沪科版九年级数学上期中试题含答案
沪科版九年级（上）期中数学试卷考试时间：120分钟 试卷分值：150分一、选择题（本大题共10小题，共40分）1.下列函数中是二次函数的是 （ ）A. y=3x-1B. y=x 3-2x-3C. y=（x+1）2-x 2D. y=3x 2-12.已知2x =3y （y ≠0），则下面结论成立的是 （ ）A. B. C. D.3.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE =30m ，EC =15m ，CD =30m ，则河的宽度AB 长为 （ ）A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m4.若将抛物线y =5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为 （ ）A. y =5（x -2）2+1B. y =5（x +2）2+1C. y =5（x -2）2-1D. y =5（x +2）2-15.根据下列表格的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是 （ ）x 3.23 3.24 3.253.26ax 2+bx +c -0.06-0.020.030.09A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.266.已知点A （-1，y 1）、B （2，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数y =的图象上，则下列y 1、y 2、y 3的大小关系为 （ ）23=y x y x 23=32=y x 32y x=x2-A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＞y 3＞y 2C. y 1＞y 2＞y 3D. y 2＞y 3＞y 17.如图，在△ABC 中，∠A= 78°，AB = 4，AC = 6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 （ ）8.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0.8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.6m ，请你帮她算一下树高是 （ ）A. 3.25mB. 4.25mC. 4.45mD. 4.75m第8题图 第9题图9.如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （4，2），C （4，4）．若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 （ ）A. 1 ≤ k ≤ 4B. 2 ≤ k ≤ 8C. 2 ≤ k ≤ 16D. 8 ≤ k ≤ 1610.定义：若点P （a ，b ）在函数y =的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数y = ax 2+bx 称为函数y =的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y =的图象上，则函数y =称为函数y =的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：x kx 1x 121x 1x x 2122 x1（1）存在函数y =的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧 （2）函数y =的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是 （ ）A. 命题（1）与命题（2）都是真命题B. 命题（1）与命题（2）都是假命题C. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题D. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.若，，则 = __________．12.如图，直线y = -2 x + 2与x 轴y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线y =在第一象限经过点D ．则k = __________．第12题图 第14题图13.在△ABC 在，AB =6，AC =5，点D 在边AB 上，且AD =2，点E 在边AC 上，当AE = 时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．14.如图是二次函数y = ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （-3，0），对称轴为直线x = -1，给出以下结论：① abc ＜0 ② b 2-4ac ＞0 ③ 4b +c ＜0④ 若B （，y 1）、C （，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2⑤ 当-3 ≤ x ≤ 1时，y ≥ 0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ．三、解答题（本大题共9小题，共90分）15(8分)已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y 轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．16(8分)已知：如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，过B 作BE ∥CD 交ACx1x121===f e d c b a 023≠+-f d b f d b e c a +-+-2323x k25-21-的延长线于点E ．(1)求证：BC = CE ；(2)求证：17(8分)如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，若∠APB =120°，求证：△ACP ∽△PDB ．18(8分)如图，已知一次函数的图象y = kx +b 与反比例函数y =的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是 -2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x 的取值范围．19(10分)某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？20(10分)已知：如图，二次函数y = x 2+（2k -1）x +k +1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）这条抛物线在x 轴的下方的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于3，求点B 的坐标．BC ACBD AD =x 8-21(12分)如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为（2，3），反比例函数y =（k ＞0）的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE ．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）点F 是OC 边上一点，若△FBC ∽△DEB ，求点F 的坐标．22(12分)定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形． 如图，已知△ABC 中，AC =BC ，∠C =36°，BA 1平分∠ABC 交AC 于A 1．（1）证明：AB 2=AA 1•AC ； （2）探究：△ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC =1）（3）应用：已知AC =a ，作A 1B 1∥AB 交BC 于B 1，B 1A 2平分∠A 1B 1C 交AC 于A 2，作A 2B 2∥AB 交BC 于B 2，B 2A 3平分∠A 2B 2C 交AC 于A 3，作A 3B 3∥AB 交BC 于B 3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示A n -1A n ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）x k21523(14分)如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．（1）证明：AB•CD=PB•PD．（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．（3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．2017-2018学年度第一学期期中考试试卷初三数学答案一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. D2. A3. B4. A5. C6. B7. D8. C9. C10. D二、填空题（本大题共4小题，共20分）11. 12. 3 13. 14. ②③⑤三、解答题（本大题共9小题，共90分）15.（8分） 解：设抛物线解析式为y =a （x -3）2-1，把（0，-4）代入得：-4=9a-1，即a=-，则抛物线解析式为y=-（x-3）2-1．16.（8分）证明：(1)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD ．又∵BE ∥CD ，∴∠CBE =∠BCD ，∠CEB =∠ACD ．∵∠ACD =∠BCD ，∴∠CBE =∠CEB ．故△BCE 是等腰三角形，BC =CE ．(2)∵BE ∥CD ，根据平行线分线段成比例定理可得=，又∵BC=CE ，∴=．17. （8分）证明：∵△PCD 为等边三角形，∴∠PCD =∠PDC =60°．∴∠ACP =∠PDB =120°．∵∠APB =120°，∴∠A +∠B =60°．∵∠PDB =120°，∴∠DPB +∠B =60°．∴∠A =∠DPB ．∴△ACP ∽△PDB ．18. （8分）解：（1）令反比例函数y=-中x=-2，则y=4，∴点A 的坐标为（-2，4）；反比例函数y =-中y =-2，则-2=-，解得：x =4，∴点B 的坐标为（4，-2）．∵一次函数过A 、B 两点，∴，解得：， ∴一次函数的解析式为y =-x +2． （2）设直线AB 与y 轴交于C ，令为y =-x +2中x =0，则y =2，∴点C 的坐标为（0，2），∴S △AOB =OC •（x B -x A ）=×2×[4-（-2）]=6．（3）观察函数图象发现：当x ＜-2或0＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，2135512或x 8⎩⎨⎧+=-+-=b k 42b k 24⎩⎨⎧=-=21b k∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围为x＜-2或0＜x＜4．19. （10分）解：设每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，则y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，由，解得：0≤x＜40，故当x=15时，y最大=1250，答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．20. （10分）解：（1）如图，∵二次函数y=x2+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于原点，∴k+1=0，解得，k=-1，故该二次函数的解析式是：y=x2-3x．（2）∵点B在X轴的下方，设B（x，y）（y＜0）．令x2-3x=0，即（x-3）x=0，解得x=3或x=0，则点A（3，0），故OA=3．∵△AOB的面积等于3．∴OA•|y|=3，即×3|y|=3，解得y=-2．又∵点B在二次函数图象上，∴-2=x2-3x，解得x=2或x=1 故点B的坐标是（2，-2）、（1，-2）．21. （12分）解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；∴反比例函数的表达式y=，∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，∵点E在双曲线上，∴y=，∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2 ∵△FBC∽△DEB，∴．即：，∴FC=，∴点F的坐标为（0，），22. （12分）（1）证明：∵AC =BC ，∠C =36°，∴∠A =∠ABC =72°，∵BA 1平分∠ABC ， ∴∠ABA 1=∠ABC =36°，∴∠C =∠ABA 1，又∵∠A =∠A ， ∴△ABC ∽△AA 1B ， ∴=，即AB 2=AA 1•AC ；（2）解：△ABC 是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB 2=AC •AA 1，设AC =1， ∴AB 2=AA 1，又由（1）可得：AB =A 1B ，∵∠A 1BC =∠C =36°， ∴A 1B =A 1C ， ∴AB =A 1C ， ∴AA 1=AC -A 1C =AC -AB =1-AB ， ∴AB 2=1-AB ，设AB =x ，即x 2=1-x ，∴x 2+x -1=0，解得：x 1=，x 2=（不合题意舍去），∴AB =， 又∵AC =1， ∴=，∴△ABC 是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC =a ，则AA 1=AC -A 1C =AC -AB =a -AB =a -a =a ， 同理可得：A 1A 2=A 1C -A 1B 1=AC -AA 1-A 1B 1=a -a -A 1C =a -a -[a -a ] =（）3a ． 故A n -1A n =a ．23. （14分）（1）证明：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠B =∠D =90°，∴∠A +∠APB =90°， ∵AP ⊥PC ，∴∠APB +∠CPD =90°，∴∠A =∠CPD ，∴△ABP ∽△PCD，∴，∴AB •CD =PB •PD ；（2）AB •CD =PB •PD 仍然成立．理由如下：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠B =∠CDP =90°，∴∠A +∠APB =90°， ∵AP ⊥PC ，∴∠APB +∠CPD =90°，∴∠A =∠CPD ，∴△ABP ∽△PCD ，∴，∴AB •CD =PB •PD ；CDPB PD AB =CDPB PD AB =（3）设抛物线解析式为（a ≠0），∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点（0，-3）， ∴， 把（0，-3）带入得 y =x 2-2x -3，∵y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，∴顶点P 的坐标为（1，-4），解法一：过点P 作PC ⊥x 轴于C ，设AQ 与y 轴相交于D ，则AO =1，AC =1+1=2，PC =4，根据（2）的结论，AO •AC =OD •PC ，∴1×2=OD •4，解得OD =，∴点D 的坐标为（0，），设直线AD 的解析式为y =kx +b （k ≠0）， 则，解得，所以，y =x +， 联立，解得，（为点A 坐标，舍去），所以，点Q 的坐标为（，）．解法二：过点P 作PC ⊥x 轴于C ，过点Q 向x 轴作垂线，垂足为E.设QE=m ，由第(2)题结论得AE=2m ，则Q 点坐标为（2m -1，m ）带入y =x 2-2x -3，解得m=或m=0（舍去），把y=带入y =x 2-2x -3，解得x=或x=（舍去）∴点Q 的坐标为（，）))((21x x x x a y -+=)3)(1(-+=x x a y 49492723-。
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沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系2．反比例函数k y x=的图象过点()3,5-，则k 的值为（ ） A ．15 B ．1 15 C ．-15 D ．3 5- 3．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．21xy x += B ．220x y -+= C ．21y x= D ．243y x -= 4．已知矩形的面积为36cm 2，相邻的两条边长为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ． 5．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ） A ．21011010y x x =-++ B ．210100y x x =-+C ．210100110y x x =-++D ．21090100y x x =-++ 6．如图，已知经过原点的直线AB 与反比例函数()0k y k x=≠图象分别相交于点A 和点B ，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，若ABC 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，6AC =，9AB =，则AD =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知函数2y ax ax =+与函数(0)a y a x=<，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ． 9．如图，已知点()4,2E -，点()1,1F --，以O 为位似中心，把EFO 放大为原来的2倍，则E 点的对应点坐标为（ ）A ．()2,1-或()2,1-B ．()8,4-或()8,4-C ．()2,1-D ．()8,4-10．已知矩形的面积为20，则如图给出的四个图象中，能大致呈现矩形的长y 与宽x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）12．若113,4A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,4C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数245y x x =+-的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为________<________<________．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0和()3,0两点，交y 轴与()0,3，当x ________时，0y >．14．若15x y x y -=+，x y =________；若34x y =，则232x y x y+=-________． 15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元． 16．小颖用几何画板软件探索方程ax 2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x 1=-4.5，则方程的另一个近似根为x 2=____.(精确到0.1)17．已知C 是AB 的黄金分割点，若AB=4cm ，则AC 的长为___________.18．若直线y ＝kx 与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形有公共点，则k 的取值范围是_________．19．如图，纵截面是一等腰梯形的拦水坝，两腰与上底的和为4m ，底角为60，当坝高为________m 时，纵截面的面积最大．20．如图，已知在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，//DE BC ，//EF AB ，且:3:8AD AB =，那么:ADE EFC S S =________．三、解答题21．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形．22．如图，已知ABD ACE ∽，50ABC ∠=，60BAC ∠=，求AED ∠的度数．23．已知，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接DC 、BE ．且180BDE BCE ∠+∠=，求证：FDC FBE ∽．24．反比例函数()0k y k x=≠过()3,4A ，点B 与点A 关于直线2y =对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和()0,3C ．()1求反比例函数的表达式；()2求抛物线的表达式；()3若抛物线2y x bx m =-++在22x -≤<的部分与k y x=无公共点，求m 的取值范围．25．已知AD 为BAC ∠的平分线，EF 为AD 的垂直平分线，求证：2FD FB FC =⋅．26．为测量学校操场上旗杆的高度，某数学活动小组设计如下测量方法：将镜子放在离旗杆()27AB m 的点E 处，然后沿直线BE 后退，使在点D 处恰好看到旗杆顶端A 在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），若 2.4DE m =，观测者的眼睛离地面的高度CD 为1.6m ，求旗杆的高度．参考答案1．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．【详解】解：A 、y=mx+b ，当m≠0时（m 是常数），是一次函数，错误；B 、t=sv ，当s≠0时，是反比例函数，错误；C 、C=3a ，是正比例函数，错误；D 、S=13πR 2，是二次函数，正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的定义．2．C【分析】让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限．【详解】解：∵反比例函数解析式为y=k x， ∵反比例函数的图象经过点（-3，5），∴k=-3×5=-15，故选C ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．3．B【分析】一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【详解】解：A 、整理为y=21-x x，不是二次函数，故A 错误； B 、x 2-y+2=0变形，得y=x 2+2，是二次函数，故B 正确；C 、分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D 、y 的指数是2，不是函数，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的定义．4．A【详解】解：根据矩形的面积公式，得xy ＝36，即()36y x>0x=，是一个反比例函数 故选A5．D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x-9）（100-10x），y=-10x2+90x+100．故选D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．6．B【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于12|k|，从而求出k的值．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，又∵A是反比例函数y=kx图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=12|k|，∴12|k|=2，∵k＞0，∴k=4．故选B．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．7．C【分析】利用射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入进行解答即可．