最新韦达定理(根与系数的关系)六大应用
一元二次方程根与系数的关系及应用题
一元二次方程根与系数的关系及应用题一、 根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。
4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。
若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。
如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是 ；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求： （1）11αβ+；（2）()()33++βα的值； （3）22αβ+； （4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有 个。
一元二次方程根与系数的关系和韦达定理应用探讨
∴k=1,
2若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
解：两根则m²≠0，x1+x2=(2m-3)/m²，x1x2=1/m²
S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵ 是方程①的两个实数根
∴方程②
∵a是方程②的根，∴
6、已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．证明：
（1）则实数m的取值范围是m≤ （2）当x12-x22=0时，则m=考点：根的判别式Fra bibliotek根与系数的关系．
即实数m的取值范围是；m≤
（2）由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得，m=
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去；
若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知；m=
故当x12-x22=0时，m= ．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、 B、3 C、6 D、9
7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（）A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3
韦达定理的应用
韦达定理及根与系数关系的应用海南华侨中学 王明照设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠两根分别为12,x x 其判别式是∆=24b ac -，0,∆>有两个不等的实数根，即1,22b x a-±=；0,∆=有两个相等的实数根，即122b x x a==-；0∆<，没有实数根。
根与系数关系是12b x x a+=-， 12c x x a ∙= 那么运用上述知识我们能够解决哪些问题呢？本文将探讨一下，试图达到抛砖引玉的作用，同时也希望能为老师和同学起到参考的作用。
一。
判别式的应用（1）不解方程判断方程根的情况。
（2）求方程中字母系数的值，范围或相互关系。
当已知方程根的情况时，则可知0,0,0∆>∆=∆<，通过等式或不等式求字母系数的值，范围或相互关系。
二。
根与系数的关系的应用。
（1）求与根相关的代数式的值。
已知方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，求含有12,x x 的代数式的值，只需把所求代数式中含有12,x x 的式子都转化为两根12,x x 和或积的形式，再把12b x x a+=-， 12c x x a ∙=代入即可。
（2）验根，求根或确定根的符号。
（3）求作新方程。
已知某一元二次方程的两根为,a b ，则此方程可写做二次项系数为1的一元二次方程2()0x a b x ab -++=（4）特别的，利用根与系数的关系可以判定一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的符号。
①.若方程有一根为0，则c=0②.若两根互为相反数，则b=0,且ca <0 ③。
若两根皆为正数，则2121240b ac b x x a cx x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪∙=>⎪⎩④.若两根皆为负数，则212124000b ac bxx a cx x a ⎧⎪-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪∙=>⎪⎩⑤.若两根一正一负，则21240b ac cx x a ⎧->⎪⎨∙=<⎪⎩(240b ac ->可省) ⑥。
根与系数的关系应用
根与系数的关系及其应用如果一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根为21,x x ，那么a b x x -=+21，ac x x =21.这就是根与系数的关系，也称为韦达定理.下面归纳它在中考解题中的几种典型应用.一、直接利用根与系数关系例1.（1）不解方程求下列方程的两根之和与两根之积0132=++x x 132=x 01322=--x x（2）若==⋅=+=++a ,13,022121212则，满足的两根x x x x x x b ax x ，b= .二、已知方程的一个根，求另一个根及参数的值例2 已知关于x 的方程032=++a x x 的一个根为2，则=a ，另一根是 ．方法技巧：一元二次方程已知方程一根求另一根的问题可以利用回代法将已知根代入原方程，求得a 的值，再将a 的值代入方程，通过解方程求出另一个根.但这种解法没有用根与系数的关系求解简便.三、求与两根有关的代数式的值例3（1）若=+=-+22212x ,035x x x 求 ，()()=--1121x x . （2）已知a,b 是020172=-+x x 的根，则=++b a a 22 .（3）已知0120172=-+x x 的两根为n m ,，求mn mn n m -+22的值.方法技巧：解这类问题的关键是将式子化成含2121,x x x x ⋅+的形式.常见的公式变形有：①()()()111212121++-=--x x x x x x ;②();2212212221x x x x x x -+=+③21212111x x x x x x +=+等. 四、求方程中参数的取值例4（1）若关于x 的方程01)3(2=++++m x m x 的两实根21,x x 满足2221x x +=4，则m 的值为 .(2) 若0)32(22=+++m x m x 的两不等实根βα,满足111-=+βα，求m 的值.(3)已知关于x 的方程047)1(222=--+-+a a x a x 的两根为21,x x ，且满足02332121=---x x x x 求a 的值.方法技巧：利用根与系数关系确定方程中字母系数取值时，要先根据方程根的情况利用0>∆或0≥∆确定字母的取值范围，再利用已知条件进行取舍.五、探究字母系数的存在性例5关于x 的方程01)2(2=++++k x k kx 有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围;（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.练习：已知0122=-+-m x x 有两实根21,x x①求m 的取值范围②是否存在m 的值使得2122216x x x x =+，若存在求出m 的值，若不存在说明理由。
一元二次方程根与系数的关系及应用-强方法
