考研数学二(向量代数和空间解析几何)-试卷1
考研数学二（向量代数和空间解析几何）-试卷1(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.过点(一1，2，3)且垂直于直线并平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：设所求直线的方向向量为s，直线的方向向量为s 1=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为n=(7，8，9)，故由点法式方程知，所求直线为整理得，应选(A)．3.设有直线则L 1与L 2的夹角为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由已知条件，L 1的方向向量为s 1 =(1，一2，1)．4.设有直线Lπ：4x一2y+z一2=0，则直线L( )（分数：2.00）A.平行于π．B.在π上．C.垂直于π．√D.与π斜交．解析：解析：L一28，14，一7)=7(一4，2，一1)．π的法向量n=(4，一2，1)．显然s∥n，所以选(C)．5.如果直线L 1：相交，则λ（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由已知，L 1的方向向量s 1 =(1，2，λ)，且过点A(1，一1，1)；L 2的方向向量s 2 =(1，1，1)，且过点B(一1，1，0)．若L 1与L 2相交，则s 1，s 2，共面，即6.π：2x+7y+4z一1=0，则( )（分数：2.00）A.L 1∥π．√B.L 1⊥πC.L 2∥π．D.L 1⊥L 2．解析：解析：L 1的方向向量s 1=(一1，2，一3)．L 2的方向向量s 2=(3，1，2)．π的法向量n=(2，7，4)，由于s 1 .n=一1×2+2×7—3×4=0，故L 1∥π，从而应选(A)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)7.已知|a|=2，|b|=5，a和b A=λa+17b与B=3a一b垂直，则系数λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：由已知，A.B=0，于是(λa+17b).(3a—b)=0，即3λ|a| 2 +(51一λ)a.b一17|b| 2 =0，亦即12λ+(51一λ一425=0，解得λ=40．三、解答题(总题数：15，分数：30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：9.设向量A=2a+3b，B=3a一b，|a|=2，|b|=1，a和b A.B．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案： A.B=(2a+3b).(3a—b) =6|a| 2 +7a.b—3|b| 2 =6|a| 2 +7|a||b|cos -3|b|2=6×2 2一3×1 2 =28．)解析：10.已知单位向量与三个坐标轴的夹角相等，B是点M(1，一3，2)关于点N(一1，2，1)的对称点，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为与三个坐标轴的夹角相等，所以 cosα=cosβ=cosγ．又由于cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，于是设B点坐标为(x，y，z)，由已知可知N是MB的中点，从而有解得x=一3，y=7，z=0，所以，则)解析：11.求点P(1，2，一1) d.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：如图4—1所示．向量s=(2，一1，3)，由向量积的几何意义，) 解析：12.试证向量a=一i+3j+2k，b=2i一3j一4k，c=一3i+12j+6k在同一平面上．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：三个向量共面的充分必要条件是混合积等于零．因为(a，b，=0，所以a，b，C三向量共面．)解析：13.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：两条直线的方向向量分别为 s 1 =(0，1，1)，s 2 =(1，2，1)，故平面的法向量=一(1，一1，1)，由平面的点法式方程知，所求平面的方程为x一y+z=0．)解析：14.求过点(2，一3，1)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设过已知直线的平面束方程为λ1 (x一5y—16)+λ2 (2y—z+6)=0，把点(2，一3，1)代入上式，得λ1一λ2 =0，即故所求平面为x一3y一z—10=0．)解析：15.设一平面垂直于xOy面，并通过点(1，一1，1)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先求点(1，一1，1)到直线的垂线的方向向量．已知直线的参数方程为设点到直线的垂足为(0，t，t+1)，则垂线的方向向量为(一1，t+1，t)．由于该向量垂直于已知直线的方向向量(0，1，1)，从而 (一1，t+1，t).(0，1，1)=2t+1=0，于是所求平面的法向量为由平面的点法式方程可得(x一1)+2(y+1)=0，即 x+2y+1=0．)解析：16.设直线L过点P(一1，0，4)，与平面π：3x一4y+z=10平行，且与直线L 0：x+1=y一交，求此直线L的方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：过点P(一1，0，4)且平行于已知平面π的平面方程为3(x+1)一4y+(x一4)=0，它与直线L 0的交点为(15，19，32)，即为L 0与L的交点．由两点式得L的方程即)解析：17.设有直线L 1与L 2是否相交?若相交，求出交点；若不相交，求出两直线间的距离．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案： L 1，L 2的方向向量分别为 s 1 =(2，1，一3)，s 2 =(4，一1，2)，且两直线分别过点M 0 (一1，1，0)和M 1 (2，3，一4)．由于故L 1与L 2为异面直线．如图4—2所示，两直线间的距离即为在其公垂线的方向向量上的投影的绝对值，即)解析：18.xOy面上的投影曲线方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：在方程组中消去z，得曲线关于xOy面的投影柱面方程为x 2 +y 2 =4，于是投影曲线为)解析：19.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)由方程组消去z得x 2 +y 2 +(1+x 2 +y 2 ) 2 =5，即 (x 2 +y 2 ) 2 +3(x 2 +y 2 )一4=0．亦即x 2 +y 2 =1，此时z=2(注意z＞0)，所以曲线方程可化为令x=cos θ，y=sin θ，得曲线参数方程为(2)曲线方程消去z得2x 2 +y 2 =(1一x) 2，即 (x+1) 2 +y 2 =2．) 解析：20.已知点A与B的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及平面z=0，z=1所围成的立体体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：AB所在直线的方程为：解出x=1一z，y=z，于是旋转曲面的方程为x 2+y 2 =(1一z) 2 +z 2，即 x 2 +y 2 =1一2z+2z 2．由于旋转体的横截面是圆，半径为故所求立体的体积为)解析：21.求直线π：x一y+2z—1=0上的投影直线L 0的方程，并求L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将L的方程改写为一般方程为则过L的平面束方程为x一y一1+λ(y+z一1)=0，即x+(λ-1)y+λz-(1+λ)=0欲使它与平面π垂直，则1一(λ—1)+2λ=0，从而λ=一2，得到平面束方程中经过L且垂直于π的平面方程为x一3y一2z+1=0，于是投影直线L 0的方程为L 0：将L 0化为于是L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为x 2 +z 2 =4y 2 4x 2一17y 2 +4z 2 +2y一1=0．)解析：22.z轴旋转而成的旋转曲面方程，并问a、b不同时为零时，该曲面为何种曲面?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将直线方程改写成于是旋转曲面方程为 x 2 +y 2 =a 2 z 2 +b 2．当a≠0，b≠0时，旋转曲面方程为为单叶旋转双曲面．当a≠0，b=0时，旋转曲面方程为为圆锥面．当a=0，b≠0时，旋转曲面方程为 x 2 +y 2 =b 2，为圆柱面．)解析：。
