混凝土多轴强度和本构关系的应用
混凝土本构理论
1.结构的非线性内力和变形混凝土不是一种线弹性材料，其应力和应变的曲线关系已是不争的事实。
规范50010-2002中给出了混凝土应力-应变的唯一关系，即常值的弹性（变形）模量（Ec）。
它只能用以分析结构在弹性阶段的内力和变形。
但是，混凝土基本构件在荷载作用下相继发生的受拉区混凝土开裂、裂缝的扩张和延伸。
压区混凝土塑性变形、截面中和轴漂移、受压和受拉钢筋屈服、混凝土达到抗压强度后的应力下降、……等一系列现象所引发的构件非线性变形和各种损伤破坏过程，都无法由单一的弹性模量值求解。
超静定结构则因混凝土的塑性变形和受拉开裂，改变了构件的截面刚度而引发内力重分布；钢筋屈服后，构件的局部形成塑性铰、又产生更剧烈的内力重分布。
一些抗震和抗暴结构还需掌握结构达到最大承载力以后、变形继续增长时的残余承载力下降规律。
特别重要的二、三维结构，如核反应堆压力容器和高大水坝，只用线弹性分析其应力状态，尚不足充分保证其使用期限内的安全性和适用性，还需要了解混凝土的受压非弹性变形或受拉开裂后的内（应）力、变形和裂缝的状况。
所有这些混凝土结构的受力性能变化全过程，只有通过非线性方法的逐步分析才能获得。
为此要求建立多种准确、合理的非线性本构关系，包括混凝土的多轴应力－应变关系。
如今，混凝土结构的应用领域不断扩展，各种结构的体形和受力状况更加复杂，进行结构非线性分析的要求更为迫切。
2.本构关系的概念一切结构的力学分析，例如杆系结构的内力和变形分析，二、三维结构的应力和变形分析，以及构件的截面承载力和正常使用阶段性能的分析等，都必须使用和满足三类基本方程，即力学平衡式、变形协调条件和本构关系。
其中第一类方程，无论是结构的整体或局部、静力或动力荷载的作用、分析的准确解或近似解都必须满足。
第二类是几何或机动方程，可根据结构的变形特点、边界状况和要求的计算精度等，准确地或从宏观上近似地满足。
第三类则是联系前二者，即力和变形间的物理方程，例如材料的应力－应变（σ-ε、τ-ε）或构件截面的弯矩－曲率、轴力－伸长（缩短）、扭矩－转角，……之间的关系等，统称为本构关系。
Part3-多轴应力破坏准则及本构关系
多轴应力下混凝土的破坏 准则和本构关系
混凝土双轴实验
所有的混凝土多轴试验装置，按试件的应力状态分为两大类： 1、常规三轴试验机 一般利用已有的大型材料试验机，配件置于油缸内的活塞之下，试件的横向由油泵施加 液压，纵向由试验机通过活塞加压。试件在加载前外包橡胶薄膜， 防止高压油进入试件裂缝，胀裂试件，降低其强度。 试验采用圆柱体或棱柱体试件， 当试件三轴受压（C/C/C）时，
混凝土多轴试验中，行之有效的减摩措施有4类： ①在试件和加压板之间设置减摩垫层； ②刷形加载板； ③柔性加载板； ④金属箔液压垫。 后三类措施取得较好的试验数据，但其附件的构造复杂，加工 困难，造价高，且减摩效果也不尽理想。至今应用最多的还是各 种材料和构造的减摩垫层，例如两片聚四氟乙烯（厚2 mm）间加 二硫化钼油膏，三层铝箔（厚0.2 mm）中间加二硫化钼油膏，分 小块的不锈钢垫板等。
5、 试件的尺寸，即加载的空间很小（一般为 50~100mm），而承载力很大（1000~3000kN），要求 有较大而刚性的加载油缸和活塞）和承力（横梁和拉 杆）机构，造成构造上的困难； 6、试件受力后的变形过程中，要求三个方向施加 的力始终保持居中，不产生偏心作用；
混凝土双轴强度特点（1）
混凝土的一向抗压强度 随着另一向压力的增大 而增大。 最大压应力在两个主应 力比为 0.5 处发生， 约为抗压强度的 1.22~1.27倍。
1 2
双向等压时，强度约为 单向受压强度的 1.16~1.20倍。
混凝土双轴强度特点（2）
在一向受拉一向受压时， 混凝土受压方向的抗压强 度随另一方向拉盈利的增 加而降低。
