上海市曹杨二中2019-2020学年上学期高二期末考试数学试题(简答)

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2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题(解析)

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（） A ．()2,3,3 B ．()3,7,4 C ．()1,7,1-- D ．()2,0,1-【答案】D【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D2．实数m n ≠且2sin cos 10m m θθ-+=，2sin cos 10n n θθ-+=，则连接()2,m m ，()2,n n两点的直线与圆C ：221x y +=的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定【答案】B【解析】由题意知，m ，n 是方程2sin cos 10x x θθ-+=的根,再根据两点式求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解. 【详解】由题意知，m ，n 是方程2sin cos 10x x θθ-+=的根，cos sin m n θθ∴+=，1sin mn θ=m n ≠，∴过()2,m m ，()2,n n 两点的直线方程为：222y n x nm n m n--=--，()0m n x y mn ∴+--=∴圆心()0,0到直线的距离为：()211mnd m n ==++，故直线和圆相切，故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题. 3．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①0.03a =；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[)25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出a ，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3.【详解】(0.020.040.060.040.01)510.03a a +++++⨯=⇒=，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为(0.02 2.50.047.50.0612.50.0417.50.0322.50.0127.5)513.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[)25,30三组内的学生的比例为4:3:1，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3838⨯=，故③正确.故选：B.4．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m ，n ，记t m n =+，则下列说法正确的是（） A ．事件“12t =”的概率为121B ．事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C ．事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D ．事件“8t >且32mn <”的概率为14【答案】D【分析】计算出事件“t ＝12”的概率可判断A ；根据对立事件的概念，可判断B ；根据互斥事件的概念，可判断C ；计算出事件“t ＞8且mn ＜32”的概率可判断D ；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m ，n ，则共有6636⨯=个基本事件，记t ＝m ＋n ，则事件“t ＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t ＝12”的概率为136，故A 错误；事件“t 是奇数”与“m ＝n ”为互斥不对立事件,如事件m =3,n =5，故B 错误；事件“t ＝2”与“t ≠3”不是互斥事件，故C 错误；事件“t ＞8且mn ＜32”有344555666,,,,,,,,656456345m m m m m m m m m n n n n n n n n n =========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩共9个基本事件，故事件“t ＞8且mn ＜32”的概率为14，故D 正确；故选：D ．二、填空题5y 10-+=的倾斜角为______．【答案】3π 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ= 又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为Ak B=-，且tan θk ，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．6．数据：1，1，3，4，6的方差是______. 【答案】1853.6 【分析】先计算平均数，再计算方差. 【详解】该组数据的平均数为1134635++++=，方差为()222221182201355++++=故答案为：1857．已知三角形OAB 顶点()0,0O ，()2,4A ，()3,6B -，则过B 点的中线长为______.【答案】【分析】先求出OA 中点坐标，再由距离公式得出过B 点的中线长. 【详解】由中点坐标公式可得OA 中点()1,2C ，则过B 点的中线长为BC ==故答案为：8．用一个平面去截半径为5cm 的球，截面面积是29πcm .则球心到截面的距离为_______．【答案】4cm【分析】根据圆的面积公式算出截面圆的半径3r cm =，利用球的截面圆性质与勾股定理算出球心到截面的距离．【详解】解：设截面圆的半径为r ，截面的面积是29cm π，29r ππ∴=，可得3r cm =．又球的半径为5cm ，∴根据球的截面圆性质，可得截面到球心的距离为4d cm =．故答案为：4cm ．【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质、勾股定理等知识，考查了空间想象能力，属于基础题．9．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为______. 【答案】2【分析】利用垂径定理计算即可. 【详解】设圆的半径为r ，则2222112222r ⎛⎫⎛+-⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2r =. 故答案为：2.10．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【答案】64【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得3132222O A ''=⨯⨯=则132622224A B C S '''=⨯⨯⨯=故答案为：64. 11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()21x f x x =-+，则当0x <时()f x =___________.【答案】()21x f x x -=+-【分析】当0x <时，利用0x ->及()()f x f x =--求得函数的解析式. 【详解】当0x <时，0x ->，由于函数是奇函数，故()()2121x xf x f x x x --⎡⎤=--=---+=+-⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及y 轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.12．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.【答案】26【分析】先由极差以及平均数得出,x y ，进而得出中位数.【详解】由34632-<可得，30632x +-=，8x =，因为乙得分的平均值为24，所以122031131245,6y y +⨯+++=⨯=，所以甲、乙两组数据的中位数是2626262+=. 故答案为：2613．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______. 【答案】7312【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为1311sin 6024⨯⨯⨯︒=，下底面的面积为122sin 6032⨯⨯⨯︒=，则这个正三棱台的体积为1337333134412⎛⎫⎪⨯++⨯⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：731214．如图，SD 是球O 的直径，A 、B 、C 是球O 表面上的三个不同的点，30ASD BSD CSD ∠=∠=∠=︒，当三棱锥S ABC -的底面是边长为3的正三角形时，则球O 的半径为______.【答案】2【分析】由三棱锥S ABC -是正三棱锥，利用正弦定理得出三角形ABC 外接圆的半径，进而求出AS ，再由余弦定理得出球O 的半径.【详解】因为30ASD BSD CSD ∠=∠=∠=︒，所以SD ⊥平面ABC ，三棱锥S ABC -是正三棱锥，设1O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1O 在SD 上，连接1AO ，AO ，由132sin 60AO ︒=得出13AO =123sin 30AO AS ︒==AOS △中，22223)2cos120R R R ︒=+-，即2123R =，解得2R =，则球O 的半径为2.故答案为：215．设在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，从下列四个条件：①2a c =；②6C π=；③2cos B =④7b =ABC 存在且唯一的所有c 的值为______. 7227【分析】由①②结合正弦定理可求出sin A ，但是角A 不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，若选①③④，结合余弦定理可求c ，若选②③④，结合正弦定理即可求解【详解】由①②结合正弦定理sin sin a c A C =，所以2sin 2A C ==A 不唯一，所以故所选条件中不能同时有①②，所以只能是①③④或②③④，若选①③④，即2a c ，2cos B =7b = 由余弦定理可得22222c c =⋅7c =，若选②③④，即6C π=，2cos B =，7b = 因为2cos B =,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2214sin 1cos 116B B =--=由正弦定理得sin sin b cB C=，17sin 22sin 14b Cc B ===，72 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n N ∈，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果. 【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+ 当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132()[1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+ 当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1()](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈因为13n n S S -在343(,2][,)232上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故答案为：94【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题. 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-= ；（２）250250x y x y -+=+-=或【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为1x =-；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径5r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有224351k k k -++=+，解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的封闭图形.