考研数学(二)题库(高等数学)-第四章 向量代数和空间解析几何【圣才出品】
x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（ ）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
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【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
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又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
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2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
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A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章 向量代数和空间解析几何
一、选择题
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1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（ ）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（ ）。
A．平行于∏
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[考研类试卷]考研数学二(向量代数和空间解析几何)模拟试卷1.doc
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[考研类试卷]考研数学二（向量代数和空间解析几何）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 过点(一1，2，3)且垂直于直线并平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是( )2 设有直线则L1与L2的夹角为( )3 设有直线L：及平面π：4x一2y+z一2=0，则直线L( )（A）平行于π．（B）在π上．（C）垂直于π．（D）与π斜交．4 如果直线L1：相交，则λ=( )5 已知两条直线平面π：2x+7y+4z一1=0，则( )（A）L1∥π．（B）L1⊥π（C）L2∥π．（D）L1⊥L2．二、填空题6 已知|a|=2，|b|=5，a和b的夹角为，如果向量A=λa+17b与B=3a一b垂直，则系数λ=_____．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7 设向量A=2a+3b，B=3a一b，|a|=2，|b|=1，a和b的夹角为，求A.B．8 已知单位向量与三个坐标轴的夹角相等，B是点M(1，一3，2)关于点N(一1，2，1)的对称点，求9 求点P(1，2，一1)到直线的距离d.10 试证向量a=一i+3j+2k，b=2i一3j一4k，c=一3i+12j+6k在同一平面上．11 求过原点且与两条直线都平行的平面方程．12 求过点(2，一3，1)和直线的平面方程．13 设一平面垂直于xOy面，并通过点(1，一1，1)到直线的垂线，求此平面方程．14 设直线L过点P(一1，0，4)，与平面π：3x一4y+z=10平行，且与直线L0：x+1=y一3=相交，求此直线L的方程．15 设有直线试问L1与L2是否相交?若相交，求出交点；若不相交，求出两直线间的距离．16 求空间曲线在xOy面上的投影曲线方程．17 将下列曲线化为参数方程．18 已知点A与B的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及平面z=0，z=1所围成的立体体积．19 求直线在平面π：x一y+2z—1=0上的投影直线L0的方程，并求L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．20 求直线绕z轴旋转而成的旋转曲面方程，并问a、b不同时为零时，该曲面为何种曲面?。
考研数学一(填空题)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．当x→0时，x—sinxcos2x～cx2，则c=___________，k=___________．正确答案：c=，k=3．解析：知识模块：高等数学2．方程｜A｜＝＝0的根是_______．正确答案：a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)解析：由观察可知，χ1＝a1时，1、2行对应元素相等，｜A｜＝0；χ2＝a2时，2、3行对应元素相等，｜A｜＝0，χ3＝a3，时，3、4行对应元素相等，｜A｜＝0．又由行列式的每行元素和为χ＋a1＋a2＋a3，将2、3、4列各元素加到第1列相应元素上去，且提取公因式得｜A｜＝(χ＋a1＋a2＋a3)＝0，故有χ＝－(a1＋a2＋a3) 所以方程是一元四次方程，四个根依次是a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)．知识模块：行列式3．设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT＝，则αβT＝_______．正确答案：5解析：设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，则而αTβ＝(a1，a2，a3)＝a1b1＋a2b2＋a3b3 可以看出αTβ也就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ＝1＋6＋(－2)＝5．知识模块：矩阵4．设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=______(n＞2)·正确答案：n!fn+1(x)解析：将f’(x)=f2(x)两边求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得f”‘(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n!fn+1(x)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设y=sinx2，则=____________．正确答案：解析：设u=x3，则x=，于是由复合函数求导法则即得知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．