2017-2018学年北京市民大附中高二(上)期末数学试卷

2017-2018学年北京市民大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x﹣3）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣3）2+（y+1）2=1C．（x+3）2+（y﹣1）2=1 D．（x+3）2+（y+1）2=14．（5分）函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（）A．5 B．C．D．5．（5分）已知m∈R，则m=0是直线l1：x+my+1=0与l2：（m﹣2）x+2my+2=0平行的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要6．（5分）若函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（3），极小值f（﹣1）B．函数f（x）有极大值f（﹣1），极小值f（3）C．函数f（x）有极大值f（﹣1），极小值f（1）D．函数f（x）有极大值f（3），极小值f（1）7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是以AD为底的等腰直角三角形，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP⊥MC．则点M到直线AB的最短距离为（）A．B．4﹣C．3﹣D．4﹣2 8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+f（﹣x）=0，若对任意x∈（0，+∞），都有2xf（x）+x2f′（x）＜1，则不等式x2f（x）﹣4f（2）＜|x|﹣2的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）椭圆5x2+3y2=15的两个焦点坐标为．10．（5分）已知P：∃x∈R，x2﹣x+4＜0；则￢P为．11．（5分）已知圆C的圆心（1，0），点A（﹣1，1）在圆C上，以A为切点的圆C的切线方程为．12．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且，则a3+a6=13．（5分）已知为P曲线y=ln2x上的任一点，则点P到直线2x﹣y+2=0距离的最小值为14．（5分）空间直角坐标系xOy中，过点P（x 0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）=0，过点P（x0，y0，z0）且方向向量为的直线l的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x﹣y+z+1=0，直线l是两个平面x﹣y+2=0与2x﹣z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点x=﹣1处的切线方程；（Ⅱ）求y=f（x）在[﹣3，2]上的最大值和最小值．16．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，（1）求抛物线的方程；（2）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．17．（14分）已知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点为A，B为椭圆的下顶点．△AOB的面积为1，离心率为．若点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP与直线y=2分别交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若|BP|=|PN|，求点P的坐标；=S△MNP，若存在求出P点坐标，若不（Ⅲ）在椭圆C上是否存在点P，使得S△ABP存在说明理由．20．（14分）已知：f（x）=e x，g（x）=2ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）设函数在x=x0处的切线方程为y=kx，求x0的值；（Ⅱ）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，1]上的单调性；2017-2018学年北京市民大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】由已知直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：由直线：，得该直线的斜率为．设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，∴α=150°．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x﹣3）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣3）2+（y+1）2=1C．（x+3）2+（y﹣1）2=1 D．（x+3）2+（y+1）2=1【分析】由题意，圆C2与圆C1关于直线x﹣1=0对称，可得半径相等，圆心对称，即可求解；【解答】解：由题意，圆C2与圆C1关于关于直线x﹣1=0对称，可知圆C2的半径为r=1，圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心为（﹣1，1）则关于直线x﹣1=0对称的坐标为（3，1），设圆C2的圆心（a，b），可得a=3．b=1．∴得圆C2的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=1．故选：A．【点评】本题考查圆C2与圆C1关于直线x﹣1=0对称的求法，利用点对点的对称即可求解．4．（5分）函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（）A．5 B．C．D．【分析】先根据导数求其切线的斜率，即=2，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：由于y=x2，则y′=2x，∴k=y′|x=1=2，∵函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，∴=2，∴e===，故选：B．【点评】本题考查了导数和几何意义以及双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知m∈R，则m=0是直线l1：x+my+1=0与l2：（m﹣2）x+2my+2=0平行的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【分析】由m（m﹣2）﹣2m=0，解得m．经过验证可得m的值，进而判断出结论．【解答】解：由m（m﹣2）﹣2m=0，解得m=0或m=4．经过验证m=4时，两条直线重合，舍去．∴m=0．因此m=0是直线l1：x+my+1=0与l2：（m﹣2）x+2my+2=0平行的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（3），极小值f（﹣1）B．函数f（x）有极大值f（﹣1），极小值f（3）C．函数f（x）有极大值f（﹣1），极小值f（1）D．函数f（x）有极大值f（3），极小值f（1）【分析】由已知函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，列出表格可得单调性，进而判断出极值．