(1)设1BC =，2AB =，求这个几何体的表面积；(2)设G 是弧DF 的中点，设P 是弧CE 上的一点，且AP BE ⊥.求异面直线AG 与BP 所成角的大小. 【答案】(1)42π+ (2)6π【分析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；（2）先根据条件得到BE ⊥面PAB ，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可 (1)上下两个扇形的面积之和为：212221233ππ⨯⨯⨯= 两个矩形面积之和为：4侧面圆弧段的面积为：24233ππ⨯= 故这个几何体的表面积为：2444233πππ++=+ (2)如下图，将直线AG 平移到下底面上为1BG由AP BE ⊥，且BE AB ⊥，AP AB A =，可得：BE ⊥面PAB则2PBE π∠=而G 是弧DF 的中点，则3FAG π∠=由于上下两个平面平行且全等，则直线AG 与直线BP 的夹角等于直线1BG 与直线BP 的夹角，即1PBG ∠为所求，则1236PBG πππ∠=-=则直线AG 与直线BP 的夹角为6π19．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上）.(1)证明图2中的水面也是平行四边形；(2)当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由水的体积得出1BN =，进而得出//NM PQ ，NM PQ =，从而证明图2中的水面也是平行四边形；（2）在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP ，交1BB 于H ，由四边形1NPC H 是平行四边形，得出侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，再由直角三角形的边角关系得出其夹角. (1)由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于M ，N ，P ，Q ，则3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=，∴322+⋅⋅=BN CPBC CD ，即344322BN +⨯⨯=，1BN ∴=． 1AM ∴=，故四边形ABNM 为平行四边形，即//AB MN ，且4AB MN ==又CD PQ =，//CD PQ ，//NM PQ ∴，NM PQ =∴四边形NMQP 为平行四边形，即图2中的水面也是平行四边形； (2)在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP ，交1BB 于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，11NH C P ==，114112B H BB NH BN ∴=--=--=，1C H =侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角，1HC C ∴∠即为所求，而111HC C B HC ∠=∠，在11Rt B HC 中，1111cos H B B HC C H ∠=，∴侧面11CDD C 与桌面所成角的为20．已知数列{}n a 满足112a =，221321n n a a +=+，21n n b a =-，n 为正整数. (1)证明：数列{}n b 是等比数列，并求通项公式；(2)证明：数列{}n b 中的任意三项i b ，j b ，()k b i j k <<都不成等差数列；(3)若关于正整数n 的不等式n nb m >的解集中有且仅有三个元素，求实数m 的取值范围；【答案】(1)证明见解析；132(),()43n n b n N -*=⋅∈(2)证明见解析 (3)3849m ≤< 【分析】（1）将所给等式221321n n a a +=+变形为2213(1)2(1)n n a a +-=-，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在i b ，j b ，()k b i j k <<成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。

2020-2021学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=（） A ．4 B ．5C ．8D ．10【答案】C【分析】根据双曲线的定义可得：122PF PF a -=，结合双曲线的方程可得答案.【详解】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．已知直线方程为12010031xy =，则下列各点不在这条直线上的是（）A ．()2,6-B ．()4,3-C ．()1,2D ．()2,0【答案】C【分析】由行列式计算，把直线方程化为一般式，然后判断点是否在直线上．【详解】12016320031xy x y =--=，即3260x y +-=，代入点的坐标，只有C 不合．故选：C ．3．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A．B ．3C．D ．4【答案】B【分析】根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果.【详解】422x y +=的参数方程为：2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，所以曲线422x y +=上点（x 0，y 0）到原点距离为直径长的一半， d当cos 4θ=时，d 取得取大值为32，所以，直径为3，故选B.【点睛】本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.4．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．无数个【答案】B【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解.【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B.【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．二、填空题 5．线性方程组20235x y x y --=⎧⎨+=⎩对应的增广矩阵为______.【答案】112235-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将方程组变形为2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，利用增广矩阵的定义可得结果.【详解】原方程组即为2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，该线性方程组的增广矩阵为112235-⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：112235-⎛⎫⎪⎝⎭.6．若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量.【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-，故方向向量的横纵坐标之比为1-，故d 可以是()1,1-，故答案为：()1,1-.7．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若22a =，515S =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________. 【答案】n【分析】根据数列{}n a 为等差数列，且22a =，515S =，利用“1,a d ”法求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且22a =，515S =，所以112110,55a a d d +==+，解得11,1a d ==，所以1(1)n a a n d n =+-=，故答案为：n8．若椭圆2236x ty -=的一个焦点为()0,2F ，则实数t =______. 【答案】-1【分析】先将椭圆方程化为标准方程，再根据其一个焦点为()0,2F 求解.【详解】椭圆2236x ty -=的标准方程为：22162x y t+=-，因为其一个焦点为()0,2F ，所以226,2a b t=-=，所以624t--=，解得1t =-，故答案为：-19．用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【分析】分别写出n k =和1n k =+时的对应的结果，再比较差异，得到答案. 【详解】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++，比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：510．圆222690x y x y +--+=上的点到直线240x y --=的距离的最大值为______.1【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解. 【详解】圆222690x y x y +--+=的圆心为()1,3半径为1，圆心到直线240x y --=的距离d ==，1111．若直线1l 、2l 的斜率分别是方程22730x x -+=的两根，则1l 、2l 的夹角为______. 【答案】4π 【分析】记直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α，且12αα>，解方程22730x x -+=，可求得1tan α、2tan α的值，利用两角差的正切公式求出()12tan αα-的值，即可求得结果.【详解】记直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α，且12αα>，解方程22730x x -+=，即()()2130x x --=，解得13x =，212x =，所以，1α、2α均为锐角，且1tan 3α=，21tan 2α=，由两角差的正切公式可得()12121213tan tan 2tan 111tan tan 132αααααα---===++⨯， 202πα<<，102πα<<且12αα>，可得1202παα<-<，124παα∴-=.因此，1l 、2l 的夹角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用两角差的正切公式求出两直线夹角的正切值，同时要注意注意讨论所求角的取值范围，结合正切值求出所求角.12．已知双曲线Γ经过点()2,2P ，且与双曲线2212x y -=具有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为______.【答案】22124y x -=【分析】设双曲线Γ的方程为222x y λ-=，将点P 的坐标代入双曲线Γ的方程，求出λ的值，即可得出双曲线Γ的标准方程.【详解】由于双曲线Γ与双曲线2212x y -=具有相同的渐近线，设双曲线Γ的方程为222x y λ-=，将点P 的坐标代入双曲线Γ的方程得222222λ=-=-，所以，双曲线Γ的方程为2222x y -=-，化为标准方程即为22124y x -=.故答案为：22124y x -=.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213n n S a =-*()n N ∈，则lim n n S →∞=__________．【答案】1【解析】当1n =时，11213S a =-，即135a =；当2n ≥时，11213n n S a --=-，由11221133n n n n n a S S a a --⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭得到125n n a a -=，故数列{}n a 是等比数列，所以215nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则lim 1n n S →∞=，故答案为1.14．若直线()43y k x =+-与曲线x =k 的取值范围是______. 【答案】3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【分析】作出曲线x =()43y k x =+-的图象，考查直线()43y k x =+-与曲线x =相切时k 的取值，数形结合可求得实数k 的取值范围.