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴AC2=AD•AB，∵AC=6，AB=9，∴36=9AD，则AD=4．故选C．【点睛】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．8．B【分析】根据a＜0，直接判断抛物线的开口方向，对称轴，双曲线所在的象限，选择正确结论．【详解】解：当a＜0时，二次函数y=ax2+ax的图象开口向下，对称轴x=-12；函数y=ax的图象在二、四象限，符合题意的是图象B．故选B．【点睛】主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，应该熟记且灵活掌握．9．B【分析】E（-4，2）以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以2或-2．【详解】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以2或-2．所以点E′的坐标为（8，-4）或（-8，4）．故选B．【点睛】本题考查了位似变换的知识，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．10．A【解析】由矩形的面积公式可知y=20x，则图象为双曲线．又矩形的长、宽都是正数，故图象在第一象限，故选A．11．②⑤⑥【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．故答案是：②，⑤，⑥．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．12．2y1y3y【分析】此题可根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线x=-2，再比较图象上三点到对称轴的距离，则距离越大，其纵坐标越大．【详解】解：对二次函数y=x2+4x-5，a=1＞0，开口向上，对称轴为直线x=-2．又A、B、C三点到对称轴的距离分别为|-134-（-2）|=54，|-54-（-2）|=34，|14-（-2）|=94，∴y2＜y1＜y3，故答案是：y2、y1、y3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点是判断函数的对称轴，由点到对称轴的距离比较出各点纵坐标的大小．13．1<或3x >【分析】写出函数图象x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＜1或x ＞3时，y ＞0．故答案为＜1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．14．32 116【分析】根据比例的性质，可得等式，根据等式的性质，可得答案；根据等式的性质，可用x 表示y ，根据分式的性质，可得答案．【详解】 解：由x y x y -+＝15，得5x-5y=x+y ，移项，合并同类项，得4x=6y ，两边都除以4y ，得32xy =；由3x=4y ，得 y=34x，3112x 2+1144=333-263242x xx y x x x y x +==-⨯， 故答案为32，116．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．15．25【详解】试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为25．考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．16．2.5【详解】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，则=﹣1，解得x=2.5．17．2或6-【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分）叫做黄金比．【详解】AB==（AC>BC）由题意知：AC= 41)或AC=4-（2）=6-（AC<BC）故本答案为：2或6-【点睛】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．18．12≤k≤2【详解】根据题意结合图形可知，在与该正方形有公共点的直线中，直线l1解析式中的k值最大，直线l2解析式中的k值最小.由图可知，直线l1过点A(1, 2)，直线l2过点C(2, 1).将点A的坐标代入解析式y=kx，得21k=⋅，∴k=2.将点C的坐标代入解析式y=kx，得12k=⋅，∴12 k=.∴k的取值范围是12 2k≤≤.故本题应填写：12 2k≤≤.点睛：本题考查了一次函数的图象和性质的相关知识. 在一次函数的解析式中，k的绝对值越大，相应的直线就越靠近y轴，反之则越靠近x轴. 本题考查的一个重点在于利用上述结论确定k的值最大和最小时直线的位置. 另外，通过正比例函数与图象之间的关系确定正比例函数解析式也是本题考查的重点.19．3【分析】设AB=xm，利用x表示出坝高DE和AD、BC的长，利用x表示梯形的面积，然后利用函数的性质即可求解．【详解】解：设AB=x，则AD=4-2x，∵DE⊥BC，∠C=60°，∴在直角△DCE中，DE=CD•sin∠，CE=12CD=12x，则BC=x+AD=x+（4-2x）=4-x，则梯形ABCD的面积y=12（AD+BC）•DE=12（4-x+4-2x）•2x，即y=-4x2，则当4⎝⎭=43时，y取得最大值是，此时y=-4×（43）2×43=4；∴×43．【点睛】本题考查等腰梯形的计算和二次函数等知识，考查求函数的解析式和求函数的最值问题，求最值的问题常用的方法是转化为函数的问题求解．20．9:25【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AE：AC=AD：AB=3：8，求出AE：CE=3：5，根据平行线的性质得出∠A=∠EFC，∠AED=∠C，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质得出即可．【详解】解：∵DE∥BC，AD：AB=3：8，∴AE：AC=AD：AB=3：8，∴AE：CE=3：5，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠A=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE ∽△EFC ， ∴ADE EFC S S ∆∆=（AE CF ）2=（35）2=925， 故答案为9：25．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．21．见解析.【解析】【分析】利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都放大一倍，得到新三角形．本图形的答案不唯一，只要是相似三角形，都在格点上就正确．【详解】解：ABD 就是所求．【点睛】本题主要考查了相似三角形的画法，注意做这类题时的关键是对应边相似比相等，对应角相等．22．70AED ∠=．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出AB AC =AD AE ，∠BAD=∠CAE ，求出AB AD =AC AE，∠BAC=∠DAE ，推出△BAC ∽△DAE ，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB 即可．【详解】解：∵50ABC ∠=，60BAC ∠=，∴18070ACB ABC BAC ∠=-∠-∠=，∵ABD ACE ∽， ∴AB AD AC AE=，BAD CAE ∠=∠， ∴AB AC AD AE =，BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAE ∽，∴AED ACB ∠=∠，∴70AED ∠=．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出△BAC ∽△DAE ．23．证明见解析.【分析】首先由∠BDE+∠BCE=180°，∠ECF+∠BCE=180°，可得∠BDE=∠ECF ，又由∠F 是公共角，即可证得△ECF ∽△BDF ，根据相似三角形的对应边成比例，可得EF ：BF=CF ：DF ，继而证得：△FDC ∽△FBE ．【详解】证明：∵180BDE BCE ∠+∠=，180ECF BCE ∠+∠=，∴BDE ECF ∠=∠，∵F ∠是公共角，∴ECF BDF ∽，∴::EF BF CF DF =，即::EF CF BF DF =，∵F ∠是公共角，∴FDC FBE ∽．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（1）12y x=；（2）223y x x =-++；（3）m 的范围：26m <≤， 【分析】 （1）将点（3，4）代入反比例函数的解析式即可求出k 的值．（2）求出点B 的坐标，然后将B 与C 的坐标代入即可求出抛物线的解析式即可求出b 与c 的值．（3）令x=2和-2代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入y=-x2+2x+m 中求出m 的值【详解】解：()1∵反比例函数k y x =过()3,4A ， ∴12k =， ∴12y x= ()2∵点B 与点A 关于直线2y =对称，∴()3,0B ．∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和()0,3C∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩∴23b c =⎧⎨=⎩∴223y x x =-++()3反比例函数的解析式：12y x= 令2x =-时，6y =-，即()2,6--令2x =时，6y =，即()2,6当22y x x m =-++过点()2,6--时，2m = 当当22y x x m =-++过点()2,6时，6m = ∴22y x x m =-++在22x -≤<的部分与12y x=无公共点时，此时m 的范围：26m <≤，本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求出系数的值，本题属于中等题型．25．证明见解析.【分析】要证明结论成立，只要证明△AFC ∽△BFA 即可，根据题目中的条件，可以找到两个三角形相似的条件，从而可以解答本题．【详解】证明：连接AF ，∵AD 是角平分线，∴BAD CAD ∠=∠，又∵EF 为AD 的垂直平分线，∴AF FD =，DAF ADF ∠=∠，∴DAC CAF B BAD ∠+∠=∠+∠，∴CAF B ∠=∠，∵AFC AFC ∠=∠，∴ACF BAF ∽，即CF AF AF BF=， ∴2AF CF BF =⋅，即2FD CF BF =⋅．【点睛】本题考查相似三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．26．旗杆AB 的高度是18 m ．【分析】先得出△ABE ∽△EDC ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出AB 的值．解：在Rt △ABE 和Rt △CED 中，∵∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB=∠CED ，∴△ABE ∽△CED ． ∴AB CD =BE ED． ∵BE=27m ，DE=2.4m ，CD=1.6m ， ∴1.6AB =272.4， ∴AB=18．答：旗杆AB 的高度是18 m ．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题有答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．二次函数2y x =的对称轴是 A ．直线y 1= B ．直线x 1=C ．y 轴D ．x 轴2．若34y x =，则x yx+的值为（ ） A ．1B ．47C ．54D ．743．已知二次函数y=（x-1）2-3，则此二次函数（ ） A ．有最大值1 B ．有最小值1 C ．有最大值-3 D ．有最小值-34．将抛物线2y x 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（2,1）B ．（2，-1）C ．（-2，-1）D ．（-2,1）5．如图，线段,BD CE 相交于点,//A DE BC ．若4,2, 1.8AB AD AE ===，则AC 的长为（ ）A ．3B ．3.2C ．3.6D ．46．如图，在平面直角坐标系中有()()1,1,3,1A B 两点，如果抛物线()20y ax a =>与线段AB 有公共点，那么a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．01a <≤C ．109a <≤D ．119a ≤≤7．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A ．13B ．23C ．34D ．458．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s 与提出概念的时间t （单位：min ）之间近似满足函数关系s ＝at 2+bt +c （a ≠0），s 值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t 与s 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）A ．8minB ．13minC ．20minD ．25min9．在平面直角坐标系中，点P 的坐标()0,2，点Q 的坐标为391,44()(t t t ---为实数)，当PQ 长取得最小值时，t 的值为（ ）A ．75-B ．125-C ．3D ．410．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数()0m y x x=>的图象交于A （2，1），B （12，n ）两点，则n ﹣k 的值为（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．6 D ．﹣6二、填空题11．如图，在ABC 中，//DE BC ，若12AD BD =，则DEBC=_____．12．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg 水果，则商店平均每天的最高利润为______________ 元13．如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数1k y x =和2ky x=的图象分别交于A B 、两点，连接OA OB 、．若AOB 的面积为6,则21k k -= __________．14．已知二次函数2( y x mx m m =-++为常数)，当24x -≤≤时，y 的最大值是15，则m 的值是__________．15．已知234a b c==，则2332a b c a b c-+-+＝_____． 16．如图，函数y ＝1x 和y ＝﹣3x的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则△PAB 的面积为_____．三、解答题17．抛物线()2y a x h =+的顶点为(20)-，，它的形状与23y x =相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）求抛物线与y 轴的交点坐标．18．如图，正方形ABCD 对角线的交点在平面直角坐标系的原点，且边与坐标轴平行或垂直，AB=4．（1）如果反比例函数ky x=的图象经过点A ，求这个反比例函数的表达式； （2）如果反比例函数ky x=的图象与正方形ABCD 有公共点，请直接写出k 的取值范围．19．如图，在ABC 中，,D E 分别是边,AB AC 上的点，连接DE ，且60,50A ADE ∠=︒∠=，70B ∠=︒．()1求证:ADE ACB ；()2如果E 是AC 的中点，810,AD AB ==，求AE 的长，20．已知:ABC 中，边AB 及AB 边上的高CD 的和为40cm ．()1请直接写出ABC 的面积()2S cm与边AB 的长()x cm 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；()2当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？21．如图，在ABC 中，90,5,CAB AB AC P ∠=︒==是ABC 内一点，且.PAB PBC PCA ∠=∠=∠()1求APC ∠的度数； ()2求PAC 的面积．22．已知:AD AE 、分别是ABC 内角和外角平分线．()1则DAE ∠的度数=_ ； ()2求证:BE ABCE AC=； ()3作BF AD ⊥，交AD 延长线于,F FC 的延长线交AE 于G ，求证:AG GE =．23．定义: 在平面直角坐标系中，如果点(),M m n 和(),N n m 都在某函数的图象l 上，则称点M N 、是图象l 的一对“相关点”．例如，点(12)M ，和点1(2)N ，是直线3y x =-+的一对相关点．()1请写出反比例函数6y x=的图象上的一对相关点的坐标； ()2如图，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，与y 轴交于点()0,1C -．①求抛物线的解析式:②若点M N 、是抛物线2y x bx c =++上的一对相关点，直线MN 与x 轴交于点1,0A ，点P 为抛物线M N 、上之间的一点，求PMN 面积的最大值．24．如图，两个反比例函数y ＝k x 和y ＝2x在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P （1，4）在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B （1，m ），求k ，m 的值及△POB 的面积．25．如图，△ABC∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．(1)求∠AED的度数．(2)求DE的长．参考答案1．C【分析】根据顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，找出h即可得出答案．【详解】解：二次函数y=x2的对称轴为y轴．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）．2．D【详解】∵34yx，∴x y x +=434+=74， 故选D 3．D 【解析】试题解析：∵a=1＞0，∴二次函数y=（x-1）2-3有最小值-3． 故选D ．考点：二次函数的最值． 4．B 【解析】 【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得抛物线的表达式是22y x （）=--1． 所以平移后抛物线的顶点坐标是（2，-1）． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 5．C 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴AB ACAD AE=， ∴42 1.8AC =，∴AC=3.6，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．6．D【分析】分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．【详解】解：把A（1，1）代入y=ax2得a=1，把B（3，1）代入y=ax2得a=19，所以a的取值范围为11 9a≤≤.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．7．C【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB=DFDB,EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，∴EFAB=DFDB,EFCD=BFBD，∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BDBD=1. ∵AB=1，CD=3，∴1EF +3EF=1， ∴EF=34.故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 8．B 【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答. 【详解】解：已知满足函数关系s ＝at 2＋bt ＋c （a ≠0）， 根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31）， 将已知点代入解析式得s ＝－0.12t ＋2.6t ＋43, 根据函数性质得t ＝－ 2.620.1（）⨯-＝13时，s 最大，故选B. 【点睛】本题主要考察求函数最值，可利用配方法，公式法等. 9．A 【分析】由两点间的距离公式可得出PQ 2关于t 的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当PQ 取最小值时t 的值． 【详解】解：由两点间的距离公式可知：PQ 2=（t-1）2+（34-t-94-2）2=2516（t+75）2+16，∵2516＞0，∴当t=75-时，PQ2最小．故选：A．【点睛】本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出PQ2关于t的二次函数关系式．10．C【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出n 的值，把A、B的坐标代入一次函数y＝kx+b即可求出k的值．【详解】解：∵把A（2，1）代入y＝mx得：m＝2，∴反比例函数的解析式是y＝2x，∵B（12，n）代入反比例函数y＝2x得：n＝4，∴B的坐标是（12，4），把A、B的坐标代入一次函数y1＝kx+b，得2114 2k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：k＝﹣2，∴n﹣k＝4+2＝6，故选：C．【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解答关键是应用待定系数法确定函数关系式．11．1 3【分析】由//DE BC，可知：ABC ADE，列出比例式，即可得到答案. 【详解】∵//DE BC ，∴ABC ADE ， ∴DE AD BC AB=， ∵12AD BD =， ∴1=3DE AD BC AB =， 选答案是：13. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据相似三角形的性质，列出比例式是解题的关键.12．180【分析】设每千克降价x 元，先用含x 的式子表示出每天的销售量，再设商店平均每天的利润为w 元，根据每千克的盈利乘以销售量等于利润，写出关于x 的函数，写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：设每千克降价x 元，由题意得每天的销售量为： 40+0.5x ×10=（40+20x ）千克， 设商店平均每天的利润为w 元，由题意得：w=（4-x ）（40+20x ）=-20x 2+40x+160=-20（x-1）2+180，∵二次项系数为-20＜0，∴当x=1时，w 取得最大值180元．故答案为：180．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列出函数关系式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．13．12【分析】根据AB ∥x 轴，设A （x ，1k x ），B （21k x k ，1k x），得到AB=21k x k -x ，根据△AOB 的面积为6，列方程即可得到结论．【详解】解：∵AB ∥x 轴，∴设A （x ，1k x ），B （21k x k ，1k x ）， ∴AB=21k x k -x ， ∵△AOB 的面积为6， ∴12（21k x k -x ）×1k x=6， ∴k 2-k 1=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质以及反比例函数图像上的点，解题的关键是将A 和B 的坐标表示出来，从而得到△AOB 的面积的代数式.14．6和19【分析】根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y 的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m 的值，本题得以解决．