2、施加拉力 对试件施加拉力，须有高强粘结胶把试件和加载板牢固地粘结 在一起。此外，试件在浇注和振捣过程中形成含有气孔和水泥砂 浆较多的表层（厚约2～4 mm），抗拉强度偏低，故用作受拉试
附录C钢筋、混凝土本构关系与混凝土多轴强度准那么
附录C 钢筋、混凝土本构关系与混凝土多轴强度准那么钢筋本构关系一般钢筋的屈服强度及极限强度的平均值f ym 、f stm 可按以下公式计算：)645.11/(s yk ym f f δ-= )645.11/(s stk stm f f δ-= 式中：f yk 、f ym ——钢筋屈服强度的标准值、平均值；f stk 、f stm ——钢筋极限强度的标准值、平均值； δs ——钢筋强度的变异系数，宜依如实验统计确信。
钢筋单调加载的应力-应变本构关系曲线（图）可按以下规定确信。
图 钢筋单调受拉应力-应变曲线1，有屈服点钢筋2，无屈服点钢筋式中：E s ——钢筋的弹性模量；σs ——钢筋应力； εs ——钢筋应变；f y,r ——钢筋的屈服强度代表值，其值可依如实际结构分析需要别离取f y 、f yk 或f ym ；f st,r ——钢筋极限强度代表值，其值可依如实际结构分析需要别离取f st 、f stk 或f stm ；εy ——与f y,r 相应的钢筋屈服应变，可取f y,r /E s ； εuy ——钢筋硬化起点应变；εu ——与f st,r 相应的钢筋峰值应变；k ——钢筋硬化段斜率，k=（f st,r -f y,r ）/(εu -εuy )。
钢筋反复加载的应力-应变本构关系曲线图宜按以下公式确信，也可采纳简化的折线形式表达。
()[]b a b s Pa ba s a s s s E E σεεεεεεεεσ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)( ba b s a b s E k E p σεεεε----=)())(( 图 钢筋反复加载应力-应变曲线式中：εa ——再加载途径起点对应的应变；σb 、εb ——再加载途径终点对应的应力和应变，如再加载方向钢筋不曾屈服过，那么σb 、εb 取钢筋初始屈服点的应力应变。
如再加载方向钢筋已经屈服过，那么取该方向钢筋历史最大应变。
混凝土本构关系混凝土的抗压强度及抗拉强度的平均值f cm 、f tm 可按以下公式计算：)645.11/(c ck cm f f δ-= )645.11/(c tk tm f f δ-= 式中：f cm 、f ck ——混凝土抗压强度的平均值、标准值；F tm 、f tk ——混凝土抗拉强度的平均值、标准值；δc ——混凝土强度变异系数，宜依如实验统计确信。
混凝土_多轴强度_破坏准则_本构模型
2.8.1试验设备和方法
所有的混凝土多轴试验装置，按试件的应力状 态分为两大类： 1、常规三轴试验机 一般利用已有的大型材料试验机，配备一个带 活塞的高压油缸和独立的油泵、油路系统。 试验时将试件置于油缸内的活塞之下，试件的 横向由油泵施加液压，纵向由试验机通过活塞加 压。试件在加载前外包橡胶薄膜，防止高压油进 入试件裂缝，胀裂试件，降低其强度。
θ =60o
（2）、压子午线的应力条件 则为σ1 = σ2 ≥ σ3 ，线上有单轴 受压(0,0,-fc )和二轴等拉(ftt, ftt, 0)，在偏平面上的夹角θ =60o。
（3）、拉、压子午线与静水 压力轴同交于一点，即三轴等 拉(fttt, fttt, fttt)。拉、压子午线 至静水压力轴的垂直距离即为 偏应力 rt 和 rc。
——国内外对多轴性能的研究概述
