信源熵及平均互信息
熵、互信息、条件熵、相对熵
熵、互信息、条件熵、相对熵熵是信息论中的一个重要概念，用来衡量随机变量的不确定性。
在信息论中，熵被定义为一个随机变量的平均信息量。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
互信息是指两个随机变量之间的相关性。
互信息可以用来衡量两个随机变量之间的相互依赖程度。
互信息越大，表示两个随机变量之间的相关性越高。
条件熵是在给定某个条件下，随机变量的不确定性。
条件熵可以用来衡量在已知某些信息的情况下，对未知信息的不确定性。
条件熵越大，表示在给定条件下，随机变量的不确定性越高。
相对熵（也称为KL散度）是用来度量两个概率分布之间的差异性。
相对熵是一个非对称的指标，它衡量了在给定一个概率分布的情况下，使用另一个概率分布来表示该分布所需的额外的信息量。
熵、互信息、条件熵、相对熵在信息论中起着重要的作用，它们可以用来描述随机变量、概率分布之间的关系，并在许多领域中得到广泛的应用。
熵是信息论中最基本的概念之一。
它可以用来衡量一个随机变量的不确定性。
例如，在一个硬币正反面出现的概率相等的情况下，我们对于硬币的结果是完全不确定的，因此熵为1。
而当硬币正反面出现的概率不相等时，熵会变小，表示我们对于硬币结果的不确定性降低了。
互信息可以用来衡量两个随机变量之间的相关性。
例如，在一个骰子游戏中，如果我们知道一个骰子的结果，那么对于另一个骰子的结果将没有任何帮助，因为它们之间没有相关性。
在这种情况下，互信息为0。
而当两个骰子的结果是完全相同或完全相反的时候，互信息会达到最大值。
条件熵是在给定某个条件下，随机变量的不确定性。
例如，在一个扑克牌游戏中，如果我们已经知道了对手手中的一张牌，那么我们对于对手的牌的不确定性会减小。
条件熵可以用来衡量在给定一些信息的情况下，对未知信息的不确定性。
相对熵是用来度量两个概率分布之间的差异性。
例如，在自然语言处理中，我们可以使用相对熵来衡量两个文本之间的相似性。
相对熵越小，表示两个概率分布越接近，差异性越小。
第二章-信息量和熵
H XY EX ,Y I (xi , y j )
EY EX I (xi , y j )
2.平均自信息量--熵 联合熵H（XY）与熵H（X）及条件熵H
（X/Y）之间存在下列关系 ：
H（XY）＝H（X）＋H（Y／X） H（XY）＝H（Y）＋H（X／Y）
三维联合符号集合XYZ上的共熵H(XYZ):
I(xi; yj ) [lbp(xi )][lbp(xi | yj )] I(xi ) I(xi | yj )
1.互信息量
即互信息量为后验概率与先验概率比值的对数 :
I ( xi; y j )
lb
p ( xi / y j ) p ( xi )
p(xi) ——先验概率：信源发xi的概率 p(xi/yj)——后验概率：信宿收到yj后，推测信源发xi的概率
2.平均自信息量--熵
熵的性质
(4).条件熵不大于信源熵(无条件熵)
H(X/Y) ≤ H(X) H(Y/X) ≤ H(Y)
当且仅当Y和X相互独立时，式取等
物理含义：从平均意义上讲，条件熵在一般情形下总是小于无条件熵。从直 观上说，由于事物总是联系的，因此对随机变量X的了解平均讲总能使Y 的不确定性减少。同样，对Y的了解也会减少X的不确定性。
(1) yj对xi的互信息 I(xi;yj)
I(xi;yj)= I(xi)- I(xi/yj) [含义] 互信息I(xi;yj) =自信息I(xi) - 条件自信息I(xi/yj)
＊I(xi) -----信宿收到yj之前，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi/yj) -----信宿收到yj之后，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi;yj) -----收到yj而得到(关于xi )的互信息
相应地，在给定随机变量X的条件下，Y集合的条件
信息论举例讲解信息量熵及互信息量
计算机科学领域的应用
数据压缩
计算机科学中的数据压缩技术同样基于信息论的原理，通 过去除数据中的冗余信息，实现数据的压缩存储和传输。
加密与安全
信息论在密码学和安全领域也有广泛应用，如利用信息论中的 混淆和扩散原则设计加密算法，保护信息的机密性和完整性。
机器学习
在机器学习中，信息论用于特征选择、模型评估等方面。例如 ，利用互信息来衡量特征与目标变量之间的相关性，从而进行
熵的性质
非负性
熵的值总是非负的，表示系统的不确定性或混乱程度不可能为负值。
可加性
对于相互独立的事件或系统，其熵的和等于各事件或系统熵的和， 表示不确定性或混乱程度可以叠加计算。
