) 3 x 3 x 2 3 x 2 2 x 3 x 3 x 3 x 2 33或 3 x x 2 3 或 3 x 2 x x 1或 x 4．(2)原命题 f (x ) x 4 在1, 2]上恒成立x a 2 x 4 x 在1, 2]上恒成立2 x a 2 x 在1, 2]上恒成立3 a 0．考点 122 不等式的证明18．(2023 全国Ⅲ文理 23)设a , b , c R , a b c 0 , abc 1．(1)证明：ab bc ca 0 ；(2)用max a , b , c 表示a , b , c 的最大值，证明：max a , b , c 4 ．3 （答案）(1)证明见解析(2)证明见解析．（思路导引）(1)依据题设条件a b c 0,两边平方，再利用均值不等式证明即可；max （a ,b ,c ） a ，由题意得出a 0,b ,c 0 (2)思路一：不妨设 ，2 b c b 2 c 2 2bc 由a3 a 2 a ，结合根本不等式，即可得出证明． bc bc思路二：假设出a ,b ,c 中最大值，依据反证法与根本不等式推出矛盾，即可得出结论． （解析）(1)证明：0,a b c a b c 2 0. a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2ca 0, 即2ab 2bc 2ca a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca 0, ab bc ca 0.(2)证法一：不妨设max （a ,b ,c ） a ，由a b c 0,abc 1可知，a 0,b 0,c 0 ，1 2 b c 2bc 2bc 2bc b c 2 2 a b c ,a ， a 3 a 2 a ， 4 bc bc bc bc当且仅当b c 时，取等号， a，即max （a ,b ,c ） 4 ． 3 3 4 11 3 , a b c 3 4, 而 证法二：不妨设a b 0 c 4 ，则ab c 3 42 13 214 矛盾，∴命题得证．3 4 a b 2 ab 3 6 4 19．(2023 全国 I 文理 2 3)已知 a ，b ，c 为正数，且满足 abc=1．证明：1 1 1a ab c2 b 2 c 2 (1) (2) ； (a b ) (b c )3 3 (c a ) b 2ab ,b ab bc ca 3 24 ．（解析）(1)因为a 2 2 2 c2 2bc ,c 2 a 2 2ac ，又abc 1， 1 1 1 1 ab bc ca 1 1 故有a 2 b 2 c 2 ，∴ a 2 b c 2 ．2 abc a b c a b c (2)因为a , b , c 为正数且abc 1，故有(a b ) (b c ) (c a ) 3 (a b ) 3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac ) =24．(b c ) (c a ) 24．3 3 3 3 3 (b c ) 3 (a c ) =3(a +b )(b +c )(a +c ) 3 ∴(a b ) 3 3 3x , y , z R ，且 x y z 1．20．(2023 全国 III 文理 23)设 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值； (1)求 (2)假设 1(x 2) 2 (y 1) 2 (z a ) 2 成立，证明：a 3 或a 1 ．3 （解析）(1)由于(x 1) (y 1) (z 1)] 2 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)]2 3 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2， 4 35 1 z 1 故由已知得(x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2 ，当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立． 3 3 3 4 ∴(x 1) (2)由于(x 2) (y 1) (z a )] (x 2) (y 1) (z a ) 2(x 2)(y 1) (y 1)(z a ) (z a )(x 2)] 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值为 ． 322 2 23 (x 2)2 (y 1) 2 (z a ) 2 ， (2 a ) 2 4 a 1 a 2a 2 故由已知(x 2) 2 2 (y 1) 2 (z a ) 2，当且仅当 x y z ， ， 时等号成 3 3 3 3 (2 a ) 2 立，因此(x 2) (y 1) 2 (z a )2 的最小值为． 3 (2 a ) 2 1 ，解得a 3 或a 1． 由题设知 3 321．(2023 全国Ⅱ文理)已知a 0，b 0， a3 b 2 ，证明： 34 ； (1) a b a b(2) a b 2．（解析）(1)(a b )(a 5 524．5 b 5 ) a6 2 ab 5 a 5 b b 6 (a 3 b 3 ) 2 2a 3 b 3 ab (a 4 b 4 ) 4 ab a 2 b 2 3(a b ) 2 3(a b ) 3 (a b ) 3 a 3 3a 2 b 3ab b 3 2 3ab (a b ) 2 (a b ) 2 ， (2)∵ 4 4∴(a b ) 8 ，因此a b 2． 3 22．(2023 江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且 a 2 b2 4 ，c 2 d 16 ，证明ac bd 8． 2（解析）证明：由柯西不等式可得：(ac bd ) 2 ≤(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ， 因为a 2 b 2 4,c 2 d 2 16, ∴(ac bd ) 2 ≤64 ，因此 ac bd 8．≤ 1 1 2 x ，M 为不等式 f x 2的解集．23．(2023 全国 II 文理)已知函数 f x x 2 (I)求 M ；(II)证明：当 a ，b M 时， a b 1 ab ． 