【详解】由0x =≤可得229x y =-，即229x y +=，所以，曲线x =229x y +=的左半圆，直线()43y k x =+-过定点()4,3P --，且斜率为k ，如下图所示：当直线()43y k x =+-过点()0,3A -时，可得433k -=-，解得0k =；当直线()43y k x =+-过点()0,3B 时，可得433k -=，解得32k；当直线()43y k x =+-与曲线29x y =--相切，且切点C 位于第二象限时，0k >， 24331k k -=+，因为0k >，解得247k =. 由图可知，当302k ≤<或247k =，直线()43y k x =+-与曲线29x y =--有且仅有一个公共点，因此，实数k 的取值范围是3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 故答案为：3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 【点睛】思路点睛：本题考查利直线与半圆的公共点个数求参数，思路如下：（1）画出直线与半圆的图象；（2）根据图象找到直线与半圆有公共点的相切或相交的情况；（3）根据公式计算，得出结果.15．已知椭圆22:15x y Γ+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是Γ上的点.若123PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值为______.【答案】1-【分析】根据椭圆的定义写出12PF PF +与12F F ，然后代入求解12cos F PF ∠，即可求出12PF PF ⋅.【详解】由题意可知，2a c ==，由椭圆的定义知，12124PF PF F F +==，则12206161cos 233F PF --∠==-⨯，所以12121cos 1PF PF P P F PF F F ⋅∠==-⋅.故答案为：1-.16．已知圆221:(4)(4)4C x y -+-=，圆222:(3)(5)2C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和2C 的圆周，则圆C 的方程为______. 【答案】2236x y +=【分析】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径，求出圆心坐标，可得结论.【详解】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)x ，半径为r ，则2222(4)(04)(3)(05)24x x -+-=-++++，解得：0x =，半径6r ==，故圆C 的方程为2236x y +=，故答案为：2236x y +=.三、解答题17．设常数a R ∈，已知直线()1:210l a x y +++=，()2:3430l x ay a ++-=. （1）若12l l ⊥，求a 的值；（2）若12//l l ，求1l 与2l 的距离；【答案】（1）32-；（2）d =【分析】（1）根据两直线垂直的条件求参数值；（2）由平行的条件求得参数值，两方程中,x y 的系数分别化为相同，然后由平行间距离公式计算．【详解】（1）由题意3(2)0a a ++=，解得32=-；（2）由两条平行显然0a ≠，因此213a a+=，解得1a =或3a =-，1a =时，两直线方程均为310x y ++=，不合题意，3a =-时，1l 方程为10x y -++=，即10x y --=，2l 方程为33150x y --=，即50x y --=，所求距离为d ==．【点睛】易错点睛：本题考查由两直线平行与垂直求参数，考查平行间距离公式．在已知平行求参数时，一般在求得参数值时需要进行检验，剔除两直线重合的情形，这是易错点．18．已知点C 是曲线()30xy x =>上一点，以C 为圆心的圆与x 轴交于O ､A 两点，与y 交于O ､B 两点，其中O 为坐标原点. （1）求证：OAB 的面积为定值；（2）设直线35y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）()()223110x y -+-=. 【分析】（1）设3,C a a ⎛⎫⎪⎝⎭可得圆的方程，求出A B 、两点的坐标计算出OAB 的面积即可证明；（2）由条件得出原点O 在线段MN 的垂直平分线上，所以直线CO 与35y x =-+垂直，由斜率之积为-1求得3a =，从而得到圆C 的方程.【详解】（1）证明：由题意设3,(0)C a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则半径为0)R a =>，所以圆的方程为()222239(0)x a y a a a a ⎛⎫-+-=+> ⎪⎝⎭，令0x =，则222223392a y y a a a a ⎛⎫+-⨯+=+ ⎪⎝⎭，所以6y a =，60,A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0y =，则22222392x a ax a a a ⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭，所以2x a =，()2,0B a ，所以1162622OABSOA OB a a=⨯⨯=⨯⨯=，所以OAB 的面积为定值.（2）因为=OM ON ，所以原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C H O 、、三点共线，由（1）知3,(0)C a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， CO 的斜率为23k a =，由于直线所以CO 与35y x =-+垂直，所以23(3)1a ⨯-=-，解得3a =，或3a =-舍去，所以()3,1,C R == 圆C 的方程为()()223110x y -+-=.【点睛】方法点睛：本题考查直线和圆的方程，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，有一定的综合性，考查学生分析问题、解决问题的能力.19．某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n 年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n n n n a n -⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额. 【答案】（1）第7年；（2）第12年. 【分析】（1）分段解不等式500na >，（2）对n 进行讨论，求n a 的前n 项和n S ，令500n S n ≥，解不等式.【详解】（1）当5n ≤时，80(1)500n a n =->，解得7.25n >，即8n ≥，不成立，当6n ≥时，51000(10.6)500n na -=->，即50.60.5n -<，50.6n -随着n 的增大而减小，当6n =时，650.60.60.5-=<不成立，当7n =时，750.60.360.5-=<成立，故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）当5n =时，累计新增盈利总额5123450801602403208005005S a a a a a =++++=++++=<⨯，可得所求n 超过5，当6n ≥时，55600(10.6)1000(5)50010.6n n S S n n --=+-->-，整理得530.611.4n n -+⨯>，由于530.6n -⨯随着n 的增大而减小又当11n =时，1151130.611.4-+⨯<，故不成立，当12n =时，1251230.611.4-+⨯>，故成立，故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.20．已知有序数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如：数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1，3，2.（1）若数列{}n a 的通项公式为()()21,2,3,4nn a n =-=，写出{}n a 的“序数列”；（2）若项数不少于5项的有穷数列{}n b ，{}n c 的通项公式分别为35nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，2n c n tn =-+，且{}n b “序数列”与{}n c 的“序数列”相同，求实数t 的取值范围；（3）已知有序数列{}n a 的“序数列”为{}n p .求证：“{}n p 为等差数列”的充要条件是“{}n a 为单调数列”.【答案】（1）4，2，1，3；（2）()4,5；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件可得12342,4,8,16a a a a =-==-= ，4213a a a a >>>，得出答案.(2)通过作差法比较相邻两项的大小关系，即1323·()55nn n n b b +--=，得到当2n 时，1n n b b +<．所以需要比较第一项的大小，得出所在的位置，计算可以得出2314b b b b >>>的大小关系．则数列{}nc 大小关系为231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>．分别算出11c t =-，224c t =-，339c t =-．由列231c c c >>列不等式并求解得t 的取值范围．（3）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列，则有穷数列{}n a 为单调数列，分别讨论{}n P 为递增数列时，数列{}n a 的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{}n a 为单调递减数列；同理{}n P 为递减数列，有穷数列{}n a 为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{}n a 分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{}n P 为等差数列；【详解】（1）由()()21,2,3,4nn a n =-=，可得12342,4,8,16a a a a =-==-=4213a a a a >>>，{}n a 的“序数列”为：4，2，1，3（2）由题意得，因为*3·()()5n n b n n N =∈，所以1323·()55nn n n b b +--= 当2n 时，10nnb b 即1n n b b +<135b =，21825b =，381125b =，4324625b =231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>又因为2*()n c n tn n N =-+∈，且{}n b 的序数列与{}n c 的序数列相同所以231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>> 又因为11c t =-，224c t =-，339c t =- 所以24391t t t ->->- 所以45t <<即(4,5)t ∈ （3）充分条件：因为有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列所以①{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 所以有穷数列{}n a 为递减数列，②{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1 所以有穷数列{}n a 为递增数列，所以由①②，有穷数列{}n a 为单调数列必要条件：因为有穷数列{}n a 为单调数列所以①有穷数列{}n a 为递减数列则{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 的等差数列 ②有穷数列{}n a 为递增数列则{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1的等差数列所以由①②，序数列{}n P 为等差数列综上，有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列的充要条件是有穷数列{}n a 为单调数列【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是1323·()55nn n n b b +--=得出其单调性，即231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>，从而得到231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=，过点()4,0P 作直线l 与椭圆交于A ，B 两点.