矩阵和行列式复习知识点
矩阵与行列式算法初步知识点
矩阵与行列式算法初步知识点矩阵与行列式是线性代数的基础概念之一、矩阵可以看作是一个二维数组，具有行和列的属性。
矩阵最常见的应用是线性方程组的求解。
例如，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，可以通过矩阵乘法Ax=b来求解线性方程组。
行列式是矩阵的一个重要属性，可以用来判断矩阵是否可逆。
一个矩阵的行列式为0表示该矩阵不可逆，否则可逆。
行列式还可以用于求解特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变性质，对于很多机器学习和深度学习算法都有重要的应用。
算法是计算机科学中的基础概念，是一种解决问题的方法或步骤。
算法设计的核心目标是解决问题的效率和正确性。
常见的算法设计技巧包括递归、分治、动态规划等。
常见的算法包括排序、图算法等。
排序算法可以将一组数据按照一定的规则进行排序，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。
算法用于在一组数据中查找目标元素，常见的算法有线性、二分等。
图算法用于解决图结构相关的问题，常见的图算法有深度优先、广度优先、最短路径算法等。
在实际应用中，矩阵与行列式经常用于数据表示和运算。
例如，在机器学习中，数据通常以矩阵的形式进行表示，通过矩阵运算可以进行特征提取、模型训练等操作。
行列式的性质可以帮助我们优化计算过程，例如通过LU分解来求解线性方程组，可以减少计算量。
在计算机图形学中，矩阵与行列式用于表示和变换物体的位置和形态。
通过矩阵运算可以实现物体的平移、旋转、缩放等操作。
算法的设计与分析是计算机科学中的重要内容。
好的算法可以大大提高程序的执行效率，减少资源的使用。
算法的设计过程包括问题分析、算法设计、编码实现和性能评估等步骤。
在设计算法时，我们要考虑问题的规模、输入数据的特征以及算法的复杂度等因素。
通常，我们希望算法在求解问题时具有较高的时间和空间效率，并且给出符合问题要求的正确结果。
总之，矩阵与行列式、算法初步是计算机科学和线性代数中的重要知识点。
矩阵与行列式知识点总结
矩阵与行列式知识点总结矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及相关运算进行总结，以便读者对这两个概念有更深入的了解。
一、矩阵的定义与性质矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，包含m行n列，用记号A[m×n]表示。
其中，每个数字称作矩阵的元素，用aij表示第i行第j列的元素。
矩阵可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵。
矩阵的性质包括以下几点：1. 矩阵的大小由它的行数和列数决定，记作m×n。
2. 矩阵可以进行加法和数乘运算。
3. 矩阵的转置将行和列对换。
4. 矩阵可以相乘，但乘法不满足交换律。
5. 矩阵对应的行向量和列向量也有相应的定义和运算。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的特殊函数，对于方阵A[n×n]，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式是一个标量值，可以用于衡量矩阵的性质。
行列式的性质包括以下几点：1. 行列式的值可以是实数、复数或其他数域上的元素。
2. 行列式的值表示了矩阵所包含的信息，可用于判断矩阵的可逆性、线性相关性等。
3. 行列式满足代数运算的规律，如加法、数乘、转置等。
4. 行列式可以通过对换行或列、倍乘行或列等行列变换来计算。
5. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
三、矩阵与行列式的运算矩阵与行列式之间存在着紧密的联系，它们可以进行多种运算。
1. 矩阵的加法和数乘运算：两个矩阵相加（减）时，先确定它们的大小是否一致，然后逐个对应元素相加（减）。
数乘运算即将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。
2. 矩阵的乘法运算：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。
将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并求和得到结果矩阵的相应元素。
3. 矩阵的转置运算：矩阵的转置是将其行和列交换得到的新矩阵。
转置后的矩阵行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
行列式矩阵知识点
一、行列式
1．行列式的定义
用n2个元素a ij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；
（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；
2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；
N阶（n =3）行列式的计算：降阶法
定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
（2）行列式值为0的几种情况：
行列式某行（列）元素全为0；
行列式某行（列）的对应元素相同；
行列式某行（列）的元素对应成比例；
奇数阶的反对称行列式。
沪教版(上海)高二数学上册第9章矩阵和行列式初步复习课件
5 t
,且AB
O,则
3 5 3
t
.
