变量变换
概率论变量变换法
概率论变量变换法概率论变量变换法是一种求解随机变量函数的分布的方法，它利用随机变量之间的函数关系，通过积分或者求和的方式，得到新的随机变量的概率分布。
概率论变量变换法有两种常见的形式：一元变换和多元变换。
一元变换是指已知一个随机变量X的分布，求另一个随机变量Y=f(X)的分布。
一元变换的方法有两种：累积分布函数法和密度函数法。
累积分布函数法是利用Y=f(X)的累积分布函数F_Y(y)等于F_X(f^{-1}(y))或者1-F_X(f^{-1}(y))，根据X的累积分布函数F_X(x)求出F_Y(y)，然后求导得到Y 的密度函数f_Y(y)。
密度函数法是利用Y=f(X)的密度函数f_Y(y)等于f_X(f^{-1}(y))乘以f^{-1}(y)对y的导数的绝对值，根据X的密度函数f_X(x)求出f_Y(y)。
一元变换的例子有指数分布、正态分布、卡方分布、t分布等。
多元变换是指已知n个随机变量X_1,X_2,...,X_n的联合分布，求另外m个随机变量Y_1,Y_2,...,Y_m=g(X_1,X_2,...,X_n)的联合分布。
多元变换的方法有两种：雅可比行列式法和矩母函数法。
雅可比行列式法是利用(Y_1,Y_2,...,Y_m)和(X_1,X_2,...,X_n)之间的雅可比行列式J=\frac{\partial(Y_1,Y_2,...,Y_m)}{\partial(X_1,X_2 ,...,X_n)}，根据(X_1,X_2,...,X_n)的联合密度函数f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,...,x_n)求出(Y_1,Y_2,...,Y_m)的联合密度函数f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)，其中f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)=f_{X_1,X_2,... ,X_n}(g^{-1}(y_1,y_2,...,y_m))|J|。
二重积分的变量变换
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
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例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
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o
2 cos
D
2
x
D
x y d
2 2
d
2 2
0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2
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例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
常用的4种变量变换的方法
常用的4种变量变换的方法
1.数值型变量的转换：将数值型变量进行加、减、乘、除等数学运算或进行对数、开方、指数等数学函数运算，可以将数据进行标准化、归一化、平滑等处理。
例如，将体重转换为BMI指数。
2. 分类型变量的转换：分类型变量通常需要将其转换为数值型变量才能进行分析和建模，可以采用二元变量编码、独热编码、二叉编码等方式进行转换。
例如，将性别转换为0和1的二元变量。
3. 时间型变量的转换：将时间型变量转换为时间戳、日期、时间差等数值型变量，可以方便地进行时间序列分析、异常检测等操作。
例如，将日期转换为距离某个基准时间的天数。
4. 多维变量的转换：将多维变量进行主成分分析、因子分析、聚类分析等降维处理，可以提取数据的重要特征，并便于可视化和建模。
例如，将多个指标进行主成分分析，得到第一主成分可作为综合指标。
- 1 -。
微分方程的变量替换法
微分方程的变量替换法是求解微分方程的常用方法之一，它通过将原方程中的自变量进行变换，将原方程转化为更简单的形式，从而帮助我们更容易地求解和理解微分方程的性质。
首先，让我们从简单的一阶常微分方程开始讨论变量替换法的基本原理。
考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，我们可以将自变量x进行变换，令u(x) = g(x, y)，其中g是一个适当的函数。
通过链式法则，我们可以得到du/dx = dg/dx + dg/dy * dy/dx。
然后，将dy/dx替换为f(x, y)得到du/dx = dg/dx + f(x, y) * dg/dy。
如果我们选取g(x, y)满足dg/dy = 1/f(x, y)，则可以将方程简化为du/dx = dg/dx + 1。