计算机的发展应用，有限元分析方法渐趋成熟，为准 确地分析复杂结构提供了强有力的理论和运算手段，研 究合理、准确的混凝土破坏准则和本构关系已成为当务 之急。同时，电子量测和控制技术的进步，为建造复杂 的混凝土多轴试验设备和改进量测技术提供了条件。 混凝土的材料性质复杂多变，其多轴强度和变形又随 多轴应力状态的不同而有很大差异。至今还没有，以后 也难以找到一种准确的理论方法，可以从混凝土原材料 的性质、组成和制备工艺等原始条件推算其多轴力学性 能。因而，最现实和合理的办法是创建混凝土多轴试验 设备、制作试件直接进行试验测定。
试验中：试件挤在一角，变形增大时 试件受到不对称应力增大;变形得不到互 相补偿。这种机械设备使得试件中产生 强制应力，实测破坏荷载并不能真实代 表试件的破坏荷载。
二轴（或三轴）分离试验装置：由二（或三）个独 立的互不相连的机架组成，在水平方向的两个机架， 一个用缆绳悬挂起来，另一个放置在滚动轴承上。垂 直机架用平衡重物悬挂起来，能适应试件在水平方向 和垂直方向上受应力而产生的变形。
4多轴强度和本构关系
缝发展，体积应变转为膨胀。
2. 二轴拉/压(T/C, σ 2 = 0 ) • σ1 ↑ ， f 3 ↓ • f3 ≤ fc
f1 ≤ f t
• 应力－应变曲线类似于单轴受拉曲线，拉断破坏 • 峰值应变小： σ 1 / σ 3 ↑, ε 1 p ↓ , ε 3 p ↓ • σ 1 / σ 3 → ∞ ↔ ε1 p = ε t , p , ε 3 p = − νε t , p ↓ • ε v 开始为压缩，临近极限时转为膨胀
• σ1 / σ 3 = const 时： ♦ σ 2 / σ 3 < 0.15 －等值线左端高于右端 ♦ σ 1 / σ 3 ≥ 0.15 －等值线左端高于右端 ♦ σ 1 / σ 2 ↑ , ε 3 p ↑↑ • σ 2 / σ 3 = 0.3 ~ 0.6 → ε 3 p → ( ε 3 p )max • σ 2 = σ 3 → ε 2 p达最大值 = ε 3 p • ε 2 p = 0 时的应力比 σ 2 / σ 3 与 ε 3 p 达最大值时 的 σ 2 / σ 3 正好相符（图 4-9）
从下至上对应(0 : -1)、 (-1 : -1) 、(-0.25 : -1) 、(0.5 : -1)
♦ 体积应变 : 与单轴相似 ♦ ε v = ε1 + ε 2 + ε 3
应力较低时 → ν s < 0.5( ε v < 0 )－体积应变为压缩
应力 → ( 0.85 ~ 0.90 )σ 2 f → ν s > 0.5( ε v > 0 ) － 内 部 裂
• 变形（应变） ♦ σ − ε 曲线为抛物线，有峰点和下降段 ♦ 峰值应变 : ε 3 p > ε p （单轴应变） ♦ σ 2 / σ 3 = 0.25 → ε 3 p → max ♦ σ 2 / σ 3 ≤ 0.25 → ε 2 ( 拉 ) ♦ σ 2 / σ 3 > 0.25 → ε 2 (压) ♦ σ 2 / σ 3 = 1.0 → ε 2 p → max = ε 3 p ♦ ε 2 p 近似呈直线变化
混凝土多轴强度和本构关系的应用
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针对二维、三维结构的设计或验算，新规范中 提供了混凝土的破坏准则公式，即：
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这一准则适用于各种二轴和三轴拉一压 应力组合的任意状态, 绘出的二轴包络图和 三轴强度图都呈曲线形。应用此破坏准则验 算混凝土结构多轴强度的优点是：计算强度 值与试验数据相符较好；反映了第二主应力。 的影响；各种应力状态采用了统一的计算, 有利于编成子程序在计算机中应用。
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在实际的结构工程中, 经常遇到双向板、剪力 墙、深梁、厚板, 以及折板、壳体等二维或三 维的结构和构件, 混凝土处于明显的多轴应力 状态。即使是一维的梁、柱构件, 在其局部如