1 f x x x 2x 1 1 ，假设 1 x 1 （解析）(I)当 x 时， ； 2 2 2 21 1 1 1 当 ≤ x ≤ 时， f x x x 12 恒成立；2 2 2 2 1 1 当 x 时， f x 2x ，假设 f x 2， < x 1． 22 综上可得，Mx | 1 x 1．， ， 时，有 a (Ⅱ)当a b 1 1 2 1 b 2 1 0 ，即a 2 b 2 1 a 2 b ， 2 2 b 2 2ab 1 a 2 2ab b 2 ，则 ab 1 2 a b ，即 a b ab 1 ，证毕． 2则a 24．(2023 全国 II 文理)设a ,b ,c ,d 均为正数，且a b c d ，证明： (Ⅰ)假设ab > cd ，则 a b c d ；(Ⅱ) a b c d 是| a b | | c d | 的充要条件． （解析）(Ⅰ)∵( a b ) 由题设a b c d ，ab cd 得( a b ) (ab ) (cd )2 ，即(a b ) 因为a b c d ，∴ab cd ，由(Ⅰ) 得 a b c d ． ( a b ) ( c d )2 ，即a b 2 ab c d 2 cd ． (a b ) 4ab (c d ) 4cd (c d )2 ． 2 a b 2 ab ，( c d ) ( c d )2 ，因此 a b c d ．4ab (c d ) 4cd ． 2 c d 2 cd ，2 (Ⅱ)(ⅰ)假设| a b | | c d |，则 2 2 2 (ⅱ)假设 a b c d ， 则 因为a +b =c +d ，∴ab >cd ，于是(a b )因此| a b | | c d |．综上 a b c d 是| a b | | c d |的充要条件．a ,b ,c 2 2 2 2 25．(2023 全国 II 文理)设 均为正数，且 a b c 1，证明：1 3ab bc ca (Ⅰ) ； a 2 b 2 c 2 (Ⅱ) 1． b c a（解析）(Ⅰ) a 2 b 2 2ab ,b 2 c 2 2bc ,c 2 a 2 2ca 得a 2 b 2 c ab bc ca ，2 由题设得 a b c2 2 2 2 1，即a bc 2ab 2bc 2ca 1， 1 ∴3 ab bc ca 1，即ab bc ca． 3a 2b 2c 2 a 2 b 2 c 2 (Ⅱ)∵ b 2a , c 2b , a 2c ，∴ (a b c ) 2(a b c ) ， b c a b c aa 2b 2c 2 a 2 b 2 c 2 即 a b c ，∴ 1． b c a b c a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修4-5 :不等式选讲
不等式选讲考点问题解答题：利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理，求解或证明有关不等式, 包括求已知不等式的解集；根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；通过证明有关不等式，解决与不等式有关的问题。
1. ( 2013 全国I 24 .)已知函数f(x) |2x 1| |2x a|, g(x) x 3。
(i)当a 2时，求不等式f(x) g(x)的解集；
a 1
(n)设a 1，且当x [ 2,2＞时，f(x) g(x)，求a的取值范围。
2. （2014 全国1 24 ）若a 0,b 1 1
0,且丄丄 ,ab
a b
(I )求a3b3的最小值；
(II )是否存在a,b，使得2a 3b 6 ?并说明理由
3. （2015全国1 2
4.）已知函数f x x 1 2 x a ,a 0
(I )当a 1时求不等式f x 1的解集；
(II )若f x 图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围
4. (2013全国II 24 .)设均为正数，且,
证明：(i)；(n)
1
|X a |(a 0) 5. (2014 全国II 24.)设函数f(x) |X | a
(1)证明：f(x) 2 ;
(2)若f (3) 5，求a的取值范围
6. ( 2015 全国II 24. )设均为正数，且.
证明：(I )若，则;
(ll )是的充要条件
1
2x 2 x 3，则 y x 2 - x 1, 2
3x 6,x 1.
其图像如图所示
从图像可知，当且仅当 x (0,2)时，y<0,所以原不等式的解集是
x 0 x 2
a 1
(II )当 x
, f (x) 1 a.不等式 f (x) W g(x)化为 1+a w x+3.
2 2
所以x > a-2对x
二丄都成立，故
a a
4
2
，即a
，所以a 的范围
2 2
2
3 3
__ 1 1
2.解：(I )由,ab
，得 ab 2 , 且当a
b .. 2时等号成立.
a b
'一 ab
故 a 3 b 3
2 a 3b
3 4、、2 ,且当 a b .2
时等号成立.
所以a 3 b 3的最小值为412 .……5分
(II )由(I )知，2a 3b 2.6 . ab 4,3.
由于4 .3
6，从而不存在a,b ，使得2a 3b 6.
……10分
3.
x 1 2a, x
1
(n)由题设可得，
f (x) 3x 1 2a, 1 x a ，
x 1
2a, x a
所以函数f (x)的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a 1
2
A( ,0) , B(2a 1,0), C(a,a+1)，所以△ ABC 的面积为三(a 1)2.
1 •解：
(1 )当 a 2时，不等式 f (x) <g(x)化为 2x 1 2x 2 x 3<0.
. 1 5x, x -
2
选修4-5 :不等式选讲答案 1.
设函数y 2x 1
所以a 的取值范围为(2, +8)……10分
4.
5.解：(I ) f (x)
1
x — a
x a
1 x — a
(n) f (3)
3 -
a
3 a
当时a > 3时， f(3) = a 1
，由
a
当0 v a < 3时， f(3)=6
1 a — a
2 2
由题设得一(a 1)2 >6，解得a 2.
(x a)丄 a 2.所以 f (x) >2. a
5 V 21 f (3)
v 5 得 3 v a v
2
1 45
，由 f(3) v 5 得
v a W
3.
2
综上，a的取值范围是（, 5 21
）
2 2
6.解：（I ）因为。