此时，我们可以通过积分的方法求解等式du/dx = 1，得到u(x) = x + C，其中C是一个积分常数。
最后，将u(x)还原回y(x)，得到y(x) = g^(-1)(x + C)。
这样，通过变量替换，我们成功地将原方程简化为线性微分方程，从而可以较容易地求解。
除了上述的一阶常微分方程外，变量替换法同样适用于高阶常微分方程和偏微分方程的求解。
对于高阶常微分方程，我们可以通过多次的变量替换，将其转化为一系列的一阶微分方程。
例如，对于带有常系数的二阶常微分方程y'' + ay' + by = 0，我们可以将y' = u进行变量替换，得到一组一阶微分方程u' + au + by = 0和y' = u。
然后，我们可以分别解这两个一阶方程，并将解代入原方程得到y(x)。
对于偏微分方程，变量替换法同样有着广泛的应用。
考虑一个二维的线性偏微分方程P(x, y) ∂u/∂x + Q(x, y) ∂u/∂y = R(x, y)。
我们可以通过变量替换x = X(x, y)和y = Y(x, y)，得到P(X, Y) ∂u/∂X + Q(X, Y) ∂u/∂Y = R(X,Y)。
变量变换的方法
探索变量变换的方法一、变量变换的概念变量变换是指在数学或物理学中，将一个或多个变量转换为另一个或多个变量的过程。
通常，这种转换是通过一个方程或一组方程来实现的。
在数学中，变量变换通常用于简化复杂的方程或函数，而在物理学中，它们则用于描述和解决物理问题。
二、变量变换的应用场景变量变换可以用于许多不同的应用场景，包括:1. 简化复杂的方程或函数：变量变换可以将一个复杂的方程或函数转换为一个简单的形式，从而更容易地进行分析和求解。
2. 描述和解决物理问题：在物理学中，变量变换经常用于描述和解决各种物理问题。
例如，在牛顿力学中，可以使用变量变换将一个复杂的运动方程转换为一个简单的形式，以便更容易地描述物体的运动。
3. 实现数据可视化：变量变换可以将一组数据转换为另一个变量，以便更容易地进行可视化和分析。
三、变量变换的实际操作步骤进行变量变换通常需要以下步骤:1. 选择变量：选择一个或多个变量进行变换。
这些变量通常是方程或函数中的自变量或因变量。
2. 编写变换方程：编写一个方程或一组方程，将原始变量转换为目标变量。
3. 求解变换后的方程：将变换后的方程求解，以获得目标变量的值。
4. 分析结果：分析变换后的方程或函数的性质，以便更好地理解原始问题。
四、变量变换在数学和物理学中的重要性变量变换在数学和物理学中都具有重要作用，可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。
通过变量变换，我们可以将一个复杂的问题转换为一个简单的形式，更容易地分析和求解。
此外，变量变换还可以帮助我们更好地描述和解决实际问题，以及实现数据可视化和分析。
变量变换是一种非常重要的方法，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
二重积分的变量替换（ＰＤＦ）
=
π
,
0
4
∫ 所求广义积分 ∞ e− x2 dx = π .
0
2
例8 求曲线( x2 + y2 )2 = 2a2 ( x2 − y2 ) 和 x2 + y2 ≥ a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x2 + y2 = a2 ⇒ r = a,
D1
S
D2
∫∫ 又 I = e−x2− y2 dxdy
S
∫ ∫ ∫ = R e− x2dx R e− y2dy = ( R e− x2dx)2;
0
0
0
∫∫ I1 = e− x2− y2dxdy
D1
∫ ∫ =
π
2 dθ
R e −r2 rdr
= π (1 − e−R2 );
0
0
4
∫∫ 同理 I 2
=
D2
对称性
命题 设f ( x, y)在D上可积，且D关于原点对称。
若f (− x,− y) = − f ( x, y),则∫∫ f ( x, y)dσ = 0 D
若f (− x,− y) = f ( x, y)
则∫∫ f ( x, y)dσ = 2∫∫ f ( x, y)dσ
D
D1
其中D1为D的上半部分（或右半部 分）区域
S = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
D2 S
DSD1 2
R 2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0} 显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2
e− x2 − y2 > 0,
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∴ e−x2− y2 dxdy ≤ e− x2− y2 dxdy ≤ e− x2− y2dxdy.