设随机变量X概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2，…)则E(X2)=________。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶，先把第1列的(一1)倍分别加到第2、3、4列，得故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．2．行列式A．(ad一bc)2B．一(ad 一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad (ad 一bc)+bc(ad 一bc)=一(ad 一bc)2.3．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*B．kn一1A*C．k一1A*D．k一1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n一1阶行列式，故|kA|的每个元素的代数余子式等于|A|的对应元素的代数余子式的kn一1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn一1倍，即(kA)*=kn 一1A*．4．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，故有AE(1，2)E(3，2(1))=C于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．5．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得一B*．D．交换A*的第1行与第2行得一B*．正确答案：C解析：用排除法，以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得一B*，而其它选项均不对，故只有(C)正确．记P为交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且|B|=一|A|，P一1=P．由A可逆知B可逆，利用B一1=|B|一1B*，得B*=|B|一1=一|A|(PA)一1=一(|A|A 一1)一1=一A*P或A*P=一B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第1列与第2列，故知选项(C)正确．也可利用B*=(PA)*=A*P*，及P*=|P|P一1=一P，得B*=一A*P．6．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C，记P=则A．C=P一1AP，B．C=PAP一1C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于P一1=所以，C=PAQ=PAP一1，只有选项(B)正确．7．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则A．E一A不可逆，E+A不可逆．B．E一A不可逆，E+A可逆．C．E一A可逆，E+A可逆．D．E一A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：由于(E一A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E一A和E+A均是可逆的．8．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵并记|C|的(i，j)元素的代数余子式为Aij(i，j=1，2，3，4)，则计算可得：A11=0，A21=0，A31=|A|h，A41=一A|f，A12=0，A22=0，A32=一|A| g，A42=|A|e，A13=|B|d，A23=一|B|b，A33=0，A43=0，A14=一|B|c，A24=|B|a，A34=0，A44=0．于是由伴随矩阵的定义(C*的(i，j)元为Aji)，得因此选(B)．9．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=A．B．C．D．正确答案：A解析：由于Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]所以故只有选项(A)正确．10．设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1=，则A=A．P1P2．B．P1一1P2．C．P2P1．D．P2P1一1．正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1=I，两端左乘P2一1，两端右乘P1一1，得A=P2一1P2一1，因P2一1= P2，而P1一1≠P1，故只有(D)正确．11．设区域D由曲线y=sinx，x=±，y=1围成，则(xy5一1)dxdy=A．π．B．2．C．一2．D．一π．正确答案：B解析：已知A(α1+α2，α2，α3)=(α1+α2，α2，α3)(Aα1+Aα2，A α2，α3)=(α1+α2，α2，2α3)Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=2α3A(α1+α2)=A α1+Aα2=α1+α2AQ=A(α1+α2，α2，α3)=(A(α1+α2)，Aα2，Aα3)=(α1+α2，α2 ，2α3)=(α1+α2，α2，α3)两端左乘Q一1，得Q一1AQ=．由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠0(否则α1，α2线性相关，与α1+α2，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．从而知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出(α1+α2，α2，α3)一1A(α1+α2，α2，α3)=diag(1，1，2)，即Q一1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．填空题12．设E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)一1(E—A)，则(E+B)一1=________．正确答案：解析：由题设等式得E+B=E+(E+A)一1(E 一A)用(E+A)左乘上式两端，得(E+A)(E+B)=E+A+E一A=2E13．设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=，则αTα=________．正确答案：3．解析：于是有a2=1，b2=1，c2=1，从而得αTα= [a b c]=a2+b2+c2=1+1+1=3．14．设三阶方阵A、B满足A2B一A一B=E，其中E为三阶单位矩阵，A=，则|B|=________．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B一B=A+E，(A2一E)B=A+E，(A+E)(A—E)B=A+E，注意A+E=可逆，用(A+E)一1左乘上式两端，得(A 一E)B=E两端取行列式，得|A一E||B|=115．设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*是A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=________．正确答案：解析：由于A*A=|A| E，而|A|=3，所以A*A=3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB=6B+A，或3(A 一2E)B=A，两端取行列式，得33|A一2E||B|=|A|，由于|A一2E|=故有27|B|=3，所以|B|=16．设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A =(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果|A|=1，那么|B|=________．