高考数学一轮复习讲义 第24课时 基本不等式 理
课题：基本不等式
考纲要求：①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 教材复习
1.两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则
2
a b
+a b =时成立）；
三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立）
2.几个重要的不等式：
① ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b + ②abc ≤3
3a b c ++⎛⎫
⎪⎝⎭；
③如果,a b R ∈≥2a b +2
11a b
+
3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和
有最小值。
基本知识方法
1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.
2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）. 典例分析．
问题1．求下列函数的最值：
()
113y x x =
+-()3x <；()2121y x x =+-()1x >；()3241y x x
=+()0x >；
()323
y x x =+()0x >；()4 ()2
1y x x =-()01x <<；()5 ()21y x x =-()01x <<
()6y = ()
7 已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y
+=，求x y +的最小值
问题2．已知0x >，0y >，且1x y +=，求.
问题3．求最小值()1231
()1
x x f x x -+=+()1x >-；()2 223sin sin y x x =+
问题4．()1设0x >，0y >，且
()1xy x y -+=，则
.A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )
2
1x y +≤
.D )
2
1x y +≥
()
2已知x ≥0，y ≥0，且22
12y x +=，求证：
()3若0a b >>, 求216
()
a b a b +
-的最小值
课后作业：
1.已知1>a 那么11-+
a a 的最小值是 .A 1
2-a a .B 15+ .C 3 .D 2
2.已知：0a b >>，求证：()
1
3a a b b +
≥-
3.若1
03
x <<，则()213x x -的最大值是 此时，x =
4.已知30x -<<，则y =的最小值为 .A 92-
.B 92.C 32-.D 12
5.已知实数y x ,满足+2x ,12=y 则()()xy xy -+11的最小值和最大值分别为
.A
21，1 .B 43，1 .C 21，4
3
.D 1，无最大值
6.求2212
sin cos y αα
=
+
0,2πα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最小值
7.当2n >时，求证：log (1)log (1)1n n n n -+<．
8.已知正数a 、b 满足13=++b a ab ,则ab 的最大值是
9.下列函数中，y 的最小值为4的是
.A 4y x
x =+.B 2y =.C 4x x y e e -=+ .D 4sin (0)sin y x x x π=+
<<
10.若0,0a b >>，且21a b +=，则224s a b =-的最大值是
.
A 2
1
2- .B 12- .
C 2
1
2+ .D 12+
11.（08内江二中）已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则
y
x 311+的最小值是 .A 2 .B 22 .C 4
.D 32
12.若a 是正实数，222310a b +=，则的最大值是
13.≤,x y 都成立，试问k 的最小值是
14.（07届高三西安市第一次质检）02
π
θ<<
，由不等式1
t a n
t a n θθ
+≥2，222tan tan θθ+22tan tan 222tan θθθ=++≥3，3
3
3tan tan θθ+ 3
3tan tan tan 3333tan θθθθ
=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：
tan tan n
a θθ+≥1n +()*
n N ∈，则a = 15.已知：x 、y R +∈，280x y xy +-=，求x y +的最小值
走向高考：
16.(04湖南)设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．
的是 .A 4)1
1)((≥++b
a b a .B 2332ab b a ≥+
.C b a b a 22222+≥++ .D b a b a -≥-||
17.（05重庆）若,x y 是正数，则22)21
()21(x
y y x +++
的最小值是 .A 3 .B 27.C 4.D 2
9
18.(05福建文)下列结论正确的是
.A 当0x >且1x ≠时，则1
lg 2
lg x x
+≥ .B 当0x >2≥
.C 当x ≥2时，1x x +
的最小值为2 .D 当02x <≤时，1
x x
-无最大值 19.（06陕西）已知不等式()1a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥9对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的
最小值为 .A 2 .B 4 .C 6 .D 8
20.（06重庆文）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是
.A .B 3 .C 2 .D
21.（06重庆）若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-,则2a b c ++的最小值为
.A 1 .B 1 .C 2 .D 2
22.（07山东）函数log (3)1a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在
直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12
m n
+的最小值为
23.（07上海）若x y R ∈+，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是