（1）若()1,4n =是直线l 的一个法向量，求直线l 的标准方程；（2）若AOB 的面积为127，求直线l 的方程；（3）在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，求证：点Q 在一条定直线上. 【答案】（1）440x y +-=；（2）)44y x =±-或()3410y x =±-；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件得到直线l 的斜率为14k =-，从而写出方程. (2)设直线l 的方程为4x my =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由121122S AOB OP y y OP =⋅-=.(3) 设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y 由AP BQ AQ BP ⋅=⋅,则()()1212y y y y y y -=-,即112122yy y y y y yy -=-,即3y m=-，从而可得1x =从而可证.【详解】（1）直线l 的一个法向量为()1,4n =，则直线l 的斜率为14k =- 又直线l 过点()4,0P ，所以直线l 的方程为：()144y x =--，即440x y +-= （2）根据题意直线l 的斜率不为0，则其方程为：4x my =+ 设()()1122,,,A x y A x y所以224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得 ()223424360m y my +++= 所以()()2224436430m m∆=-⨯⨯+>，即24m>1212222436,4343m y y y y m m -+==++，121122S AOB OP yy OP =⋅-=142=⨯24312247m ⨯=+=，即2431m =+ t =，则224m t =+所以()243144t t +⨯=+，即2141603t t -+=，解得2t = 或83t =即m =±103m =±经检验，m =±103m =±都满足0∆> 所以直线l 的方程为：4x =±+或1043x y =±+ 即直线l 的方程为：)44y x =±-或()3410y x =±- （3）设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y根据题意，Q 点在A B ，之间，不妨设点A 在点B 的左侧. 当直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点x 轴上方时，由AP BQ AQ BP ⋅=⋅则()()1212y y y y y y -=-,即112122yy y y y y yy -=-所以()12122y y y y y +=，则212122236272343242443y y m y m y y m m m ⨯+===-=--++ 同理当A ，B 两点x 轴下方时，也有3y m =-成立.所以当直线l 的斜率不为0时，有3y m=-，由（2）有3441x my m m ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭当直线l 的斜率为0时，即A ，B 两点为椭圆的左右顶点，即()()2,0,2,0A B - 所以满足AP BQ AQ BP ⋅=⋅的点Q 为()1,0综上所述: 满足条件的点Q 在直线1x =上.即点Q 在一条定直线上.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由三角形的面积()212121211422S AOB OP y y OP y y y y =⋅-=+-⋅AP BQ AQ BP ⋅=⋅，得到()()1212y y y y y y -=-，进一步有3y m=-.。

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______.2．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 3．已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图A B C ，'''则A B C '''的面积为_________.4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为________5．正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.6．设正三棱锥V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.7．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=，，，则ΔBCD 是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)．9．设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.10．如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.11．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．12．如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）．二、单选题13．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中真命题的编号是（） A ．③④B ．①②C ．①③④D ．①④14．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（）A ．8B ．4C ．2D ．116．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的（） A ．棱长 B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离三、解答题17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证BD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB 求异面直线PB 与AC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．18．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1A C 与下底面所成角的大小为60°.(1)求三棱锥1A ACB -的体积； (2)求异面直线1A B 与OC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，2AC BC ==，1CC AC ＞，异面直线1AC 与1BA 所成角大小为arccos 10(1)求三棱柱111ABC A B C -的高；(2)设D 为线段11A B 的中点,求二面角11A C D A --的大小(结果用反三角函数表示)； (3)求点1B 到平面1AC D 的距离.20．已知正三棱锥A BCD -的底面边长为3，侧棱长为2，E 为棱BC 的中点．(1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求三棱锥A BCD -的体积；(3)在三棱锥A BCD -的外接球上,求A 、B 两点间的球面距离．21．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)． (1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的几何意义．参考答案1．相交或异面【解析】【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交， //AB DC ，1ABAA A =，DC 与1AA 异面，∴直线//a b ，b c A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 2．15π 【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．3【分析】由已知中正ABC ∆的边长为1，可得正ABC ∆的面积，进而根据ABC ∆的直观图△A B C '''的面积S '=，可得答案．【详解】解：正ABC ∆的边长为1，故正ABC ∆的面积231S ==设ABC ∆的直观图△A B C '''的面积为S '则36S '==【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S '与原图面积S 之间的关系S '=，是解答的关键． 4．32 【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积. 【详解】四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱∴四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD∴直线1B C 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠= 1224BB BC AB ∴=== ∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32 【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题. 5．94π 【分析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD =而经过点D 的球O 的截面，当截面与OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【详解】解：设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上， 1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，1O C =又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，1112O D O C ==Rt ∴△1OO D 中，OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径32r ==，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为：94π．【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题． 6．45︒ 【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案．【详解】解：如图，三棱锥V ABC -是正三棱锥，V ∴在底面ABC ∆上的投影为ABC ∆的中心O ，连接VO ，AO ，则VAO ∠即为侧棱VA 与底面ABC ∆所成的角，三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为高2VO =，则底面三角形一边BC 上的高3AD =， 2AO ∴=，2tan 12VO VAO AO ∴∠===． ∴侧棱与底面所成角的大小为45︒．故答案为：45︒ 【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题． 7．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键． 8．锐角【分析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角．【详解】解：22()()0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=>，∴cos 0||||BC BDB BC BD ⋅=>⋅,故B 是锐角，同理D ∠，C ∠都是锐角，故BCD ∆是锐角三角形，故答案为：锐角【点睛】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，属于基础题． 9．23R π 【分析】甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．【详解】由于甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120︒，就是大圆周的13则甲、乙两地球面距离为：23R π 故答案为：23R π 【点睛】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．103 【分析】取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，折起后的图形中，2DE BE ==，又知BD a =，由此三角形BDE 三边已知，求出BED ∠，解出三角形BDE 的面积，可求得三棱锥D ABC -的体积。

