八年级数学完全平方式
八年级奥数完全平方公式讲解
性质：两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍;左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这⾥说项时未包括其符号在内).公式中的字母可以表⽰具体的数(正数或负数)，也可以表⽰单项式或多项式等数学式.注意：1左边是⼀个⼆项式的完全平⽅。
2右边是⼆项平⽅和，加上(或减去)这两项乘积的⼆倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后⼀项都是加号，不要因为前⾯的符号⽽理所当然的以为下⼀个符号。
概念：完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2。
该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。
【使⽤误解】①漏下了⼀次项②混淆公式③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。
【学习⽅法】公式特征学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
这两个公式的结构特征：左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍;左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这⾥说项时未包括其符号在内).公式中的字母可以表⽰具体的数(正数或负数)，也可以表⽰单项式或多项式等数学式.【完全平⽅公式】前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
即 (a+b)∧2=a∧2+b∧2+2ab(a-b)∧2=a∧2+b∧2-2ab【公式变形】变形的⽅法(⼀)、变符号：(⼆)、变项数：(三)、变结构【注意事项】1、左边是⼀个⼆项式的完全平⽅。
八年级数学完全平方公式
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
3、( 2a+b)2=4a²+4ab+ b2 .
4、如果 4x2 kx 9
是一个完全平方式，则
k= 12 .
(a-b)2与(b-a)2呢？ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a+b)2=(-a-b)2 (a-b)2=(b-a)2
练习：1、运用完全平方公式计算:
(1) (x+6)2
(2) (y-5)2
(3) (-2x+5)2 (4) (3 x - 2y)2
a 32 4b2
a2 6a 9 4b2
2a b c2
a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ac 2bc c2
(3) (x+2)2(x-2)2 (4) (a+2b+3c)2
练习： 3、计算:
(1)(2x+y2b)2
2、计算： ⑴ (x-y)2- (x+y)2 = -4xy ⑵ (x+2) (x-2) (x2-4)
=x4-8x2+16
例2 完全平方公式的应用: (1) 1022 ;
八年级数学培优：完全平方数和完全平方式知识点及竞赛训练(含答案)
完全平方数和完全平方式一、内容提要（一）、定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.（二）、整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.（三）、完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.（四）、完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.（五）、完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.设3k2－1＝m2(m是整数).由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立.当k为偶数，m为奇数时，左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k为奇数，m为偶数时，左边k2除以4余1，3k2除以4余3右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m取何整数，3k2＝m2＋1都不能成立.∴3k2－1不是整数的平方，16（3k2－1）也不是整数的平方.∴当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根三、练习1.如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2.如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.3.如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4.一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5.一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.6.m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？7.m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？8.a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：①四个连续整数的积；②两个奇数的平方和.10.一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解.参考答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
人教版八年级数学上《完全平方公式》知识全解
《完全平方公式》知识全解
课标要求
掌握完全平方公式，会用它进行运算，会逆用这个公式。
知识结构
（1）完全平方公式
公式：（a+b)2=a2+2ab+b2; （a-b)2=a2-2ab+b2
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
（2）添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
内容解析
本小节从探究另一种特殊形式的多项式乘法入手，介绍了完全平方公式的运算方法，并从图形的角度说明了它的正确性。
接着给出了一些适合用公式解决的问题，让学生熟悉、巩固公式的应用。
第二部分介绍了添括号法则，这个法则应用很广泛，添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验。
重点难点
重点是：熟练运用完全平方公式进行运算，熟练运用添括号法则解决问题。
难点是：熟练运用完全平方公式进行运算，熟练运用添括号法则解决问题。
教法导引
教师以引导为主，鼓励学生自主学习，讨论交流。
学法建议
学生阅读教材，以自主学习为主，注意与同学的交流。
八年级数学竞赛讲座：第31讲 完全平方数和完全平方式