3) 已知
A
2 3
31, f ( x) x2 5 x 3,
则 f (A)
.
4) 若n阶矩阵A满足方程A2 2 A 3E 0,则
A1
.
3 0 0
5) 设A 0 1 0,则An
.
0 0 4
0 0 2
6) 矩阵A 0 5 0的逆矩阵A1 8 0 0
1 0 1
注：对一般的 n 阶方阵 A，我们常常用归纳的方
法求 An 。
例2 解：
0 1 0
设
A
1
0
0 ，求 A2004 2 A2 .
0 0 1
0 1 0 0 1 0
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
00 ，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E .
6 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。
典型例题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率。
例1
设α (1，0， 1)T，A ααT，求 An .
故 A(C B)T B. 从而
1 1 0 1 0 0
A B[(C B)T ]1 0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 2 1
3 1 0 3 3 1
1 2 1
总复习-1矩阵与行列式
I 矩阵、行列式一、矩阵的概念及其初等变换 矩阵概念矩阵与行列式的区别：矩阵（数表）行列式（数）记号：1111n m n m a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭m n A ⨯ ()ij m n a ⨯1111n m nn a a a a n Aij na 化简：1111m n m n a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪→⎝⎭1111nm nn a a a a =矩阵的初等变换理论定义：（看书） 结论一对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有1,11,1000000000110r n r r rn m n c c c c A A ++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行变（的行最简形矩阵）应用1 高斯消元法解线性方程组增广矩阵A −−−→行变行最简形矩阵（可直接写出解）应用2 列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,r n r r r n r n r n c c c c J J εαααε+++⎛⎫⎪⎪ ⎪−−−→=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭行变设则12,,,n ααα 与11,,,,,r r n J J εε+ 有相同的线性相关性。
应用3 行初等变换法求逆矩阵A -1、A -1B1(,)(,)A E E A -−−−→行变1(,)(,)A B E A B -−−−→行变结论二对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有000r m n E A A ⨯⎛⎫−−−−→ ⎪⎝⎭列行变和变（的相抵标准形）应用1 初等变换法求矩阵的秩（可作列变）应用2 标准形思路：,,000rEA P Q P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中是可逆矩阵. 结论三 初等变换与初等矩阵的转化关系：箭号等号关系（“左行右列”）二、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置 关于矩阵乘法，注意：（1） 矩阵乘法与数的乘法不同之处不满足交换律AB BA ≠222()2A B A AB B +≠++ 22()()A B A B A B -≠+- ()k k k AB A B ≠注意：,A B 设均为方阵，则错误！未找到引用源。
矩阵与行列式知识点
矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。
我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。
一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。
矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。
矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。
对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。
矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。
对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。
行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。
对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。
代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。
行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。
其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。
行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。
行列式矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nn n n in i na a ab b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(,2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij ki ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
矩阵和行列式复习知识点汇总
矩阵和行列式复习知识点汇总一、矩阵的定义和运算：1.矩阵是一个按照矩形排列的数字集合。
一个m×n的矩阵有m行和n列。
2. 矩阵的元素通常用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
3.矩阵的加法：若A和B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，且相加的结果为对应位置的元素之和。
4.矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个标量，则kA是一个矩阵，且每个元素都乘以k。
5. 矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p的矩阵，其中C_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