正确答案：2．解析：对行列式|B|依次作等值变形(用c1+ kcj表示第i列加上第j列的k倍)c2 一c1，c3 一c1，得|B|=|α1|+α2+α3，α2+3α3，2α2+8α3|再作等值变形c3一2c2，得|B| =| α1+α2+α3，α2+3α3，2α3|=2|α1+α2+α3，α2+3α3，α3|=2 |α1+α2，α2，α3|=2 |α1，α2，α3|=2 |A|=2．17．设矩阵A=E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=________．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA 一B=2E B(A 一E)=2E两端取行列式，得|B ||A一E|=|2E因|A一E|==2，|2E|= 22|E|=4所以有 2 |B|=4，从而得|B|=2．18．设矩阵A=则A3的秩为________．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得A3=由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)=1．19．设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A一1+B|=2，则|A+B一1|=________．正确答案：3．解析：由于A+B一1=(AB+E)B一1=A(B+A一1)B一1=A(A一1+B)B一1，两端取行列式，并利用|ABC|=|A||B||C|及|B一1|=|B|一1，得|A+B一1|=|A|．|A一1+B|．|B一1}=3×2×=3．20．设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=________．正确答案：一27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知|B|=一3．再利用|A*|=|A|n一1|A|2=9，得|BA*|=|B||A*|=一27．记交换3阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等矩阵为E12，则B=E12A，由于AA*=|A|E=3E，得BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意|E12|=一1，所以|BA*|=|3E12|= 33|E|12=一27．21．设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．正确答案：一1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得及A=一(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵，以下有两种方法：方法1：用AT右乘A=一(A*)T的两端，得AA*=一(A*)AT=一(AA*)T=一(|A|I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A|2=(一1)3|A|3，或|A|2(1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．方法2：从A=一(A*)T两端取行列式，并利用|A*|= |A|2，得|A|= (一1)3 |A*|=一|A|2，或|A| (1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．22．设矩阵等价，则a=________．正确答案：2．解析：由知矩阵B的秩为2，由于矩阵与矩阵B相似，所以A的秩也为2，因此A的行列式为零，由得a=一1，或a=2．若a=一1，则A=的秩为1，不合题意；若a=2，则的秩为2，符合题意，因此a=2．23．已知向量组α1=(1，2，一1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，一4，5，一2)的秩为2，则t=________．正确答案：3．解析：以α1，α2，α3为行作成矩阵A，并对A作初等变换：由此可知当且仅当f=3时，矩阵A的秩、也即向量组α1，α2，α3的秩等于2．由于α1，α3线性无关，故向量组α1，α2，α3的秩为2当且仅当α2可由α1，α3线性表出，即存在常数x1，x2，使得x1α1+x2α3=α2，亦即由此解得t=3．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(选择题)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)在x=a处连续，φ(x)在x=a处间断，又f(a)≠0，则A．φ[f(x)]在x=a处间断．B．f[φ(x)]在x=a处间断．C．[φ(x)]2在x=a处间断．D．φ(x)／f(x)在x=a处间断．正确答案：D解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对．不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=，则( )A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：由f(x)的表达式可知x=0，x=1为其间断点．故x=1是第一类间断点，x=0是第二类间断点，选(D)．知识模块：函数、极限、连续3．将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )A．A与B独立．B．B与C独立．C．A与C独立．D．B∪C与A独立．正确答案：B解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选B．知识模块：概率与数理统计4．设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( )A．P(C)≤P(A)+P(B)一1．B．P(C)≥P(A)+P(B)一1．C．P(C)=P(AB)．D．P(C)=P(A∪B)．正确答案：B解析：由题设条件可知CAB，于是根据概率的性质、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，故B正确．知识模块：概率与数理统计5．设A、B为任意两个事件，且AB，P(B)＞0，则下列选项必然成立的是( )A．P(A)＜P(A|B)．B．P(A)≤P(A|B)．C．P(A)＞P(A|B)．D．P(A)≥P(A|B)．正确答案：B解析：由于AB，可得A=AB，于是P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)．故选项B正确．知识模块：概率与数理统计6．f(x)=xsinxA．在(－∞，+∞)内有界．B．当x→+∞时为无穷大．C．在(－∞，+∞)内无界．D．当x→∞时有极限．正确答案：C解析：取xn=2nπ+∈(一∞，+∞)(n=1，2，3，…)，则f(xn)=(2nπ+→+∞(n →∞)．因此f(x)在(一∞，+∞)无界．选(C)．知识模块：高等数学7．设f(x)在点x0处不可导，g(x)在点x0处可导，则下列4个函数中在点x0处肯定不可导的是( )A．f(x)+g(x)．B．f(x)g(x)．C．f2(x)．D．f[g(x)]．正确答案：A解析：(推理法) 设f(x)+g(x)在点x0处可导，则f(x)=[f(x)+g(x)]-g(x)也在点x0处可导，与f(x)在点x0处不可导矛盾．所以f(x)+g(x)在点x0处肯定不可导．知识模块：高等数学8．线性方程组的通解可以表示为A．(1，一1，0，0)T+c(0，1，一1，0)T，c任意．B．(0，1，1，1)T+c1(0，一2，2，0)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．