24.（06上海）若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k 4+的解集是M ，则对任意实常数k ，总有 .A 2M ∈，0M ∈ .B 2M ∉，0M ∉.C 2M ∈，0M ∉ .D 2M ∉，0M ∈
25.（2013陕西）已知,,,a b m n 均为正数, 且1a b +=, 2mn =，则
()()am bn bm an ++的最小值为
26.（09重庆）已知0,0a b >>，则
11
a b
++.A 2.B .C 4.D 5
27.（2011重庆）已知0a >，0b >，2a b +=，则14
y a b
=
+的最小值是 .A 7
2
.B 4 .C 92 .D 5
28.（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当
xy
z
取得最大值时，212x y z +-的最大值为 .A 0 .B 1 .C 9
4
.D 3
29.（2011湖南）设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x
+
+的最小值为
30.（06上海）已知函数y ＝a
x x
+
有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(
上是减函数，在)
+∞上是增函数．
()1如果函数y ＝2b
x x
+（0x >）的值域为[)6,+∞，求b 的值；
()2研究函数y ＝22c
x x +（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由；
()3对函数y ＝a x x +和y ＝22a
x x +（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函
数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝
n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值（可利用你的
研究结论）．。
高考数学一轮专项复习讲义-基本不等式(北师大版)
§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1.基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立.(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值.2.利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab 与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x 4.(×)2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于()A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4答案C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时，取等号，即当f (x )取得最小值时x ＝3，即a ＝3.3．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为()A.14B.18C.116D ．1答案A解析因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立，故x (1－x )的最大值为14.4．(2023·重庆模拟)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4解析由x ＋y ＝1得1x ＋1y ＝x ＋y )＝2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，即1x ＋1y的最小值为4.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是()A ．b >a ＋b2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案C解析∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点E ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0)答案C解析根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD＝ab a ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ，所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b (a >0，b >0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练1(1)已知p ：a >b >0，q ：a 2＋b 22>，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>，∴由p 可推出q ；当a <0，b <0时，q 也成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(多选)已知a ，b ∈R ，则下列不等式成立的是()A.a ＋b 2≥abB.a ＋b 2≤a 2＋b 22C.2ab a ＋b ≤a ＋b 2D ．ab ≤a 2＋b 22答案BD解析A 选项，由选项可知a 与b 同号，当a >0且b >0时，由基本不等式可知a ＋b2≥ab 恒成立，当a <0且b <0时，a ＋b2<0，ab >0，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项，当a ＋b >0时，a ＋b2>0，则＝a 2＋b 2＋2ab －2a 2－2b 24＝－(a －b )24≤0恒成立，即a ＋b2≤a 2＋b 22恒成立，当a ＋b ≤0时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项，当a ＋b >0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≤a ＋b2恒成立，当a ＋b <0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≥a ＋b2，故C 选项错误；D 选项，由重要不等式可知，a ，b ∈R ，ab ≤a 2＋b 22恒成立，故D 选项正确．