梁端、梁柱节点区、开孔附近、预应力钢筋固 端等处, 混凝土也处于事实上的二轴或三轴应 力状态。
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研究多轴强度和本构关系的原因
在钢筋混凝土结构的受力过程中, 由于混凝土的 非弹性变形和局部开裂等原因, 其应力和变形状态随 荷载值不成比例增减, 只有采用非线性分析（或试验） 方法, 引入材料的真实强度和本构关系, 才能获得正确 的受力全过程分析结果。
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一、单轴应力一应变（本构）关系 二、多轴强度图的应用 三、破坏准则的应用
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钢筋混凝土结构的非线性分析, 必须 采用真实的或准确的材料的本构关系, 才能获得可靠、合理的结果。
非线性分析中要求的最基本的本构关 系是混凝土的单轴受压和受拉应力一 应变关系。对于二维和三维结构, 其 中最实用的非线弹性类本构模型, 一 般都使用混凝土的等效单轴应力一应 变关系。
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j混凝土多轴强度和本构特性实验研究
• 4.2动态本构模型 • 混凝土材料在动态、冲击载荷作用下本构模型的建立是一 件非常复杂的工作，相关的研究报道也很多很杂。对应于 不同的加载方式或载荷形式，混凝土材料表现出不同的力 学响应特性，因而要建立一个普遍接受、兼容并包的本构 模型是相当困难，也是不太现实的。基于对混凝土材料动 态力学特性和本构关系的研究分析，将其本构模型大体分 为六个类别：
• 3.2机理分析 • 混凝土有扩容出现时必须要进入下降段，但在进入或将要 进入下降段之前并不一定要出现扩容，见图7、8、9。
•
是否出现扩容与应力球量和应力偏量间的相对关系有 关。
• 图7 本构模型的计算值与 实验值比较 • (σ1∶σ2∶σ3=1∶0.1∶0. 1)
• 图8 本构模型的计算值与 实验值比较 • σ1∶σ2∶σ3=1∶0.2∶0.2)
• 结论:
• 因此，双轴受压下碾压混凝土强度普遍高于单轴 受压时的碾压混凝土强度，即双轴受压强度一般 是单轴受压强度的1.2～1.5倍，当σ2/σ1=0.75时， 双轴受压强度达到最大，达1.6倍单轴抗压强度。
为便于分析说明，将图2破坏点趋势进行分析，通 过曲线回归分析后，可用如下公式进行描述：
图10[3]给出了在不同载荷形式（蠕变、准静态、动态和冲击 载荷等）作用下材料应变率响应的大致范围。
• 图10 不同载荷形式下材料应变率响应图示
•
一般来说，随着应变率的提高混凝土材料的 抗拉强度和抗压强度都会有明显的增强，并且在 同一应变率量级变化范围内抗拉强度的相对增强 效果比抗压强度的相对增强效果更显著一些，如 图11和图12比较所示。
2 碾压混凝土的双轴受压试验[1] 2.1试验设计 2.1.1试件尺寸及材料配比 为了便于同普通混凝土单轴和双轴强度比较， 试件采用边长150mm的立方体，是普通混凝土试 验的标准试件。胶凝材料采用425＃普通硅酸盐 水泥与荆门热电厂的粉煤灰，骨料采用河砂与卵 石，减水剂采用木质磺酸钙。
高等混凝土多轴强度
力比例(σ1 /σ3)情况下，混 凝土的二轴拉／压强度均 低于其单轴强度，
即：T/C
f3 fc
f1 f t
混凝土二轴拉／压的应 力-应变曲线如图。 两受力方向的应变值和曲线曲率都较小，近似于单轴受拉曲 线。多数试件是拉断破坏，塑性变形小。