【详解】解：二次函数y=-x 2+mx+m=-（x-2m ）2+24m +m ， 当4＜2m 时，即m ＞8， 在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m ，得m=6.2（舍去）； 当2m ＜-2时，即m ＜-4， 在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m ，得m=-19， 当-2≤2m ≤4时，即-4≤m≤8，在-2≤x≤4时，x=2m 时取得最大值，则15=24m +m ，得m 1=6，m 2=-10（舍去）， 由上可得，m 的值是6和19-，故答案为：6和19-．【点睛】本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．15．134【分析】 设234abck ===，然后表示出a ，b ，c ，再进行化简即可．【详解】 解：设234abck ===．则根据比例的性质，得a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ， ∴2332a b c a b c -+-+＝2233432234k k kk k k ⨯-+⨯⨯-⨯+＝134； 故答案为：134．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k 法是解题的关键．16．8【详解】解：∵点P 在y =1x 上，∴|x p |×|y p |=|k |=1，∴设P 的坐标是（a ，1a ）（a 为正数），∵P A ⊥x 轴，∴A 的横坐标是a ，∵A 在y =﹣3x 上，∴A 的坐标是（a ，﹣3a ），∵PB ⊥y 轴，∴B 的纵坐标是1a ， ∵B 在y =﹣3a上， ∴代入得：1a =﹣3x， 解得：x =﹣3a ，∴B 的坐标是（﹣3a ，1a ）， ∴P A =|1a ﹣（﹣3a ）|=4a，PB =|a ﹣（﹣3a ）|=4a ， ∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴P A ⊥PB ，∴△P AB 的面积是：12P A ×PB =12×4a×4a =8． 故答案为8．【点睛】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P 点的坐标得出A 、B 的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 17．（1）()232y x =-+；（2）(0)12-，【分析】（1）由抛物线y=a （x+h ）2的顶点为（-2，0），得出h=2，抛物线y=a （x+h ）2的形状与y=3x 2的相同，开口方向相反，得出a=-3，从而确定该抛物线的函数表达式；（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=a （x+h ）2的顶点为（-2，0），∴-h=-2，∴h=2，抛物线y=a （x+h ）2的形状与y=3x 2的相同，开口方向相反，∴a=-3，则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2；（2）当0x =时，()230212y =-+=-， ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0)12-，．【点睛】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．18．（1）4y x =；（2） ()204k <≤或40k -≤< 【分析】（1）根据题意得出A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A 、B 、C 、D 的坐标，结合图象即可求得．【详解】解：（1）由题意，得()2,2A ， 反比例函数k y x=的图象经过点A ， 224k ∴=⨯=，∴反比例函数的表达式4y x=； （2）由图象可知： 当反比例函数刚好经过A 和C ，或B 和D 时，k 分别为4和-4，k≠0， 则如果反比例函数k y x=的图象与正方形ABCD 有公共点， k 的取值范围是04k <≤或40k -≤<．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．19．（1）见解析；（2）AE =【分析】（1）由条件得出B AED ∠=∠，根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E 是AC 的中点，设AE=x ，根据相似三角形的性质可知AD AE AC AB=，从而列出方程解出x 的值．【详解】解：（1）证明:60,50A ADE ∠=︒∠=︒180605070AED ∴∠=︒-︒-︒=︒，70B ∠=︒，B AED ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACB ∴；（2）由（1）知ADE ACB ，AD AE AC AB∴=， 点E 是AC 的中点，设AE x =，22AC AE x ∴==，8,10AD AB ==，8210x x ∴=，解得x =(负值舍去) ．AE ∴=【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．20．（1）21202S x x =-+；（2）当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是2200cm 【分析】（1）S=12x ×这边上的高，把相关数值代入化简即可； （2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：()21114020222S AB CD x x x x =⨯=⨯⨯-=-+； （2）102a =-<， S ∴有最大值，当2b x a =-=20122-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=20时，S 有最大值为212020202002S =-⨯+⨯=， ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是2200cm ．【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的最值求法是解决本题的关键．21．（1）90°；（2）5【分析】（1）根据PCA PAB ∠=∠，利用余角的性质求解；（2）证明ABP BCP ，得到2PA PB AB PB PC BC ===，设PA 为x ，将相应边表示出来，根据AC=5求出x ，即可计算△PAC 的面积.【详解】解：（1）180APC PAC PCA ∠=︒-∠-∠,PCA PAB ∠=∠，180APC PAC PAB ∴∠=︒-∠-∠90=︒；（2）在等腰直角ABC 中，45ABC ACB ∴∠=∠=︒PAB PBC PCA ∠=∠=∠，ABP BCP ∴∠=∠，∴ABP BCP ，∴PA PB AB PB PC BC ===， 设PA x =，PB =，则2, PC x AC ==，5AC =，x ∴=221252PAC S x x x ∴=⋅===.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形，证明∠APC=90°是本题的突破点，属于中考常考题型．22．（1）90°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和邻补角的定义即可解得；（2）过点C作CN∥AB交AE于点N，如图，易证CA=CN．由CN∥AB可得△ECN∽△EBA，则有BE BACE CN=，由CA=CN可得BE ABCE AC=；（3）分别延长BF、AC交于点H，证明△ABF≌△AHF，可得BF=HF，证明△BCF∽△ECG，△ACG∽△HCF，可得比例线段，则结论得证．【详解】解：（1）∵AD、AE分别是△ABC中∠A内角的平分线和外角平分线，∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=12∠BAC+12∠CAF=12（∠BAC+∠CAF）=12×180°=90°．故答案为：90°；（2）证明：过点C作//CN AB交AE于点N，如图1，则有HAE ANC∠=∠．HAE CAE∠=∠，ANC CAE∴∠=∠，CA CN∴=．//CN AB，ECN EBA ∴∆∆∽， ∴BE BA CE CN =， ∴BE AB CE AC=； （3）如图2，分别延长BF 、AC 交于点H ；AD 为ABC ∆的角平分线，BAF HAF ∴∠=∠；在ABF ∆与AHF ∆中，BAF HAF AF AFAFH AFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABF AHF ASA ∴∆≅∆，BF HF ∴=；BH AF ⊥，AE AF ⊥，//BH AE ∴，BCF ECG ∴∆∆∽，ACG HCF ∆∆∽， ∴CG GE CF BF =，CG AG CF FH =， ∴GE AG BF FH=， ∵BF HF =，GE AG ∴=．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，添加平行线构造相似三角形是解题的关键．23．（1）()2,3，(32)，；（2）①221y x x =--；②278【分析】（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，即可求解；（2）①根据C （0，-1）求得c ，根据x=-1，函数对称轴为：x=-2b a =-1，解得：b=-2，即可求解；②由“相关点”的定义，可得直线MN 的表达式，求出点M 、N 的坐标，将△PMN 面积利用S=12×PQ×（x M -x N ）表示出来即可求解． 【详解】解:（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，故答案为：（2，3）和（3，2）；（2）①∵抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，121b ∴-=⨯，解得2b =-， 抛物线2y x bxc =++与y 轴交于点(01)C -，， 1c ∴=-，∴抛物线的解析式为221y x x =--；②由相关点定义得，点M N ，关于直线y x =对称． 又直线MN 与x 轴交于点1,0A ，∴直线MN 的解析式为1y x =-+．代入抛物线的解析式221y x x =--中，并整理，得220x x --=，解得，11x =-，22x =M N ∴，两点坐标为(2)1-，和(12)-，． 设点P 的横坐标为x ，则点22()1P x x x --,，过P 作PQ x ⊥轴交直线MN 于Q 点，则Q 点坐标为(), 1 x x -+，()()211212PMN M N S x x x x x =⨯-⨯-⎦+---⎡⎤⎣ ()21322x x =⨯⨯-++ 23127228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 即当12x =时，PMN 的面积最大，最大值为278. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解较为容易．24．k=4，m=2，POB S1=． 【详解】试题分析：将点P 的坐标代入C 1的解析式即可求出k 的值；将点B 的横坐标代入C 2的解析式即可求出m 的值；S △POB =S △POA －S △BOA ，由反比例函数k 的几何意义可以分别求出S △POA 、S △BOA 的值.试题解析：∵P （1，4），∴k =4；∵B （1，m ），C 2解析式为：y =2x ，∴m =2；S △POB =S △POA －S △BOA =2－1=1.点睛：掌握反比例函数k 的几何意义.25．（1）65°（2）8【详解】试题分析：（1）∵75,40BAC ABC ∠∠=︒=︒∴65ACB ∠=︒∵△ABC ∽△ADE∴65AED ACB ∠=∠=︒(2) ∵30cm,18cm AB BD ==∴12cm AD =又∵△ABC ∽△ADE ∴AD DE AB BC = 即：123020DE = ∴8cm DE =．【点睛】本题考查相似三角形，掌握相似三角形的性质是解本题的关键，所以要求考生对相似三角形的性质要熟悉．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题带答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数是二次函数的是（ ） A ．1y x =- B ．1y x =C ．22y x x =-+D ．21y x= 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4D ．3、5、9、133．抛物线y ＝(x -1)2＋5的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝5C ．直线x ＝-1D ．直线x ＝-54．反比例函数y ＝﹣1x的图象在（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限5．已知34x y =，则x y y +=（ ）A ．47 B ．74C ．37D ．736．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程2350x x +-=的一个近似根是( ) A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.37．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．58．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m9．如图，在下列条件中，不能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．1ACB ∠∠＝ B ．AB ACBC CD= C ．2B ∠∠＝ D ．2AC AD AB =⋅10．如图，11OA B ∆，122A A B ∆、233A A B ∆，…是分别以1A 、2A 、3A ，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点()111,C x y ，()222,C x y ，()333,C x y ，…均在反比例函数4y x=（0x >）的图象上.则1210y y y ++⋅⋅⋅的值为（ ）A ．B ．6C ．D ．二、填空题11．已知y ＝2x m ﹣1是y 关于x 的反比例函数，则m ＝_____．12．已知线段AB=20，点C 为线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC=___________.13．已知二次函数2y ax bx c =++与一次函数y x =的图像如图所示，则不等式2(1)0ax b x c +-+<的解集为_______________.14．如图，在△ABC 中，AB =9，AC =6，BC =12，点M 在AB 边上，且AM =3，过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ，使截得的三角形与原三角形相似，则MN =______．三、解答题15．已知234x y z==，求x y zx y z+++-的值．16．已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =． ⑴求y 关于x 的函数解析式； ⑵当4x =时，求y 的值．17．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A 、B ，y 轴交于点C ，已知点()1,0A -、()4,0B 、()0,3C -．（1）求二次函数的解析式；（2）当0y >时，请直接写出自变量x 的取值范围．18．如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，DF ∥AE ，BD ：DA ＝3：2，BF ＝6，DF ＝8，（1）求EF 的长； （2）求EA 的长．19．如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）和反比例函数()20my m x=≠的图象相交于点A （﹣4，2），B （n ，﹣4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式y 1＜y 2的解集．20．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．（1）求证：△ BEF∽△CDF；（2）求证：DE·BF=EF·BC．21．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝kx（k＞0）表示（如图所示）．（1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？（2）求k的值．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．22．某农场要建一个饲养场（长方形)ABCD，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形)ABCD的宽为x米．（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为2270m ，求x 的值．（3）当x 为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少2m ？23．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC =，点D 在边AC 上，连接BD ，过A 作BD 的垂线交BD 的延长线于点E ．（1）若M ，N 分别为线段AB ，EC 的中点，如图1，求证：MN EC ⊥； （2）如图2，过点C 作CF EC ⊥交BD 于点F ，求证：2AE BF =；（3）如图3，以AE 为一边作一个角等于BAC ∠，这个角的另一边与BE 的延长线交于P 点，O 为BP 的中点，连接OC ，求证：()12OC BE PE =-．参考答案与解析1．C 【解析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：A 、1y x =-是一次函数，不符合题意； B 、1y x=是反比例函数，不符合题意； C 、22y x x =-+是二次函数，符合题意； D 、21y x =中自变量x 的指数为-2，不是二次函数，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的定义．熟记二次函数的一般形式是解题的关键． 2．C 【详解】试题解析：A 、1×3≠2×2，故选项错误； B 、1×4≠2×3，故选项错误； C 、1×4=2×2，故选项正确； D 、3×13≠5×9，故选项错误． 故选C ． 3．A 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线()215y x =-+， ∴该抛物线的对称轴是直线1x =， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．C【分析】根据反比例函数中k<0,图像必过二、四象限即可解题. 【详解】解：∵-1<0,根据反比例函数性质可知,反比例函数y=﹣1x的图象在第二、四象限,故选C.【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质,属于简单题,熟悉反比例函数的性质是解题关键. 5．B【分析】由34xy=得到x=34y,再代入计算即可.【详解】∵34 xy=,∴x=34 y,∴x yy+=3744y yy+=.故选B. 【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是根据34xy=得到x=34y，再代入计算即可.6．C【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．7．B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8．C【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． 9．B 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得． 【详解】A 、由∠ADC ＝∠ACB ，∠A ＝∠A 可得△ACD ∽△ABC ，此选项不符合题意； B 、由AB ACBC CD=不能判定△ACD ∽△ABC ，此选项符合题意； C 、由∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A 可得△ACD ∽△ABC ，此选项不符合题意； D 、由2AC AD AB =⋅，即AC ABAD AC=，且∠A ＝∠A 可得△ACD ∽△ABC ，此选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10．A 【分析】过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，，，得出△11OA B 为等腰直角三角形，进而求出1y ，再逐一求出2y ，3y …的值，即可得出答案. 【详解】如图，过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，， ∵△11OA B 为等腰直角三角形，斜边1OB 的中点1C 在反比例函数4y x=的图像上 ∴1C (2,2)，即12y = ∴1112OD D A == 设21D A a =，则22D C a = 此时2C (4+a,a) 将2C (4+a,a)代入4y x=得a(4+a)=4解得2a =或2-(负值舍去)即22y =同理3y =4y =…，∴121022y y y ++⋯+=++=故答案选择A.【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y 的值.11．0【分析】根据反比例函数的定义可得m ﹣1＝﹣1即可求解m.【详解】∵y ＝2x m ﹣1是y 关于x 的反比例函数，∴m ﹣1＝﹣1．解得m ＝0，故答案为0．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的解析式满足自变量的次数为-1，根据此知识点即可解题.12．【解析】根据黄金分割点的定义，知AC 为较长线段；则，代入数据即可得出AC 的值． 【详解】解：∵C 为线段AB=20的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴10．故答案为10．【点睛】本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的是解题的关键．13．1＜x ＜3【分析】根据二次函数2y ax bx c =++与一次函数y x =的图像的交点的横坐标以及两个函数图象的上下位置关系，可得2ax bx c x ++<的解集，进而得到答案.【详解】∵二次函数2y ax bx c =++与一次函数y x =的图像的交点的横坐标是：x=1，x=3， ∴结合图象，可知：2ax bx c x ++<的解集是：1＜x ＜3∴2(1)0ax b x c +-+<的解集是：1＜x ＜3，故答案是：1＜x ＜3.【点睛】本题主要考查函数图象和不等式的解集的关系，掌握数形结合的思想方法，是解题的关键. 14．4或6【分析】分别利用，当MN ∥BC 时，以及当∠ANM ＝∠B 时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ， 故AMANMNAB AC BC ==， 则3912MN=，解得：MN ＝4，如图2所示：当∠ANM ＝∠B 时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ANM ∽△ABC ， ∴AMMNAC BC =， 即3612MN=，解得：MN ＝6，故答案为：4或6．【点睛】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．15．9【分析】 根据234xyzk ==＝，用k 表示x 、y 、z ，将它们代入原式，即可得到答案．【详解】解：设234x y z k ==＝，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ∴x y z x y z +++-＝2349234k k k k k k+++＝－． 