题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A ．x －1x B ．2x ＋2－xC ．x 2＋1x 2D.x 2＋2＋1x 2＋2答案BC解析选项A 中，当x <0时，函数y ＝x －1x单调递增，无最小值，不符合题意；选项B 中，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，满足题意；选项C 中，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，满足题意；选项D 中，x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．(2)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．答案3解析由已知，得12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，即12≥24x ·3y ，解得xy ≤3(当且仅当4x ＝3y 时取等号)．命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a ，b 为正数，4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2的最大值为()A.7B.3C ．22D ．2答案D解析因为4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2＝12×2a ×1＋b 2＝124a 2(1＋b 2)≤12×4a 2＋1＋b 22＝2，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝3时，等号成立．(2)已知x >1，则x 2＋3x －1的最小值为()A ．6B ．8C ．10D ．12答案A解析因为x >1，所以x －1>0，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝x －1＋2＋4x －1≥2＋2(x －1)·4x －1＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f (x )＝x ＋kx，k ＞0，x ∈[a ，b ]，[a ，b ]⊆(0，＋∞)．(1)当k ∈[a ，b ]时，f (x )＝x ＋kx ≥2k ，f (x )min ＝f (k )＝k ＋k k ＝2k ；(2)当k ＜a 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝a ＋ka ；(3)当k ＞b 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递减，f (x )min ＝f (b )＝b ＋kb.因此，只有当k ∈[a ，b ]时，才能使用基本不等式求最值，而当k ∉[a ，b ]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的最小值是______．答案32解析由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋3x 2＋2－2，令x 2＋2＝t (t ≥2)，则有f (t )＝t ＋3t－2，由对勾函数的性质知，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，f (t )min ＝32，即当x ＝0时，f (x )min ＝32.命题点3代换法例4(1)已知正数a ，b 满足8b ＋4a ＝1，则8a ＋b 的最小值为()A ．54B ．56C ．72D ．81答案C解析8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．延伸探究已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．答案72解析∵8a ＋4b ＝ab ，a >0，b >0，∴8b ＋4a＝1，∴8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．(2)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝3恒成立，则1a ＋1＋2b 的最小值为()A.32B.94C ．2D ．3答案B解析由a ＋2b ＝3得(a ＋1)＋2b ＝4，于是1a ＋1＋2b ＝·(a ＋1)＋2b 4＝141＋4＋2(a ＋1)b ＋2ba ＋1≥145＋22(a ＋1)b ×2ba ＋1＝94，当且仅当2(a ＋1)b＝2b a ＋1，且a >0，b >0，即a ＝13，b ＝43时，等号成立．所以1a ＋1＋2b的最小值为94.命题点4消元法例5已知正数a ，b 满足a 2－2ab ＋4＝0，则b －a4的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析∵a >0，b >0，a 2－2ab ＋4＝0，则b ＝a 2＋2a ，∴b －a 4＝a 2＋2a －a 4＝a 4＋2a ≥2a 4·2a＝2，当且仅当a 4＝2a ，即a ＝22时，等号成立，此时b ＝322.命题点5构造不等式法例6若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为()A ．9B ．6C ．3D ．12答案A解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，整理可得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)．所以ab ≥3，所以ab ≥9.所以当a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A ．y ＝sin x xB ．y ＝2－x －4x (x ＜0)C ．y ＝x 2＋6x 2＋5D ．y ＝4x ＋4－x答案AD解析对于A ，因为0＜x ≤π2，所以0＜sin x ≤1，则y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时取等号，符合题意；对于B ，因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＝4，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时等号成立，所以y ＝2－x －4x ≥2＋4＝6，即y ＝2－x －4x (x ＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋6x 2＋5＝x 2＋5＋1x 2＋5，设t ＝x 2＋5，则t ≥5，则y ≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D ，y ＝4x ＋4－x ＝4x ＋14x≥24x ·14x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故y ＝4x ＋4－x 的最小值为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a ，b 满足ab ＋a ＋b ＝8，下列说法正确的是()A ．