2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要【答案】B【解析】先化简条件“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”，结合k 的范围进行判定. 【详解】因为方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；因为211k k -<<-⇒<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.2．双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A ．BCD ．2【答案】C【解析】根据双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直可求k ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知0k >，因为双曲线221kx y -=的渐近线为y =，且一条渐近线与直线210x y ++=垂直，12=，即14k =；此时双曲线为2214x y -=，224,5a c ==,. 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确,,a b c 的关系式，或者,,a b c 的值，侧重考查数学运算的核心素养.3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得. 【详解】对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得()()1122220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故②不正确；对于③：当0z =时，满足22z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.二、填空题5．若复数()1231i z i +=-，则z =______.【解析】先化简求解z ，然后再求解模长. 【详解】因为()1231i z i +=-，所以()()()()3i 112i 3i 155i1i 12i 12i 12i 5z ---+====+++-，所以z ==【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．抛物线2y x =的准线方程为________．【答案】14x =-【解析】抛物线2y x =的准线方程为14x =-；故填14x =-. 7．椭圆2236x y +=的焦距是______. 【答案】4【解析】先把椭圆方程化为标准形式，结合,,a b c 的关系可求焦距. 【详解】2236x y +=可化为22162x y +=，所以226,2a b ==，因为2224c a b =-=，所以2c =，焦距24c =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的方程求解焦距，从给定的方程中求解,,a b c 是关键，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.【答案】1【解析】根据集合相等的含义，分别求解复数,a b ，然后可求ab . 【详解】因为1b b ≠+，{}{}2,,1a b a b -=+，所以21a b b a-=+⎧⎨=⎩，即有210a a ++=，解得12212a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或12212a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，所以1ab =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.9．计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______. 【答案】56i +【解析】先求解n i ，然后再根据复数的加法规则进行求解. 【详解】因为2349i 1,i i,i 1,,i i =-=-==L ，所以23912i 3i 4i 10i 12i 34i 10i =5+6i ++++⋅⋅⋅+=+--+⋅⋅⋅+.故答案为：56i +. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确4414243i 1,i i,i 1,i i nn n n +++===-=-是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______. 【答案】[)4,+∞【解析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得12y y +，然后把PQ 用12y y +表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线:1l x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得2440y ty --=，12124,4y y t y y +==-，22112212()41441P y Q x x x x t y t ++=++===++++；因为20t ≥，所以4PQ ≥. 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】(-∞【解析】把所求问题转化为求点P 到直线2y x =+的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，而直线2y x =+与y x =平行，平行线间的距离d ==由题意可知点P 到直线2y x =+；所以m ≤故答案为：(-∞. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.12．平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.【答案】【解析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求. 【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由1,2a c ==可得23b =，所以机器人的运动轨迹方程为221(1)3y x x -=≥；直线3(y k x -=，即(3y k x =+，联立22(313y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩得2222(3)6)3120k x k k x -+-+--=，当230k -=时，若k =则此时直线(3y k x =-+=恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若k =.当230k -≠时，由∆<0得22226)4(3312)0k k k -----<，k <<综上可得k的取值范围是.故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．【答案】3 【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ∆为正三角形，且PQ x ⊥轴，设2PF t =，可得1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.【详解】因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上，则1PF PQ =，160F PQ ∠=oQ ，1F PQ ∴∆为正三角形，11F Q F P ∴=，又1212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=Q ，所以PQ x ⊥轴，设2PF t =，则1122,3PF t F F t=，即2332323323c c t c t e a a t a t⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩，故答案为33. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．14．已知一族双曲线22:2019n nE x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与nE 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.【答案】5052【解析】设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】设()00,n A x y ，双曲线22:2019n nE x y -=的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C，则n n n n A B A C ==易知n n n A B C V为直角三角形，22001=2420194n n nA B C x y nS -==⨯V 即20194n na =⨯为等差数列，其前2019项的和为()12019201912019201920195052019420194=222a a S ⎛⎫+⨯ ⎪+⨯⨯⨯⎝⎭==【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.15．已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u v =2PB u u u v ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.16．已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______. 【答案】①③【解析】利用椭圆的定义先求解P 的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确. 【详解】由题意，点P 在椭圆C ：)222106x y m m+=>>上，所以1212PF PF PB PB +=+=所以点P 也在以12,B B 为焦点的椭圆222166y x m+=-上，所以点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆222166y x m +=-的交点，共4个，故①正确，②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=， 22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，所以OP ，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知复数z 满足2274z z i -=+，求z . 【答案】32z i =+或12z i =-+.【解析】设出复数,,z a bi a b R =+∈，代入已知条件，利用复数相等的含义可求. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，222i,z z a a b b =-=+，因为2274z z i -=+，所以222(i)=7+4i a a b b +--，2227a b a +-=且24b =，解得2b =，1a =-或3，所以32z i =+或12z i =-+. 【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -55≥. 【解析】（1）先对复数进行化简，然后结合z 是纯虚数可求m 的值；（2）结合复数的模长公式，表示出1z -，利用二次函数的知识求解. 【详解】（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，22214(1)521z m m m m -=+-=-+，因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45；所以1z -25≥. 【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 13弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）(22,22k ∈-. 【解析】（1）根据题意可得2,6a c a c -=+=，从而可求椭圆C 的标准方程；（2）根据与轨道中心O 13P 的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线320kx y k -+-=的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于,,a b c 的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20．