第三十一讲 完全平方数和完全平方式设n 是自然数，若存在自然数m ，使得n=m 2，则称n 是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；(5)任何整数平方之后，只能是3n 或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n ，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数； (6)相邻两个整数之积不是完全平方数；(7)如果自然数n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解【例1】 n 是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l 是3个完全平方数之和． 思路点拨 设3n+1=m 2，显然3卜m ，因此，m=3k+1或m=3k+2(k 是正整数)． 若rn=3k+1，则k k m n 233122+=-=．∴ n+1=3k 2+2k+1= k 2+ k 2+( k+1)2．若m=3k+2，则1433122++=-=k k m n∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2+(k+1)2+( k+1)2． 故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．设所求正整数为x ，则 x+100=m 2----① x+168==n 2 -----②其中m ，n 都是正整数， ②—①得n 2—m 2=68，即 （n —m ）(n+m)=22×17．---- ③因n —m ，n+m 具有相同的奇偶性，由③知n —m ，n+m 都是偶数．注意到0<n —m<n+m ，由③可得⎩⎨⎧⨯=+=-1722m n m n ． 解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由． 思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k 2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k ，有4k=(k+1)2—(k —1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x 2—y 2=(x+y)(x －y)，其中x ，y 为正整数，当x ，y 奇偶性相同时，(x+y)(x －y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x ，y 奇偶性相异时，(x+y)(x －y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ，y 使得x 2—y 2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde 满足下列条件： (1)它的各位数字均不为零； (2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a 是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de 也都是完全平方数． 试求出满足上述条件的所有五位数．思路点拨 设abcde M =2，且2m a =(一位数)，2n bc = (两位数)，2t de = (两位数)，则2224221010t n m M +⨯+⨯= ①由式①知 224222210210)10(t mt m t m M +⨯+⨯=+⨯= ② 比较式①、式②得n 2=2mt ．因为n 2是2的倍数，故n 也是2的倍数，所以，n 2是4的倍数，且是完全平方数． 故n 2=16或36或64．当n 2=16时，得8=mt ，则m=l ，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故116642=M 或41616．当n 2=36时，得18=mt ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去． 故436812=M 或93636．当n 2= 64时，得32=mt ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去． 因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．【例5】 (2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数． 理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足22002m n n j i =+；j i ，=1，2，3，4，rn 是正整数；因为2002被4除余2，所以j i n n 被4除应余2或3．(1)若正整数n 1，n 2，n 3，n 4中有两个是偶数，不妨设n 1，n 2是偶数，则200221+n n 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n 1，n 2，n 3，n 4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数． (2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与j i n n 被4除余2或3的结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数． 【例6】 使得(n 2—19n+91)为完全平方数的自然数n 的个数是多少?思路点拨 若(n 2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了． ∵ n 2一19n+91=(n-9)2+(10一n) 当n>10时，(n －10)2<n 2－19n+19<(n-9)2 ∴ 当n>10时(n 2—19n+19)不会成为完全平方数 ∴ 当n ≤10时，(n 2—19n+91)才是完全平方数 经试算，n=9和n=10时，n 2—19n+91是完全平方数． 所以满足题意的值有2个．【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知200221a a a ，，， 的值都是1或—1，设m 是这2002个数的两两乘积之和．(1)求m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； (2)求m 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．思路点拨 (1)m m a a a a a a 220022)(2200222212200221+=++++=+++ ，22002)(2200221-+++=a a a m ． 当1200221====a a a 或1-时，m 取最大值2003001．当200221a a a ，，， 中恰有1001个1，1001个1-时，m 取最小值—1001．(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且200221a a a +++ 必为偶数，所以，当46200221=+++a a a 或46-；即200221a a a ，，， 中恰有1024个1，978个1-或恰有1024个1-，978个1时，m 取最小值57)200246(212=-． 【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2都是平方数(即整数的平方)，证明：(1) 2a 、2b 都是整数；(2)a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x 的整数值，c bx ax ++2的值都是平方数? 思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数=2l ；令x=±1，得2m c b a =++，2n c b a =+-，其中m 、n 都是整数．所以，c n m a 2222-+=， 222n m b -=都是整数．(2) 如果2b 是奇数2k+l(k 是整数)，令x=4得22416h l b a =++，其中h 是整数． 由于2a 是整数，所以16a 被4整除，有2416416++=+k a b a 除以4余2．而))((22l h l h l h -+=-，在h 、l 的奇偶性不同时，))((l h l h -+是奇数；在h 、l 的奇偶性相同时，))((l h l h -+能被4整除．因此，22416l h b a -≠+，从而2b 是偶数，b 是整数，b c m a --=2 ^也是整数．在(2)成立时，c bx ax ++2不一定对x 的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，c bx ax ++2=8不是平方数． 另解(2)：令x=±2，得4a+2b+c=h 2，4a —2b+c=k 2，其中h 、k 为整数．两式相减得 4b=h 2—k 2=(h+k)(h —k)．由于4b=2(2b)是偶数，所以h 、k 的奇偶性相同，(h+k)(h —k)能被4整除． 因此，b 是整数，b c m a --=2也是整数．学力训练(A 级)1．(山东省竞赛题)如果a -是整数，那么a 满足( )A ．