C．(1，一2，1，0)T+c1(一1，2，1，1)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．D．(1，一1，0，0)T+c1(1，一2，1，0)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．正确答案：C解析：用排除法．非齐次方程组AX=β的通解是它的一个特解加上导出组AX=0的一个基础解系的线性组合．因此表达式中，带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解．于是可从这两个方面来检查．先看导出组的基础解系．方程组的未知数个数n=4，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系应该包含2个解．(A)中只一个，可排除．(B)中用(0，一2，2，0)T，(0，1，一1，0)T 为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除．(C)和(D)都有(1，一2，1，0)T，但是(C)用它作为特解，而(D)用它为导出组的基础解系的成员，两者必有一个不对．只要检查(1，一2，1，0)T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除(D)．知识模块：线性代数9．设常数k＞0，函数f(x)=lnx-在(0，+∞)内零点个数为( )A．3。
考研数学一向量代数与空间解析几何-试卷1_真题无答案
考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷1(总分88, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.已知曲面z=x 2 +y 2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是 ( )SSS_SINGLE_SELA (1，一1，2)B (一1，1，2)C (1，1，2)D (一1，一1，2)2.设平面方程为Ax+Cz+D=0，其中A，C，D均不为零，则平面 ( )SSS_SINGLE_SELA 平行于x轴B 平行于y轴C 经过x轴D 经过y轴3.已知向量的始点A(4，0，5)，的方向余弦为则B的坐标为( )SSS_SINGLE_SELA (10，一2，1)B (一10，一2，1)C (10，2，1)D (10，一2，一1)4.双曲线绕z轴旋转而成的曲面的方程为 ( )SSS_SINGLE_SELABCD5.已知等边三角形△ABC的边长为1，目则a.b+b.c+c.a= ( )SSS_SINGLE_SELABCD6.过点P(2，0，3)且与直线垂直的平面的方程是 ( )SSS_SINGLE_SELA (x一2)一2(y—0)+4(z一3)=0B 3(x一2)+5(y—0)一2(z一3)=0C 一16(x一2)+14(y—0)+11(z一3)=0D 一16(x+2)+14(y一0)+11(z一3)=07.已知且a与b不平行，则以OA、OB为邻边的平行四边形□OACB的对角线OC上的一个单位向量为 ( )SSS_SINGLE_SELABCD8.已知，则｜a+b｜= ( )SSS_SINGLE_SELA 1BC 2D9.曲线x 2 +y 2 +z 2 =a 2与x 2 +y 2 =2ax(a>0)的交线是 ( )SSS_SINGLE_SELA 抛物线B 双曲线C 圆D 椭圆10.设直线L为平面π为4x一2y+z一2=0，则 ( )SSS_SINGLE_SELA L平行于πB L在π上C L垂直于πD L与π相交但不垂直11.曲面上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为( )SSS_SINGLE_SELA 48B 64C 36D 1612.设a，b，c为非零向量，则与a不垂直的向量是 ( )SSS_SINGLE_SELA (a.c)b一(a.b)cBC a×bD a+(a×b)×a13.与直线及直线都平行，且过原点的平面π的方程为 ( ) SSS_SINGLE_SELA x+y+z=0B x一y+z=0C x+y—z=0D x—y+z+2=014.直线与平面π：x-y+2z+4=0的夹角为 ( )SSS_SINGLE_SELA πBCD15.曲线在平面xOy上的投影柱面方程是 ( )SSS_SINGLE_SELAx 2 +20y 2 -24x-116=0B4y 2 +4z 2一12z-7=0CD16.曲面上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为 ( ) SSS_SINGLE_SELA aBC 0D2. 填空题1.设A=2a+b，B=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若A⊥B，则k=_________．SSS_FILL2.点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影为________．SSS_FILL3.点(1，2，1)到平面．x+2y+2z-13=0的距离是_________．SSS_FILL4.已知，则u=2a一3b的模｜u｜=_________．SSS_FILL5.过三点A(1，1，一1)，B(-2，一2，2)和C(1，一1，2)的平面方程是______．SSS_FILL6.三平面x+3y+z=1，2x—y-z=0，一x+2y+2z=3的交点是________．SSS_FILL7.xOz坐标面上的抛物线z 2 =x一2绕x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是___________．SSS_FILL8.设a=(3，一5，8)，b=(-1，1，z)，｜a+b｜=｜a-b｜，则z=_________．SSS_FILL9.向量a=(4，一3，4)在向量b=(2，2，1)上的投影为_________．SSS_FILL10.已知向量a=(2，一1，一2)，b=(1，1，z)，则使a和b的夹角(a^b)达到最小的z为________．SSS_FILL11.已知△ABC的顶点坐标为A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z)，则当z=___________时，△ABC的面积最小．SSS_FILL12.设a，b，c的模｜a｜=｜b｜=｜c｜=2，且满足a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_________．SSS_FILL13.过直线且和点(2，2，2)的距离为的平面方程是_______．SSS_FILL14.曲面z一e z +2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．SSS_FILL3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022数学(二)试题及解析