ab 的最大值为2B ．a ＋b 的最小值为4C ．a ＋2b 的最小值为62－3D.1a (b ＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A ，因为ab ＋a ＋b ＝8≥ab ＋2ab ，即(ab )2＋2ab －8≤0，解得－4≤ab ≤2，又因为a >0，b >0，所以0<ab ≤2，则ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故A 错误；对于B ，ab ＋a ＋b ＝8≤(a ＋b )24＋(a ＋b )，即(a ＋b )2＋4(a ＋b )－32≥0，解得a ＋b ≤－8(舍)或a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故B 正确；对于C ，由题意可得b (a ＋1)＝8－a ，所以b ＝8－aa ＋1>0，解得0<a <8，所以a ＋2b ＝a ＋2×8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D，1a(b＋1)＋1b＝181a(b＋1)＋1b[a(b＋1)＋b]＝182＋ba(b＋1)＋a(b＋1)b≥18×(2＋2)＝12，当且仅当ba(b＋1)＝a(b＋1)b，即b＝4，a＝45时取等号，故D正确．课时精练一、单项选择题1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是() A．9B．18C．93D．27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.2．已知a>0，b>0，且1a＋1b＝1，则4a＋9b的最小值是() A．23B．26C．22D．25答案D解析由题意得a>0，b>0，1a＋1b＝1，故4a＋9ba＋9b)＝9ba＋4ab＋13≥29ba·4ab＋13＝25，当且仅当9ba＝4ab，即a＝52，b＝53时取等号，故4a＋9b的最小值是25.3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是() A．2B．3C．4D．5答案D解析对原条件式转化得3x＋1y＝5，则3x＋4yx＋4y)＋4＋12yx＋＋5，当且仅当12yx＝3xy且x＋3y＝5xy，即x ＝1，y ＝12时取等号．故3x ＋4y 的最小值为5.4．“∀x ∈(1,4]，不等式x 2－mx ＋m >0恒成立”的充分不必要条件是()A ．m >4B ．m <163C ．m <4D ．m <2答案D解析已知∀x ∈(1,4]，由不等式x 2－mx ＋m >0恒成立，得x 2x －1>m 恒成立，因为x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，所以m <4，所以m <2是m <4的充分不必要条件．5．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为()A.19B.112C.116D.120答案C解析因为x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则3x ＋y xy＝3y ＋1xx ＋3y )＝3x y ＋3yx ＋10≥23x y ·3yx＋10＝16，当且仅当3x y ＝3yx ，即x ＝y ＝14时，等号成立，所以0<xy 3x ＋y ≤116，即xy 3x ＋y的最大值为116.6．已知x >y >0且4x ＋3y ＝1，则12x －y ＋2x ＋2y的最小值为()A ．10B ．9C ．8D ．7答案B解析由x >y >0得2x －y >0，x ＋2y >0，令a ＝2x －y ，b ＝x ＋2y ，则a ＋2b ＝4x ＋3y ，由4x ＋3y ＝1得a ＋2b ＝1，故12x －y ＋2x ＋2y＝a ＋2b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab，且a ＋2b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号，也即2x －y ＝13，x ＋2y ＝13，即x ＝15，y ＝115时，等号成立，故12x －y ＋2x ＋2y的最小值为9.二、多项选择题7．已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，则()A ．x (x ＋2y )的最大值为4B ．log 2x ＋log 2y 的最大值为0C ．2x ＋2y 的最小值为4D.1x ＋2y 的最小值为32＋2答案BCD解析由x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，可得0<x <2,0<y <2，x (x ＋2y )＝(x ＋y －y )(x ＋y ＋y )＝(x ＋y )2－y 2＝4－y 2，由0<y 2<4可得0<4－y 2<4，所以x (x ＋2y )无最大值，故A 错误；由x ＋y ＝2≥2xy ，得0<xy ≤1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≤log 21＝0，故B 正确；由基本不等式可得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故C 正确；1x ＋2y ＝x ＋y )＋y x ＋＋＝32＋2，当且仅当x ＝22－2，y ＝4－22时取等号，故D 正确．8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析因为ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin θ∈23，2，所以D 错误．三、填空题9．若x <2，则x ＋9x －2的最大值为________．答案－4解析x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2，由于x <2，所以2－x >0，故2－x ＋92－x ≥6，当且仅当2－x ＝92－x，即x ＝－1时，等号成立，所以x －2＋9x －2＝－－x －6，故x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2≤－4，所以x ＋9x －2的最大值为－4.10．