2018-2019学年北师大版必修一第一章3 集合的基本运算学案

3集合的基本运算3．1交集与并集预习课本P11 12，思考并完成以下问题1．交集的定义是什么？如何用数学符号表示？2．并集的定义是什么？如何用数学符号表示？3．交集与并集有哪些性质？[新知初探]1．交集(1)交集的定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)图形表示：(3)运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B；A∩A＝A，A∩∅＝∅.[点睛(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．(2)交集概念中的“所有”两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来．(3)当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是集合A，B的交集为空集．2．并集(1)并集的定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集．记作A ∪B(读作“A并B”)．即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)图形表示：(3)运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B；A∪A＝A，A∪∅＝A.[点睛(1)A∪B是所有属于A或属于B的元素组成的集合．(2)并集的符号语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A，或x∈B”包含三种情形：①x∈A，且x∉B；②x∈B，且x∉A；③x∈A，且x ∈B.(3)由于集合中元素的互异性，则A和B的公共元素在并集中只能出现一次．[小试身手]1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”错误的打“×”．(1)若A＝{1,2}，B＝{3,4}，则A与B没有交集．( )(2)若A＝{1,2}，B＝{1,3,4}，则A∪B＝{1,2,1,3,4}．( )(3)若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)．( )(4)若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)．( )(5)若A⊆B，则A∩B＝A.( )(6)若A⊆B，则A∪B＝B.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则A∪B＝( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}答案：A3．若集合A＝{1,3,7,8}，B＝{2,6,7,9}，则A∩B＝________.答案：{7}4．若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜－1}，则A∩B＝________，A∪B＝________.答案：∅{x|x＞1或x＜－1}求集合的交集与并集[典例(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.(2)已知集合A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，则A∩B＝________，A∪B＝____ ____.[解析(1)A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}＝{－2,3}，则A∩B＝{－2}，A∪B＝{1，－2,3}．(2)如图所示：则A∩B＝{x|5＜x≤7}，A∪B＝{x|x≤－2或x＞1}．[答案(1){－2} {1，－2,3}(2){x|5＜x≤7} {x|x≤－2或x＞1}此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．[活学活用1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：选D∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2}．又C＝{2,3,4}．∴(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．2．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，则集合A∩B等于( )A．{x|x≤3或x＞4} B．{x|－1＜x≤3}C ．{x |3≤x ＜4}D ．{x |－2≤x ＜－1}解析：选D 在数轴上把集合A ，B 表示出来，如图所示：故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜－1}．交集、并集的性质及应用[典例已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .[解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 又A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .(1)当B ＝∅时，方程ax －2＝0无解，此时a ＝0. (2)当B ≠∅时，则B ＝{1}或B ＝{2}． 若B ＝{1}，则a －2＝0，即a ＝2； 若B ＝{2}，则2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．[活学活用已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． (2)∵C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4，故实数a 的取值范围为(－4，＋∞).利用交集、并集求参数的取值范围[典例集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．[解(1)如图1所示．图1A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝∅，∴数轴上点x＝a在点x＝－1左侧，且包含点x＝－1，∴a≤－1.(2)如图2所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，图2∴数轴上点x＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.∴－1＜a≤1.此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．[活学活用1．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，求实数a的取值范围．解：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示．所以a必须在1的左侧或a与1重合，即a≤1，故实数a的取值范围为(－∞，1 ．2．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，集合B＝{x|1＜x＜3}，且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．解：如图所示，设想集合A所表示的范围在数轴上移动，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，当且仅当集合A覆盖住{x|－1＜x≤1}的部分，才能使A∪B＝{x|－1＜x＜3}，因此A的右端点应介于1和3之间，且1处不能取等号，否则不含元素1，∴1＜a≤3.层级一学业水平达标1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解析：选D∵M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，∴M∩N＝{2}，M∪N＝{－2,1,2,3,4}．故选D.2．已知集合M＝{直线}，N＝{圆}，则M∩N中的元素个数为( )A．0 B．0,1,2其中之一C．无穷D．无法确定解析：选A因为集合M与N中没有公共元素，所以M∩N的元素个数为0.3．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}解析：选D将集合A，B表示在数轴上，如右图所示，知A∩B＝{x|1＜x＜2}．4．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D∵{1,3}∪A＝{1,3,5}，∴集合中至少含有一个元素5，故A＝{5}，{1,5}，{3,5}或{1,3,5}．5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}．∴a＝4.6．设集合A＝{0,1,2,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}．则集合(A∩B)∪C＝________，(A∪C)∩(B∪C)＝________.解析：∵A∩B＝{1}，C＝{3,7,8}，∴(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}．∵A∪C＝{0,1,2,3,4,5,7,8}，B∪C＝{1,3,6,7,8,9}，∴(A∪C)∩(B∪C)＝{1,3,7,8}．