▲二轴拉／压试件破坏时的 峰值应变(ε1p，ε3p)均随拉应 力 f1或应力比︱ ζ1/ζ3 ︱的增 大而迅速减小。 ▲当︱ ζ1/ζ3 ︱→∞ （即单 轴受拉）时，其极限值为ε1p = εt,p ,ε3p=-νεt,p。
于普通混凝土的值。
3. 钢纤维混凝土三轴性能试验研究。
①在多轴受压（C/ C,C /C/ C）应力状态，钢纤维混凝土极 限强度的相对值（f3／ fc ）、应力-应变曲线的形状等都与普
通混凝土的接近；
②在多轴拉／压(T/C,T/C/C,T/T/C)应力状态下，钢纤维混 凝土的强度相对值(f3／ fc )和峰值应变值等都超过普通混凝土; ③钢纤维体积含量(Vf，%）对于钢纤维混凝土多轴强度和
总结混凝土在各种应力状态下的多轴强度和变形性能，可概括 其一般规律： 多轴强度： ☆多轴受压(C/C，C/C/C)强度显著提高(︱ f3 ︱ ＞ fc)；
☆多轴受拉(T/T，T/T/T)强度接近单轴抗拉强度(f1≈ ft）；
☆多轴拉/压 (T/C，T/T/C,T/C/C)强度下降(︱ f3 ︱ ＜ fc , f1＜ ft)。 多轴变形:
fcc
◆混凝土二轴受压的应力
-应变曲线为抛物线形， 有峰点和下降段，与单轴 受压的应力-应变全曲线 相似。
◆试件破坏时，最大主压
应力方向的强度f3和峰值 应变ε3p，大于单轴受压的 相应值(fc,εp ）； / ζ3增大；
钢筋混凝土多轴强度破坏准则研究进展及工程科学科学应用
4、应力（变）途径的控制
实际结构中一点的三向主应力值，随荷载的变化可 有不同的应力途径。已有的大部分三轴试验是等比例
单调加载、直到试件破坏。
应力比例由电-液控制系统实现，一般设备都具备这 一功能。有些设备还可进行多种应力（变）途径的试 验，例如三向应力变比例加载、恒侧压加载、反复加 卸载、应变或应变速度控制加载等。需要指出，应用 三轴试验装置也可以进行混凝土的单轴受压和受拉试 验，得到相应的强度值和应力-应变曲线。但是这些试 验结果与用标准试验方法得到的不完全一致，有些甚 至相差较大。这是因为两者的试验加载设备、试件的 形状和尺寸、量测精度、承压面的摩擦约束等条件都 不相同。在分析混凝土的多轴性能时，一般取可比性 强的前者作为对比标准。
混凝土的材料性质复杂多变，其多轴强度和变形又 随三轴应力状态的不同而有很大差异。至今还没有， 以后也难以找到一种准确的理论方法，可以从混凝土 原材料的性质、组成和制备工艺等原始条件推算其多 轴力学性能。因而，最现实和合理的办法是创建混凝 土多轴试验设备、制作试件直接进行试验测定。
一、试验设备和方法
混凝土真三轴受压时，应 变ε1≠ε2≠ε3，应力-应变曲线的 形状与常规三轴受压的相同， 应力较低时近似直线，应力增 大后趋平缓，尖峰不突出，极 限应变ε3p值很大。
混凝土三轴受压峰值应变 ε3p随应力比（ σ1/σ3 ）的加大 而增长极快，随σ2/σ3的变化则 与三轴抗压强度的变化相似 ε3p最大值发生在σ2/σ3 =0.3～ 0.6之间。
由于尚无混凝土多轴试验的统一标准，试验时 使用的加载设备，试验试件和试验测量方法等差 别很大;也由于混凝土本身的随机性和离散性，致 使试验结果差异较大，即使同一单位的量测数据 也有一定的离散度。尽管如此，分析大量实验数
混凝土的强度和变形.试验基础和本构关系
混凝土的强度和变形.试验基础和本构关系混凝土的强度和变形是混凝土介质性质的两个重要方面，对于混凝土结构的设计与施工具有重要意义。
本文将从试验基础和本构关系两方面来阐述混凝土的强度和变形性质。
试验基础混凝土的力学性质可以通过单轴压缩试验、双轴剪切试验、拉伸试验等方式来进行测试。
其中，单轴压缩试验是最为基础也是最常用的一种试验方法。
单轴压缩试验的原理是将混凝土样品放置于压力机中，专门用于进行单轴压缩，通过记录每个阶段的载荷和位移，建立混凝土的应力-应变曲线，此曲线是混凝土力学性质的重要量化表达形式。