2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考试时间：180分钟，试卷总分：150分考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当()()0,,x x x αβ→是非零无穷小量，给出以下四个命题.()()()()22,.x x x x αβαβ ①若则()()()()22.x x x x αβαβ ②若，则()()()()()(),.x x x x o x αβαβα-= ③若则()()()()()().x x o x x x αβααβ-= ④若，则所有真命题的序号：A. B. C. D.①③①④①③④②③④【答案】选C.【解析】①2200()()lim 1lim 1()()x x x x x x ααββ→→=⇒=，正确；③()()()()()0000()()()lim 1lim lim lim 110,()x x x x x x x x x x x x x αβααββααα→→→→-=⇒=-=-=正确④()()()()()()0000()()()lim0lim lim 0lim 1x x x x x x x x x x x x x αβαββαααα→→→→-=⇒-=⇒=,即()()x x αβ ,正确；而00()()(())limlim 1,()()x x x x o x x x αβαββ→→+==(),(),x x x x αβ==-取则②错误,故选C.2.22d d yy x =⎰⎰A.6B.13C.3D.23【答案】选D.【解析】()()()22201233221321d 211d 16112211.633xx y x xx x x -==⋅=++=⋅+=-=⎰⎰⎰⎰原式故选D.3.设函数()f x 在0x x =处有2阶导数，则A.当()f x 在0x 的某邻域内单调增加时，()00f x '>B.当()00f x '>时，()f x 在0x 的某邻域内单调增加C.当()f x 在0x 的某邻域内是凹函数时，()00f x ''>D.当()00f x ''>时，()f x 在0x 的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】由于()f x 在0x x =处有2阶导数，故()00lim ()0x x f x f x →''=>，()00,()ox U x f x δ'∈⇒>，()f x 在0x 的某邻域内单调增加，选择B4.设函数()f t 连续，令0(,)()()d x yF x y x y t f t t -=--⎰，则A.2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂B.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂C.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂D.2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】选C.【解析】0(,)()d ()d ()d x yx yx yF x y xf t t y f t t t f t t---=--⎰⎰⎰0()d ()()()()()d x y x y F f t t xf x y yf x y x y f x y f t tx --∂=+------=∂⎰⎰22()Ff x y x∂⇒=-∂00()()d ()()()()d x y x y Fxf x y f t t yf x y x y f x y f t ty--∂=---+-+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂⇒=-∂，故F F x y ∂∂=-∂∂，故选C.5.设p 为常数，若反常积分()110ln d 1ppx x x x --⎰收敛，则p 的取值范围是()()()()A.1,1B.1,2C.,1D.,2---∞-∞【答案】选A.【解析】11211102ln d d d (1)(1)p pp p x x x x x x x x --+--⎰⎰原式为100120ln (1)lim lim ln (0)011d 1p px x p p x x x x x x x p x εεεε++-→→++-=⋅>=⇒<⎰收敛12111ln 1(1)lim 1 d 1,1(1)(1)p pp x pxx x x p x x ---→---=⇒>----⎰与同收敛故选A.ππ6.{},22A.lim cos(sin )limB.lim sin(cos )limC.lim cos(sin )lim sin limD.lim sin(cos )lim cos lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-≤≤已知数列则()当存在时，存在当存在时，存在当存在时，存在，但不一定存在当存在时，存在，但不一定存在【答案】选D 【解析】{}(1)4πnn n x x =-⋅⇒发散.()2cos sin cos,l 2im n n x →∞=()lim sin cos sin2n n x →∞=，lim sin (1π)4n n →∞⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭不存在，故选D.111123000123213132321ln(1)27.d ,d ,d .2(1cos )1cos 1sin A. B. C. D. x x x I x I x I x x x xI I I I I I I I I I I I +===+++<<<<<<<<⎰⎰⎰已知则【答案】选A 【解析】()ln(1)2xf x x =-+，111()0,(0,1)212(1)x f x x x x -'=-=<∈++(0)0f =12ln(1),.2xx I I ⇒≤+<现比较2I 和3I ，即比较2ln(1)22(1cos )1sin x xx x+++与22223cossin ,(0,1)222cos cos sin 2224cos 1sin 22(1cos )1sin 112(1cos )1sin 2ln(1)2(0,1).x xx x x x xxx x x xx x x I I >∈⎛⎫⎛⎫⇒>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒>++>+<+++<∈<即而则故选A.8.设A 为3阶矩阵，100010,000⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ则A 的特征值为1，1-，0的充分必要条件是A.存在可逆矩阵P,Q ,使得=A P Q ΛB.存在可逆矩阵P ,使得-1=A P P ΛC.存在正交矩阵Q ,使得-1=A Q Q ΛD.存在可逆矩阵P ,使得T=A P P Λ【答案】选B【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1-，0，又若A 的特征值为1，1-，0，互不相同，则A 一定可相似对角化，可推出B.故选B.9.设矩阵2211111,2,14a a b b b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭A =则线性方程组x =b A 解的情况为A.无解B.有解C.有无穷多解或无解D.有唯一解或无解【答案】选D【解析】22111(,)1214b A b a a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()22111||1111A a a b a b a b b ==---()||0(,)3A r A r A b ≠⇒==，有唯一解()||0(,)A r A r A b =⇒≠无解，故选D.10.设123421111,,1,,11λααλααλλλ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭若向量组123124,,,,αααααα与等价，则λ的取值范围是{}{}{}{}A.0,1B.,2C.,1,2D.,1λλλλλλλλλλ∈≠-∈≠-≠-∈≠-R R R 【答案】选C 【解析】()222111111011110(2)(1)0()111λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭()()()12312412341,,,,,,, 1 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()()12312412340 ,,,,,,, 3 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()1231241 ,,3,, 2 r r λαααααα=-⇒==，，不等价()()1231242 ,,2,, 3 r r λαααααα=-⇒==，，不等价其他时，()()()1231241234,,,,,,, 3 r r r αααααααααα===，等价故{,1,2}λλλλ∈≠-≠-∣R ，故选C.