最大值性
当系统中各个事件发生的概率相等时，该系统的熵达到最大值，表 示此时系统的不确定性或混乱程度最高。
熵的计算举例
二进制信源熵的计算
举例1
对于离散随机变量 X 和 Y，其联合概率分布为 p(x,y)=[0.1, 0.2, 0.3, 0.4]，边缘概率分布为 p(x)=[0.3, 0.7] 和 p(y)=[0.5, 0.5]。根据互信息量的定义公式，可以计算出 I(X;Y)=0.1979。
举例2
对于连续随机变量 X 和 Y，其联合概率密度函数为 f(x,y)，边缘概率密度函数为 fX(x) 和 fY(y)。可以通过 数值积分的方法计算出互信息量。例如，对于正态分布 N(0,1) 和 N(0,2) 的随机变量 X 和 Y，其互信息量 为 I(X;Y)=0.5×log2≈0.3466。
要点一
目的
通过举例讲解信息量、熵和互信息量的概念，使读者更好 地理解和掌握这些概念。
要点二
意义
信息量、熵和互信息量是信息论中的基本概念，对于理解 和应用信息论具有重要意义。通过本次讲解，读者可以更 加深入地了解这些概念，并能够在实际问题中加以应用。 同时，这些概念在其他领域也有广泛的应用，如计算机科 学、控制论、统计学等，因此本次讲解也有助于读者在其 他领域中更好地应用信息论的知识。
信息论考点
熵：信源各个离散消息的自信息量的数学期望（即概率加权的统计平均值）为信源的平均信息量，一般称为信源的信息熵，也叫信源熵或香农熵，有时也称为无条件熵或熵函数，简称熵。
自信息量：该事件发生的概率的对数的负值。
互信息量：对两个离散随机事件集X和Y，事件yj的出现给出关于事件xi的信息量，定义为互信息量。
或定义xi的后验概率与先验概率比值的对数为yj对xi的互信息量。
平均互信息量：定义互信息量I（xi;yj）在联合概率空间P(XY)中的统计平均值为Y对X的平均互信息量，简称平均互信息，也称平均交互信息量或交互熵。
信道容量：单位时间内信道上所能传输的最大信息量.
信息三要素：信道，信源，信宿。
信道疑义度：输入空间X对输出空间Y的条件熵H(X|Y)=E[H(X|bj)]=﹣求和p(aibj)logp(ai|bj).
离散无记忆信源：离散信源在不同时刻发出的符号之间是无依赖的，彼此统计独立的。
离散平稳信源：输出的随机序列X=(X1X2…XN)中每个随机变量xi(i=1…N)取值是离散的，并且随机矢量X的各维概率分布不随时间平移而改变。
马尔科夫信源：信源发出的符号仅与在此之前发出的有限个符号有关，而与更早些时候发出的符号无关。
马尔科夫链：设{Xn,n属于N+}为一随机序列，时间参数集N+={0.1.2……}，其状态空间S={S1，S2，…..SJ},若对所有n属于N+，有P{Xn=Sin|Xn-1=Sin-1……X1=Si1}=P{Xn=Sin|Xn-1=Sin-1}.则{Xn,n属于N+}为马尔科夫链。
平均互信息量和各种熵关系
p( xi
|
y j ) log
p(xi | y j ) p(xi )
改写为
I(X;
yj
)
X
p( xi
|
y j ) log
p(xi ) p(xi | y j )
令
w
p(xi ) p(xi | y j )
则有 I (X ; y j )
X
p(xi | y j ) log w
利用不等式 ln w w 1; log w ln wlog e
9
HUST Furong WANG--- Information and Coding Theory
平均互信息量的其它定义
平均互信息量I(X;Y)也可定义为
def
I(X;Y)
XY
p(xi y j ) log
p(xi | y j ) p(xi )
def
I(X;Y)
XY
p(xi ) p( y j
平均互信息量I(X;Y)的凸函数性－例题
二元对称信道的X 输入概率空间为
X 0 1
P(X)
p
1 p
0
q
0
1-q
信道的转移概率图为右图所示
求平均互信息量I(X;Y),并画图
1-q
1
q
1
二元对称信道
16
HUST Furong WANG--- Information and Coding Theory
以{Y , P}表示输出离散概率空间
Y
P(Y
)
y1,
p(
y1
),
y2, L p( y2 ),L
, ,
y j , L , ym
p( y j ),L
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
6.1 单符号连续信源的熵与微分熵
1、单符号连续信源
定义
信源发出的消息为单一符号，这些符号随机取值于 一个连续域
表示
连续型随机变量X