答案：{1,3,7,8} {1,3,7,8}7．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．解析：在数轴上表示出集合A ，B 可知a ＞－1.答案：a ＞－18．已知集合P ＝{－4，－2,0,2,4}，Q ＝{x |－1＜x ＜3}，则P ∩Q ＝________. 解析：作出如图所示的数轴，可得0,2是集合P ，Q 的公共元素，故P ∩Q ＝{0,2}．答案：{0,2}9．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎩⎨⎧ 3－x ＞0，3x ＋6＞0，集合B ＝{m |3＞2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：由⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，3x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，即A ＝{x |－2＜x ＜3}．又由3＞2m －1，得m ＜2，即B ＝{m |m ＜2}． ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |x ＜3}．10．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．解：(1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∴M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .又∵M ＝{2}，∴2∈N ， ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解， 即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.层级二 应试能力达标1．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( )A ．t ＜－3B ．t ≤－3C ．t ＞3D ．t ≥3解析：选A B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t ＜－3.2．已知集合A ＝{x |0＜x ≤6，x ∈ }和B ＝{x |－4＜x ＜4，x ∈ }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有( )A ．5个B ．6个C．7个D．无穷多个解析：选C由题意可知A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}，A∪B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．故阴影部分表示的集合为{－3，－2，－1,0,4,5,6}，共有7个元素．3．集合A＝{a2，a＋1，－1}，B＝{2a－1，|a－2|,3a2＋4}，A∩B＝{－1}，则a的值是( )A．－1 B．0或1C．2 D．0解析：选D由A∩B＝{－1}，得－1∈B.因为|a－2|≥0,3a2＋4＞0，所以2a－1＝－1，即a＝0，这时A＝{0,1，－1}，B＝{－1,2,4}，则A∩B＝{－1}成立．4．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义AB＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：5．已知集合A＝{x|x＜1或x＞5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5＜x≤6}，则2a－b＝________.解析：借助数轴可知a＝1，b＝6，故2a－b＝2－6＝－4.答案：－46．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.解析：N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，∴N－M＝{6}．答案：{6}7．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B ，知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2 ． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3， 得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．8．若集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 的值，使得∅ (A ∩B )与A ∩C ＝∅同时成立．解：B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，∴B ∩C ＝{2}． ∵∅ (A ∩B )，A ∩C ＝∅，∴3∈A . 将x ＝3代入方程x 2－ax ＋a 2－19＝0， 得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2. ①若a ＝5，则A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， 此时A ∩C ＝{2}≠∅，不符合要求，舍去； ②若a ＝－2，则A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}， 满足要求．综上可知，a 的值为－2.3．2 全集与补集预习课本P12 14，思考并完成以下问题1．全集的概念是什么？用什么符号表示？2．补集的概念是什么？用什么符号表示？3．补集有哪些性质？[新知初探]1．全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．常用符号U表示．[点睛全集并不是固定不变的，它是根据具体问题来选择的．例如，在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这时平面是全集的一个子集，而在平面几何中，整个平面可以看做全集．2．补集(1)设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作∁U A.(2)符号表示：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(3)Venn图表示：(4)补集的性质：①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅.[点睛补集的定义可以解释为：如果从全集U中取出A的全部元素，则所剩下的元素组成的集合就是∁U A.[小试身手]1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)全集包含任何一个元素．( )(2)∁A C和∁B C相等．( )答案：(1)×(2)×2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A等于( )A．{1,3,5} B．{2}C．{4} D．{2,4}答案：D3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.答案：{x|x＜1}4．设全集U＝{2,3,4,5,6}，∁U A＝{3,5}，则A＝________.答案：{2,4,6}5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于________．解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,5}，∴∁U B＝{1,3,4}．又A＝{1,2,3}，∴A∩(∁U B)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．答案：{1,3}[典例(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁B)∩A；U(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁A，∁U B.U[解(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)，可知∁U A＝{x|1<x≤4}，∁U B＝{x|3<x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．(2)法一：在集合U中，∵x∈，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn图表示：则∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．(1)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中注意边界问题．(2)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn图求解．[活学活用已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.