函数f (x )＝3x －32x 2－x ＋1在(1，＋∞)上的最大值为________．答案37解析因为f (x )＝3x －32x 2－x ＋1x ∈(1，＋∞)，令x －1＝t ，则t >0，则f (t )＝3t 2(t ＋1)2－(t ＋1)＋1＝3t2t 2＋3t ＋2＝32t ＋3＋2t ≤322t ·2t＋3＝37，当且仅当2t ＝2t ，t ＝1，即x ＝2时，等号成立．故f (x )在(1，＋∞)上的最大值为37.11．已知a >1，b >2，a ＋b ＝5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．答案92解析因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，又a ＋b ＝5，所以(a －1)＋(b －2)＝2，即12[(a －1)＋(b －2)]＝1，所以1a －1＋4b －2＝12[(a －1)＋(b －2)]·＝121＋b －2a －1＋4(a －1)b －2＋4≥125＋2b －2a －1·4(a －1)b －2＝12×(5＋4)＝92，当且仅当b－2a－1＝4(a－1)b－2，即a＝53，b＝103时取等号，所以1a－1＋4b－2的最小值为92.12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．答案4解析因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤(a＋5b)＋(2a＋b)22＝94(a＋2b)2，所以a＋2b≥4＋5b＝2a＋b，a＋5b)(2a＋b)＝36，即a＝83，b＝23时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.四、解答题13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(2)2x＋y的最小值．解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令xy＝t(t>0)，则t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30－x2＋x >0,0<x<30,2x＋y＝2x＋30－x2＋x＝2(x＋2)＋322＋x－5≥22(x＋2)·322＋x－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝322＋x，即x＝2时取等号，所以2x＋y的最小值为11.14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )x 元(a >5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a 的取值范围．解(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x ≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x米，则y ＝×2x ＋4007200＝7200≥900×2x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．(2)由题意可知，7200>900a (1＋x )x对任意的x ∈[2,6]恒成立，即(x ＋4)2x >a (1＋x )x ，所以(x ＋4)2x ＋1>a ，即a <(x ＋4)2x ＋1min ，(x ＋4)2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，则(x ＋4)2x ＋1的最小值为12，即0<a <12，又a >5，所以a 的取值范围是(5,12)．15．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x2x ＋y 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．8答案C解析由题得y x ＋16x 2x ＋y ＝y x ＋162＋yx，设yx＝t (t >0)，则f (t )＝t ＋162＋t ＝t ＋2＋162＋t－2≥2(t ＋2)·162＋t－2＝8－2＝6，当且仅当t ＋2＝162＋t，即t ＝2，即y ＝2x 时取等号．所以y x ＋16x 2x ＋y的最小值为6.16．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．答案4解析∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴a (a －b )＞0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，(a －b )＝1a (a －b )，＝1ab，即a ＝2，b ＝22时，等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：基本不等式
8x·5
760 x
当且仅当 8x＝5 7x60， 即 x＝12 5时，等号成立. ∴当直角梯形的高为 12 5 cm 时，用纸量最少.
第
三 部 分
课时精练
基础保分练
1.下列函数中，最小值为 2 的是
A.y＝x＋2x
B.y＝
x2＋3 x2＋2
√C.y＝ex＋e－x
D.y＝sin x＋sin1 x0<x<2π
(2)设
0<x<32，则函数
9 y＝4x(3－2x)的最大值为__2___.
∵0<x<32，∴3－2x>0， y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92，
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
知识梳理
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R).
(2) ba＋ab ≥ 2 (a，b同号).
a＋b2
(3)ab≤
2
(a，b∈R).
(4)
a2＋b2 2
≥
a＋b2
2
(a，b∈R).
命题点2 常数代换法 例 2 已知 x>0，y>0，且 4x＋2y－xy＝0，则 2x＋y 的最小值为
√A.16
C.12
B.8＋4 2 D.6＋4 2
由题意可知2x＋4y＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)2x＋4y＝8yx＋2xy＋8≥2 8yx·2xy＋8＝16， 当且仅当8yx＝2xy，即 x＝4，y＝8 时，等号成立， 则2x＋y的最小值为16.