【点睛】本题考查了比例的性质，将三个未知数用一个未知数表示出来是解题的关键．16．（1）12y x =；（2）3y =. 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x=4代入求出答案．【详解】解：（1）y 是x 的反例函数， 所以，设(0)k y k x=≠， 当x=2时，y=6．所以，k=xy=12， 所以，12y x=； （2）当x=4时，124y ==3． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键． 17．（1）239344y x x =--；（2）1x <-或4x > 【分析】（1）根据点A ，B ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）观察函数图象结合二次函数的性质，即可找出：当y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）()1,0A -、()4,0B 、()0,3C -代入2y ax bx c =++，得016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：34943a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴二次函数的解析式为239344y x x =--； （2）当1x <-或4x >时，二次函数图象在x 轴上方，∴当0y >时，x 的取值范围为1x <-或4x >．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）由点A ，B 的坐标利用数形结合找出结论．18．（1）EF ＝4；（2）EA ＝403. 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：（1）∵DF ∥AE ， ∴BF FE ＝BD DA ，即6FE ＝32， 解得，EF ＝4；（2）∵DF ∥AE ， ∴DF EA ＝BD BA ，即8EA ＝332+， 解得，EA ＝403． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．19．(1) y＝﹣x﹣2，;(2) x＞2或﹣4＜x＜0 【分析】将点A（﹣4，2）代入2myx=，求反比例函数解析式，再求得B的坐标，将A与B两点坐标代入y1＝kx+b，即可求解；（2）y1＜y2，在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可.【详解】（1）将点A（﹣4，2）代入2myx=，∴m＝﹣8，∴y＝8x-，将B（n，﹣4）代入y＝8x-，∴n＝2，∴B（2，﹣4），将A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y1＝kx+b，得到2442k bk b=-+⎧⎨-=+⎩，∴12 kb=-⎧⎨=-⎩，∴y＝﹣x﹣2，（2）由图象直接可得：x＞2或﹣4＜x＜0；【点睛】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，得△BEF∽△CDF；（2）由△BEF∽△CDF，得EF DFBF CF=，又∠DFE=∠CFB，再证△DEF∽△CBF，得DE EFBC BF=.化简可得.【详解】证明：（1）∵∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴△BEF ∽△CDF（2）∵△BEF ∽△CDF ， ∴EF BF DF CF=， ∴EF DF BF CF =． 又∠DFE=∠CFB ，∴△DEF ∽△CBF ∴DE EF BC BF=， ∴DE·BF=EF·BC ．【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质.解题关键点：灵活运用相似三角形的判定和性质.21．（1）x ＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；（2）k=225；（3）不能驾车上班.【解析】试题分析：（1）①利用y=-200x 2+400x=-200（x-1）2+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y 的值，进而得出能否驾车去上班．试题解析：（1）①y=-200x 2+400x=-200（x-1）2+200，∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=k x （k ＞0）， ∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=225x ，则y=22511＞20， ∴第二天早上7：00不能驾车去上班．考点：1.二次函数的应用；2.反比例函数的应用．22．（1）(633)x -米；（2）15；（3）当x 为12时，饲养场的面积最大，最大面积为2324m ．【分析】（1）根据题意和图形，可以用含x 的代数式表示出BC 的长；（2）根据长方形的面积计算公式可以得到相应的方程，从而可以得到x 的值，注意墙最大可用长度为27米；（3）根据题意可以得到S 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x 的取值范围，解答即可．【详解】解：（1）由图可得，BC 的长是60312(633)x x -++=-（米)，即BC 的长是(633)x -米；（2）令(633)270x x -=，解得，16x =，215x =，63327x -，得12x ，15x ∴=，即x 的值是15；（3）设饲养场的面积是2Sm ，则2211323(633)3()24S x x x =-=--+， 63327x -，得12x ，∴当12x =时，S 取得最大值，此时324S =，答：当x 为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为2324m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，灵活利用二次函数的性质和方程的知识解答．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）连接EM 、CM ，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM=CM ；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）证明△AEC ∽△BFC ，得AC AE BC BF=，由AC=2BC 得AE=2BF ； （3）证明△ACB ∽△AEP ，得AC BC AE EP=，从而知道AE=2PE ，由AE=2BF 得PE=BF ；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC=12EF ，代入得结论． 【详解】解：证明：（1）如图1，连接EM 、CM ，AE BE ⊥，M 是AB 的中点，12EM AB ∴=，12CM AB =，EM CM ∴=， N 是EC 的中点，MN EC ∴⊥；（2）如图2，90ECF ∠=︒，90ACB ∠=︒，90ECA ACF ∴∠+∠=︒，90ACF FCB ∠+∠=︒，ECA FCB ∴∠=∠，90CFB ECF CEF CEF ∠=∠+∠=︒+∠，90AEC AEB CEF CEF ∠=∠+∠=︒+∠，CFB AEC ∴∠=∠，AEC BFC ∴∽△△，AC AEBC BF ∴=，2AC BC =，2AE BF ∴=；（3）如图，过点C 作CF EC ⊥交BD 于点F ，90AEP ACB ∠=∠=︒，BAC PAE ∠=∠，ACB AEP ∴∽△△，ACBCAE EP ∴=，2AC BC =，2AE PE ∴=，2AE BF =，PE BF ∴=， O 为BP 的中点，PO BO ∴=，EO FO ∴=，()()111222CO EF BE BF BE PE ∴==-=-．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系；同时，在直角三角形中，如果有斜边上的中线，可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系；对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外，也可以利用等腰三角形的三线合一来证明．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y ＝x 2﹣2x ＋1与x 轴的交点个数为（ ）A ．无交点B ．1 个C ．2 个D ．3 个2．已知线段a ＝2，b ＝，线段b 是a 、c 的比例中项，则线段c 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 3．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ）A ．AB 2＝AC •BC B ．BC 2＝AC •BC C ．AC BCD ．BC AC 4．已知两点()4,6A 、()6,2B ，以原点O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，则点A 的对应点C 的坐标为（ ）A ．()2,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()3,3 5．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）A ．2(1)4y x =-+B ．2(4)4y x =-+C ．2(2)6y x =++D ．2(4)6y x =-+ 6．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D 8．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④9．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD ＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A．83B．32C．85D．4310．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题11．如果x ：y ＝3：2，那么x y x-的值是__． 12．已知两个相似三角形的面积比是4：25，其中较小的三角形的周长为18cm ，则大三角形的周长为__．13．如图，一次函数y 1=ax+b 与反比例函数2k y x=的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是___________．14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ⋯按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为______．15．如图，在ABC 中，8AB =，10BC =，点P 是AB 边的中点，点Q 是BC 边上一动点，若BPQ 与BAC 相似，则CQ 的长为________．16．如图，在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，D 为AB 边上一点，且△ABC ∽△ACD ，则AD ＝__．三、解答题17．对于抛物线243y x x =-+．（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）求抛物线的顶点坐标．18．已知0345x y z ==≠，求x y z x y z -+++的值．19．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．20．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第25题，10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？21．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：P A ＝PC（2）求证：PC 2＝PE •PF22．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ，(1)求证：△ADF ∽△DEC(2)若AB ＝4,AD ＝＝3,求AF 的长.23．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）24．如图①，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，且AD⊥BD，过C点作CF∥AD 交BD于F点，E为AC的中点，连接ED，EF．（1）求证：DE＝EF；（2）如图②，若BA＝BC，连接BE交CF于M点．①求证：△EFM∽△CBM；②求证：△DEF∽△ABC．25．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AB上，AE=4，BC=8，求DE的长．参考答案1．B【分析】通过解方程x2-2x+1=0得到抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），从而可判断抛物线y=x2-2x+1与x轴交点个数．【详解】解：当y=0时，x2-2x+1=0，解得x1=x2=1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），所以抛物线y=x2-2x+1与x轴只有一个交点．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．2．C【分析】根据线段b是a、c的比例中项，得b2＝ac，即可求出线段c的值．【详解】∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝2，b＝∴(22c=，∴c＝6．故选：C．【点睛】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的性质．3．D【分析】根据黄金分割的定义得出BC AC AC AB ==，从而判断各选项．【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴12BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB ，故A 、B 错误；∴AB ，故C 错误；AC ，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．4．A【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】以原点O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，∵点A 的坐标为()4,6∴点A 的对应点C 的坐标为114,622⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，即()2,3故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换的知识；解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，从而完成求解．5．B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．C【详解】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．7．C【详解】试题分析： ∵AD ∥BC∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°∴△ABC ∽△DCA∴S △ABC ：S △DCA =AB 2：CD 2=22：32=4：9故选C考点：相似三角形的判定与性质8．A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．C【分析】,如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE~△BDF, △GDF~△GAE.再根据相似三角形的性质分别得到EC=52DF,AE=4DF.所以AE:EC=85.【详解】解：如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE~△BDF, △GDF~△GAE.∴DFEC=BDBC,DF DGAE AG=,∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3,∴EC=52DF ,AE=4DF . ∴AE :EC =4DF :52DF =4：52=85. 故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 10．C【详解】试题分析：由题意可得BQ=x ．①0≤x≤1时，P 点在BC 边上，BP=3x ，则△BPQ 的面积=12BP•BQ ，解y=12•3x•x=232x ；故A 选项错误；②1＜x≤2时，P 点在CD 边上，则△BPQ 的面积=12BQ•BC ，解y=12•x•3=32x ；故B 选项错误；③2＜x≤3时，P 点在AD 边上，AP=9﹣3x ，则△BPQ 的面积=12AP•BQ ，解y=12•（9﹣3x ）•x=29322x x -；故D 选项错误． 故选C ．考点：动点问题的函数图象．11．13． 【分析】 根据已知条件得出23y x =，再把x y x -化成1y x -，然后代值计算即可得出答案． 【详解】∵:3:2x y =， ∴23y x =， ∴211133x y y x x -=-=-=． 故答案为：13．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．45cm ．【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形面积比为4：25，∴两个相似三角形相似比为2：5，∴两个相似三角形周长比为2：5，∵小三角形的周长为18cm ， ∴1825=大三角形的周长， ∴小三角形的周长为：45cm ，故答案为：45cm ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．13．x ＜0或1＜x ＜4【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可．【详解】解：根据图形，当x ＜0或1＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y 1＞y 2． 故答案为：x ＜0或1＜x ＜4．【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y 轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．14．403835()2⋅【分析】根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．解：正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，1OA ∴=，2OD =，AD =12OA OD =， 延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，∵190DAO BAA ，90DAO ADO ∠+∠=︒，∴1BAA ADO ∠=∠，∵190AOD ABA ∠=∠=︒，1AA B ∴∽DAO ，112A B AB ∴=，AD AB ==1A B ∴=∴第1个正方形的面积为：215S ==；∴第2个正方形的面积为：2222135()2S AC ===⋅；同理可得，22212A C = 第3个正方形的面积为：4335()2S =⋅ ……∴第n 个正方形的面积为：2235()2n n S -=•∴第2020个正方形的面积为：4038202035()2S =⋅． 故答案为：403835()2⋅． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律．15．5或345【分析】根据题意分两类进行讨论：BPQ BCA △∽△或BPQ BAC ∽，分别求得结果即可．【详解】∵8AB =，10BC =，点P 是AB 边的中点∴4BP =当BPQ BCA △∽△时 ∴BP BQBC BA = 即4108BQ= 解得：165BQ = ∴345CQ =当BPQ BAC ∽时 ∴BP BQBA BC = 即4810BQ=解得：5BQ =∴5CQ =∴5CQ =或345故答案为：5或345．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，正确进行分类讨论是解题的关键．16．4．【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD 的长．【详解】∵△ABC ∽△ACD ，∴ABACAC AD =，∵AB ＝9，AC ＝6，∴966AD =，解得：AD ＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．17．（1）该抛物线与x 轴交点的坐标为()1,0， ()3,0，与y 轴交点的坐标为()0,3；（2）抛物线的顶点坐标是()2,1-．【分析】（1）运用二次函数与x 轴相交时，0y =，与y 轴相交时， 0x =，计算即可； （2）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后得到顶点坐标即可．【详解】（1）令y ＝0，则2430x x -+=，解得x 1＝1，x 2＝3，所以该抛物线与x 轴交点的坐标为：()1,0，()3,0，令x ＝0，则y ＝3，所以该抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．（2）由抛物线()224321y x x x =-+=--知，该抛物线的顶点坐标是()2,1-． 【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种不同形式间的转化．18．13． 【分析】 可以设345x y z k ===，则3x k =，4y k =，5z k =，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简，即可求出式子的值．【详解】 设345x y z k ===， 则3x k =，4y k =，5z k =，代入可得，34541345123x y z k k k k x y z k k k k -+-+===++++． 【点睛】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键． 19．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【详解】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A 2B 2C 2的面积．试题解析：（1）如图所示：C 1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C 2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A 2B 2C 2是等腰直角三角形，∴△A 2B 2C 2的面积是：××=10平方单位．故答案为10．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理20．（1）上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为32yx（4≤x≤10）；（2）6．【详解】试题分析：（1）本题注意分段函数的解析似的求法，写出自变量的取值范围即可. （2）根据题意得出y=2在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围.试题解析：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，将（4，8）代入得：8=4a，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=32x；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=32x（4≤x≤10）．