勾股定理第三课时
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2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝
1 2
AC·BC＝
1 2
CD·AB，
∴150×200＝250·CD，
∴CD＝150 200 ＝120（m）．
C
250
∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
B D
∴学校 C 会受噪声影响．
A
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该 学校持续的时间有多少分钟？
解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形； 当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代 数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
分析：（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得 出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
B
C
F
D
E
A
解：（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF
上时学校会受噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m）， ∴EF＝100（m）．
（1）当△ABC 三边分别为 6，8，9 时，△ABC 为__锐__角___三角 形；当△ABC 三边分别为 6，8，11 时，△ABC 为__钝__角___三角形．
6
9
8
6
10
8
6
11
8
解：（1）直角三角形两直角边分别为 6，8 时， 斜边＝ 62＋82 ＝10，
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
勾股定理第三课时
证明：在Rt△ABC 和 Rt△A B C 中，∠C=∠C′ ′ ′ ′ =90°，根据勾股定理，得
BC = AB 2 -AC 2 ，
2 2 B′ C′ = A′ B′ -A′ C′ ．
A
A ′
C
B C′
B′
实数
一一对应
数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
-2 -1
B
0
C
1 2
D
点A表示 2 点C表示
A
2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探 宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东 走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又 往西走3千米，在折向北走到6千米处往东 一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
1 6 3 2 A 8 B
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高 为 ． ， 的直角三角形的斜边. 2 ．长为 26 的线段是直角边长为正整数 角形ABC中,边长为无理数的边数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三
当堂达标
5.已知如图所示，等边三角形ABC的边长为8：
（1）求高AD的长 （2）求这个三角形的面积 （答案可保留根号）
18
勾股定理
作
课本 27页
业
1 2
……
知识回忆 ： ☞
直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方。
B
∵∠C=90°
a
c
b
2 2 2 ∴a +b =c
A
C
证明“HL”
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结 论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
BC = AB 2 -AC 2 ，
2 2 B′ C′ = A′ B′ -A′ C′ ．
A
A ′
C
B C′
B′
实数
一一对应
数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
-2 -1
B
0
C
1 2
D
点A表示 2 点C表示
A
2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探 宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东 走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又 往西走3千米，在折向北走到6千米处往东 一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
1 6 3 2 A 8 B
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高 为 ． ， 的直角三角形的斜边. 2 ．长为 26 的线段是直角边长为正整数 角形ABC中,边长为无理数的边数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三
当堂达标
5.已知如图所示，等边三角形ABC的边长为8：
（1）求高AD的长 （2）求这个三角形的面积 （答案可保留根号）
18
勾股定理
作
课本 27页
业
1 2
……
知识回忆 ： ☞
直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方。
B
∵∠C=90°
a
c
b
2 2 2 ∴a +b =c
A
C
证明“HL”
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结 论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
八年级数学下册教学课件《勾股定理》(第3课时)
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 13 的点.
l B 13 2
3
O 0
1
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
17.1 勾股定理
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：如图所示，有8条.
一个点一个点地 找，不要漏解.
巩固练习
17.1 勾股定理
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 .
解：如图所示. A C
B
探究新知
17.1 勾股定理
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
能力提升题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、10、13,求这个三
角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格
（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需 求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
探究新知
17.1 勾股定理
问题2 长为 13 的线段是直角边的长都为正整数的直角三角 形的斜边吗？
13 ?
13 ?
13 ?
1
华师版八年级数学上册作业课件(HS)第十四章 勾股定理 勾股定理 第3课时 直角三角形的判定
3．(3分)(洛阳外校期末)下列结论中，错误的有( C) ①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC， 若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°； ③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形． A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
【素养提升】 19．(10分)(焦作期末)法国数学家费马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的 关系式，显然，满足这个关系式的x，y，z有无数组．当x，y，z都为正整数时， 我们把这样的三个数x，y，z叫做勾股数．如，3，4，5就是一组勾股数． (1)请你再写出两组勾股数：_6_，__8_，__1_0___；_9_，__1_2_，__1_5__； (2)古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数， x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么，x，y，z为勾股数，请你加以证明． 解：(2)证明： x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2， ∴x，y，z为勾股数
解：(1)是，∠B是直角 (2)不是 (3)是，∠C是直角
8．(8分)一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都 应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？ 请说明理由．
解：符合要求，理由如下：∵152＝122＋92，∴∠A＝90°， ∵172＝152＋82，∴∠DBC＝90°，∴符合要求
11．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半 圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为( B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
2022秋八年级数学上册 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 3直角三角形的判定授课课件华东师大版
知1－讲
例5 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边
上的点，且AB＝4，CE＝
1 4
BC，F为CD的中
点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三
角形？请说明理由．
知1－讲
导引：直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易， 1
但由于“AB＝4，CE＝ 4 BC，F为CD的中 点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的 长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而 得到三角形的形状．
知1－讲
解： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202 ＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2， 即b2＝a2＋c2， ∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．
知2－讲
解： ∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2 =n4 － 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2
想一想，为什么 选择AB2 + BC2 ？ AB、BC、CA的 大小关系是怎样 的？
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
导引：先将等式两边同时分解因式，然后通过对分 解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．
解：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
知1－讲
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.