已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）.（1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）22240x x y y --+=. 【解析】（1）先把24x t=+12t t =+，然后两式平方相减可得曲线C 的普通方程；（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求. 【详解】（1）因为24x t=+12t t =+，所以有2222221121,144t t x t y t =++=+-，两式相减可得2222x y -=，即2212y x -=.（2）设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，则222212121,122y y x x -=-=，两式相减得12121212()()()()02y y y y x x x x -+-+-=，即121212122()x x y y y y x x +-=+-. 因为M 为PQ 的中点，所以12122,2x x x y y y +=+=，因为,M A 均在直线上，所以121212y y y x x x --=--，整理可得22240x x y y --+=，经检验知符合题意，即线段PQ 中点M 的轨迹方程22240x x y y --+=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养. 21．由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =;（2）存在实数12k =+QBA PBA ∠=∠. 【解析】（1）通过点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上可求a 的值；（2）根据题意得出1QB QA k k ⋅=，结合斜率公式即可求出k 的值. 【详解】（1）由题意易知，点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上，所以()2321a =-，即1a =.（2）假设存在，由题意可知QBA PBA ∠=∠，90APB ∠=︒，所以90QBA BAP ∠+∠=︒，所以1QB QA k k ⋅=.设()200,1Q x x -，其中00x >，22000000111,111QBQA x x k x k x x x --==-==++-，所以2011QB QA k k x ⋅=-=，因为00,x >所以0x =所以1QA k k ==+.故存在实数实数1k =+QBA PBA ∠=∠. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=;（2）λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U ;（3）是定值，23AT BT ⋅=. 【解析】（1）把两点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -代入方程可得椭圆C 的方程；（2）先根据直线和圆相切，求出223220m k --=，然后联立方程，结合韦达定理求出1212,x x y y ++，结合平行四边形性质和Q 在椭圆上可得实数λ的取值范围；（3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把AT BT ⋅转化为AT TB ⋅u u u r u u r，结合向量运算及韦达定理可求. 【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，所以222121411a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l ：y kx m =+与圆2223x y +=3=，即223220m k --=①.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ()()1212y y kx m kx m =++++()122x x m k =++2212mk =+.由向量加法的平行四边形法则，得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，因为,OP OQ λ=u u u r u u u r 所以OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r .由题意易知0λ≠，设00(,)Q x y ，则()()()112200,,,x y x y x y λ+=，()()0121211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即()()0202412 212km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以()()222242221212kmmk k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得()222412m k λ=+②由>0∆可得2212k m +>，所以2224m m λ>， 204λ<<，即20λ-<<或02λ<<.由①②可得2228(1)3(12)k k λ+=+，令212t k =+，则2811()322t λ=+，因为0,t ≥所以24833λ<≤，解得33λ-≤<-或33λ<≤，综上可得λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U . （3）由（2）知223220m k --=，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++222212m k k -=+设33(,)T x y ，则33y kx m =+，由T 为切点可知OT AB ⊥,所以330x ky +=，解得321kmx k =-+. ()()31312323,,AT BT AT TB x x y y x x y y ⋅=⋅=--⋅--u u u r u u r()()31212121222333x x x y x x x y y y y y ++--+=--22332243222123my kmx m k k --++=-+ 22232222()22221123123kmm km m kmx k k k ---+=-=-++ 222242213333m k =-=-=+.所以AT BT 是定值且定值为23. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.。

【解析】上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

2019-2020年曹二高二上10月月考试卷一、填空题.1.在数列－1，0，211298n n-L ，，，，…中，0.08是它的第________项．【答案】10 【分析】根据通项公式列方程，解得结果. 【详解】令22n n-＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.2.若数列{}n a 满足1*1204,2,nn a a a n n N -=-⎧⎨=+≥∈⎩，则该数列从第____项起为正值；【答案】7 【分析】根据2n ≥时的递推公式可知,该数列为等差数列,由1a 和d 可得该等差数列的通项公式,进而得解.【详解】因为当2n ≥时满足14n n a a -=+ 即14n n a a --=,所以数列{}n a 为等差数列,120a =-,4d =所以通项公式为()11n a a n d +-=()2014n =-+-⨯424n =-所以当4240n ->时,解得6n > 即从第7项开始,数列{}n a 为正值故答案为:7【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.3.若3a > ，则113lim 3n nn n n a a++→∞-+=______；【答案】1a- 【分析】对要求极限的数列分子分母同时除以n a ,根据指数函数的性质即可求得极限值. 【详解】对数列分子分母同时除以n a 可得113lim 3n nn n n a a++→∞-+ 31lim 33nn n aa a →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭因为3a >所以301a <<,根据指数函数的性质可知当n →∞时, 30na ⎛⎫→ ⎪⎝⎭所以31011lim 033nn n a a a a a →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-+⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1a-【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题. 4.观察下式：211=，22343++=， 2345675++++=，2456789107++++++=，则可归纳出一般结论：________．【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L根据所给式子，归纳第n 个式子左边应该为()()()1232n n n n +++++⋯+-，右边为()221n -，所以填()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-.5.已知等差数列{}n a 中，1591317117a a a a a -+-+=，则315a a +=_____；【答案】234 【分析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得9a ,进而可求得315a a +. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列由等差中项定义可知, 117513a a a a +=+所以159********a a a a a a -+-+==而315922117234a a a +==⨯=故答案为:234【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题. 6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,n n a a S +=-=，则n a =______；【答案】122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥ 【分析】根据条件1n n a S +=,通过递推法,然后作差即可证明数列{}n a 为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为1n n a S += 当2n ≥时,1nn a S -=两式相减可得11n nn n a a S S +--=-即1n n n a a a +-=,变形后可得12n na a += 因为1n n a S +=,且12a =-所以当1n =时, 2112a S a ==-=所以数列{}n a 从第二项开始是以22a =-,2q =为公比的等比数列所以21222n n n a --=-⨯=-而12a =-不满足上式所以122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥故答案为: 122n --⎧⎨-⎩12n n =≥ 【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题. 7.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若10a >，且1520S S =，则当n =____时，n S 取得最大值；【答案】17或18 【分析】根据等差数列1520S S =,可求得180a =,结合10a >可判断出等差数列为递减数列,进而可得n S 取得最大值时n 的值.【详解】因为{}n a 为等差数列,且1520S S = 所以16171819200a a a a a ++++=根据等差中项的性质可得180a =因为10a >所以等差数列{}n a 为递减数列, 180a =,从第19项开始为负数所以当17n =或18n =时, n S 取得最大值故答案为:17或18【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.8.若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n 次分裂之后共有______个细胞. 