（2）当y=2，则2=2x，解得：x=1，当y=2，则2=32x，解得：x=16，∵16﹣1=15（小时），∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间15小时．21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CDB＝∠ADB，然后利用“边角边”证明△APD 和△CPD全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可（2）利用两组角对应相等则两三角形相似，证明△APE与△FP A相似；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴DA ＝DC ，∠CDB ＝∠ADB ，在△ADP 和△CDP 中，AD CD BDC CBD DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△CDP （SAS ），∴P A ＝PC ；（2）∵△ADP ≌△CDP ，∴∠P AD ＝∠PCD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ∥AB ，∴∠PCD ＝∠PF A ，∴∠P AE ＝∠PF A ，而∠APE ＝∠FP A ，∴△P AE ∽△PF A ，∴P A ：PF ＝PE ：P A ，∴P A 2＝PE •PF ，∵P A ＝PC ，∴PC 2＝PE •PF ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．22．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6==∵△ADF ∽△DEC∴AD AF DE CD =4AF=∴AF=23．（1）35元（2）销售单价应定为30元或40元（3）3600元【详解】解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352bx a =-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设成本为P（元），由题意，得：20(10500)P x=-+20010000x=-+∵200k=-<0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.答：想每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少3600元．24．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．【分析】（1）延长DE交CF于点G，根据直角三角形的性质解答即可；（2）①根据题意可先证明△EMC∽△FMB，利用其结论DE AEEG CE=结合∠EMF＝∠BMC，即可证得结论；②由①可得结论∠EFC＝∠EBC，且由题意可推出∠EFD＝∠EDF，∠ECB＝∠EAB，从而证明结论即可．【详解】（1）延长DE交CF于G点，如图①：∵AD∥CF，且点E为AC中点，∴DE AE EG CE=，∴DE＝EG，∵AD⊥BD，∴CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∴EF＝12DG=DE；（2）①如图②，∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠BEC＝90°，∴∠CEM＝∠BFM，∵∠EMC＝∠FMB，∴△EMC∽△FMB，∴EM CM FM BM，∵∠EMF＝∠BMC，∴△EFM∽△CBM，②∵△EFM∽△CBM，∴∠EFC＝∠EBC，∵∠ECB+∠EBC＝∠EFC+∠DFE＝90°，∴∠EFD＝∠ECB，由（1）可知ED＝EF，∴∠EFD＝∠EDF，∵BA＝BC，∴∠ECB＝∠EAB，∴△DEF∽△ABC．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定并性质以及直角三角形的性质是解题关键．25．DE长为4【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，设DE=BE=x，证明△AED∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，设DE=BE=x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴DE AE BC AB=，∴484xx=+，解得：4x=（负值舍去），∴DE=4．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解此题的关键是求出DE=BE和证出△AED∽△ABC．。
最新沪科版九年级数学上册期中质量检测试卷(附答案)
最新沪科版九年级数学上册期中质量检测试卷（附答案）班级：___________姓名：___________等级：___________一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程为一元二次方程的是（）A. B. x2+xy+2＝0 C. x2+x﹣3＝0 D. x2﹣2x﹣3 【答案】C利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：x2+x﹣3＝0是一元二次方程，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．2.若，则的值为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴==，故选：D3.用配方法解一元二次方程x2－2x－1=0时，方程变形正确的是( )A. (x－1)2=2B. (x－1)2=4C. (x－1)2=1D. (x－1)2=7 【答案】A【解析】x2－2x－1=0移项，得x2－2x=1，配方，得x2－2x+12=1+12，即（x－1）2=2.故选A.4.一元二次方的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个相等的实数根D. 没有实数根【答案】D【解析】根据一元二次方程根的判别式确定该一元二次方程根的情况.对照该方程与一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0)，可以得到一般形式中各常数的值：a=1，b=-3，c=3.该方程根的判别式.因为该方程根的判别式的值小于零，所以该方程没有实数根.故本题应选D.5.若是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（）A. 2B. 3-2C. 2-3D. -2【答案】C【解析】把x=代入方程x2-2x+c=0得2-2+c=0，然后解关于c的方程．【详解】解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0得）2﹣2+c＝0，解得c＝2﹣3．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6.已知⊙O的直径为l0cm，点P在⊙O内，则OP的长（）A. 小于5cmB. 不小于5cmC. 小于l0cmD. 不大于l 0cm【答案】A【解析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【详解】∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，∴OP＜5cm．故选：A．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d ＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．7.下列命题中，真命题是（）A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 面积相等的两个圆是等圆C. 三角形的内心到各顶点的距离相等D. 长度相等的弧是等弧【答案】B【解析】利用圆周角定理，等圆、等弧的定义、三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题；B、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题；C、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题；D、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，是假命题，故选：B．【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题关键是圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质，属于基础定义，难度不大．8.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】∵正方形的外接圆半径为2，∴OA=2，又∵∠AOB=45°，∴OB=OAsin∠AOB=2×=，故选A．9.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC 的度数为（）A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°【答案】B【解析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【详解】如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．10.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF 为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（）A. 3B. 3C. 4D. 4【答案】D【解析】解：连结FD，D是AB的中点，如图．∵△ABC为等腰直角三角形，AB=10，PB=1，∴AC=BC=，∠A=45°．∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=10，PB=1，∴AD=BD= 5，DP=DB﹣PB=5﹣1=4，EF、DF为△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF= AB=5，DF= BC=，∠EFP=∠FPD，∴∠FDA=45°，==，∴∠DFP+∠DPF=45°．∵△PQF为等腰直角三角形，∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=PQ，∴∠DFP=∠EFQ．∵△PFQ是等腰直角三角形，∴= ，∴= ，∴△FDP∽△FEQ，∴=，∴QE= DP=．故选D．点睛：本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.方程x2＝1的解是_____．【答案】±1【解析】方程利用平方根定义开方求出解即可.【详解】∵x2＝1∴x＝±1．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法.12.已知关于x的方程（m﹣2）x|m|+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝_____．【答案】-2【解析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．【详解】∵方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是关于x的一元二次方程，∴，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．13.如图，已知DE∥BC，S△ADE：S△ABC＝4：25，则AD：AB＝_____．【答案】2：5【解析】由DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，又由S△ADE：S△ABC=4：25，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE：S△ABC＝4：25，∴AD：AB＝2：5．故答案为：2：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．14.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则该圆锥的侧面展开图的面积为_____cm2．【答案】12πcm2【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【详解】底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．【点睛】本题利用圆的周长公式和扇形面积公式求解．15.一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是_____．【答案】2或【解析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①4为斜边长；②3和4为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．【详解】由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为4，这个三角形的外接圆半径为2；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝5，因此这个三角形的外接圆半径为．故答案为：2或．【点睛】本题考查直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．16.某楼盘2016年房价为每平方米10000元，经过两年连续涨价后，2018年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程为_____．【答案】10000（1+x）2＝12100【解析】设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据该楼盘2016及2018年的房价，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意得：10000（1+x）2＝12100．故答案为：10000（1+x）2＝12100．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17.如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当扇形AOB的半径为2时，阴影部分的面积为_____．【答案】π﹣2【解析】根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【详解】连接OC∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝CD＝2，∴CD＝OD＝2，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝﹣×22＝π﹣2．故答案为π﹣2．【点睛】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题关键是得到扇形半径的长度．18.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（3，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是_____．【答案】【解析】根据题目条件判断出PA、AB、AC之间的关系，求出圆上到点A的最大距离利用勾股定理即可解决问题．【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，如图延长AD交⊙D于M，此时AM最大，∵A（1，0），D（3，4），∴AD＝2，∴AM＝2+1，∴a的最大值为2+1．故填：2+1．【点睛】本题综合考查圆、直角三角形及最值问题，解题的关键是发现PA=AB=AC=a，并能根据图形找到最大距离的位置，利用勾股定理即可求得，三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．【答案】【解析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可．【详解】原式＝·＝﹣，由x2+3x﹣4＝0，得到（x﹣1）（x+4）＝0，解得：或x＝﹣4，因为x≠1，所以x＝1舍去．当x＝﹣4时，原式＝﹣．【点睛】本题考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．20.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，所以△＞0，据此求出k的取值范围即可；（2）由为正整数，得到或，利用求根公式表示出方程的解为，再由方程的解为整数，即可得的值为．【详解】根据题意得：，解得：；由为正整数，得到或，利用求根公式表示出方程的解为，∵方程的解为整数，∴为完全平方数，则的值为．【点睛】本题考查了根的判别式，解答本题要掌握△＞0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△＜0方程没有实数根．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）21.解下列方程：（1）x2﹣6x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．【答案】(1) ;(2) x1＝2，x2＝4【解析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）x2﹣6x﹣3＝0，x2﹣6x＝3，x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，∴x﹣3＝±2，∴x1＝3+2，x2＝2﹣2；（2）（x﹣2）2＝2x﹣4，（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝4．【点睛】本题考查解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等．22.如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．（1）试说明：△PAC∽△PDB；（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．【答案】(1)见解析；（2）PC＝2或6，PD＝6或2【解析】（1）由圆周角定理得到∠A=∠D，∠C=∠B，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相交弦定理得到【详解】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），解得，PC＝2或6，则PD＝6或2，∴PC＝2或6，PD＝6或2．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相交弦定理，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．23.如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为570m2，则道路应修多宽？【答案】道路为1m宽【解析】本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积-三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．【详解】设道路为x米宽，由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，整理得：x2﹣36x+35＝0，解得：x＝1，x＝35，经检验是原方程的解，但是x＝35＞20，因此不合题意舍去．答：道路为1m宽．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积．24.在中，AB为直径，C为上一点．如图，过点C作的切线，与AB的延长线相交于点P，若，求的大小；如图，D为的中点，连接OD交AC于点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若，求的大小．【答案】（1）∠P＝34°；（2）∠P＝27°【解析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元） 80 40（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【答案】（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣（200+10x）；（2）第二个月的单价应是70元【解析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；（2）利用“获利9000元”，即销售额-进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．【详解】（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣（200+10x）（2）根据题意，得200×（80﹣50）+（200+10x）×（80﹣x﹣50）+（400﹣10x）（40﹣50）＝9000整理得10x2﹣200x+1000＝0，即x2﹣20x+100＝0，解得x1＝x2＝10当x＝10时，80﹣x＝70＞50答：第二个月的单价应是70元．【点睛】本题考查一元二次方的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价-进价．26.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F 作FG⊥BE于点G．（1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）点E不存在，BE不能与⊙O相切，理由见解析【解析】（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明OF⊥FG即可；（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．【详解】（1）连接OF、EF；∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD，∴四边形ADEF是矩形，∴AF＝DE，∴EC＝BF，∵E是CD的中点，∴F是AB的中点，∴OF∥BE，∵FG⊥BE，∴OF⊥FG，∴FG为⊙O的切线．（2）若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝5﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（9+x2）+[（5﹣x）2+9]＝25，整理得x2﹣5x+9＝0，∵b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0，∴该方程无实数根，∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．本题还要会熟练运用勾股定理作为相等关系列方程求解．27.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB＝60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q 都停止运动，设点P运动的时间为t（s）．（1）对角线AC的长是cm；（2）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；（3）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？