交、并、补的综合运算[典例设U A∪B，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U[解∵U＝{x∈N|x＜10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁U A＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,2}，(∁U A)∪(∁U B)＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}．(1)解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．(2)当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．[活学活用已知U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(∁U B) ∪[B∩(∁U A) ＝( )A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞－1} D．{x|x＞0，或x≤－1}解析：选D ∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x ＞－1}．又∵A ＝{x |x ＞0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x ＞0}．又∵∁U A ＝{x |x ≤0}．∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B ) ∪[B ∩(∁U A ) ＝{x |x ＞0，或x ≤－1}.利用补集的运算求参数[典例(1)设全集S ＝{1,2,3,4}，且A ＝{x ∈S |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁S A ＝{2,3}，则m ＝________.(2)设全集U ＝R ，M ＝{x |3a ＜x ＜2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M∁U P ，求实数a 的取值范围．[解 (1)因为S ＝{1,2,3,4}，∁S A ＝{2,3}，所以A ＝{1,4}，即1,4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根，由根与系数的关系可得m ＝1×4＝4.故填4.(2)∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}．∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论．①M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.②M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－72 ∪[13，＋∞)．(1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．(2)不等式中的符号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集． [活学活用1．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3. 答案：－32．设全集U ＝{1,2，x 2－2}，A ＝{1，x }，求∁U A .解：若x ＝2，则x 2－2＝2，U ＝{1,2,2}，与集合中元素的互异性矛盾，故x ≠2，从而x ＝x 2－2，解得x ＝－1或x ＝2(舍去)．故U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，则∁U A ＝{2}.补集思想的应用[典例 若集合A ＝{x |ax 2 [解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a ＞0，解得a ＜98且a ≠0，则此时实数a 的取值范围是aa ＜98且a ≠0.在全集U ＝R中，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＜98且a ≠0的补集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≥98或a ＝0.所以满足题意的实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫98，＋∞∪{0}．补集思想的解题方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为： (1)否定已知条件，考虑反面问题； (2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集． [活学活用已知集合A ＝{y |y ＞a 2＋1，或y ＜a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：因为A ＝{y |y ＞a 2＋1，或y ＜a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，我们不妨先考虑当A ∩B ＝∅时a 的取值范围，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，a 2＋1≥4，得⎩⎨⎧a ≤2，a ≥3或a ≤－3，故a ≤－3或3≤a ≤2.即A ∩B ＝∅时，a 的取值范围为a ≤－3或3≤a ≤2， 故A ∩B ≠∅时，a 的取值范围为{a |a ＞2，或－3＜a ＜ 3}．层级一 学业水平达标1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{2} B ．{5} C ．{1,2,3,4}D ．{1,3,4,5}解析：选B ∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{5}．2．已知集合A ＝{x ∈R|－2＜x ＜6}，B ＝{x ∈R|x ＜2}，则A ∪(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＜6} B ．{x |－2＜x ＜2} C ．{x |x ＞－2}D ．{x |2≤x ＜6}解析：选C由B＝{x∈R|x＜2}，得∁R B＝{x|x≥2}．又A＝{x∈R|－2＜x＜6}，所以A ∪(∁R B)＝{x|x＞－2}．3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴∁R P⊆Q.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选D∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}∴A∪B＝{1,3,4,5,6}又U＝{1,2,3,4,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A因为A＝{x|x＞－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．设全集为U，用集合A，B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分．(1)________；(2)________．答案：(1)∁U(A∪B) (2)(∁U A)∩B7．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.解析：借助图形可知∁U A＝{x|x＝－3或x＞4}．答案：{x|x＝－3或x＞4}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若(∁R A)∩B＝B.求实数m的取值范围．解：∁R A＝{x|x≤－2，或x≥3}，由(∁R A)∩B＝B，得B⊆∁R A，∴m＋9≤－2，或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11，或m≥3}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，∁A∪B，A∩∁U B，∁U(A∪B)．U解：如图所示．∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2＜x＜3}，∁U(A∪B)＝{x|x＜－3，或3≤x≤4}．层级二应试能力达标1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N＝( )A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}解析：选B由M∩(∁U N)＝{2,4}，可得集合N中不含元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．2.已知全集U＝，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：选A图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}．3．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，正确．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅，正确．4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁M)＝∅，则M∪N等于( )IA．