2023年人教版八年级下册数学第十七章勾股定理第3课时勾股定理(3)
·数学
10.(人教8下P29)已知一个三角形工件尺寸(单位：mm)如图， 求高l的长(结果保留根号).
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝l， ∵AB＝AC＝88 mm，BC＝64 mm， ∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD＝12BC＝32 mm. 在Rt△ABD中，AD＝ AB2－BD2＝ 882－322＝ 8 105(mm)， 即高l的长为8 105 mm.
AC＝4，则AB＝ BC2＋AC2＝ 32＋42 ＝5， ∴S阴影部分＝AB2－12BC·AC＝52－12×3×4＝19.
·数学 5.【例1】(人教8下P27)如图，在数轴上作出表示 13的点. 解：如图，点A即为表示 13的点.
答案图 小结:利用勾股定理画出数轴上的无理数点.
·数学 9.(人教8下P27、北师8上P39)如图，在数轴上作出表示 17 的点. 解
解：过A点作AD⊥BC于点D， 由题意知∠ABD＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°， ∴AB＝2AD，CD＝AD，由勾股定理得BD＝ 3AD， ∵BC＝2.4 km＝2 400 m，∴ 3AD＋AD＝2 400， 解得AD＝1 200( 3－1)≈876＞800， 故该公路不会穿过纪念园.
·数学
2.(跨学科融合)如图，为防控新冠疫情，学校大门入口的正 上方A处装有测温仪，测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当 人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温.当身高为1.7 米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时(即BC＝DE＝0.8 米)，测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD 为 1 米.
答案图
·数学 6.【例2】(人教8下P28)已知带孔的长方形零件尺寸(单位： mm)如图，求两孔中心的距离.
解：根据题意得AC＝51－21＝30(mm)， BC＝61－21＝40(mm)， 所以AB＝ AC2＋BC2＝ 302＋402＝ 50(mm)， 即两孔中心的距离是50 mm.
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探究3：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤：1、在数轴上找到点 A,使OA=3;
2、作直线 l⊥OA,在l上取一点 B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以 OB为半径作弧，弧与
数轴交于 C点，则点C即为表示 13 的点。
?B
∴点C即为表示 13 的点
B 1
6
3
2
A
8
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出 发向西北方向航行，另一轮船以12海里/时的 速度同时从港口A出发向东北方向航行，离开 港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
分类思想
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
知识回忆 ：?
直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方。
B
∵∠C=90°
ac
b
C
∴a2+b2=c2
A
实数
一一对应
数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
C
D
-2
-1
0
点A表示 ? 2
点C表示 1
1
2
点B表示 ?
2 3
点D表示
7 3
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
17
8
10
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
……
探究与猜想
18 勾股定理 作
业
习题18.1 6. 12.
复习题18
1.
补充题
拓广与应用
补充题1
1.你能用几种方法画出长为 3 的线段 ?请说明理由 .
2.请你在数轴上画出表示 ? 34
12cm长的线， 请同学量出4cm，用大头钉固定好, 把剩下的线分成5cm和3cm两段拉 紧固定，用量角器量出最大角的度 数。
动手画一画
补充题3
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c：
5，12，13； 6, 8, 10； 8，15，17。
（1）这三组数都满足a2? b2 ? c2吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
综合运用
4.一个中学生探险队走地下迷 宫（如图），他们从入口A出 发，利用随身携带的仪器，测 得先向东走了10km，然后又向 北行走了6km，接着又向西走 了3km，再向北走9km，最后 向东一拐，仅走1km就找到了 A 出口B．你能帮他们计算出出 口点B与入口点A的直线距离有 多远吗？
1B
9 3 6
10
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬
了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
提示
B
E
构
造
直 角
C
F
三
角
形
D
0
1
A?
2 3 C4
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 ?
的线段.
1
12
345
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 ?
的线段.
假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝 游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往 西走3千米，在折向北走到6千米处往东一 拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到 宝藏埋藏点B的距离是多少千米？