【答案】（1）2$\sqrt{3}$；（2）见解析；（3）当t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2时，⊙P与菱形ABCD 的边BC有1个公共点；当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点【解析】（1）连接BD交AC于点O，由菱形的性质可知△AOB为直角三角形且∠OAB=30°，依据特殊锐角三角函数值可求得AO的长，从而得到AC的长；（2）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；（3）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=PC=，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．【详解】（1）连接BD交AC于点O．∵ABCD为菱形，∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，AO＝CO．∴AO＝AB×＝2×＝．∴AC＝2．故答案为：2．（2）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，又∵∠DAB＝60°（已知），∴∠BAC＝∠BCA＝30°；如图1，连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC，∴OB＝AB＝1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴OA＝（cm），AC＝2OA＝2（cm），运动ts后，AP＝ t，AQ＝t，∴= =，又∵∠PAQ＝∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ＝∠ACB（相似三角形的对应角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．在Rt△CPM中，∵∠PCM＝30°，∴PM＝PC＝，由PM＝PQ＝AQ＝t，即＝t解得t＝4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；如图3，⊙P过点B，此时PQ＝PB，∵∠PQB＝∠PAQ+∠APQ＝60°∴△PQB为等边三角形，∴QB＝PQ＝AQ＝t，∴t＝1∴当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．如图4，⊙P过点C，此时PC＝PQ，即2﹣t＝t，∴t＝3﹣．∴当1＜t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，当点P运动到点C，即t＝2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC有一个公共点，∴当t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．【点睛】本题综合考查菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．28.阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形!小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且c＞b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆中点，C、D在直径AB 的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形：②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】（1）真命题，理由见解析；（2）；（3）①见解析；②∠AOC的度数为60°或120°【解析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：；与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果．【详解】（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2＝2a2，∴符合奇异三角形”的定义．∴是真命题；（2）∵∠C＝90°，则a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：；；（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，∵点D是半圆弧ADB的中点，∴弧AD=弧BD，∴AD＝BD，∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴AC2+CB2＝2AD2，又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇异三角形；②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE＝1：或AC：AE：CE＝：：1，当AC：AE：CE＝1：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°；当AC：AE：CE＝：：1时，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°．∴∠AOC的度数为60°或120°．【点睛】本题考查新定义，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．21/ 21。
沪科版九年级上册数学期中考试试题附答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，不属于二次函数的是A ．()()212+--=x x yB ．22)2(--=x x yC ．y=1－322x D ．y=13)1(22-+x 2．抛物线()21y x =-与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(0，1)；B ．(1，0)；C ．(0，-1)；D ．（0，0）．3．下列函数中，在x ＞0时，y 随x 增大而减小的是 A ．y=2x ﹣1B ．y=﹣x 2+7x+C ．y=﹣D ．y=4．对于二次函数y =(x -1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x =-1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点5．如图，已知P 是△ABC 边AB 上的一点，连接CP ，以下条件中条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是( ).A ．∠ACP=∠B B ．∠APC=∠ACBC ．2AC AP AB =⋅D ．AC ABCP BC= 6．已知点A （1，n ）在抛物线223y x x =+-上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为A ． ()0,3-B ． ()2,3--C ． ()3,0-D ．()1,07．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若2AC =，则AD 的长是（ ）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+8．已知二次函数2()y a x m n =-+的图象经过(0,5)、(10,8)两点．若0a <，010m <<， 则m 的值可能是．A ．2B ．8C ．3D ．521cnjy.c9．如图，过点O 作直线与双曲线y=（k≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（ ）A ．S 1=S 2B ．2S 1=S 2C ．3S 1=S 2D ．4S 1=S 210．如图，△ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD=AG ，DG=6，则点F 到BC 的距离为．A ．1B ．2C ．1226D ．626二、填空题 11．若12a b =，则a b b+= ． 12．如图，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，若ABP 的面积为2，则该反比例函数的解析式为______．13．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下：则当5y <时，x 的取值范围是_______． 14．数学老师在小黑板上出道题目:已知二次函数，试添加一个条件，使它与x 轴交点的横坐标之积为2.学生回答：①二次函数与x 轴交点是（1,0）和（2,0）；②二次函数与x 轴交点是（-1,0）和（-2,0）；③二次函数与y 轴交点是（0,2）；④二次函数与y 轴交点是（0,3）． 则你认为学生回答正确的是________（填序号）．15．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD=∠C ，AB=6，AD=4，求线段CD 的长．三、解答题16．将抛物线y=x 2平移，使其在x=t 时取最值t 2，并且经过点（1，1），求平移后抛物线对应的函数表达式。
沪科版数学九年级上册期中考试卷含答案解析
沪科版数学九年级上册期中考试试题一．选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y=C．y=x2+2x﹣3 D．y=2．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y24．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+25．已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．20106．函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：259．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A．B．C．D．1210．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论是（）A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤二．填空题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）11．若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点，则MP的长为．12．若4a﹣3b=0，则=．13．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．15．若抛物线y=x 2﹣kx +k ﹣1的顶点在x 轴上，则k= ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论：①；②点F 是GE 的中点；③AF=AB ；④S △ABC =5S △BDF ，其中正确的结论序号是 ．三、解答题（本大题共6题，满分66分）17．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．18．已知二次函数y=﹣x 2+2x +3（1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象（2）根据图象回答，x 取何值时，y ＞0？（3）根据图象回答，x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？19．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．20．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y （元）．（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？21．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y 与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．22．为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y=C．y=x2+2x﹣3 D．y=【考点】二次函数的定义．【分析】依据二次函数的定义回答即可．【解答】解：A、y=2x﹣1是一次函数，故A错误；B、y=+3自变量的次数是﹣2，故B错误；C、y=x2+2x﹣3是二次函数，故C正确；D、y=是反比例函数，故D错误．故选：C．2．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选A．3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．4．将抛物线y=x2﹣2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣2x﹣1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=x2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：根据题意y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x﹣1+1）2﹣2，y=x2﹣2．故选C．5．已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2010【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由点（m，0）在抛物线y=x2﹣x﹣1上，可得出m2﹣m﹣1=0，将其代入m2﹣m+2016中即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m+2016=m2﹣m﹣1+2017=2017．故选C．6．函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．故选D．7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：25【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE ∽△COA ，根据相似三角形的性质定理得到=， ==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，又S △DOE ：S △COA =1：25，∴=，∵DE ∥AC ，∴==，∴=，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，故选：B ．9．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y=（x ＞0）与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．12【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，设B 点的坐标为（a ，b ），∵BD=3AD ，∴D （，b ），∵点D ，E 在反比例函数的图象上，∴=k ，∴E （a ，），∵S △ODE =S 矩形OCBA ﹣S △AOD ﹣S △OCE ﹣S △BDE =ab ﹣﹣﹣•（b ﹣）=9，∴k=，故选C ．10．如图是抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a ﹣b +c ＞0；②3a +b=0；③b 2=4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．③④⑤D ．②③⑤【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y ＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n ﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a ，∴3a +b=3a ﹣2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴=n ，∴b 2=4ac ﹣4an=4a （c ﹣n ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选B ．二．填空题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）11．若线段MN 的长为1，P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长为 或．【考点】黄金分割．【分析】分MP ＞NP 和MP ＜NP 两种情况，根据黄金比值是进行计算即可．【解答】解：当MP ＞NP 时，MP=，当MP ＜NP 时，MP=1﹣=，故答案为：或．12．若4a ﹣3b=0，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据4a ﹣3b=0整理得4a=3b ，将分子与分母同乘以4即可得到答案．【解答】解：∵4a ﹣3b=0， ∴4a=3b ，∴====，故答案为．13．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是 2：3 ． 【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3， ∴两个相似三角形相似比是2：3， 故答案为：2：3．14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 2 米．【考点】二次函数的应用．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，故答案为：2米．15．若抛物线y=x2﹣kx+k﹣1的顶点在x轴上，则k=2．【考点】二次函数的性质．【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．【解答】解：根据题意得=0，解得k=2．故答案为：2．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B 作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F 是GE 的中点；③AF=AB ；④S △ABC =5S △BDF ，其中正确的结论序号是 ①③ ．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】首先根据题意易证得△AFG ∽△CFB ，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC ，继而证得正确；由点D 是AB 的中点，易证得BC=2BD ，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD ，即可得AG=AB ，继而可得FG=BF ；即可得AF=AC ，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB ，即可求得AF=AB ；则可得S △ABC =6S △BDF ．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC=90°， ∴AB ⊥BC ，AG ⊥AB ， ∴AG ∥BC ，∴△AFG ∽△CFB ，∴，∵BA=BC ，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG ⊥CD ，∴∠DBE +∠BDE=∠BDE +∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD ， 在△ABG 和△BCD 中，故△ABG ≌△BCD （ASA ）， 则AG=BD ，∵AB=CB ，点D 是AB 的中点，∴BD=AB=CB ，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC =6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6题，满分66分）17．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3（1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象（2）根据图象回答，x取何值时，y＞0？（3）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．【分析】（1）列表，描点，连线，画出抛物线；（2）（3）根据图象回答问题即可．（2）当﹣1＜x＜3时，y＞0；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．19．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式，再将点A的坐标代入其内求出n值，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）设一次函数图象与y轴交于点C，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2=的图象交于A （﹣2，n ），B （1，﹣3）两点，∴将B （1，﹣3）代入反比例函数y 2=，得：﹣3=，解得：m=﹣3，∴反比例函数为y 2=﹣．将A （﹣2，n ）代入反比例函数y 2=﹣，得：n=，即A （﹣2，），将A （﹣2，）、B （1，﹣3）代入一次函数y 1=kx +b ，得：，解得：，∴一次函数为y 1=﹣x ﹣．（2）如图，设一次函数图象与y 轴交于点C ，当x=0时，y=﹣，∴C （0，﹣），∴S △AOB =S △AOC +S △COB =××[1﹣（﹣2）]=××3=．20．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=﹣2x +80．设这种产品每天的销售利润为y （元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，自变量x 的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据数量乘以单位的利润，等于总利润，可得答案；（2）根据二次函数的性质，可的大啊俺．【解答】解：（1）y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，则y=﹣2x2+120x﹣1600．由题意，有，解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；21．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y 与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，证出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在证出△CDE∽△CAD，即可得出结果；（2）证出△BDF∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出y与x的函数关系式；（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出，证出，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．【解答】解：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：∵AB=AC，D为底边BC的中点，∴∠B=∠C，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△ACD，∵∠PDQ=∠B，∴∠PDQ=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；∵∠CDE+∠PDQ=90°，∴∠C+∠PDQ=90°，∴∠CED=90°=∠ADC，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，∠FDC=∠FDE+∠EDC，∴∠EDC=∠BDF，∴△BDF∽△CDE，∴，∵D为BC的中点，∴BD=CD=6，∴∴y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：由（2）可知：△BDF∽△CDE，则，∵BD=CD，∴，又∵∠EDF=∠C，∴△DEF∽△CED．