SPSS变量变换
数据变化功能主要是在Transfer功能中一Compute函数变换1内容对某个变量进行函数变换，并赋值给新的变量Compute VariableTarget-新的变量yNumeric Expression-输入函数二count计数变量Count函数将用户规定的某个变量变成1，其余变量变成0三Recode函数Recode函数是将变量的值重新规定，包含两个子命令函数Into same variables 变换后的数值保存在原变量中Into different variables 变换后的数值保存在另一个新的变量中四Categorise Valuables分类别重编码转换将变量从小到大排序，然后平均分组五Rank case秩序变换对某个变量计算某个数据的秩，这里的秩是指从小到大（从大到小）排序时候每个数值对应的序号对于相同秩取平均序号六Automatic recode自动重编码秩变换对某个变量计算某个数据的秩，这里的秩是指从小到大（从大到小）排序时候每个数值对应的序号对于相同序号的秩取相同数值适用范围（成绩单排名）SPSS的描述性分析总共有四个子命令Frequencies 频数分析Descriptive 描述统计分析Explore 探索分析；Crosstabs列联表分析因子的旋转对于公共因子的解释，主要看各列的载荷，如果各列载荷差别不到，则对于变量的解释带来困难，因此要进行因子的旋转，比较合理的载荷分布是各载荷绝对值差距较大，最好呈现两极分布，这样比较方便对于主因子的解释。
旋转前后各因子特征根的变化情况表，抽取后因子的数量和总方差贡献率在旋转前后是没有发生变化的，但是对于每个特征根的大小及相应的贡献率则进行了重新分配。
旋转后的载荷系数已经明显向两极化分化，。
1.1.3 随机变量的函数变换
1 f X ( x) = e 2π σ
−
( x −m )2 2σ 2
f X ( x) =
1 e 2π
x2 − 2
fY ( y) = f X1 ( y) ∗ f X2 ( y)
Φ Y (ω ) = Φ X1 (ω ) ⋅ Φ X 2 (ω ) = Φ (ω )
2 X
ΦX (−ω) = e
t2 − 2 2σ
f X ( x) =
1 2π σ X
−
( x−mX )2
2 2σ X
e
Y −b X = h(Y) = a
fY ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) =
− 1 = e 2π a σ X
1 2π σ X
e
y −b −mX )2 − a 2 2σ X (
1 a
( y − am X −b ) 2
(1) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (ω )
(2) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (ω )Φ 3 (ω ) (3) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (2ω )Φ 3 (3ω )
(4) Φ X (ω ) = e
j10ω
Φ1 (2ω )Φ 2 (ω )Φ 3 (4ω )
性 3: 互 独 随 变 之 的 征 数 于 随 变 质 相 立 机 量 和 特 函 等 各 机 量 特 函 之 ,即: 若 = ∑Xn, Xn之 相 独 , 征 数 积 Y 间 互 立
n= 1 N
则: ΦY (ω) = E[e
jωY
] = ∏ Xn (ω) Φ
n= 1
14
N
随机变量X 1 , X 2 , X 3彼此独立, 且特征函数分别为Φ1 (ω ), Φ 2 (ω ), Φ 3 (ω ), 求下列随机变量的特征函数 : (1) X = X 1 + X 2 ; (3) X = X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 (2) X = X 1 + X 2 + X 3 ; (4) X = 2 X 1 + X 2 + 4 X 3 + 10.
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(4)按所指定的分布求随机变量X在各个Di中 取值的概率Pi；i=1，2，…，k．如果所指 定的分布中有未知的参数，可先用极大似 然法求出各个未知参数的估计量后再求上 述各个概率的估计值．
(5)根据样本容量n及概率Pi或估计值 求 随机变量x在各个Di中取值的理论频数n Pi 或理论频数的估计值n≯；i=1，2，…k．
总体分布的检验-卡方拟合优度检验
检验观测数据是否与某种已知分布的理论 数值相符合，进而推断观测数据是否是来 自于该分布的样本。
具体步骤：
(1)设H。：总体X服从某个指定的分布． (2)将随机变量X的取值范围划分为k个互不
相交的区间或区域Di；，i=1，2，…，k． (3)由样本的观测值求随机变量X在各个Di；