一元二次方程根与系数的关系及应用【定理内容】一、韦达定理1.()002≠=++a c bx ax 的求根公式： 当042≥-ac b 时，a ac b b x 242-±-= 2.定理的内容：若1x ，2x 为()002≠=++a c bx ax 的两根：则 =+21x x ab - ，=⋅21x x ac [注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理]二、韦达定理的应用（一）已知一根，求另一根。
1.已知方程23520x x +-=的一个根是2-，求另一个根。
512,3321(2,)33aa a a a -+=-=-=-=解：设另一根为由韦达定理得 设出另一根，由韦达定理直接解得。
亦可用于验根，确定根的符号。
（二）求关于两根的代数式的值。
（常见题型）1. 设1x ，2x 方程0522=--x x 的两个根，求下列代数式的值。
（先写1x +2x =?，1x 2x =?）（1）2221x x + （2）2111x x + （3）222111x x + （4）122221x x x x ⋅+⋅ （5）()221x x - （6）21x x -12122221212121212122221212122222212121215,22(1)()211(2)()211(3)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +==-+=+-++=++-+==解：由韦达定理22122112122222121212121212(4)()(5)()2()4(6)||x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅+⋅=+-=+-=+--==借助完全平方公式变形之后，代入即可。
2.已知：α、β是方程012=--x x 的两实根，求：βα34+． 224210=+1+=1=13(+1)3(1)5x x αβαααββααβαα--=∴∴-∴+=+-=解：、是方程的两个根，（三）确定方程中待定字母的值1.已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值。
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了多项式方程根与系数之间的关系。
韦达定理在代数学和数学分析中有着广泛的应用，对于理解多项式方程的根的性质和特征具有重要意义。
韦达定理的正式表述如下：对于一个n次多项式方程，其一般形式为：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$是多项式的系数，$n$是方程的次数，$x$是未知数。
韦达定理指出，如果多项式方程有一个根为$x=k$，那么可以将方程表示为以下形式：$(x-k)(a_nx^{n-1} + b_{n-1}x^{n-2} + ... + b_1x + b_0) = 0$其中$a_n, b_{n-1}, ..., b_1, b_0$是新的系数，$x-k$是一次因式。
通过展开上述等式，我们可以得到：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$这说明多项式方程的一个根$k$对应着方程的一个一次因式$x-k$。
这意味着，如果我们能够找到多项式方程的所有根，那么我们就能够将方程完全分解成一次因式的乘积，从而得到多项式的因式分解式。
韦达定理还告诉我们，根与系数之间存在着一种重要的关系。
设多项式方程的根为$x_1, x_2, ..., x_n$，那么我们可以得到以下关系：$x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$...$x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$这些关系告诉我们，多项式方程的根的各种组合方式与系数之间有着密切的联系。
通过这些关系，我们可以在已知多项式方程的系数的情况下，计算出方程的根的和、乘积以及根的各种组合之和。
根与系数的关系(解析版)-2023年升初三人教版暑假衔接教材
❊1.5根与系数的关系知识点一根与系数的关系【注意】题型一利用韦达定理求方程的根例1已知关于x 的方程0322=+++a a x x 有一个根为-2，则另一个根为（）A ．5B ．2C ．-1D ．-5【答案】【分析】根据关于系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于∴2-解得，故选例变1若关于x 的一元二次方程032=+-bx x 有一个根是1=x ，求b 的值及方程的另一根.【答案】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+3=0有一个根是x=1，∴1﹣b+3=0，解得：b=4，把b=4代入方程得：x 2﹣4x+3=0，设另一根为m ，可得1+m=4，解得：m=3，则b 的值为4，方程另一根为x=3.变2若73+是方程062=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.【答案】解：∵=3+7是此方程的一个根，设另一个解为2则1+2=6，∴2=3−7，即方程的另一个根为3−7∵12=∴=(3+7)(3−7)=2.题型二利用韦达定理判断根的正负例1一元二次方程2410x x --=根的情况是（）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于5D ．有两个正根，且有一根大于4【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．【解答】解：2410x x --=，△24164200b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根；设方程的两个根为12x x ⋅，则：124x x +=，121x x ⋅=-，∴方程的有一个正根，一个负根；故选：B ．例2关于x 的方程2(2)(1)(x x p p -+=为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A ．有两个相异正根B ．有两个相异负根C ．有一个正根和一个负根D ．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到△0>，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，利用根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，根据有理数的性质得到1x 、2x 的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为2220x x p ---=， △222(1)4(2)490p p =----=+>，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，根据根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C ．变1关于x 的一元二次方程2250x x --=有（）A ．两个相等的实数根B ．两个不相等的正数根C ．两个不相等的负数根D ．一个正数根和一个负数根【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．【解答】解：2250x x --=，△224(2)41(5)240b ac =-=--⨯⨯-=>，所以方程有两个不相等的实数根，设方程2250x x --=的两个根为e 、f ，则50ef =-<，则e 和f 异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D ．变2关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C ．两个负根D ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a ，b ，利用根与系数的关系表示出a b +与ab ，判断即可．