人教版八年级数学完全平方公式

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完全平方公式(课件)八年级数学上册(人教版)

(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.2完全平方公式
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种
植不同的新品种.
p2+2p+1
P2-2p+1
m2-4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)
(m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
=1002-2×100×1+12
=10000+400+4
=10000-200+1
=10404
=9801
利用完全平方公式简便计算：

人教版八年级数学上册14.22完全平方公式

人教版八年级数学上册第十四章14.2.2完全平方公式（第1课时）教学目标：１、完全平方公式的推导及其应用；２、完全平方公式的几何背景；３、体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；（2）完全平方公式的应用．教学难点：完全平方公式的推导、其几何解释、公式结构特点及其应用．教学过程：一、回顾旧知1、多项式乘多项式法则：2、(x+p)(x+q)=3、平方差公式：(a+b)(a-b)=二、课前小测1、速度大比拼•(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)•(a-b) (a-b)-(a+b) (a+b)•(-3x+4y) (-3x+4y)2、智力大比拼一个正方形的边长为acm,若边长增加 2cm，则新正方形的面积增加了多少？三、激发学生兴趣，例题引出本节内容例题：(x+3)² - x²除了平方差公式计算，你还有别的方法吗？活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2=（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2=（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝；（a-b）2＝a2-2ab+b2，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b 2（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2．二.问题引申，总结归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即（a+ b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2．记忆口诀：首平方，尾平方,积的2倍放中央.在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方。

人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT

合作探究
思考：怎样添括号才能够变成乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式公式结构，再运用公式使计算简便。

人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)

(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2．当a=-1，b=2时，原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2；解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2；解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;

人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(共34张PPT)

已知x，y的和与积求平方和答案：69
已知x，y的和与积求平方和答案：11或-11
总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
= =
首平方尾平方ຫໍສະໝຸດ 2倍乘积放中央总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ．平方差公式
例题运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式？只有一个括号，只能是完全平方公式先变形再化简
已知x，y的和与差的平方求积
已知x，y的和与差的平方求积答案：8
已知x，y的和与积求平方和 ②等式右边都是两个数_____________，再减去这两个数_____________
你知道怎么算这种式子吗？
①等式左边都是两个数_____________ 这个符合完全平方公式还是平方差公式？
=
③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
（2）a-b-c=a-（） 1．如何判断应该选择哪个公式？
=
③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
观察式子，回答下列问问题：
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方公式怎么推导完全平方公式？利用完全平方公式计算应该注意什么？
例题运用完全平方公式计算：
解：
ab
ab
例题运用完全平方公式计算：方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习运用完全平方公式计算：
练习运用完全平方公式计算：

人教版八年级数学上册14.完全平方公式课件

(a b)2 a2 + 2 a b +b2
（2）
y
1 2
2
y2
2
y
1 2
1 2
2
y2
y
1． 4
例题解析
【例2】运用完全平方公式计算：
（1）1022；
（2）992．
解：
（1）1022 (100 2)2 1002 2 100 2 22 10 000 400 4 10 404 ；
完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2； (a b)2 a2 2ab b2．
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍．
探究新知
你能根据图（1）和图（2）的面积说明完全平方公式吗？
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
探究新知
和的完全平方公式：
b ab
拓展应用
小结：添括号法则是由去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
课堂小结
1．完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2；(a b)2 a2 2ab b2．
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
课堂小结
2．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．即：a+b+c=a+(b+c)；a-b-c=a-(b+c)．
课堂小结
本图片资源介绍了完全平方公式及其特点，适用于完全平方公式的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】完全平方公式.

