弯曲应力

τmax一般在剪力绝对值最大截面的中性轴上，该处弯曲正应 力σ等于零。强度条件为
max
Fs max S I zb
z max

具体计算时，一般先按正应力强度条件选择截面尺寸和形状， 然后按切应力强度条件校核。
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【例1】吊车梁跨度l = 8m ，若起吊重量P=30kN，梁由工字钢制 成，其[σ]＝120MPa，[τ]=60MPa 。试选择工字钢的型号。 【解】（1）先按正应力强度条件 确定梁的截面。 将吊车梁简化成简支梁。载荷作 用于梁中点时，弯矩最大：
Fs max P 30KN
根据工字钢切应力强度条件
max
Fs max S z max dI z
P
查型钢表28a工字钢得
d 8.5mm, I z / S z max 246.2mm
max
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30 103 14.3MPa 8.5 246.2
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τ
dx
c1
a1 FN2
a
FN 1 1dA
A
m
n
n
P
M
Hale Waihona Puke M+dMA

My1 M m dx dA Sz Iz Iz
Fs b dx
Fs
Sz y1dA A
FN 2 2 d A
A
h a
y
( M dM ) y1 dA A Iz M dM Sz Sz Iz Iz

横力弯曲时，梁横截面上不仅有正应力，还有切应力。由 于存在切应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现 象。分析表明： 对于细长梁，切应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可 以忽略不计，在线弹性范围内正应力公式仍然适用，但是 要求外力满足平面弯曲的加力条件。 对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内， 梁便产生平面弯曲.
Fs S I zb
z
上式也适用于其它截面形式的梁。式中：Fs——截面上的剪 力； Iz—— 截面对中性轴的惯性矩； b—— 截面在所求应力 点处的宽度； Sz*——横线下部分面积A* 对中性轴的静矩。
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对于矩形截面梁
b
h 1 h S b( y ) y ( y ) 2 2 2 h
z
c y
由公式求得最大切应力为
max
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4 Fs 3 A
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圆环截面
y
FQ
z
FS max= 2.0 A
max
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四、弯曲强度条件
1、弯曲正应力强度条件
对细长梁进行强度计算时 ,主要考虑弯矩的影响。因截面 上最大正应力作用点处，弯曲切应力为零。梁的最大正应 力点应满足的强度条件为
y z
x
σdA
FN dA
A
M y z dA
A
M z y dA
A
纯弯曲时梁的横截面上只有弯矩Mz，轴力FN 和力矩My 均为零
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FN dA
A
M y z dA M z y dA
A
A
由 FN
dA 0
A
有
E dA ydA 0
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注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个
截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截
面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一 点的正应力，并确定该点到中性轴的距离。 （2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分 布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正 应力最大。
y
z
d
翼缘板
Fs S Izd
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z
max
Fs hd
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H h b
d
3. 圆形截面梁的弯曲切应力
圆截面任一平行于中性轴的横线 aa1两 d Fs a a1
端处，τ的方向必切于圆周，并相交于 y轴上的c点。因此，横线上各点τ方向 是变化的。但在中性轴上各点τ的方向 皆平行于剪力Fs，假设切应力τ为均匀 分布，其值最大。
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A*
y
a1
y1
z c1 a1
FN1 c
τ
a dx
FN2
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由微块的平衡条件
FN1 c
τ
c1
a1 FN2
X 0, F
得
N2
FN1 bdx 0
z
a dx
dM S dx bI z
因为
dM Fs dx
矩形截面梁横截面上距中性轴 为y处横线上各点的切应力为
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中性层——根据平 面假设，梁弯曲后， 其纵向层一部分伸 长，另一部分缩短， 二者交界处存在既 不伸长也不缩短的 一层。 中性轴——中性层与横截面的交线。
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一、纯弯曲时横截面的正应力
1、变形几何关系 考察距中性层 O － O 为 y 处的纵 向层 a-a 的弯曲变形。变形后的 弧长为 aa ( y )d 变形前
4 D Iz 3 3 64 W D 0 . 1 D （2）圆形与圆环形截面 z D y ymax 32 2 3 4 d d D D z 4 4 (1 ) D Iz (1 ) Wz D 32 64
b （3）工字钢、槽钢等的抗弯截面系数Wz 可查型钢表
max
M max Wz
Iz Wz ymax
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④ 由脆性材料制成的梁，其抗拉和抗压强度相差甚大， 所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。


t max
M max t Wz
c max
M max c Wz


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My 由 Iz
最大正应力为：
可知，梁横截面上最大正应力 发生在离中性轴最远处
max
令
Iz Wz ymax
则
M ymax Iz
Wz ：抗弯截面系数
max
M max Wz
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（1）矩形截面 y h z
抗弯截面模量Wz的计算
Iz Wz ymax 1 3 bh 2 bh 12 (mm3 ) h 6 2
3
m
n
b a n n b a n M
纯弯曲的变形特征

b

a ① 横 线（ m-m,n-n ） 仍 是 m 直线，只是发生相对转动， 仍与纵线（ a-a ， b-b ）正 M m 交。 b ②纵线（a-a,b-b）弯曲成 a 曲线，且梁的一侧伸长， m 另一侧缩短。
平面假设——梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于变 形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。 假设梁的各纵向层互不挤压，即纵截面上无正应力
l
Pl M 60 KNm 4 M max 根据正应力强度条件 max Wz
有 Wz
A

M max
P

5.0 10 mm
5
3
查型钢表28a工字钢得
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Wz 508 10 mm
3
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3
l （2）校核最大切应力作用点的强度 小车移至支座处时梁内剪力最大
A A
y
E
即 Sz

A
ydA 0
有
结论：中性轴 z 是形心轴
由 M y z dA 0
A


A
z
E

ydA
E

A
zydA 0
即
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I yz yzdA 0
A
结论：y、z 轴为形心主轴
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M z y dA
A
E
y dA M
2 A
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1. 矩形截面梁的弯曲切应力
（1）分析距中性轴z为y的横线aa1上的切应力分布情况。 （2）切应力分布假设 ① 横截面上任一点处的切应力 方向均平行于剪力。 ② 切应力沿截面宽度均匀分布。 b
Fs a1
ha
y
τ
z
x
y
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（3）求距中性轴z为y的 横线aa1处的切应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成 假设：① Fs //τ；②τ沿腹板厚均匀
分布 计算结果表明，剪力的 95 ％～ 97 ％ 由腹板承担。因此在翼缘上τ很小， 腹板 在腹板上τ沿腹板高度按抛物线规律 变化。最大τ在中性轴上。
2 2 2 b H h d h 2 Sz y 2 4 4 2 4
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表明最大切应力作用点是 安全的。由正应力强度条 件所选择的截面是合理的
例3 铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力 为 [ t ] 40MPa ，许用压应力为 [ C ] 100MPa，[ ] 35MPa 。 试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情
根据上述公式，可以解决三类强度问题：强度校核， 截面设计和许用载荷计算。
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2、弯曲切应力强度条件
一般情况下，梁的强度主要考虑正应力，但在下列情况 下，也应校核切应力强度：① 梁跨度较小，或支座附近有较 大载荷； ② T形、工字形等薄壁截面梁；③ 焊接、铆接、胶 合而成的梁，要对焊缝、 胶合面等。 等截面直梁