二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）11.cot 01e lim 2xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【答案】12e【解析】cos sin 0000cos 1e cot sin 200cos 1e cos (e 1)lim1limsin 22sin (e 1)1lim lim22212ln 1e 1e lim lim lim 22e eeeeeexx x x x x x x x x x xx x xx x x x x x xxx x→→→→⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭→→→⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====== 原式12.已知函数()y y x =由方程233x xy y ++=确定，则(1)y ''=.【答案】3132-【解析】223230()13,131,14x xy y y y x x xy y y x y y ''+++⋅==++=='===-①将代入得将代入,得对①两边求导：22630,31,1,,431(1)32++y xy y y y y y y y x y y ''''''''++⋅⋅+⋅='===-''=-代入解得13.1223d 1x x x x +=-+⎰.【答案】83π9【解析】()()1122001122200112200122023214d d 1114d 1d 111ln 14d 1114d 21322π.932x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +-+=-+-+=-++-+-+=-++-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰14.250,y y y ''''''-+=通解()y x =.【答案】123e (cos 2sin 2)xC C x C x ++【解析】特征方程为32250r r r -+=，分解因式，则2(25)0r r r -+=，得12,30,12r r i ==±，则通解为123e (cos 2sin 2)x y C C x C x =++.15.已知曲线L 的极坐标方程为sin 303r θθπ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则L 围成有界区域的面积为.【答案】π12【解析】ππ2330π20211sin 3sin 3d32611π1πsin d 2662212S d u u θθθθ====⨯⨯⨯=⎰⎰⎰16.设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则1-A 的迹()1tr -=A .【答案】1-【解析】100100211001110110010001100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ()11100211100=001110110010100001211100111100110100110001010010001; 1.111tr ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭A A A 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数()f x 在1x =处可导，且()()222e 31sin lim2,x x f f x x →-+=求(1).f '【解析】()()222e 31sin lim2→-+=x x f f x x 由题意，得：()()220lim e 31sin 0(1)0x x f f x f →⎡⎤-+=⇒=⎣⎦()()()()2222222022220e 31sin e (1)e 1limlim e 11sin (1)sin 3lim sin (1)3(1)2(1)1x x x x x x x f f x f f x x f x f x x x f f f →→→-+--=⋅-+--⋅''=-='⇒=-18.（本题满分12分）设函数()y x 是微分方程242ln 1,xy y x '-=-满足条件1(1)=4y 的解，求曲线()()1e y y x x =≤≤的弧长.【解析】22d d 2322ln 1e e d 22ln 1d 21ln 2x xx x x y x C x x x x C x x Cx -⎡⎤-⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰代入1=x ，得：14C =，所以：211ln 24=-+y x x .则：1e 1211d 2211e 44s x x x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰19.（本题满分12分）已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.【解析】已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.222222222d 21d 2d d D D D Dx xy y I x y xy x y xyx y σσσσ-+=+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰补线2+=x y （图中虚线），根据对称性2222220sin cos 2202202d d 2d 2cos sin d 424cos sin d (sin cos )2sin 222sin 2d d 1sin 22222 2.DD xyx yr rθθσσθθθθθθθθθθθθθπ+πππ=-+=π+-⎛⎫=π+-- ⎪+⎝⎭=π+-++=π+-+π-=π-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）已知可微函数(,)f u v 满足()()(,)(,)2e ,u vf u v f u v u v u v -+∂∂-=-∂∂且2(,0)e u f u u -=.（1）记(,)(,)g x y f x y x =-，求(,)g x y x∂∂；（2）求(,)f u v 的表达式和极值.【解析】(1)(,)2()e 2(2)e u v yyg x y f f xx y x x y --∂''=-∂=-+=-(2)2()(,)2(2)e d 2e 2e ()(,)2()e ()(,)(,)2e ()y y y y u v g x y x y xx xy y f x y x x x y y f x y x f u v uv u v ϕϕϕ-----+=-=-+=-=-+=-=-++⎰代入0v =，得2()euu u ϕ-=，有：()()2()22()(,)2e ()e e u v u v u v f u v uv u v u v -+-+-+=-++=+()()()22()()22()2e e 2e e u v u v u u v u v v f u u v f v u v -+-+-+-+'=-+'=-+22222020⎧--=⇒=⎨--=⎩u u v u v v u v 代回有：(1)0-=u u 得：0==u v 或 1==u v ()()()()()()()()22()22()()()22()22()22()2e 2e 2e e 24e 2e 2e e 22e 24e u v u v u v u v uuu v u v u v u v u v u v vvA f u u u v u u vB u v u v u v u vC f v v u -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+''==--++=-++=--++=+--''==-++代入坐标有：()()()()()()20,021,100,001,12e 0,021,10-====-==A A B B C C 对于()0,0点，有240,0AC B A -=>>，这一点取得极小值0，对于()1,1点，有20AC B -<，不是极值.21.