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX
随机变量X的取值x为信源发出的消息
定义
对应于单符号连续信源和单符号连续信宿的信道
表示
信源——连续型随机变量X 信宿——连续型随机变量Y
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
X x [a , b] dP(X x ) p( X x ) p( x ) dX 随机变量X的取值x为信源发出的消息
Y y [c, d] 通常[c, d] [a , b] dP(Y y) p( Y y) p( y) dY 随机变量Y的取值y为信宿收到的消息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息 与信道容量
教学内容和要求
理解单符号连续信源及其模型，理解其熵，掌握 其微分熵 理解单符号连续信道及其模型，掌握其平均互信 息，理解其信道容量 掌握高斯信道的信道容量，香农公式
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
微分熵不能作为信息度量，平均互信息——微分熵 差，具有信息度量的意义 信宿每收到一条消息所含信源一条消息的平均信息
第6章 连续信源的熵、连续信道的平均互信息与信道容量
I(X; Y) h(X) h(X / Y)
以信宿为参考，利用信宿的微分熵和信道的噪声 微分熵来度量信道中传输的平均信息 以信源为参考，利用信源的微分熵和信道的损失 微分熵来度量信道中传输的平均信息
信息论中的信息熵与互信息
信息论中的信息熵与互信息信息论是一门研究信息传输和处理的学科，它的核心概念包括信息熵和互信息。
信息熵是衡量信息的不确定性和随机性的度量，而互信息则是衡量两个随机变量之间的相关性。
本文将从信息熵和互信息的定义、计算方法以及实际应用等方面进行探讨。
一、信息熵的定义与计算方法信息熵是信息论中的一个重要概念，它衡量了一个随机变量的平均不确定性。
在信息论中，我们通常用离散概率分布来表示随机变量的不确定性。
对于一个离散随机变量X，其概率分布为P(X)，则其信息熵H(X)的定义如下：H(X) = -ΣP(x)log2P(x)其中，x表示随机变量X的取值，P(x)表示该取值出现的概率。
信息熵的单位通常用比特（bit）来表示。
信息熵的计算方法非常直观，我们只需要计算每个取值的概率乘以其对应的对数，并求和即可。
信息熵越大，表示随机变量的不确定性越高；反之，信息熵越小，表示随机变量的不确定性越低。
二、互信息的定义与计算方法互信息是衡量两个随机变量之间相关性的度量。
对于两个离散随机变量X和Y，其互信息I(X;Y)的定义如下：I(X;Y) = ΣΣP(x,y)log2(P(x,y)/(P(x)P(y)))其中，P(x,y)表示随机变量X和Y同时取值x和y的概率，P(x)和P(y)分别表示随机变量X和Y的边缘概率分布。
互信息的计算方法与信息熵类似，我们只需要计算每个取值同时出现的概率乘以其对应的对数，并求和即可。
互信息越大，表示两个随机变量之间的相关性越强；反之，互信息越小，表示两个随机变量之间的相关性越弱。
三、信息熵与互信息的实际应用信息熵和互信息在信息论中有广泛的应用，并且在许多领域中也得到了广泛的应用。
在通信领域中，信息熵被用来衡量信源的不确定性，从而确定数据传输的最佳编码方式。
互信息则可以用来衡量信道的容量，从而确定数据传输的最大速率。
在机器学习领域中，信息熵被用来衡量决策树的不确定性，从而确定最佳的划分属性。
互信息则可以用来衡量特征与标签之间的相关性，从而确定最佳的特征选择方法。
西电信息论第二章 平均互信息和熵的关系2011
H ( X N ) = NH ( X )
若若符号离散信源的数 学其其为 :
x2 ,..., xi ,.., xn n X x1 , P( X ) = p( x ), p( x ),..., p( x ),..., p( x ), ∑ p( xi ) = 1 1 2 i n i =1 N N 则信源 X的 N次次次信源用 X 来表来 , 该该信源该 n 个个个 (消息消消 )
∑ ∑ P ( a ) P (b
i =1 j =1 r s i
r
s
j
ai ) log ai ) log
P ( b j ai ) P (b j ) P (b j ai )
∑ ∑ P ( a ) P (b
i =1 j =1 i
j
∑ P ( a )P ( b
i =1 i
r
j
ai )
I ( X;Y)
P ={P(ai )}i X
X
Y
H (Y / X ) = H ( XY) − H ( X ) = H (Y ) − I ( X ;Y )