高考数学一轮复习知识点与练习基本不等式
2a b(4) ≥(a ，b ∈R )．2 4a ＋b1．基本不等式 ab≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R )．b a (2) ＋ ≥2(a ，b 同号)．(3)ab≤a b22 (a ，b ∈R )．a 2＋b 2a b 22 2以上不等式等号成立的条件均为 a ＝b.3．算术平均数与几何平均数a ＋b设 a>0 ，b>0，则 a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)如果积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝y 时，x ＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小)p 2(2)如果和 x ＋y 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有最大值 .(简记：和定积最大)【思考辨析】xcosx 2y x2 2 2x －2 44x －5 x －1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)1(1)函数 y ＝x ＋ 的最小值是 2.()4 π(2)函数 f(x)＝cosx ＋，x ∈(0， )的最小值等于 4.()x y(3)“x>0 且 y>0”是“ ＋ ≥2”的充要条件．()1(4)若 a>0，则a 3＋a 2的最小值为 2 a.()a ＋b(5)不等式 a 2＋b 2≥2ab 与≥ ab 有相同的成立条件．()1．(教材改编)设 x>0，y>0，且 x ＋y ＝18，则 xy 的最大值为________．x 2＋y 2 2．若实数 x ，y 满足 x>y>0，且 log x ＋log y ＝1，则x －y的最小值为________．1 3．若函数 f(x)＝x ＋ (x>2)在 x ＝a 处取最小值，则 a ＝________.4．(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.5．(教材改编)已知 x ，y ∈R ＋，且 x ＋4y ＝1，则 xy 的最大值为________．题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 配凑法求最值5 1 例 1(1)已知 x< ，则 f(x)＝4x －2＋ 的最大值为________．x2＋2 (2)函数 y ＝ (x>1)的最小值为________．x －1(3)函数 y ＝的最大值为________．x ＋3＋ x －1思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成2|a| b－(1)已知 x ，y ∈(0，＋∞)，2x 3＝( )y ，若 ＋ (m >0)的最小值为 3，则 m ＝________.例 3(1)已知直线 ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c>0)经过圆 x 2＋y 2－2y －5＝0 的圆心，则 ＋ 的最小值是(2)已知 a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是 1，且 m ＝b ＋ ，n ＝a ＋ ，则 m ＋n 的最小值是________．a b a ＋3b立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点 2 常数代换或消元法求最值例 2 (1)若正数 x ，y 满足 x ＋3y ＝5xy ，则 3x ＋4y 的最小值是________．1 |a | (2)(高考改编题)设 a ＋b ＝2，b>0，则＋ 取最小值时，a 的值为________． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1 1 m2 x y(2)已知 x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则 x ＋3y 的最小值为________．题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点 1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题4 1b c________．1 1a b命题点 2 求参数的值或取值范围3 1 m例 4 已知 a>0，b>0，若不等式 ＋ ≥ 恒成立，则 m 的最大值为________．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足 a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项 a m ，a n 使得 a m a n ＝1 44a 1，则m ＋n 的最小值为________．x ＋1 3603x x yx 2＋ax ＋11(2)已知函数 f(x)＝ (a ∈R )，若对于任意 x ∈N *，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是______．题型三 不等式的实际应用例 5 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：千米/x 2时)．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2＋ )升，司机的工资是每小时 14 元．(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C (x)，当年110 000产量不足 80 千件时，C (x)＝ x 2＋10x(万元)．当年产量不小于 80 千件时，C (x)＝51x ＋ －1 450(万元)．每件商品售价为 0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？9．忽视最值取得的条件致误1 2典例(1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x ＋y 的最小值是________．x2222x 4sinx③x2＋1≥2|x|(x∈R)；④1>1(x∈R)．b aa b3(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：a＋b a2＋b2a＋b ab≤()≤，ab≤≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．m3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．11①lg(x2＋)>lgx(x>0)；②sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)；x2＋1a b2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2成立”的__________条件．143．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．4．(2014·庆改编)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．8．若正数a，b满足＋＝1，则1＋99．若当x>－3时，不等式a≤x＋2x x y南12．设x，y均为正实数，且32＋x2＋y＝1，则xy的最小值为________．重5．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．6．规定记号“”表示一种运算，即a b＝ab＋a＋b(a、b为正实数)．若1k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k xx的最小值为________．7．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为________．11a b a－1b－1的最小值是________．x＋3恒成立，则a的取值范围是________．10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．11．(2015·通二模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；11(2)求＋的最小值．B组专项能力提升(时间：20分钟)3＋15．设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则 ＋ 的最小值为________．tm 2＋113．已知 m >0 ，a 1>a 2>0 ，则使得 m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的 x 的取值范围是___________．14．已知 x ，y ∈R 且满足 x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则 z ＝x 2＋4y 2 的取值范围为________．1 1a b16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计)，第 t 天(1≤t≤30，t ∈N *)的旅游人数 f(t)(万1人)近似地满足 f(t)＝4＋ ，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益 W (t)(万元)与时间 t(1≤t≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 4基本不等式课件
2
8
=
225
，
2
当且仅当 = 30 − ，即 = 15时等号成立，所以这个矩形的长为15 m时，菜园的最
225
大面积是
2
225
2
m .故填15； .