二、矩阵的特殊类型：1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2.对角矩阵：主对角线上元素以外的其他元素均为0的矩阵。
3.单位矩阵：主对角线上元素都为1，其他元素为0的对角矩阵。
4.转置矩阵：将矩阵A的行和列互换得到的矩阵，记作A^T。
5.逆矩阵：对于一个n阶方阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I （其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵。
三、行列式的定义和性质：1. 行列式是一个与方阵相关的标量值。
一个n阶方阵A的行列式通常用det(A)或，A，表示。
2. 二阶方阵A的行列式可表示为：det(A) = a11 * a22 - a12 *a213.计算三阶及以上行列式时，可利用代数余子式和拉普拉斯展开公式。
4.行列式的性质：a) 若A的其中一行（列）的元素全为0，则det(A) = 0。
b) 若A的两行（列）互换，则det(A)的符号会变化。
c) 若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，则det(kA) = k^n * det(A)。
d) 若A的两行（列）相等，则det(A) = 0。
e)若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，再加到另一行（列）上，对应行列式的值不变。
四、矩阵的行列式和逆矩阵：1. 对于一个n阶方阵A，若其行列式不为0（即det(A) ≠ 0），则A是一个非奇异矩阵，有逆矩阵A^(-1)。
矩阵和行列式知识要点
矩阵和行列式知识要点一、矩阵（Matrix）1.定义矩阵是按照一定规则排列的数（或变量）的矩形阵列。
一般用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示并用下标表示元素的位置。
2.类型根据矩阵的元素可以分为实矩阵（元素为实数）、复矩阵（元素为复数）、数值矩阵（元素为纯数值而不是变量）等。
3.运算(1)矩阵的加法：对应元素相加。
(2)矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以相同的数。
(3)矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A乘以B的结果是一个新的矩阵C，C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列元素的乘积之和。
4.逆矩阵如果一个方阵A存在逆矩阵A-1，使得A与A-1相乘等于单位矩阵I，即A·A-1=I，那么称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，A-1为A的逆矩阵。
5.矩阵的转置将一个矩阵的行变为同序数的列，列变为同序数的行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
二、行列式（Determinant）1.定义行列式是一个表示线性变换对坐标的拉伸或者压缩程度的标量值。
一般用竖线“，，”或者方括号“[]”表示。
2.性质(1)行列式的值等于其转置矩阵的值。
(2)行列式对换两行（列）变号。
(3)行列式中如果有两行（列）相同，则行列式的值为0。
(4)行列式其中一行（列）的元素都是两数之和，行列式的值可以分开计算。
3.行列式的计算方法(1)拉普拉斯展开法：取行（列）进行展开，将问题逐步转化为计算较小规模的子行列式。
(2)数学归纳法：将行列式的展开按照第一行（列）来进行，用递归的方法逐步减小行列式的规模。
4.逆矩阵与行列式的关系若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1的值等于A的行列式的倒数，即A-1=1/，A。
三、矩阵和行列式的应用1.线性方程组2.线性变换矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法，可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的固有性质，通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的重要信息，如对称矩阵的主对角线元素就是其特征值。
9、高三一轮复习：矩阵、行列式初步
矩阵初步【知识要点】 一、矩阵的概念：1、矩阵的定义：由m n ⨯个数排成的m 行、n 列的矩形数表叫做矩阵，即111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L， 矩阵中的每个数ij a （1i m ≤≤，1j n ≤≤，i 、j ∈N *）叫做矩阵的元素，ij a 表示第i 行第j 列上的元素。
矩阵通常用大写字母表示：()m n ij A a ⨯=（表示m n ⨯阶矩阵），在不混淆的情况下，可简记为A ； 2、矩阵的意义：矩形数表； 3、相关概念： （1）行向量、列向量；（2）方矩阵（方阵）、方矩阵的阶； （3）单位矩阵、零矩阵。
二、矩阵的运算：1、矩阵的相等：若()ij A a =、()ij B b =是两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即ij ij a b =（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），称两矩阵相等，记作A B =；2、矩阵的加减：当两个矩阵A 、B 的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相加ij ij ij c a b =+（相减ij ij ij c a b =-），i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ，所得到的矩阵()ij c 称为矩阵A 、B 的和（差），记作A B +（A B -）；3、矩阵的数乘：设α为任意实数，我们把矩阵()ij A a =的所有元素都与α相乘所得到的矩阵()ij a α叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作A α；4、矩阵的乘法：设矩阵A 是n 行、k 列的矩阵，矩阵B 是k 行、m 列的矩阵，矩阵C 是n 行、m 列的矩阵，如果矩阵C 中第i 行、第j 列的元素ij c 为A 的第i 个行向量与B 的第j 个列向量的数量积（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），即1122ij i j i j ik kj c a b a b a b =+++L ，那么矩阵C 叫做矩阵A 和B 的乘积。
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矩阵和行列式复习
知识梳理
9.1矩阵的概念：
矩阵：像 27 ， 4202 ， 945
354 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、
B 、C…表示