a>0，且a 是完全平方数B ．a<0，且－a 是完全平方数C ．a ≥0，且a 是完全平方数D ．a ≤0，且—a 是完全平方数 2．设n 是自然数，如果n 2的十位数字是7，那么n 2的末位数字是( )A ．1B ．4C ．5D ．63．(五羊杯，初二)设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N 的最大值是 ． 4．使得n 2—19n+95为完全平方数的自然数n 的值是 ．5．自然数n 减去52的差以及n 加上37的和都是整数的平方，则n= ． 6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是．7．是否存在一个三位数abc (a ，b ，c 取从1到9的自然数)，使得cab bca abc ++为完全平方数? 8．求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完全平方数． （B 级）1．若x 是自然数，设1222234++++=x x x x y ，则 ( ) A ．y 一定是完全平方数 B ．存在有限个，使y 是完全平方数 C ．y 一定不是完全平方数 D ．存在无限多个，使y 是完全平方数2．已知a 和b 是两个完全平方数，b 的个位数字为l ，十位数字为x ；b 的个位数为6，十位数字为y ，则( )A ．x ，y 都是奇数B ．x ，y 都是偶数C ．x 是奇数，y 是偶数D ．x 为偶数，y 为奇数 3．若四位数xxyy 是一个完全平方数，则这个四位数是 ． 4．设m 是一个完全平方数，则比m 大的最小完全平方数是 ．5．(全国联赛题)设平方数y 2是11个连续整数的平方和，则y 的最小值是 ．6．(北京市竞赛，初二)p 是负整数，且2001+p 是—个完全平方数，则p 的最大值为 ． 7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士? 8．证明：10006999309个各n n 是一个完全平方数．。
八年级数学完全平方公式
八年级数学完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
知识要点
1．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．即：两数的和（或差）的平方，•等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍，这两个公式叫做完
全平方公式．
2．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不
变符合；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
典型例题
例．计算：①（2a+3b）2（2a-3b）2 ；②2（x+y）（x-y）-（x+y）2- （x-y）2 ；
③（a-b+c）（a+•b-c）
分析：直接用多项式的乘法比较复杂，可抓住式子的特征确定简单的方法．•第①题先逆用积的乘方，再利用平方差公式和完全平方公式计算；第
②题可将x+y 看着a，•把x-y 看着b，再逆用完全平方公式计算．第③题可以先利用添括号法则将式子变为能用平方差公式计算的结构形式，再运用完
全平方公式计算
解：①（2a+3b）2（2a-3b）2=[（2a+3b）（2a-3b）]2
=（4a2-9b2）2=16a4-72a2b2+81b4
②2（x+y）（x-y）-（x+y）2-（x-y）2
=-[（x+y）2-2（x+y）（x-y）+（x-y）2]
=-[（x+y）-（x-y）]2
=-（2y）2=-4y2。
八年级数学完全平方公式
04
完全平方公式的应用举例
代数表达式化简
将复杂的代数表达式通过完全平方公 式进行化简，使其更易于理解和计算。
VS
例如，将$(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，可以简化复杂的 代数表达式。
解决实际问题
通过完全平方公式解决一些实际问题，如计算面积、周长等。
例如，计算矩形的面积和周长，可以将矩形分成两个相同的直角三角形，然后利用完全平方公式计算 。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，完全平方公式是重要的解题工具之一。
完全平方公式在解决数学问题时 具有重要的作用，如求代数式的
值、因式分解、解方程等。
02
完全平方公式的基本形式
公式表达
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
公式的结构特点
完全平方公式由三部分组成：首平方、尾平方和两倍首尾积 的二倍。
通过大量的练习题，熟悉 公式的应用场景和变化形 式，提高解题能力和技巧。
总结归纳
将完全平方公式的应用进 行归纳总结，形成系统化 的知识体系，有助于加深 理解和记忆。
THANKS
推导方法二：通过代数运算
利用代数运算，将一个多项式表示为另一个多项式的平方 。
例如，$(a+b)^2$ 可以展开为 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $2ab$ 是 $a$ 和 $b$ 的两倍乘积，$b^2$ 是 $b$ 的平方。
八上完全平方公式
八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。
下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。
一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。
这个公式可以用来求解a、b的平方和。
二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。
其中最常见的是求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。
三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。
当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。
四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。
完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。
通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。
人教版数学八年级上册14.完全平方公式课件
(4) (x+7y)2 . (4) (x+7y)2
=x2+2·x·7y+(7y)2 =x2+14xy+49y2 .
3.（2020·枣庄）图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长
方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成
四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼
成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( C )
拓展提升
1.将1052变形正确的是（ C ）
A. 1052=1002+52
B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
解： 1052=(100+5)2=1002+2×100×5+52.
2.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ D ）
(2) (m+2)2=_(_m_+_2_)_(m__+_2_)_=_m__2+_4_m__+_4_；m2+2×2m+22
(3) (p-1)2=__(_p_-_1_)(_p_-_1_) =__p_2_-_2_p_+_1_； P2-2p+12
(4) (m-2)2=_(_m_-_2_)(_m__-2_)_=__m_2_-_4_m_+_4_； m2-2×2m+22 猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
(1)用多项式乘法证明： (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2