【解答】解：由已知函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，可得：由表格可得：函数f（x）有极大值f（﹣1），极小值f（3）．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是以AD为底的等腰直角三角形，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP⊥MC．则点M到直线AB的最短距离为（）A．B．4﹣C．3﹣D．4﹣2【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示、，根据向量垂直求出点M的轨迹，计算点M到直线AB的最短距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（2，0，2），C（0，4，0），设M（a，b，0），0≤a≤4，0≤b≤4，则=（2﹣a，﹣b，2），=（﹣a，4﹣b，0），∵⊥，∴•=﹣2a+a2﹣4b+b2=0，∴（a﹣1）2+（b﹣2）2=5，∴M为底面ABCD内以O（1，2）为圆心，以r=为半径的圆上的一个动点；点M到直线AB的最短距离为：4﹣1﹣=3﹣．故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离最小值的求法问题，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+f（﹣x）=0，若对任意x∈（0，+∞），都有2xf（x）+x2f′（x）＜1，则不等式x2f（x）﹣4f（2）＜|x|﹣2的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）【分析】先得到函数奇函数，再构造函数g（x）=x2f（x）+x＜4f（2）﹣2，利用导数判断函数为减函数，再根据根据函数的单调性和奇函数即可求出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，且f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数，∴f（0）=0，设g（x）=x2f（x）﹣x，∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣1＜0在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）单调递减，∵f（x）为奇函数，∴g（x）也为奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∵g（2）=4f（2）﹣2，当x＞0时，不等式x2f（x）﹣4f（2）＜|x|﹣2，转化为不等式x2f（x）﹣4f（2）＜x﹣2，即x2f（x）﹣x＜4f（2）﹣2，即g（x）＜g（2），∴x＞2，当x＜0时，不等式x2f（x）﹣4f（2）＜|x|﹣2，转化为不等式x2f（x）﹣4f（2）＜﹣x﹣2，即x2f（x）+x＜4f（2）﹣2，即x2f（﹣x）﹣x＞4f（﹣2）+2，即g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）椭圆5x2+3y2=15的两个焦点坐标为（0，），（0，）．【分析】化椭圆方程为标准方程，求得c，则答案可求．【解答】解：由椭圆5x2+3y2=15，得椭圆标准方程为，椭圆为焦点在y轴上的椭圆，且a2=5，b2=3，∴c=．则椭圆5x2+3y2=15的两个焦点坐标为（0，），（0，）．故答案为：（0，），（0，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题．10．（5分）已知P：∃x∈R，x2﹣x+4＜0；则￢P为∀x∈R，x2﹣x+4≥0．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，x2﹣x+4≥0，故答案为：∀x∈R，x2﹣x+4≥0．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．11．（5分）已知圆C的圆心（1，0），点A（﹣1，1）在圆C上，以A为切点的圆C的切线方程为2x﹣y+3=0．【分析】求出直线CA的斜率，得出所求切线的斜率，根据点斜式写出切线方程，再化为一般形式．【解答】解：直线CA的斜率为k CA==﹣，则以A为切点的圆C的切线斜率为k=﹣=2，∴所求的切线方程为y﹣1=2（x+1），化为一般形式是2x﹣y+3=0．故答案为：2x﹣y+3=0．【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题．12．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且，则a3+a6=【分析】先利用几何法与莱布尼兹公式计算出的值，然后利用等差数列的基本性质得到a3+a6=a1+a8，再利用等差数列求和公式即可求出答案．【解答】解：令，则y≥0，两边平方得y2=1﹣x2，即x2+y2=1，则函数在区间[﹣1，1]上的图象是圆x2+y2=1的上半部分，则，则S8==+==，由于数列{a n}为等差数列，则a3+a6=a1+a8，所以=4（a3+a6）=π，因此，，故答案为：．【点评】本题考查定积分的计算与等差的前n项，考查对公式的理解应用和性质的应用，属于中等题．13．（5分）已知为P曲线y=ln2x上的任一点，则点P到直线2x﹣y+2=0距离的最小值为【分析】求出平行于直线y=2x且+2与曲线y=ln（2x）相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：设P（x，y），则y′==，（x＞0）令=2，则x=，∴y=0．∴平行于直线y=2x+2且与曲线y=ln（2x）相切的切点坐标为（，0）由点到直线的距离公式可得d==．故答案为：．【点评】本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）空间直角坐标系xOy中，过点P（x 0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）=0，过点P（x0，y0，z0）且方向向量为的直线l的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x﹣y+z+1=0，直线l是两个平面x﹣y+2=0与2x﹣z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为．【分析】联立，解得直线l与平面α的交点P（0，2，1），平面α的方程为x﹣y+z+1=0，变为：x﹣（y﹣2）+（z﹣1）=0，可得平面α的法向量．直线l是两个平面x﹣y+2=0与2x﹣z+1=0的交线，可得直线l的方程为：，可得直线l的方向向量．进而得到直线l与平面α所成角的正弦值=|cos |=．【解答】解：联立，解得，可得直线l与平面α的交点P（0，2，1），平面α的方程为x﹣y+z+1=0，变为：x﹣（y﹣2）+（z﹣1）=0，可得平面α的法向量=（1，﹣1，1）．直线l是两个平面x﹣y+2=0与2x﹣z+1=0的交线，可得直线l的方程为：，可得直线l的方向向量=（1，1，2）．直线l与平面α所成角的正弦值=|cos|===．故答案为：．