H ( XY ) = H ( X ) + H (Y / X ) = H (Y ) + H ( X / Y ) = H ( X ) + H (Y ) − I ( X ; Y ) = H ( X / Y ) + H (Y / X ) + I ( X ; Y ) I ( X ;Y ) = H ( X ) − H ( X / Y ) = H (Y ) − H (Y / X ) = H ( XY ) − H (Y / X ) − H ( X / Y ) = H ( X ) + H (Y ) − H ( XY )
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通常只需研究上凸函数
14
詹森(Jenson)不等式
引理
若f(x)是定义在区间[a,b]上的实值连续上凸函数，则对 于任意一组 x1, x2,..., xn [a,b] 和任意一组非负实数
4
平均自信息量—信息熵
定义 2.1.6 集X上，随机变量I(xi)的数学期 望定义为平均自信息量
n
H (X ) E I (xi) E log p(xi) p(xi) log p(xi) i 1
集X的平均自信息量又称做是集X的信息熵， 简称做熵。含义上信息熵与热熵有相似之处。
5
平均不确定性
i, pi 1,其余的pk 0 (k i)
即，信源虽然有不同的输出符号，但它只有一个符号几 乎必然出现，而其它符号几乎都不可能出现，那么，这 个信源是一个确知信源，其信源熵等于零。
这种非负性对于离散信源的熵是正确的，但是对于 连续信源来说，该性质不存在。
17
熵函数的性质—— 3.扩展性
lim
如：
二元熵函数 H(X)
1.0
0
1.0 p
二图元3熵.1熵函函数数
23
各种熵之间的关系
1.联合熵与信息熵、条件熵的关系
H(X,Y)=H(X)+H(Y/X)=H(Y)+H(X/Y) H(X)-H(X/Y)=H(Y)-H(Y/X) H(X1,X2,...,XN)
=H(X1)+H(X2/X1)+...+H(XN/X1X2...XN)
X P( X
)
0.x910, ,
0x.12 0 ;
X
P(
X
)
1x/12, ,
1x/ 22
;
X
P(
X
)
1x/1
, 4,
x2 , 1/ 4,
x3 , 1/ 4,
1x/ 44
3
信源不确定度
结论：
信源的不确定程度与信源概率空间的状态数及其概率分布 有关；
如果信源概率空间的状态数确定，概率分布为等概时，不 确定程度最大；
H (P) H[ p,(1 p)] H ( p)
13
凸函数的概念
定 一义个小2.于1.91的设正f (数X ) （0f（x1, x21,）以,及xi ,函 数, xnf）为(X一)定多义元域函内数的。任若意对两于个任矢意
量 X 1，X 2 有
f X1 1 X 2 f (X1) (1) f (X 2)
则称f(X)为定义域上的上凸函数。
若有： f X1 1 X 2 f (X1) (1) f (X 2) (X1 X 2)
则称f(X)为定义域上的上凸函数（Cap型函数），或严格上凸函数。 若有：
f X 1 1 X 2 f (X 1) (1 ) f (X 2) 或 f X 1 1 X 2 f (X 1) (1 ) f ( X 2) ( X 1 X 2)
n
nm
H (Y | X ) p(xi)H (Y | X xi)
p(xi)p yj | xi log p yj | xi
i 1
i1 j1
H (Y | X ) p(xiyj) log p yj | xi XY
10
联合熵
定义 2.1.8 联合集XY上，每对元素的自信息量的 概率加权平均值定义为联合熵。
如果集X和集Y相互统计独立，则有：H(X,Y)=H(X)+H(Y)
还可将此性质推广到多个随机变量构成的概率空间之间的关 系 。设有N个概率空间X1,X2,…,XN 其联合熵可表示为
H ( X 1, X 2, , XN) H ( X 1) H ( X 2 | X 1) HN( XN | X 1X 2 XN 1)
0
Hn1(
p1,
p2 ,L
,
pn
,)
Hn ( p1,
p2 ,L
,
pn )
含义：若集合X有n个事件，另一个集合X’有 n+1个事件，但X和X’集的差别只是多了一
个概率接近于零的事件，则两个集的熵值一 样。
换言之，一个事件的概率与其中其它事件的 概率相比很小时，它对集合的熵值的贡献可
以忽略不计。
18
2.共熵与信息熵的关系
H(X,Y)≤H(X)+H(Y) H(X1,X2,...,XN) ≤H(X1)+H(X2)+...+H(XN)
3.条件熵与信息熵的关系
H(X/Y) ≤H(X)
24