另一种常用的试验方法是拉伸试验，其与单轴压缩试验的原理类似，不过是反向加载，通常会使用圆柱试样，主要测量拉伸应变。
在双轴剪切试验中，混凝土试样被切成菱形或矩形，并放置于装有应力传感器的剪切盘上，然后施加水平和垂直挤压力, 进而研究混凝土在双轴剪切下的应力应变关系。
本构关系混凝土的本构关系是表征混凝土力学性质的数学模型。
常用的混凝土本构关系有弹性本构关系、线性本构关系和非线性本构关系等几种。
弹性本构关系是最简单的一种本构关系，它假设混凝土在荷载增加或卸载过程中都保持弹性形态。
即混凝土在弹性阶段逐渐反映应力应变的线性关系，弹性模量E为混凝土在单轴压缩状态下的峰值应力f0除以相应的应变ε0，弹性模量的值一般在10-30 GPa之间。
线性本构关系是一种更加复杂的本构模型，它包括弹性和塑性两个部分，即混凝土在加载到一定应力之后开始发生塑性变形。
这种本构关系的基本特征是，剪切强度和体积强度在整个应变区间内保持不变，并且在一定的应力下，应变达到一定程度后应力就将陡然下降。
线性本构关系是常用的本构关系之一，可用于简单的混凝土结构设计中。
非线性本构关系则是一种更加完整复杂的模型，据此可以实现更准确地计算混凝土的强度和变形性能。
这种模型包括多个塑性分支，在每个塑性分支中都有一个极限应变和一个极限应力，表示了混凝土在塑性阶段内随着应变增加而发生的不同形式的塑性变形。
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郭家齐
2020/4/3
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研究多轴强度和本构关系的原因
在钢筋混凝土结构的受力过程中, 由于混凝土的非 弹性变形和局部开裂等原因, 其应力和变形状态随荷 载值不成比例增减, 只有采用非线性分析（或试验） 方法, 引入材料的真实强度和本构关系, 才能获得正确 的受力全过程分析结果。
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谢 谢 ！
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在实际的结构工程中, 经常遇到双向板、剪力 墙、深梁、厚板, 以及折板、壳体等二维或三 维的结构和构件, 混凝土处于明显的多轴应力 状态。即使是一维的梁、柱构件, 在其局部如 梁端、梁柱节点区、开孔附近、预应力钢筋固 端等处, 混凝土也处于事实上的二轴或三轴应 力状态。
2020/4/3
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针对二维、三维结构的设计或验算，新规范中 提供了混凝土的破坏准则公式，即：
2020压 应力组合的任意状态, 绘出的二轴包络图和 三轴强度图都呈曲线形。应用此破坏准则验 算混凝土结构多轴强度的优点是：计算强度 值与试验数据相符较好；反映了第二主应力。 的影响；各种应力状态采用了统一的计算, 有利于编成子程序在计算机中应用。
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一、单轴应力一应变（本构）关系 二、多轴强度图的应用 三、破坏准则的应用
2020/4/3
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钢筋混凝土结构的非线性分析, 必须采 用真实的或准确的材料的本构关系, 才 能获得可靠、合理的结果。 非线性分析中要求的最基本的本构关 系是混凝土的单轴受压和受拉应力一 应变关系。对于二维和三维结构, 其中 最实用的非线弹性类本构模型, 一般都 使用混凝土的等效单轴应力一应变关 系。