2
【巩固强化】
1.下列命题中正确的是(
)
1
A.当 > 1时， + 的最小值为2
C.当0 < < 1时， +
即 = 2时，等号成立.所以 ≤
=
1
9
+1
1
6−4
=
.
9
+1++1−4
≥2
+1 ⋅
1
1
.故填 .
2
2
9
+1
= 6,当且仅当 + 1 =
9
,
+1
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足 + =
3
A.
2
且
4
)
5
C.
4
1
+ 的最小值是(
2
√
5
B.
2
解：因为 + = 2，所以 +
−2=
1
2−4
1
2 −2
=−2+
，即 = 2 +
1
2 −2
+2≥2
2
时取等号.
2
所以 的最小值为2 + 2.故选A.
−2 ⋅
1
2 −2
+ 2 = 2 + 2，当且仅当
高考理科数学一轮复习课件基本不等式
特殊性质
当$a < b < 0$时，有$frac{1}{b} < frac{1}{a}$；当$0 < a < b$时，有 $frac{1}{a} > frac{1}{b}$。
D
常见不等式关系
• 算术平均值与几何平均值关系：对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$，有 $\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}$。
• 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列${a_i}$和 ${bi}$（$i = 1, 2, \ldots, n$），有$\left(\sum{i=1}^{n} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{n} bi^2\right) \geq \left(\sum{i=1}^{n} a_ib_i\right)^2$。
解一元二次不等式方法
配方法
将不等式化为完全平方 的形式，从而确定解集 。
因式分解法
将不等式因式分解，根 据每个因式的符号确定 解集。
数轴标根法
在数轴上标出方程的根 ，根据不等式的性质确 定解集。
图像法
画出抛物线的图像，根 据图像确定不等式的解 集。
03 绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
绝对值不等式分类与解法
一元一次绝对值不等式
形如$|ax + b| > c$或$|ax + b| < c$的不等式。解法：根 据绝对值定义，将不等式转化为两个一元一次不等式组进 行求解。
一元二次绝对值不等式
高三数学一轮复习课件《基本不等式》
方法二：令 t k 2 1 ，则 k 2 t 1.
4
400（1 k 2 )2 5k 2 5 4k
2
2
2
1600 81
.
所以
当S 2且仅当4400t52 k
(5t 1)(4t
21)5204t420k02tt2，1即k2
1
t2
410时0 ， S
1 20 t
2
.
最小为
1600 81
.
所以当 1 1 ，即 k 2 1时， S 2 最小为 1600 .
2
2.能够使用基本不等式及公式的变形解决简单的最大（小）值问题. 3.在使用基本不等式求最大（小）值时注意“=”成立的条件.
4.应用基本不等式求较复杂的最大（小）值问题时，注意配凑、换元、消元、变形等方法的
使用.
【命题规律】
高考对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与 函数、数列、解析几何等知识结合考查，主要以选择题或填空题的形式 进行考查，但有时也在解答题中出现.
t2
81
知巩识固再型现题组
【归纳总结】
本组题目有什么特点？应该如何求解？
本组题目都是含有一个变量的函数的最值问题. 在解答时应从变量个数、次数、结构形式等角度观 察与分析“目标函数”，通过辨析，运用配凑、换 元等方法构造出基本不等式的结构特征，并确认 “一正、二定、三相等”是否同时成立？若成立， 则可以运用基本不等式求解；若不成立，则可以从 函数角度求解.