1.联合熵与信息熵、条件熵的关系
H(X,Y)=H(X)+H(Y/X); H(Y,X)=H(Y)+H(X/Y) H(X)+H(Y/X)=H(Y)+H(X/Y) H(X)—H(X|Y)=H(Y)—H(Y|X)
熵函数的性质—— 4. 可加性
如果有两个随机变量X，Y，它们不是相互 独立的，则二维随机变量（X，Y）的熵等 于X的无条件熵加上当X已给定时Y的条件概 率定义的熵的统计平均值，即
H ( XY ) H ( X ) H (Y / X ) H ( XY ) H (Y ) H ( X / Y )
12
熵函数的数学特征
随机变量集X的熵，称为熵函数。所以H(X)又可以记为
n
H (P) H ( p1, p2, pn) pi log pi
i1 n
根据此式，再由概率的完备性， pi 1 ，可知 H(P)实际上是(n-1)元函数。 i1
如二元熵，有
15
熵函数的性质—— 1. 对称性
当概率矢量 P p1, p2,, pn 中的各分量的次
序任意变更时，熵值不变。
该性质说明信源的熵仅与信源总体的统计特 性有关。如果统计特性相同，不管其内部结 构如何，其信源熵值都相同。
例，A,B两地天气情况的平均不确定性为
晴 多云 雨 冰雹 地域A 1/2 1/4 1/8 1/8 地域B 1/2 1/8 1/8 1/4
当二维随机变量X，Y相互统计独立时，则 有
H (XY ) H (X ) H (Y )
19
熵函数的性质—— 5.最大熵定理
H ( p1, p2, , pn) H (1 , 1 , , 1 ) logn nn n
其中n是集合X的元素数目
该性质表明，在离散情况下，集合X中的各 事件依等概率发生时，熵达到极大值。这个 重要结论称为最大熵定理。
第2章 信源熵
2.1 单符号离散信源
2.1.1 单符号离散信源的数学模型 2.1.2 自信息和信源熵
一、信息量
1、自信息量；2、联合自信息量；3、条件自信息量
二、互信息量和条件互信息量
1、互信息量；2、互信息的性质；3、条件互信息量
三、信源熵
1、信源熵；2、条件熵；3、联合熵
2.1.3 信源熵的基本性质和定理 2.1.4 加权熵的概念及基本性质 2.1.5 平均互信息量 2.1.6 各种熵之间的关系
数底为n，由信息熵定义
n 1
1
Hn( X ) log n 1
10
如：H10( X )
1
1
log 10 1
i1 n
n
i1 10
10
可以说此集合X包含了1个n进制单位的信息量，用一个 n进制的数就可以表示此集合的信息。
在现代数字通信系统中，一般采用二进制的记数方式。 在信息熵的计算中也多采用以2为底的方式，且默认记 为H(X)。由对数公式可以得到r进制与二进制之间的关 系：
对任意两个消息树数相同的信源
X P( X )
Y P(Y
)
有
n
Hn ( p(x1), p(x2 ),L p(xn )) p(xi ) log2 p( yi ) i 1
22
熵函数的性质—— 8. 上凸性
H ( p1, p2,L , pn) 是概率分布 ( p1, p2,L , pn ) 的严格上凸函数
H (A) H (B) 1.75bit
1 log 2 1 log 4 2 log 8
2
4
8
16
熵函数的性质—— 2. 非负性
非负性 H ( X ) H[ p(x1), p(x2 ), , p(xn )]
n
H ( X ) p(xi ) log p(xi ) 0 i 1
其中，等号成立的充要条件是当且仅当对某
8
条件熵
定义 2.1.7 联合集XY上，条件自信息量I(x|y)的 概率加权平均值定义为条件熵。其定义式为
H (Y | X ) p(xy)I(y | x)
XY
上式称为联合集XY中，集Y相对于集X的条件熵。 条件熵又可写成
H (Y | X ) p(xy) log p(y | x)
XY
式中取和的范围包括XY二维空间中的所有点。这 里要注意条件熵用联合概率p(xy)，而不是用条件 概率p(y|x)进行加权平均。
2
信源的不确定度举例
有一个布袋，装有100个手感一样的球，但颜色不同，每种 颜色球的数量也不同。随意从中拿出一球，猜测球的颜色。
1、90个红球，10个白球 ---容易猜测 2、50个红球，50个白球---较难猜测 3、红、白、黑、黄球各25个---更难猜测
容易看出：信源的不确定度与信源所包含的随机事件的可能 状态数目和每种状态的概率有关。
集X的平均自信息量表示集X中事件出现的 平均不确定性
例：
p1 0.25 p2 0.25 H 2 p3 0.25 p4 0.25
p1 0.5
p2 0.25 H 1.75 p3 0.125
p4 0.125
6
信息熵的单位
离散集X信息熵的单位取决于对数选取的底。