几种基本的简单函数变换—平方根变换
平方根变换（square root transformation）将原始数据 X 的平方根作为分析变量
或
或
式中 K 为常数，须经尝试得到。当有小值或零时，可用
或
平方根变换的用途：①使服从 Poisson 分布的计数资料，或 轻度偏态资料正态化；②使方差不齐且各样本的方差与均数 间呈正相关的资料达到方差齐的要求。
另一种常见的变量变换类型是变量的标准化（standardization） 或规范化（normalization）。标准化或规范化的目标是使整个值 的集合具有特定的性质。一个传统的例子是统计学中的"对变量 标准化"。如果 x是属性值的均值（平均值），而Sx是它们的标 准差，则变换x' = (x )/Sx创建一个新的变量，它具有均值0和标 准差1。如果要以某种方法组合不同的变量，则为了避免具有较 大值域的变量左右计算结果，这种变换常常是必要的。例如， 考虑使用年龄和收入两个变量对人进行比较。对于任意两个人， 收入之差的绝对值（数百或数千元）多半比年龄之差的绝对值 （小于150）大很多。如果没有考虑到年龄和收入值域的差别， 则对人的比较将被收入之差所左右。
（2）由于卡方分布是连续分布，而在(6)中 计算矿统计量的观测值时，使用的是观测 频数n Pi ，因此这个统计量只是近似服从 卡方分布，近似的程度取决于样本含量和 类别数．为了保证足够的近似程度，要求
示例
对一个容量n=50的随机样本进行某项指标 的测量，得到50个观测值，根据测量结果， 判断该项指标的总体分布是否为正态分布。 测量值如下：
总体方差齐性的检验
F检验：两组。 Hartley检验法：样本容量相等。 Cochran检验法：样本容量相等，比Hartley
更敏感。 极差比值检验法：以极差为基础。 Bartlett检验法，可用于样本容量不等。
Bartlett检验
检验统计量
示例
某医师研究不同人群的发汞含量，分3组进行检验。原数 据3组间样本方差相差较大，经用对数转换后数据如表所 示，问转换后数据是否具有方差齐性。
变量变换
毛静静 何江平 唐敏
第一部分 分析方法假定检验
为什么要进行变量变换？
参数统计分析方法对资料有一定的要求，如t检验 和方差分析要求样本来自正态分布总体，并且方 差齐同；直线相关（回归）分析要求两变量间呈 直线关系。但实际工作中并非所有的统计资料都 能满足参数统计分析方法的条件；对于不能满足 条件的资料，则不能直接应用参数统计分析方法， 否则有可能导致错误的结论。解决的办法：一是 通过适当的变量变换，使之达到方法的要求，这 是本节所要介绍的方法；二是选用非参数统计分 析方法。一般情况下，若能通过变量变换使资料 符合参数方法条件时，应尽量用参数统计方法。
(6)计算Z2统计量的观测值
当被估计的未知参数有l个、Z2≥Z乙。(五一 时放弃H0，否则接受Ho．
注意：
（1）上述统计量是以妒分布为极限分布， 作z2检验时要求n≥50．k的大小没有严格的 规定，可随行的增减而增减，但k太小会使 检验过于粗糙，而k太大又会增加随机误差， 通常取5≤k≤16．
变量变换的途径——标准化
均值和标准差受离群点的影响很大，因此通常需要修改上 述变换。首先，用中位数（median）（即中间值）取代均 值。其次，用绝对标准差（absolute standard deviation）取 代标准差。
几种基本的标准化变换—最大最小规格化
该方法对被初始数据进行一种线性转换。设 minA 和 maxA
几种基本的简单函数变换—对数变换
对数变换（transformation of logarithm）将原始数据 X 取 对数，以其对数值作为分析变量
还可根据需要用
或
式中 K 为常数，须经尝试得到。若原始数据分布的资料正态化；② 使方差不齐且各组的 接近的资料达到方差齐的要求；③使 曲线直线化，常用于曲线拟合。
几种基本的简单函数变换—平方根反正弦变换
平方根反正弦变换（arcsine trasformation of square root） 将原始数据 X 的平方根反正弦作为分析变量
平方根反正弦变换的用途：使总体率较小（<30%）或总体率 较大（>70%）的二项分布资料达到正态或方差齐的要求。
变量变换的途径——标准化
第二部分 变量变换途径
变量变换的途径——简单函数
对于这种类型的变量变换，一个简单数学函数分 别作用于每一个值。如果x是变量，这种变x换k 的例 子包括 , log x, ex, , 1/x, sin x和 | x | 。在统计学 中，变量变换（特别是平方根、对数和倒数变换） 常用来将不具有高斯（正态）分布的数据变换成 具有高斯（正态）分布的数据。尽管这可能很重 要，同时，如果感兴趣的变量是一次会话中的数 据字节数，并且字节数的值域范围为1到10亿。这 是一个很大的值域，使用常用对数变换将其进行 压缩可能是有益的。这样的话，传输108和109字 节的会话比传输10字节和1000字节的会话更为相 似。