【答案】124n -+ 【分析】设n 次分类后共有n a 个细胞,则根据题意可得递推公式()122n n a a +=-,通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设n 次分类后共有n a 个细胞则第1n +次分裂后共有细胞个数为()122n n a a +=-即124n n a a +=-,且15a =对数列等式两端同时减去4,可得()1424n n a a +-=-即1424n n a a +-=-,14541a -=-= 所以数列{}4n a -是以141a -=为首项,2q =为公比的等比数列所以1412n na --=⨯,化简可得124n n a -=+即n 次分裂之后共有124n -+个细胞故答案为: 124n -+【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.9.已知数列{}n a 满足：112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2019a =_________；【答案】37【分析】通过列举法,可以根据数列{}n a 的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得2019a .【详解】因为数列{}n a 中167a =,满足112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩所以2165212177a a =-=⨯-= 3253212177a a =-=⨯-=43362277a a ==⨯=546521277a a =-=⨯= 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列所以20196733337a a a ⨯=== 故答案为:37【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.10.平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成()f k 个区域，则1k +条直线把平面分成的区域数(1)()f k f k +=+____________. 【答案】1k +第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即()()1?1f k f k k +=++。

曹杨二中高二上期末详解(2020.1)

曹杨二中高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．三个平面最多把空间分成个部分．2．若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += ． 3．若行列式31227314k--中元素1-的代数余子式的值为5，则k = ．4．已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为． 5．已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3A B =，则外接球面上两点A 、B 间的球面距离是．6．在正方体1111A BCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为． 7．若正四棱锥的底面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为． 8．已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为． 9．若数列{}n a 满足112a =，212323,n n a a a na n a n *+++⋅⋅⋅+=∈N ，则20a = ． 10．某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1，2，3，则这条棱的长为．11．对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若1233n n n a ⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里．二、选择题13．在学习等差数列时，我们由1121310,1,2,a a d a a d a a d =+=+=+L ，得到等差数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A ．不完全归纳法 B ．完全归纳法 C ．数学归纳法 D ．分析法14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（） A ．4- B ．6 C ．14 D ．1815．已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，P 是棱SA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ<16．已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面,αβ上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，则m 与n 的位置关系是（） A ．可能垂直，但不可能平行 B ．可能平行，但不可能垂直 C ．可能垂直，也可能平行 D ．既不可能垂直，也不可能平行三、解答题17．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米．（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用．（结果精确到1元）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3A D =，3PA =，AD BC ∥，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒．（1）求异面直线PC 与A D 所成角的大小；（2）求点A 到平面PCD 的距离．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*461,n n S n a n =--∈N ．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由．20．如图，在三棱柱111A BC A B C -中，12A C BC A B ===，1A B ⊥平面ABC ，1A C A C ⊥，,D E 分别是11,A C B C 的中点．（1）求证：11A C B C ⊥；（2）求证：DE ∥平面11A A B B ；（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小．21．对于给定的正整数(4)n n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤．（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，(0)d d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和．参考答案一、填空题1．8 2．12 3．4- 4．3π 5．23π6．2 7．24 82 9．35107 11．724 12．18 【第5题解析】由题意，记外接球球心为O ，半径为R ，则112R OC OD CD ====，在AOB △中，应用余弦定理，可求出球心角23A OB π∠=，从而A 、B 间的球面距离为»23AB A OB R π=∠⋅=．【第8题解析】取AB 、CD 的中点分别为M 、N ，易证M N AB ⊥且M N CD ⊥，则M N 即为异面直线AB 与CD 间的距离，计算得2M N =．【第9题解析】记n n b na =，其前n 项和为n S ，则11111(1)(1)nnn n n n n n n S nb b n b nb b b S n b +++++=⎧⇒=+-⇒=⎨=+⎩， ∴{}n b 为常数列，112012123112205n n b b a a a n ==⋅=⇒=⇒==．【第11题解析】223133n n n ⎧⎪⎧⎫⎪=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，1121231333nn n n n n a n ++⎧⎪⎧⎫⎪=⋅=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，其奇数项和偶数项分别构成公比为211()39=的等比数列，∴其各项和为12712419a a S +==-．【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，¼2102AA A OA SA A OA ππ'''=∠⋅=⋅⇒∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+=，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ，由Rt Rt SA B H SB '△∽△，可求出18HB =．二、选择题13．A 14．B 15．B 16．D三、解答题17．（1）32.1米；（2）220元．18．（1）；（2． 19．（1）114611461n n n n S n a S n a ++=--⎧⎨=+--⎩，作差得14155n n a a +=+，∴14111455115n n n n a a a a ++--==--，对461n n S n a =--，令1n =，可求出112a =-， ∴数列{1}n a -是以13-为首项，公比为45的等比数列， ∴141135n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，从而141315n n a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭；（2）45101log 12.513n a n <⇒<+≈，∴当12n ≤时，0n a <，当13n ≥时，0n a >， ∴当12n =时，n S 取最小值．20．（1）∵1A B ⊥平面ABC 且A C Ü平面ABC ，∴1A B A C ⊥，又1A C A C ⊥且11,A B A C Ü平面11A B C ，∴A C ⊥平面11A B C ，∴11A C B C ⊥；（2）取AB 中点M ，联结1,DM M B ，可证1EB DM ∥，∴四边形1EDM B 为平行四边形， ∴1DE M B ∥，又1M B Ü平面11A A B B ，DE ⊄平面11A A B B ，∴DE ∥平面11A A B B ；（3）∵11A C B C ⊥且11BC B C ∥，∴AC BC ⊥，后续可建立空间直角坐标系进行求解，具体过程略，直线DE 与平面11BB C C21．2019黄浦区一模21题【注】①本题答案非标准答案；②第（3）小问没有给出元素互异性证明！！！（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）由题意，111(1)(1)2(2)i j a a a i d a j d a i j d +=+-++-=++-，又{2,3,4,,2}i j n +∈L 且0d ≠，∴i j a a +共有21n -个不同的值，即集合B 中的元素个数为21n -；（3）i j a a +的所有不同的取值恰能得到如图的矩阵111213122232333n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++⎛⎫⎪+++⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭L L LLL ，即集合B 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=L 个，考虑到123,,,,n a a a a L 出现的次数均相同，其结果为(1)221n n n n+⨯=+， ∴集合B 中所有元素的和为11233(13)(1)(33)(1)()(1)132n n n n n a a a a n +-+-+++++=+=-L ．。

上海市2019-2020年曹杨二中高二数学上学期周测—数列