【点评】本题考查了直线与平面的方程、数量积运算性质、线面角，考查了推理能力计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点x=﹣1处的切线方程；（Ⅱ）求y=f（x）在[﹣3，2]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点，以及极值，计算区间[﹣3，2]的端点处的函数值，比较可得所求最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5的导数为f′（x）=3x2+4x﹣4，可得y=f（x）在点x=﹣1处的切线斜率为k=﹣5，切点为（﹣1，10），则曲线y=f（x）在点x=﹣1处的切线方程为y﹣10=﹣5（x+1），即5x+y﹣5=0；（Ⅱ）由f′（x）=3x2+4x﹣4，可得x=﹣2或x=时，f′（x）=0，则f（﹣2）=﹣8+8+8+5=13，f（）=+﹣+5=，又f（﹣3）=﹣27+18+12+5=8，f（2）=8+8﹣8+5=13，综上可得，f（x）的最小值为，最大值为13．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，（1）求抛物线的方程；（2）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【分析】（1）根据抛物线的性质，即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可x1x2=4，由（y1y2）2=4x1x2，即可求得y1y2=﹣4，利用向量的坐标运算，即可求得⊥．【解答】解：（1）由抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，则﹣=﹣，则p=1，∴抛物线方程为：y2=2x；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0，∴x1x2=4，由y12=2x1，y22=2x2，两式相乘，得（y1y2）2=4x1x2，注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4，则•=x1x2+y1y2=0，⊥，∴OM⊥ON，【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．17．（14分）已知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣ax+a]≥0恒成立，当0＜a≤2时，由（1）知，当x∈（0，﹢∞）时，f（x）单调递增．又f（1）=0，当x∈（0，1），f（x）＜0；当x∈（1，﹢∞）时，f（x）＞0，故不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立．若a＞2，对f（x）二次求导，令二次导函数=0，得到x0＞1，当x∈（1，x0）时，f（x）单调递减，∴当x∈（1，x0）时，f（x）＜f（1）=0，此时（x﹣1）f（x）＜0，矛盾，综上所述，0＜a≤2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．【分析】（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA…（2分）且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA…（6分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．…..（9分）（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），∴由，=0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，故=（1，﹣，﹣1），∴cos==，解得，a=．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点为A，B为椭圆的下顶点．△AOB的面积为1，离心率为．若点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP与直线y=2分别交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若|BP|=|PN|，求点P的坐标；=S△MNP，若存在求出P点坐标，若不（Ⅲ）在椭圆C上是否存在点P，使得S△ABP存在说明理由．【分析】（Ⅰ）运用三角形的面积公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设N点的坐标为（x1，2），P（x0，y0），运用中点坐标公式和点在椭圆上，计算可得所求P的坐标；=S△MNP，设P（x0，y0），M（x M，（Ⅲ）假设在椭圆C上是否存在点P，使得S△ABP2），N（x N，2），且A（﹣2，0），B（0，﹣1），运用三角形的面积公式，可得=，再由三点共线的坐标表示，可得P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为1，离心率为，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设N点的坐标为（x1，2），P（x0，y0），∵|BP|=|PN|，B（0，﹣1），∴2y0=2﹣1=1，∴y0=，则+=1，解得x0=±，∴P（，）或（﹣，）；=S△MNP，（Ⅲ）假设在椭圆C上是否存在点P，使得S△ABP设P（x0，y0），M（x M，2），N（x N，2），且A（﹣2，0），B（0，﹣1），S△ABP=S△MNP，可得AP•BP•sin∠APB=MP•NP•sin∠MPPN，可得AP•BP=MP•NP，即为=，即有=，解得y0=，由+y02=1，解得x0=±，即有P的坐标为（±，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆离心率公式，考查中点坐标公式的运用，以及三角形的面积公式和三点共线的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．20．（14分）已知：f（x）=e x，g（x）=2ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）设函数在x=x0处的切线方程为y=kx，求x0的值；（Ⅱ）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，1]上的单调性；【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得h（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，讨论极值点ln（2a）与0，1的大小关系，即可得到所求单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数即y=的导数为y′=，可得k=，且kx0=，解得x0=2；（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2ax﹣b，导数为h′（x）=e x﹣2a，当a≤0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，1]递增；当a＞0，若ln（2a）≥1，即a ≥e，[0，1]⊆（﹣∞，ln（2a）），可得h（x）在[0，1]递减；若0＜ln（2a）＜1即＜a ＜e时，h（x）在（0，ln（2a））递减；在（ln（2a）），1）递增；若ln（2a）≤0，（0，1）⊆（ln（2a），+∞），可得h（x）在[0，1]递增．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．第21页（共21页）。