（本题满分12分）设函数()f x 在∞+∞（-，）内具有2阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充分必要条件是对不同的实数,a b ，1(()d .2baa b f f x x b a +≤-⎰【解析】证明：由泰勒公式：()21()()()()()22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b +之间()()221()d (()((d 222221()()d 222ξξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰bb aa b a a b a b a b a b f x x f f x f x xa b a b f b a f x x必要性：若()0f x ≥''，则()0f ξ≥''，有()1d 2()+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰b aa b f f x x b a 充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时：()21()d ()()()d ()()2222ξ+++⎡⎤''=-+-<-⎢⎥⎣⎦⎰⎰bb aa ab a b a bf x x f b a f x x f b a 矛盾，故()0f x ≥''.综上，充分性必要性均得证.22.（本题满分12分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++.(1)求正交变换x =Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形;(2)证明()Tmin2f 0x x x x≠=.【解析】(1)已知：301040103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A()()222(30104010331(4)134)691(4)68(2)(4)λλλλλλλλλλλλλλλ=----=-----==--+---+---=-E A 2 λ=时，1011012020010101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，解得：3101-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α；4λ=时，1014000000-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭E A ，解得：121,01100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα；已正交，直接单位化：3211232301,00,0⎛ ⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭=ααααββαβ令：01000⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q 得标准型：222123442=++f y y y (2)证明：因为Q 可逆：T T T002221232220123minmin()min 442min x y y y fffy y y y y y ≠≠≠≠==++=++x x y yy yQ Q 2222221231232222221231234422222++++=++++y y y y y y y y y y y y 令：21222301y y y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：2=f 故最小值为2.。
考研数学2真题及答案
考研数学2真题及答案一.选择题1. 方程y = 3x - 2的图象是：A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一个圆D. 一个椭圆解析：选项A2. 函数y = x^3的图象经过点(1, 1)，那么函数y = x^3 - 1的图象经过的点是：A. (1, 1)B. (1, 0)C. (0, -1)D. (-1, 0)解析：选项D二.填空题1. 已知A为5阶矩阵，B为5元向量，则对于线性方程组Ax = B，以下哪项是其解集：A. 只有零解B. 唯一解C. 无穷解D. 既有零解又有无穷解解析：选项C2. 设f(x) = e^x，那么f'(x) = ？解析：f'(x) = e^x三.计算题1. 设a = (2, -1, 3)，b = (1, 4, -2)，则a与b的数量积为：解析：a · b = 2 * 1 + (-1) * 4 + 3 * (-2) = 2 - 4 - 6 = -82. 已知三阶行列式D = |1 2 3||2 3 1||3 1 2|计算D的值：解析：D = 1 * 3 * 2 + 2 * 1 * 3 + 3 * 2 * 1 - 3 * 3 * 3 - 2 * 1 * 1 - 1 * 2 * 2 = 6 + 6 + 6 - 27 - 2 - 4 = -15四.证明题证明：存在一个无穷多项式f(x)，其中f(1) = 1，且对于任意正整数n，f(n) = n。
证明过程：考虑多项式f(x) = x，则显然满足f(1) = 1。
对于任意正整数n，有f(n) = n，因此f(x)满足题设条件。
综上所述，我们证明了存在一个无穷多项式f(x)，其中f(1) = 1，且对于任意正整数n，f(n) = n。
以上是考研数学2真题及答案的相关内容，希望对您的学习有所帮助。
加油！。
考研数学一(向量代数和空间解析几何)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设a，b，c为非零向量，则与a不垂直的向量是( )A．(a·c)b－(a·b)c。
B．C．a×b。
D．a+(a×b)×a。
正确答案：D解析：两向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零，结合向量的运算法则对于(A)，a·[(a·c)b－(a·b)c]=0；对于(B)，对于(C)，a·(a×b)=0；对于(D)，a·[a+(a+b)×a]=|a|2≠0，故选(D)。
知识模块：向量代数和空间解析几何2．设a，b为非零向量，且满足(a+3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角θ=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：根据两向量垂直的充要条件可得即式(1)－(2)得由得|a|=|b|，从而因此故选(C)。
知识模块：向量代数和空间解析几何3．已知向量a，b的模分别为|a|=2，且a·b=2，则|a×b|=( )A．2。
B．C．D．1。
正确答案：A解析：由已知条件，则那么故故选(A)。
知识模块：向量代数和空间解析几何4．已知a×b+b×c+c×a=0，则必有( )A．a，b，c两两相互平行。
B．a，b，c两两相互垂直。
C．a，b，c中至少有一个为零向量。
D．a，b，c共面。
正确答案：D解析：由a×b+b×c+c×a=0，知(a×b)·c+(b×c)·c+(c×a)·c=0，而(b×c)·c+(c×a)·c=0，则(a×b)·c=0，根据三向量共面的充要条件可知a，b，c共面，故选(D)。
《向量代数与空间解析几何》单元测试题（二）及参考解答
《向量代数与空间解析几何》单元测试题（二）及参考解答【注1】本次测试主要内容为高等数学下册教材《空间解析几何和向量代数》章节内容，内
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