22．为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（7，3.2），设解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，再将点C坐标代入即可求得；（2）由（1）中解析式求得x=9.5时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x=9时，y＞2.43且x=18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【解答】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+3.2，将点C（0，1.8）代入，得：49a+3.2=1.8，解得：a=﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣（x﹣7）2+；（2）由题意当x=9.5时，y=﹣（9.5﹣7）2+≈3.02＜3.1，故这次她可以拦网成功；（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣7）2+h，将点C（0，1.8）代入，得：49a+h=1.8，即a=，∴此时抛物线解析式为y=（x﹣7）2+h，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题含答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ）A ．22y a x =B ．y =C ．21y x =D ．218y x =2．已知x:y=5:2，则下列各式中不正确的是（ ） A ．72x y y += B ．53x y x =- C ．57x x y =+ D ．32x y y -= 3．如果反比例函数y ＝1k x-的图象经过点(－1，－2)，则k 的值是 ( ) A ．2B ．－2C ．－3D ．34．如果抛物线y=-(x-1)2经过平移可以与抛物线y=-x 2重合，那么这个平移是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位5．已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线y=2x 2﹣与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ．如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．10C ．152D ．5 8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c ＜0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若HFDF＝2，则HFBG的值为（）A．23B．712C．12D．51210．如图,边长为4的正方形ABCD边上的动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当点P到B点时,P,Q两点同时停止运动.设P点的运动时间为t,△APQ的面积为S,则S与t 的函数关系式的图象是()A．B．C．D．二、填空题11．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为 __________．13．如图，在△AOB 中，∠AOB =90°，点A 的坐标为（2，1），BO =反比例函数y x=的图象经过点B ，则k 的值为________．14．已知抛物线2:p y ax bx c =++的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为'C ，我们称以A 为顶点且过点'C ，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线'AC 为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是221y x x =++和22y x =+，则这条抛物线的解析式为________．三、解答题 15．若578a b c==，且3a-2b+c=3，求2a+4b-3c 的值．16．如图，已知抛物线y=ax 2+bx －3的对称轴为直线x=1，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点的坐标为(3，0)． (1)直接写出A 点的坐标；(2)求二次函数y=ax 2+bx －3的解析式．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．18．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．19．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.(1)求证：△CAE ∽△CBF ； (2)若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．20．已知，二次函数2(y ax bx c a =++≠0)的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）． ①求这个二次函数的解析式；②已知抛物线211111(y a x b x c a =++≠0)，222222(y a x b x c a =++≠0)，且满足111222(a b c k k a b c ===≠0，1)，则我们称抛物线12与y y 互为“友好抛物线”，请写出当12k =-时第①小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这“友好抛物线”的顶点坐标．21．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点．（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积； （3）请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．22．九年级数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天（1≤x≤90，且x 为整数）的售价y （单位：元/件）与时间x （单位：天）的函数关系式为y=40(050,90(5090,x x x x x +≤≤⎧⎨<≤⎩且为整数）且为整数）；在第x 天的销售量p （单位：件）与时间x （单位：天）的函数关系的相关信息如下表．已知商品的进价为30元/件，每天的销售利润为w （单位：元）．（1）求出w 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？23．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y=x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．D【解析】根据二次函数的定义判定即可．解：A、D、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误；B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、y=x2，是二次函数，正确；故选D．2．B【解析】试题解析：A、由合比性质得，72x yy+=，故A正确；B、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质得35y xx-=-，再由反比性质得53xy x=--，故B错误；C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质得75y xx+=，再由反比性质得57xy x=+，故C正确；D、由分比性质，得32y xy-=，故D正确；故选B．考点：比例的性质．3．D【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．【详解】根据题意，得-2=11k，即2=k-1，解得，k=3．故选D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．4．C【解析】根据抛物线顶点的平移可得抛物线是如何平移的．解：∵抛物线y=-（x-1）2的顶点为（1，0）；抛物线y=-x2的顶点为（0，0）；从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，∴抛物线也是如此平移的．故选C．“点睛”本题考查抛物线的平移；用到的知识点为：抛物线的平移要看顶点的平移；只横坐标改变是左右平移．5．D【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【详解】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=12ah，即2sha=；该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选D．【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数kyx=的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．6．C【解析】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数．解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个．故选C．7．D【解析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．故选D．“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．8．C【解析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选C．9．B【分析】设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得1,2HD DF HFAB AF FB===求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得1.53,24HG HD aGB EB a===求出BG即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴1,2 HD DF HFAB AF FB===∴HD=1.5a，1,3 FHBH=∴FH=13 BH，∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.53,24 HG HD aGB BE a===∴4,7 BGHB=∴4,7BG HB=∴173.4127BHHFBG BH==故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．10．D【解析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP=t，QB=2t，故可得S=AP•QB=t2，函数图象为抛物线；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP=t，△APQ底边AP上的高维持不变，为正方形的边长4，故可得S=AP×4=2t，函数图象为一次函数．综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．故选D．“点睛”此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求解，注意在第二段时，△APQ 底边AP上的高维持不变，难度一般．11．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．12．-1．【解析】二次函数的图象具有对称性，从函数值了看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．解：根据图表可以得到，点（-2，7）与（4，7）是对称点，点（-1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x=1，∴横坐标是2的点与（0，-1）是对称点，∴m=-1．13．﹣8．【解析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k 的值．解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△DBO ∽△COA ，∴，∵点A 的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO==， ∴，即BD=4，DO=2，∴B （﹣2，4），∵反比例函数y=的图象经过点B ，∴k 的值为﹣2×4=﹣8． 故答案为：﹣8． 14．223y x x =--【分析】先求出y=x 2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x 2+2x+1的顶点A 坐标（-1，0），接着利用点C 和点C′关于x 轴对称得到C （1，-4），则可设顶点式y=a （x-1）2-4，然后把A 点坐标代入求出a 的值即可得到原抛物线解析式．【详解】∵y=x 2+2x+1=(x+1)2，∴A 点坐标为(−1,0)，解方程组22122y x x y x ⎧=++⎨=+⎩得10x y =-⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点C′的坐标为(1,4)，∵点C 和点C′关于x 轴对称，∴C(1,−4)，设原抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，把A(−1,0)代入得4a−4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x 2−2x−3.故答案为y=x 2−2x−3.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与运算.15．143． 【解析】先设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，而3a-2b+c=3，那么15k-14k+8k=3，易求k ，进而可求a 、b 、c 的值，从而易求2a+4b-3c 的值．解：设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3，得k=，即a=，b=，c=，所以2a+4b-3c=．16．（1）（－1，0）；（2）223y x x =--【分析】（1）由抛物线y=ax 2+bx-3的对称轴为直线x=1，交x 轴于A 、B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得A 点的坐标；（2）利用待定系数法，将A （-1，0）、B （3，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx-3，即可求得二次函数y=ax 2+bx-3的解析式.【详解】（1）∵抛物线23y ax bx =+-对称轴为直线1x =，交x 轴于A 、B 两点，其中B 点坐标为（3，0），∴A 点横坐标为：1312-=-， ∴A 点坐标为：（－1，0）（2）将A （－1，0），B （3，0）代入23y ax bx =+-得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩故抛物线解析式为：223y x x =--考点：1．待定系数法，2．二次函数的解析式17．（1）见解析（2）11.【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴1．18．（1）y=﹣x﹣1；（2）x＜﹣4或x＞﹣1．【解析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出太阳还是解析式．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x＜﹣4或x＞﹣1．19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）首先由△ABC 和△CEF 均为等腰三角形可得AC CE BC CF==∠ACE=∠BCF ；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE ∽△CBF ；（2）首先根据△CAE ∽△CBF ，判断出∠CAE=∠CBF ，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt △BEF 中，根据勾股定理，求出EF 的长度，再根据CE 、EF 的关系，求出CE 的长是多少即可.【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，∴AC CE BC CF==∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ，∴△CAE ∽△CBF ；（2）∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，AE AC BF BC ==又∵AE AC BF BC==AE=2∴2BF=∴又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，∴EF 2=BE 2+BF 2=12+2=3，∴∵CE 2=2EF 2=6，∴【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．20．（1）228y x x =-++；（2）（1，-18）或（1，92-）【解析】（1）先把三个点的坐标的人y=ax2+bx+c=0（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c 的值；（2）根据图中的定义得到===-或===-，则可得到友好抛物线的解析式是：y=2x2-4x-16或y=x2-x-4，然后分别配成顶点式，则可得到它们的顶点坐标. 解：（1）根据题意，得可以解得，∴这个抛物线的解析式是．（2）根据题意，得或解得a2=2，b2=-4，c2=-16或a1=，b1=-1，c1=-4，,友好抛物线的解析式是：y=2x2-4x-16或y=x2-x-4，∴它的顶点坐标是（1，-18）或（1，）“点睛”二次函数是初中数学的一个重要内容之一，其中解析式的确定一般都采用待定系数法求解，但是要求学生根据给出的已知条件的不同，要能够恰当地选取合适的二次函数解析式的形式，选择得当则解题简捷，若选择不得当，就会增加解题的难度．21．（1）k1=8，k2=2，b=6；（2）15；（3）-4≤x＜0或x≥1【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数的解析式，可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）先求出一次函数图像与y轴的交点坐标，再将△AOB的面积分成两个小三角形面积分别求解即可；（3）根据两函数图像的上下位置关系即可得出不等式的解集.【详解】解：（1）∵反比例函数y=1k x与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （-4，m ）， ∴k 1=1×8=8，m=8÷（-4）=-2，∴点B 的坐标为（-4，-2）．将A （1，8）、B （-4，-2）代入y 2=k 2x+b 中， 22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩． ∴k 1=8，k 2=2，b=6．（2）当x=0时，y 2=2x+6=6，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，6）．∴S △AOB =12×6×4+12×6×1=15． （3）观察函数图象可知：当-4＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴不等式12k k x≤x+b 的解为-4≤x ＜0或x≥1． 22．（1）w=()()221802000050,12012005090,x x x x x x x 且为整数且为整数⎧-++≤≤⎪⎨-+<≤⎪⎩；（2）6050元；（3）5600元． 【解析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于5600，一次函数值大于或等于56000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．解：（1）设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p=mx+n∵p=mx+n 过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x 为整数），当0≤x≤50时，w=（y ﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x 2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w=．（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x 2+180x+2000=﹣2（x ﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45时，w 取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w 随x 增大而减小，∴当x=50时，w 取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w 最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x 2+180x+2000≥5600，即﹣2x 2+180x ﹣3600≥0，解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x 为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．23．（1）B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）△ABC 是直角三角形；（3）（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【解析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D 、E 两点，结合A 、B 、C 三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N 点的坐标．解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，①当时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．“点睛”本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1． 将抛物线y=x 2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是 A ．y=x 2-2x-1B ．y=x 2+2x-1C ．y=x 2-2D ．y=x 2+2 2．若x y ＝23，则下列各式不成立的是（ ） A ．x y y +＝53 B ．y x y -＝13 C ．2x y ＝13 D ．11x y ++＝343．如图，已知一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝k x 图象交于M 、N 两点，则不等式ax+b ＞k x解集为( )A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜2D ．x ＞24．如图，已知D 、E 分别是ABC 的AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，且:ADE S S △四边形DBCE =1:8，那么:AE AC 等于（ ）A ．1:9B ．1:3C ．1:D ．1:85．