再现型题组
1.已知 ab 1， a2 b2 取得最小值时， a b 2 .
1
若 a2 b2 1，则 ab 的最大值是 2 .
2.如图所示， AB是圆 O 的直径， C 是圆上任意一点，a b
高考一轮复习理科数学课件基本不等式
图形结合法
对于涉及图形的问题，可以画 出草图帮助理解题意和分析选
项。
填空题答题策略探讨
准确理解题意
明确题目所给条件和要 求，确定解题方向。
注意单位换算
在涉及单位换算的问题 中，要特别注意单位之 间的转换关系，避免出
错。
利用已知条件
尽量利用题目给出的已 知条件进行计算和推导
，减少运算量。
检查答案合理性
XX
PART 05
解题方法与技巧总结
REPORTING
选择题答题技巧分享
01
02
03
04
仔细审题
注意题目中的关键词和物理过 程，分析各选项之间的差异和
联系。
排除法
对于不确定的选项，可以先排 除明显错误的选项，再结合题 目信息和相关知识进行推断。
特殊值法
在某些情况下，可以代入特殊 值进行验证，从而快速排除错
概率模型中的期望和方差计算问题
01
利用基本不等式求期望和方差的界
在概率模型中，经常需要计算随机变量的期望和方差，这时可以利用基
本不等式来求解其上下界。
02 03
概率不等式证明
对于一些复杂的概率模型，可以通过构造不等式来证明其期望和方差的 性质，这种方法往往需要结合概率模型的特点和基本不等式的性质来进 行。
对于任意一组实数，至少有 $frac{1}{n}$的数与它们的平均数 的差的绝对值不超过平均数与这 组数的最大（或最小）值之差的 绝对值，其中$n$为实数的个数 。
切比雪夫不等式的意 义
反映了一组数的离散程度与它们 的平均数之间的关系。
切比雪夫不等式在代 数式中的应用
可以用于估计一组数的取值范围 、证明不等式等。
高考数学一轮复习规划1.5基本不等式课件
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
【常用结论】
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
1.5 基本不等式
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b≥0). 结合具体实例，能用基本不等式解决 简单的最大值或最小值问题.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
【教材梳理】
1. 基本不等式 如果 a>0，b>0，那么 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 该式叫基本 不等式，其中，a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平 均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
解：易知1a＋a2＋ab＝2aa＋b＋a2＋ab＝1＋a＋a b＋a2＋ab≥1＋2 2，当且仅当 a＋b＝ 2
a 且 2a＋b＝1，即 a＝ 2－1，b＝3－2 2时等号成立. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
命题角度 4 换元法求最值
(2020 届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x，y 满足 x2－xy＋y2＝1，则 x＋y
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的
均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.
2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+
− +
+
+
= + ，即 =
=
+
+
，
−
+
<<
，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值
⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
1.
+ ≥ （,同号）.
+
2. ≤
+
3.
4.
≥
+
, ∈ .
+
≥
+
≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =
+
+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，
高三总复习数学课件 基本不等式
A．3 B．4 C．5 D．6
()
解
析
：
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
y
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
x
＋
4 x－2
＝
(x
－
2)
＋
4 x－2
＋
2≥2
x－2·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时取等号，∴函数 y
＝x＋x－4 2的最小值为 6. 答案：D
2．已知 0<x<3，则 2x(3－x)的最大值为
1．(苏教版必修第一册 P57·T8 改编)设 a＞0，则 9a＋1a的最小值为 A．4 B．5 C．6 D．7
()
解析：9a＋1a≥2 9a×1a＝6.当且仅当 9a＝1a，即 a＝13时等号成立．
答案：C
2．(人教 B 版必修第一册 P73·例 1 改编)若 x<0，则 x＋1x A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最小值是 2 p .(简
记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y
p2 时，xy有最大值是 4 .(简
记：和定积最大)
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满 足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
等号成立，A 选项正确；
对于 B 选项，由基本不等式可得a＋12b＋2a1＋b＝13(3a＋3b)a＋12b＋2a1＋b＝13[(a