【解答】解：设方程两根设为a ，b ，方程整理得：2220x x p +--=，∴由根与系数的关系得：10a b +=-<，220ab p =--<，则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．故选：D ．例3一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（）A ．a ，c 异号B ．a ，c 异号；a ，b 同号C ．a ，c 异号；b ，c 同号D ．b ，c 异号变3一元二次方程20ax bx c ++=中，若0a >，0b <，0c <，则这个方程根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有一正根一负根且正根绝对值大D ．有两个正的实数根【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据12cx x a=判断根的符号情况．【解答】解：0a > ，0b <，0c <，0ac ∴<，∴△240b ac =->，∴方程有两个不相等的实数根，120cx x a=< ．∴两根异号，故选：C ．例4若方程22210x x m +-+=有一正实根和一负实根，则m 的取值范围是（）A ．167≥m B ．12m >C ．716m >D ．21≥m 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：210m -+<，12m ∴>，由△18(21)0m =--+>，716m ∴>，12m ∴>，故选：B ．变4若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【分析】利用根的判别式△0>及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【解答】解： 关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴2241(12)0120m m ⎧=-⨯⨯->⎨-<⎩，解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．知识点二韦达定理与代数式题型三利用韦达定理求代数式的值例1已知21x x ，是方程2310x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）21x x +（2）12·x x （3）()()1211x x --（4）()()122111x x x x +++（5）2212x x +（6）()212x x -（7）1211+x x （8）2112x x x x +变1已知21x x ，是方程03622=-+x x 的两个实数根，求下列各式的值：（1）2221x x +（2）)2)(2(21++x x（3）2112x x x x +（4）221)(x x -（5）21x x -例2一元二次方程x 2+4x +1=0的两个根是x 1，x 2，则2112x x x x -的值为______．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到21−12=12【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，所以21−12=22−1212=(1+2)(2−1)===﹣83．故答案为﹣83例3已知方程2410x x ++=，记两根为,αβ，求βααβ+的值为（）A ．3B ．C ．4D ．变3已知：m 、n 是方程022=--x x 的两根，则=--)1)(1(22n m ______．【答案】0【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，从而得到2−1=+1,2−1=+1，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 、n 是方程2−−2=0的两根，∴2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，∴2−1=+1,2−1=+1，∴2−12−1=+1+1=B +++1=−2+1+1=0故答案为：0变4已知a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，则式子abbb a a+的值为______．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入=【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，∴a +b =−52，a •b =12，∴a ＜0，b ＜0，∴+=+=B==−(−52)+2×12=−故答案为：−题型四根据代数式的值求参数的值例1已知21x x ，是关于x 的方程012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为______．【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.【解答】)12(4)13(4222≥+-+=-=∆k k ac b （注意：可以不用解出来）∵2218)1)(1(k x x =--∴2212181)(k x x x x =++-将)13(21+-=-=+k a b x x ，12221+==⋅k acx x 代入得：22811312k k k =++++，解得211-=k ，12=k .再将k 的值带入△，判断是否满足△≥0即可.【答案】1【解析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣（3k +1），x 1x 2=2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1=0，解得：k 1=﹣，k 2=1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，∴△=（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2，∴k =1．例2已知关于x 的一元二次方程02)12(22=+++-k k x k x 有两个实数根为21x x ，，使得16222121-=--x x x x 成立，则k 的值______．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，然后解不等式求得k 的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，再把x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16变形为﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2=﹣16，所以﹣（2k +1）2+3（k 2+2k ）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k =0有两个实数根，∴△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，解得k ≤14，由根与系数的关系得x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16．∴x 1x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]=﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，整理得k2﹣2k﹣15=0，解得k1=5（舍去），k2=﹣3．∴k=﹣3，故答案为﹣3．即6180m -=，解得：3m =．变4已知关于x 的一元二次方程0)14(62=++-m x x 有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为21x x ，，且421=-x x ，求m 的值．【答案】见解析。
根与系数的关系韦达定理
