高等数学第七章重积分第九章 重积分

解：BC的方程 x+y=2
B(1,1)
D内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
所以 ln(x y)d [ln(x y)]2d
D
D
A(1,0) B(2,0)
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性质6（估值定理） 设在D上f(x,y)的最大值为M，最
小值为m，A为D的面积，即
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2）近似： 每个个小区域 i 内任取一点 (i ,i ), 则每个小曲顶柱体的体积近似为：
Vi f (i ,i ). i
3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体
积之和为 n
n
Vi f (i ,i ) i
i 1
i 1
4）取极限：
n
V lim 0 i1
3）作和 4）取极限
n
ri ,i i
i 1
n
M

Lim
0
i 1
r
i ,i
i
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二 二重积分的定义
(definition of double integral)
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
1d d 为D 之面积
D
D
（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于
柱体的底面积。）
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性质5 若在D上，f ( x, y) g( x, y), 则：
f ( x, y)d g( x, y)d ,
D
D
特别地，
f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D
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四 小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质
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五 思考判断题
设D为平面有界闭区域，f ( x, y)与g( x, y)都 在 D上 连 续 ， 且g( x, y)在D上不变号，可否找到某点
（，）, 使 得
为曲顶柱体的体积。
D
2）如果 f x, y 0, 则二重积分 f x, yd 解释
为曲顶柱体体积的负值。
D
3）如果 f x, y既有正又有负则, 二重积分 f x, yd
D
解释为曲顶柱体体积的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）。
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
nHale Waihona Puke 并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
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D
其 中D是 矩形 闭区 域0： x 1,0 y 2
解： f ( x, y) x y
在D内的最大值为4，最小值为1 区域D的面积为2 所以由性质6得
2 (x y 1)d 8
D
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性质7(中值定理) 设函数f ( x, y)在闭区域
D连续，为之面积,则在D上至少存在一点 ( , )
D
D
D
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性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲 线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积 分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.
例如 D D1 D2 ,则
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
性质4 如果在D上 f (x, y) 1
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如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d

lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D
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例1 比较下列积分的大小：
1） (x y)2 d 与 (x y)3d
D
D
其中D:(x 2)2 ( y 1)2 2
解：在区域 D内，显然有
y
x y 1, 故在D内 x y 1
m f ( x) M 则 mA f ( x, y)d MA
D
证明： 因为 m f ( x) M
由性质5
md f (x, y)d Md
D
D
D
所以
mA f ( x, y)d MA
D
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例2 I ( x y 1)d ,
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直角坐标系下面积元素 d 图示 f x, yd
d dxdy,
D
y
f ( x, y)dxdy
D
D yk
i
0
x j
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x
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2 存在性：当 f (x, y) 在闭区域D上连续时，函数 f (x, y)
在D上的二重积分必定存在。以后总假定 f (x, y) 在D 上
D
( x y)2 ( x y)3
(0,1)
.
(x y)2d (x y)3d 0 (1,0)
D
D
(3,0) x
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2） ln(x y)d 与 [ln(x y)]2d,其中区域 D为
D
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
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注： 1 在二重积分定义中，对区域D的划 分是任意的，故 如果在直角坐标系中用平
行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含，
边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域
都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 i
的边长为 x j 和 yk ,
则
i x jyk
故在直角坐标系中，
第九章 重积分
(Double and iterated integrals)
一元函数定积分是求与定义在某一区 间上的函数有关的某种总量的数学模型， 作为推广，二元函数的二重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型，三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型，这些模型的数学结构 相同，都是和式的极限。
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第一节 二重积分的概念及性质
（Conception and property of double integral)
一 问题的提出 二 二重积分的定义 三 二重积分的性质 四 小结与思考判断题
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一 问题的提出
1 曲顶柱体的体积
一曲顶柱体其顶为曲面 z f ( x, y)底面为平
使得：
f x, yd f (,).
D
证明：由性质6得，
m

1


D
f
( x,
y)d

M
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根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少
存在一点 ( ,),
使得
f
( ,)

1


D
f
(x,
y)d
即
f (x, y)d f ( ,)
的二重积分是存在的。
3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数 f (x, y)
在D上的二重积分 V f (x, y)d ,
D
平面薄片的质量是面密度 (x, y) 在薄片所占闭区域D上的
二重积分：M (x, y)d.
D
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4 二重积分的几何意义：
1）如果 f x, y 0, 则二重积分 f x, yd 解释
f ( x, y)g( x, y)dxdy f（，) g( x, y)dxdy
D
D
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三 二重积分的性质
(Property of double integral)
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重 积分号的外面，即：
kf x, yd k f x, yd
D
D
性质2 函数的和（或差）的二重积分等于 各个函数的二重积分的和（或差）。
f x, y gx, yd f x, yd gx, yd
f
i ,i
i
其中


max
1in

的直径
i
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2 平面薄片的质量
设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点
（ x , y )处的密度为 r( x, y)
求：此薄片的质量
1) 区域D可分割成n个小区域：
1， 2， i , , n
2）取点 i ,i i
面区域 D,求此曲顶柱体的体积。
解：对区域D进行网状分割（如图）
1) 区域D可分割成n个小区域：
1， 2， i , , n
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