高二数学练习（2019.9.13）一、填空题1. 设数列{}()*n a n N ∈是等差数列，若2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，则数列{}n a 的前2019项的和2019S ____________2. 等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S =____________3. 在等差数列{}n a 中，110a =-，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是____________4. 等比数列{}n a 中，37a =，前3项之和321S =，则公比q 的值为____________5. 已知数列{}n a 的前n 项和2281n S n n =-+，则n a =____________6. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且138,,a a a 成等比数列，则1382410a a a a a a ++++的值是____________ 7. 数列{}n a 满足()1121n n n a a n +÷-=-，则{}n a 的前60项和等于____________8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m=____________9. 已知整数以按如下规律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2）、（3,1）、（1,4），（2,3）、（3,2）、（4,1），…，则第60个数对是____________10. 若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为____________（写出一个即可）11. 数列{}n a 的前n 项和为()2*2n S n n N =∈，对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式221120n n n n n a a a b a ++-+=，则n b =____________12. 用若干个乒乓球紧密的垒成一个正三棱锥的垛，总共有10层，一共需要大小相同的乒乓球____________个二、选择题13. 已知n S 是等差数列{}()*n a n N ∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（）A. 公差d<0B. 在所有0n S <中，13S 最大C. 满足0n S >的n 的个数有11个D. 67a a > 14. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，10070a >，则()()()()()12320122013f a f a f a f a f a +++++的值（） A. 恒为正数 B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负15. 下面命题中正确的是（）A. 常数数列既是等差数列又是等比数列B. 等比数列递增的充要条件为公比q>1C. 数列{}n a 的前n 项和是23n n S c =⋅+，则2c =-是{}n a 为等比数列的充要条件D. 等差数列的通项n a 是关于()*n n N ∈的一次函数16. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()*n N ∈，对于函数()y f x =，若数列(){}ln nf a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，现有定义在()0,+∞上的如下函数：①()1f x x=；②()2f x x =；③()x f x e =；④()f x =“保比差数列函数”的所有序号为（） A. ①②B. ③④C. ①②④D. ②③④三、解答题17. 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 及n S ；（2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知数列{}n a 满足()1*112,332n n n n a a a n N ++==+-∈. （1）设23nn n n a b -=，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19. 已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设数列{}n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++=成立，求122019c c c +++的值；（3）若()*1n n na b n N a +=∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积.20. 若数列{}n b 满足：对于*n N ∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列，如：若41,49,n n n c n n -⎧=⎨+⎩当为奇数时当为偶数时，则{}n c 是公差为8的准等差数列. （1）求上述准等差数列{}n c 的前9项的和9T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于n N *∈，都有12n n a a n ++=，求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列{}n S 有连续的两项都等于50，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1、20192、523、510,47⎛⎤ ⎥⎝⎦4、12-或15、410,25,1n n n -≥⎧⎨-=⎩（n N *∈） 6、1316 7、1830 8、10 9、()5,7 10、12- 11、224141n n +- 12、220 13-16、CACC17、（1）21n a n =+；22n S n n =+；（2）44n nT n =+18、（1）1n b n =-，()132n n n a n =-⋅+；（2）112313244n n n ++-⋅++19、（1）n a n =；（2）4,12,2n n n c n =⎧=⎨≥⎩，202020192S =；（3）证明略。

2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(二)数学试题(解析版)

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确；命题B 显然正确；若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。

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曹杨二中高二期末数学试卷 2020.01 一. 填空题 1. 三个平面最多把空间分成个部分
2. 若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 若行列式312
27314k
--中元素1-的代数余子式的值为5，则k =
4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为
5. 已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3AB =，则外接球面上两点A 、B 间的球面距离是
6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为
7. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为
8. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为
9. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a +++⋅⋅⋅+=，*n ∈N ，则20a =
10. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为
11. 对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若12{}33n
n n a =⋅， *n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为
12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为
10公里，侧棱长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公
里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B
的观光铁路，这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则
下坡段铁路的长度为公里
二. 选择题
13. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（）
A. 不完全归纳法
B. 完全归纳法
C. 数学归纳法
D. 分析法
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）
A. S
B. 6
C. 14
D. 18
15. 已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，
P 是棱SA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角
为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --
的平面角为γ，则（）
A. βγ<，αγ<
B. βα<，βγ<
C. βα<，γα<
D. αβ<，γβ<
16. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是
平面α、β上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，
则m 与n 的位置关系是（）
A. 可能垂直，但不可能平行
B. 可能平行，但不可能垂直
C. 可能垂直，也可能平行
D. 既不可能垂直，也不可能平行
三. 解答题
17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.
（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；
（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用.
（结果精确到1元）
18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3AD =，3PA =，AD ∥BC ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒.
（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；
（2）求点A 到平面PCD 的距离.
19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，*n ∈N .
（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由.
20. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D 、E 分别是AC 、11B C 的中点.
（1）求证：11AC B C ⊥；
（2）求证：DE ∥平面11AA B B ；
（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小.
21. 对于给定的正整数n （4n ≥），设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.
（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；
（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，d （0d >）为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；
（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和.
参考答案
一. 填空题
1. 8
2. 12
3. 4-
4. 3π
5.
23π 6. 7. 24 8. 2
9.
35 10. 11. 724 12. 18
二. 选择题
13. A 14. B 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）32.1m ；（2）220元.
18.（1）arccos
4；（2）5. 19.（1）45
q =；（2）12.
20.（1）证明略；（2）证明略；（3. 21.（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）元数个数为2n 个，和为29(31)4
n -.。