三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵； ① 矩阵行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
行向量、列向量
单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。
通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。
9.2矩阵的运算 【矩阵加法】
不同阶的矩阵不可以相加；
记11
1221
22A A A A A =⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦，11
1221
22B B B B B =⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，那么⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++=+222221
21121211
11B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】，
A
1A 2
× B 1B 2 =11122122A B A B A B A B ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++=22221221212211212212121121
1211
11B A B A B A B A B A B A B A B A AB
【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka == 【矩阵变换】
相似变换的变换矩阵特点：k 10
01
等
轴对称变换的变换矩阵： −1001 、 100−1 、 01
10 等
旋转变换的变换矩阵： 0−1
10
等
9.3二阶行列式
【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。
二阶行列式的值a d
D ac bd b c
==- 展开式ac -bd
【二元线性方程组】
对于二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，通过加减消元法转化为方程组x
y D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩
其中1111
1122
22
2
2
,,x y a b c b a c D D D a b c b a c =
=
=
方程的解为
x =
D x D y =
D y D
用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。
（I ）0D ≠，方程组（*）有唯一解； （II ）0D =
○
1,x y D D 中至少有一个不为零，方程组（*）无解； ○
20x y D D ==，方程组（*）有无穷多解。
系数行列式11
22
a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
9.4三阶行列式
三阶行列式展开式及化简1
23
1
231232313121
2
3
a a a D
b b b a b
c a b c a b c c c c ==++321213132()a b c a b c a b c -++（对角线法则）
三阶行列式的几何意义：直角坐标系中A 、B 、C 三点共线的充要条件(沪教P95)
x 1y 11
x 2y 21x 3y 31
=0
【余子式】把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；添上符号（-1）i+j 后为代数余子式。
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
=a1A1+a2A2+a3A3
其中A1=b2c2
b3c3
, A2=-b1c1
b3c3
, A3=b1c1
b2c2
,分别为a1,a2,a3的代数余子式。
三阶行列式可以按照其任意一行或列展开成该行或列元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
【三元线性方程组】
设三元一次方程组a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
，其中x、y、z是未知数，通过加减消元化简为
D∙x=D x D∙y=D y D∙z=D z
,
D≠0，方程组（*）有唯一解；x=D x
D y=D y
D z=D z
D
巩固习题
1. （2018上海数学）行列式
41
25
的值为． 2. （2017上海数学）关于x 、y 的二元一次方程组 x +5y =02x +3y =4
的系数行列式
D 为。
3. （2015上海数学）若线性方程组的增广矩阵为 2
3c 10
1c 2
解为 x =3y =5，则
c 1-c 2=。
4. 函数1
sin cos 2)(-= x x
x f 的值域是.
5. (2018江苏数学)已知矩阵A= 23
12
，若点P 在矩阵 对应的变换作用下得到
点，求点P 的坐标． 7. 若行列式 4
5
x
1
x 378
9
中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________ . 8. 行列式 a
b c
d
e f g
i
(a ,b ,c ,d ,e ,f ,g , ,i ∈ −1,1,2 )所有可能的值中，最大的是_________ 。
9. 在n 行n 列矩阵
12⋯n −1n 23⋯n 134
⋯12⋯⋯⋯⋯⋯n 1⋯n −2n −1
中，记位于第i 行第j 列的数为。
当时，_________ 。
10. 在数列{}n a 中，
21n
n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j
a a a a a =⋅++，（12
,,7;12,,12i j ==
）则该矩阵元素能取到的不同数
值的个数为_________ 。
11. (2014上海数学)已知P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)是y=kx+1（k 为常数）上的两个
(,1,2,)
ij a i j n =⋅⋅⋅9n =11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=
不同点，则关于x和y的方程组a1x+b1y=1
a2x+b2y=1的解的情况是（）。
A．无论k,P1,P2如何，总是无解 B. 无论k,P1,P2如何，总有唯一解C．存在k,P1,P2，使之恰有两解D. 存在k,P1,P2，使之有无穷多解
12.当a为何值时，关于x,y,z的三元一次方程组
x+y+z=1
x+y+az=1
x+ay+a2z=2
有唯一解，并
写出该条件下方程组的解。
参考答案1.18
2. 15
23 3. 16
4. −5
2,−3
2
5.（3，-1）
6.1
7. x>8
3
8.27
9. 45
10.18
11.B 解析：由已知条件b1=ka1+1, b2=ka2+1
D=a1b1
a2b2=a1b2-a2b1=a1(ka2+1)-a2(ka1+1)=a1 -a2≠0，∴有唯一解。
12.当a≠1时方程组的解为x=a−2
a−1 y=1
a−1 z=0。