如图，A 为反比例函数k y x=图象上一点，AB 垂直于x 轴于点B ，若3AOB S =△，则k 的值为（ ）A ．6-B ．3-C ．32-D ．不能确定6．已知()1A 1,y ，()2B y ，()3C 2,y -在函数21y 2(x 1)2=+-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 3>y 1>y 2D ．y 2>y 1>y 3 7．在三角形纸片ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y a b x-=在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为1x =；③当1x <时，函数值y 随x的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4；⑤若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，则123x x +=．其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，BC 6=，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q.BP x =，CQ y =，那么y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．B ．C ．D ．二、填空题11．已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =__________时，它是二次函数．12．如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是__________m ．14．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4AC =，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，沿直线EF 将B 折叠，使点B 恰好落在AC 上的D 处，当ADE 恰好为直角三角形时，BE 的长为__________．三、解答题15．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x+6．(1)用配方法求出函数的顶点坐标；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．16．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，求井深BD．17．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？18．如图，一次函数y1＝﹣x+5与反比例函数y2＝kx的图象交于A(1，m)、B(4，n)两点．(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ，(1)求证：△ADF ∽△DEC(2)若AB ＝4,AD ＝＝3,求AF 的长.20．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．(1)求抛物线y ＝x 2﹣2x+2与x 轴的“和谐值”；(2)求抛物线y ＝x 2﹣2x+2与直线y ＝x ﹣1的“和谐值”．21．如图在锐角ABC 中，6BC =，高4=AD ，两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动（不包含端点），且MN BC ，以MN 为边长向下作正方形MPQN ，设MN x =，正方形MPQN 与ABC 公共部分的面积为y ．（1）如图（1），当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时，求x 的值．（2）如图（2），当PQ 落ABC 外部时，求出y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）并求出x 为何值时y 最大，最大是多少？22．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？BC=，点M在BC上，连接AM点N在直线AD 23．如图，矩形ABCD中，3AB=，2∠=∠，MN交CD于点E．上，且AMN AMB（1）求证：AMN是等腰三角形；（2）求证：22=⋅；AM BM AN（3）当M为BC中点时，求ME的长．参考答案1．C【分析】抛物线y=x2-2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【详解】解：根据题意y=x2-2x+1=（x-1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x-1+1）2-2，y=x2-2．故选：C．【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．2．D【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】：∵23xy=，∴设x＝2k，y＝3k，A.23533x y k ky k++==，正确，故本选项错误；B.32133y x k ky k--==，正确，故本选项错误；C.212233x ky k==⋅，正确，故本选项错误；D.12131314x ky k++=≠++，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便．3．A【分析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＞2或﹣1＜x ＜0时，ax+b ＞xk ． 故选A ．【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键． 4．B【分析】根据DE ∥BC ，可以得到△ADE ∽△ABC ，通过S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，可以得到△ADE 与△ABC 的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，∴S △ADE ：S △ABC =1：9，∴AE ：AC=1：3．故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键．5．A【分析】先设出A 点的坐标，由△AOB 的面积可求出xy 的值，即xy=-6，即可写出反比例函数的解析式．【详解】解：设A 点坐标为A （x ，y ），由图可知A 点在第二象限，∴x ＜0，y ＞0，又∵AB ⊥x 轴，∴|AB|=y ，|OB|=|x|，∴S△AOB=12×|AB|×|OB|=12×y×|x|=3，∴-xy=6，∴k=-6故选A．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6．B【分析】利用函数的对称性将A、B、C三个点放在对称轴同侧，利用函数增减性进行比较.【详解】解：由题可知抛物线对称轴为x=-1，则A点关于对称轴的对称点为（-3，1y），由于抛物线开口向上，则当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小，故y1>y3>y2.故选择B.【点睛】本题考察了运用二次函数对称性比较函数值大小.7．D【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A．44182AB==，对应边631842ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．338AB=，对应边633848ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．22163AC==，对应边631843ACAB==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D．22142BC==，对应边411822BCAB===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选D．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．8．A【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a-b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．【详解】图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限，∴a＞0、b＞0，∵y=0时，x=-ba，即直线y=ax+b与x轴的交点为（-ba，0）由图A、B的直线和x轴的交点知：-ba＞-1，即b＜a，所以b-a＜0，∴a-b＞0，此时双曲线在第一、三象限，故选项B不成立，选项A正确；图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限，∴a＜0，b＞0，此时a-b＜0，双曲线位于第二、四象限，故选项C、D均不成立；故选A．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便．9．C【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜32时，y随x的增大而增大，当x＞32时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，得到123=22x x +，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可知，由表格可知，x=0和x=3时，函数值y 都是1，∴抛物线的对称轴为直线x=033=22+， 当x=32时，二次函数y=ax 2+bx+c 取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确，②错误； 当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，故③正确， 方程ax 2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于3，小于4，故④错误， 若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则123=22x x +， ∴x 1+x 2=3，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．10．D【详解】试题解析：设BP =x ，CQ =y ，则AP 2=42+x 2，PQ 2=（6-x ）2+y 2，AQ 2=（4-y ）2+62； ∵△APQ 为直角三角形，∴AP 2+PQ 2=AQ 2，即42+x 2+（6-x ）2+y 2=（4-y ）2+62，化简得：y =−14x 2+32x 整理得：y=−14(x −3)2+94 根据函数关系式可看出D 中的函数图象与之对应．故选D ．【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理．11．1-【分析】根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可．【详解】解：∵y=（m-1）x m2+1是二次函数，∴m 2+1=2，∴m=-1或m=1（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0． 12．6【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt △EDC ∽Rt △FDC ，进而可得ED DC DC FD=；即DC 2=ED?FD ，代入数据可得答案．【详解】根据题意，作△EFC ，树高为CD ，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt △EDC ∽Rt △DCF ， 有ED DC DC FD=，即DC 2=ED×FD ， 代入数据可得DC 2=36，DC=6，故答案为6．13．10【分析】令y =0解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y =0时，212501233x x -++= 解得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10m ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．14．158或157 【分析】先在Rt △ABC 中利用勾股定理求出AC=6cm ，再根据折叠的性质得到BE=DE ，直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，△ADE 恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE=90°，②∠AED=90°，设BE=x ，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=3．直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时， 根据折叠的性质：BE=DE设BE=x ，则DE=x ，AE=10-x①当∠ADE=90°时，则DE ∥BC ， ∴=DE AE CB AB， ∴5=35x x -， 解得：15=8x ， ②当∠AED=90°时，则△AED ∽△ACB ， ∴=DE AE BC AC， ∴5=34x x -， 解得：x=157， 故所求BE 的长度为：158或157.故答案为：158或157.【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键．15．(1)(﹣1，8)；(2)将抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标为(4，0)．【分析】（1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，从而求出顶点坐标；（2）根据二次函数的与x 轴的交点坐标确定如何平移后经过原点；【详解】解：(1)∵y ＝﹣2x 2﹣4x+6∴222(211)62(1)8y x x x =-++-+=-++∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，8)；(2)当y ＝0时，﹣2(x+1)2+8＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣3，抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x+6与x 轴的交点坐标为(1，0)，(﹣3，0)，所以将抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点， 平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标为(4，0)．【点睛】 本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数的平移，掌握配方法的方法2222224()()()2224b b b b ac b y ax bx c a x x c a x a a a a a -⎡⎤=++=++-+=++⎢⎥⎣⎦ 是解题关键. 16．BD ＝57.5尺．【分析】根据相似三角形的性质求得AD 的长度，进而求解.【详解】解：依题意可得：CB∥ED ∴△ABF∽△ADE，∴AB BF AD DE=，即50.45 AD=，解得：AD＝62.5，BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．【点睛】掌握相似三角形对应边成比例是本题的解题关键.17．(1)抛物线解析式为y＝﹣425x2+85x；(2)货船能从桥下通过．【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）由抛物线对称轴直线x=5分析，船宽2米时，计算x=6是函数值是否大于3即可求解.【详解】(1)根据题意，得抛物线的顶点坐标为(5，4)，经过(0，0)，∴设：抛物线解析式为y＝a(x﹣5)2+4，把(0，0)代入，得25a+4＝0，解得a＝4 25 -，所以抛物线解析式为：y＝425-(x﹣5)2+4＝425-x2+85x．(2)货船能从桥下通过．理由如下：由（1）可知，抛物线对称轴为直线x=5,又∵货船宽为2米，高为3米，∴当x＝6时，y＝425(6﹣5)2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，及二次函数的实际应用，根据二次函数对称轴及船宽，求当x=6时的函数值是解题关键.18．(1)A点坐标为(1，4)，B点坐标为(4，1)，反比例函数解析式为y2＝4x；(2)7.5.【分析】（1）将A,B两点坐标代入一次函数解析式求解，然后用待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）设一次函数图象与x轴交于点C，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求解.【详解】(1)分别把A(1，m)、B(4，n)代入y1＝﹣x+5，得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，所以A点坐标为(1，4)，B点坐标为(4，1)，把A(1，4)代入y2＝kx，得k＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y2＝4x；(2)如图，设一次函数图象与x轴交于点C，当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为(5，0)，所以S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝12×5×4﹣12×5×1＝7.5．【点睛】掌握待定系数法求函数解析式及三角形面积公式，数形结合的思想解题是本题的解题关键.19．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6== ∵△ADF ∽△DEC∴AD AF DE CD =∴64AF =∴AF=20．(1)抛物线y ＝x 2﹣2x+2与x 轴的“和谐值”为1；(2)抛物线y ＝x 2﹣2x+3与直线y ＝x ﹣1的“和谐值”为34． 【分析】（1）根据题意将抛物线化成顶点式，找到函数最值即可求解；（2）取P 点为抛物线y ＝x 2﹣2x+2任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x ﹣1于Q ，分析PQ 的长度，得到二次函数解析式，求其顶点坐标即可.【详解】(1)∵y ＝(x ﹣1)2+1，∴抛物线上的点到x 轴的最短距离为1，∴抛物线y ＝x 2﹣2x+2与x 轴的“和谐值”为1；(2)如图，P 点为抛物线y ＝x 2﹣2x+2任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x ﹣1于Q ， 设P(t ，t 2﹣2t+2)，则Q(t ，t ﹣1)，∴PQ ＝t 2﹣2t+2﹣(t ﹣1)＝t 2﹣3t+3＝(t ﹣32)2+34， 当t ＝32时，PQ 有最小值，最小值为34， ∴抛物线y ＝x 2﹣2x+3与直线y ＝x ﹣1的“和谐值”为34．【点睛】充分理解题意“和谐值”的含义即函数最值的绝对值是本题的解题关键.21．（1）当125x =时正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上；（2）()224 2.463y x x x =-+<<，当3x =时，y 最大6= 【分析】（1）因为正方形的位置在变化，但是△AMN ∽△ABC 没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式即可．（2）用含x 的式子表示矩形MEFN 边长，从而求出面积的表达式．【详解】解：（1）设AD 与MN 相交于点H ，∵MN BC ，∴AMN ABC △∽△， ∴AHMN AD BC =，即446xx-=， 解得，125x =， 当125x =时正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上；（2）设MP 、NQ 分别与BC 相交于点E 、F ， 设D a =，则4A a =-，由∴AH MN AD BC =，即46a xx -=， 解得，243a x =-+，∵矩形MEFN 的面积MN HD =⨯， ∴()22244 2.4633y x x x x x =-+=⎛⎫ ⎪⎭+<⎝-<()22363y x =--+∴当3x =时，y 最大6=.本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度．22．（1）、y=2100(010x ){3130(1030,x )x x x x ≤≤-+≤，且为整数且为整数；（2）、22件.【详解】试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可． 试题解析：（1）2300200100(010,){[3003(10)200]3130(1030,)x x x x x y x x x x x -=≤≤=---=-+≤且为整数＜且为整数， （2）在0≤x≤10时，y=100x ，当x=10时，y 有最大值1000；在10＜x≤30时，y=-3x 2+130x ，当x=2123时，y 取得最大值， ∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y 有最大值1408．∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．考点：二次函数的应用．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）54ME =【分析】（1）由矩形的性质得出AD ∥BC ，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA ，由已知∠AMN=∠AMB ，得出∠AMN=∠NAM ，即可得出结论；（2）由矩形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC=2，AB=CD=3，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA ，作NH ⊥AM 于H ，由等腰三角形的性质得出AH=12AM ，证明△NAH ∽△AMB ，得出=AN AH AM BM ，即可得出结论； （3）求出BM=CM=12BC=12×2=1，由（2）得AM 2=2BM•AN ，得出AM 2=2AN ，由勾股定理得出AM 2=AB 2+BM 2=10，求出AN=5，得出DN=AN-AD=3，设DE=x ，则CE=3-x ，证明△DNE ∽△CME ，得出=DN DE CM CE ，求出DE=94，得出CE=DC-DE=34，再由勾股定理即可得出答案．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴NAM BMA ∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，∴AMN NAM ∠=∠，∴AN MN =，即AMN 是等腰三角形；（2）解：作NH AM ⊥于H ，∵AN MN =，NH AM ⊥， ∴12AH AM =，∵90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，∴NAH AMB △∽△， ∴ANAHAM BM =， ∴212AN BM AH AM AM ⋅=⋅=∴22AM BM AN =⋅（3）解:∵M 为BC 中点， ∴112BM CM BC ===，由（2）得，22AM BM AN =⋅，∵2223110AM =+=，∴5AN =，∴523DN =-=，设DE x =，则3CE x =-，∵AN BC ， ∴DNDECM CE =，即313xx =-， 解得，94x =，即94DE =， ∴34CE =，∴54ME =．【点睛】本题是相似形综合题目，考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质和矩形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，证明三角形相似是解题的关键．。