根与系数的关系——韦达定理吴翼腾基本概念1.根与系数的关系称为韦达定理（在此研究一元二次方程根与系数的关系）。
2.韦达定理内容：方程02=++c bx ax 的根是ab x a b x 2,221∆--=∆+-=， ⇒ac x x a b x x =⋅-=+2121,。
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即必须满足判别式0≥∆。
韦达定理的应用（一）检验一元二次方程的解 例如：12,1221-=+=x x 是否是01222=+-x x 的解？（二）已知方程的一个根，求另一个根及待定系数的值1.已知方程0322=++mx x 的一个根为21，求另一个根及m 的值。
2.利用根与系数的关系解方程：422233+=+x x（三）不解方程，求根的代数式的值规律总结：对称式因式分解，求绝对值平方加讨论，整式非对称式降次，分式非对称式转化为对称式求解，求最值用判别式，在配方点和端点上。
例题一1.设方程03742=--x x 的两根为,,21x x 不解方程，求下列代数式的值：（1）)3)(3(21--x x （2）3231x x + （3）112112+++x x x x （4）21x x -2.已知m 为实数，方程022=++m x x 有两个实根,,21x x 求||||21x x +的值。
3.设21,x x 是二次方程032=-+x x 的根，求1942231+-x x 的值。
4.已知βα,是方程0872=+-x x 的两个根，且,βα>不解方程，利用根与系数的关系求232βα+的值。
5.对自然数n ，设x 为二次方程0)12(22=+++n x n x 的两根为,,n n βα求：)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(120204433+++++++++βαβαβα 的值。
6.设21,x x 为方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实数根，求2221x x +的最大值和最小值。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
一元二次方程根与系数关系的应用
一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。
因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。
一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。
这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。
二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。
2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。
3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。
4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。
5. ＋=。
6.＋＝=－2。
三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。
那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。
下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。
关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。
例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。
例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。
2.关于两根的非对称式的求值。
对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。
（1）运用根的定义降次，化为对称式。
例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
例2 以2和 －３为根的一元二次方程（二次项 系数为１）为
3
以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是 （ ） A、y ＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
3. x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2
将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
2 2
②已知两根，求作新的方程
以 x1 , x2为两根的一元二次方(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
一正根，一负根 两个正根 两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
2
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△≥0 X 1X 2＞ 0
X1+X2＜0
例6 方程 mx 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
例6 方程 mx 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
2
解:由已知,
{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
21.2.4
①求值
韦达定理的六大应用
②已知两根，求作新的方程 ③已知其中一根，求另一根与参数 ④已知两根关系，求参数（或取值范围 ） ⑤ 已知两根和与积，求这两个数 ⑥ 判断根的正负性
解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1X2=3; X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
练
已知方程 x -3x + k +1 = 0 的根的平 方和小于5，求k的取值范围。
2
⑤ 已知两根和与积，求这两个数
例6 已知两个数的和是1，积是-2，求这两个数
⑥ 判断根的正负性
新方程的两根之和为 新方程的两根之积为
③已知其中一根，求另一根与参数
例3 如果－1是方程 2 x - x + m = 0 的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
2
④已知两根关系，求参数（或取值范围 ） 2 x 已知方程 kx k 2 0 的两个实数根
例4
2 2 x x 是 1, 2 且 x1 x2 4 求k的值。
21.2.4
①求值
韦达定理的六大应用
②已知两根，求作新的方程 ③已知其中一根，求另一根与参数 ④已知两根关系，求参数（或取值范围 ） ⑤ 已知两根和与积，求这两个数 ⑥ 判断根的正负性
在使用韦达定理时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用x1+x2=－ a
时，
注意“－ ”不要漏写。
练习1 已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
2
当 m= 当 m=
时,此方程的两根互为相反数. 时,此方程的两根互为倒数.
①求值：
例1 设x1 ? x2为方程x 2 4 x +1 = 0的两个根 则：
1 1 x1 + x2 1. + = x1 x2 x1 x2
2.( x1 +1)( x2 +1) = x1 x2 + ( x1 + x2 ) +1