人教版八年级数学上册完全平方公式

例题讲解
例在等号右边的括号内填上适当的项：
(1) a+b−c=a+( +b−c ) ；添括号法则：
+b −c
括号前面是正号，到括号里的各项都不变符号．
例题讲解
例在等号右边的括号内填上适当的项：
(2) a−b+c=a−( +b−c )； +b −c
添括号法则：括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
(1) (−2x+5)2
= [−(2x−5)] 2
解： (1) ( − 2 x + 5 ) 例在等号右边的括号内填上适当的项：
2
= [−(a−b)]2
=[(a−2b)−1]2
= [− ( 2 x − 5 ) ] 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
= 4x2−20x+25;
2
方法二：
(−x)2=x2.
巩固练习
练习下列计算结果为2ab−a2−b2的是( D ) ．
A ． (a−b)2 C．−(a+b)2
B．(−a−b)2 D．−(a−b)2
添括号法则：括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
2ab−a2−b2
= −(a2−2ab+b2) 两数差的完全平方公式：
= −(−2ab+a2+b2) = −(a−b)2 ．
探究新知
∵(−a+b)2 = [−(a−b)]2 = (a−b)2 ， ∴ (−a+b)2= (a−b)2 ．
∵(−a−b)2 = [−(a+b)]2 = (a+b)2 ， ∴(−a−b)2 =(a+b)2 ．

乘法公式完全平方公式人教版八年级数学上册

新课学习
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1

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20.2.2 完全平方公式
计算:
(1)(p+1)2
2+2p+1 P = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2)(m+2)2= _________;
P2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________; m2-4m+4 (4) (m-2)2 = __________.
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
判断
(x+y)2=x2+y2
( a b) a +2ab +b
×
完全平方公式的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
( a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
2
2
2 (a+b) =
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
完全平方公式的数学表达式：
2 2 +2ab +2ab+b (a+b)2= a2 +b
2 2 - 2ab (a-b)2= a2 +b - 2ab+b
1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
= 16m2+8mn +n2;
1 = y2-y + 4
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
模仿练习一： a2+2a+1 (1) (a＋1)2＝______________
(2) (3＋x)2＝______________ 9+6x+x2
2 a
2 +2ab+b
2 2 公式特点： (a-b) = a -
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
首平方，末平方，首末两倍中间放，符号与前一个样.
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ 2 =x2+2xy +y2 2 2 2 (x + y) (1)(x+y) =x +y 错 (2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
更上一层
a b c 2a 4b 6c 14 0,
2 2 2
求 : c a b的值.
1 1 2 (10)已知 a 3，求 a 2 的值. a a
通过这节课的学习你学到了什么
乘法的完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积说明完全平方公式吗?
b a a b
b
a 图 15.2-2 b a 图15.2-3
完全平方公式的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
(3) (2a+3b)2
= ( 2a )2+2•( 2a )•( 3b )+( 3b )2
=______________ 4a2+12ab+9b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
模仿练习二： m2-14m+49 (1) (m－7)2＝______________
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
2
更上一层
2
(a b) 4, (a b) 36 （8）已知： 2 2 求: a ab b 的值.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
(9)已知 :
2 2 25-20y+4y (2) (5-2y) ＝______________
16a2-24ab+9b2 (3) (4a－3b)2=______________
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
模仿练习三： m2-14m+49 (1) (m－7)2＝______________
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 例2 运用完全平方公式计算: (2) 992 . (1) 1022 ;
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2×100×2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2×100×1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.
拓展思维
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式， ±5 则 k=_____.
(4)如果9x2-mxy+16y2可化为一个
±24 整式的平方，则 m=_____.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
（5）已知 a+b = 4，ab = -12，则a2 + b2= 40 . （6）已知 m+n= 3，mn = 5，求:(m+3)(n+3)的值. （7）已知 x+y=4，xy =-13， 2 2 求: x 3xy y 的值.
错
错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 例1 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y1 2 ) . 2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
2 2 25-20y+4y (2) (5-2y) ＝______________
16a2-24ab+9b2 (3) (4a－3b)2=______________
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 利用完全平方公式计算：
1 (1) ( 2 x − 2y)2 1 2 (2) (2xy+ 5 x )
(5)(2s t )
2
再试身手
(a+b)2= a2 +2ab+b2来自(6)(4a b )
2
2 2
(3)(n (4)(-x-2y)2
+1)2 −
n2
(7)(2a b )
2
2 2
(8)(2a 3b) 2a(a b)
2
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 （2）代数式2xy-x2-y2= ( D A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
规律：两数和(或差）的平方,加问题 1：通过计算你发现了什么规律？（或减）它们积的 2倍. 问题 3 ：你能用字母表示发现的规律吗？问题 2 ：具有怎样特点的整式乘法，用你发现
的规律去计算可以简化？
2 (a+b) =
2 2 a +2ab+b
(a-b)2 = a2-2ab+b2
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.