M B．NC．I D．∅解析：选A根据题意画出Venn图，由图可知M∪N＝M.5．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．解析：∵M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∪N ＝{x |x ＜－2，或x ≥1}． ∴阴影部分所表示的集合为 ∁U (M ∪N )＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：{x |－2≤x ＜1}6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．答案：127．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0. 解得a ＝87，b ＝－127即为所求．8．设全集是实数集R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜12，或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A .当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }．要使B ⊆∁R A ，需要－a ≤12，解得－14≤a ＜0.综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－14，＋∞.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列四个关系式：①3∈R ；②∈Q ；③0∈∅；④∅⊆{0}．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B ①④正确；对于②， 与Q 的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对于③，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅.选B.2．已知U ＝{2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5,7}，N ＝{2,4,5,6}，则( ) A ．M ∩N ＝{4,6} B ．M ∪N ＝U C ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N解析：选B 由U ＝{2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5,7}，N ＝{2,4,5,6}知，M ∪N ＝U ，故选B. 3．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．8个解析：选B 易知P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集共有22＝4个．4．已知M ＝{y ∈R|y ＝|x |}，N ＝{x ∈R|x ＝m 2}，则下列关系中正确的是( ) A ．M N B ．M ＝N C ．M ≠ND ．N M解析：选B ∵M ＝{y ∈R|y ＝|x |}＝{y ∈R|y ≥0}， N ＝{x ∈R|x ＝m 2}＝{x ∈R|x ≥0}，∴M ＝N .5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x ＜5}，则集合(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |0＜x ≤2} C ．{x |0≤x ＜2}D ．{x |0≤x ≤2}解析：选C 先求出∁U A ＝{x |x ＜2}，再利用交集的定义求得(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ＜2}．6．设集合M ＝{x |－3＜x ＜2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2＜x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3}解析：选A ∵M ＝{x |－3＜x ＜2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．7．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则PQ 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C 由题意知集合P Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时集合P Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P Q 中元素的个数为19个，故选C.8．满足“a ∈A ，且8－a ∈A ，a ∈N ”的有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 由题意可知，满足题设条件的集合A 有{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共4个．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝1－x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．无数个B ．3C ．2D ．1解析：选C 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝1，消去y 得x 2＋x －1＝0，∵Δ＝12－4×(－1)×1＝5＞0，∴方程x 2＋x －1＝0有2个不同的实数解，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝1有2组解，∴A ∩B 的元素有2个，故选C. 10．设A ＝{a ，b }，集合B ＝{a ＋1,5}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2} B ．{1,5} C ．{2,5}D ．{1,2,5}解析：选D ∵A ∩B ＝{2}，∴a ＋1＝2，∴a ＝1，b ＝2. ∴A ∪B ＝{1,2,5}．11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，集合B ＝{x | ＜x ＜ ＋1， ∈R}，且B ∩∁U A ≠∅，则( )A ． ＜0或 ＞3B ．2＜ ＜3C ．0＜ ＜3D ．－1＜ ＜3 解析：选C ∁U A ＝{x |1＜x ＜3}，借助于数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＞1，k ＜3，∴0＜ ＜3. 12．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( ) A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝________.解析：∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}．∴A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．答案：{x |1≤x ≤2}14．当A ，B 是非空集合，定义运算A －B ＝{x |x ∈A ，且x∉B }，若M ＝{x |x ≤1}，N ＝{y |0≤y ≤1}，则M －N ＝________.解析：画出数轴如图：∴M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }＝{x |x ＜0}．答案：{x |x ＜0}15．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：借助数轴可知：⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5.∴－3<a <－1. 答案：－3<a <－116．若存在一个集合M ，M 同时满足如下的两个条件：(1)M ⊆{1,2,3,4,5}；(2)a∈M，且6－a∈M.则非空集合M的个数为________．解析：满足条件的M可以是{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}, 共7个．答案：7三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解：(1)∵9∈(A∩B)，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝3或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，所以a＝5或a＝－3.(2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4,9}，不合题意，当a＝－3时，A∩B＝{9}．所以a＝－3.18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．解：由已知得B＝{x|x≥－3}，(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．(2)A∪B＝{x|x≥－4}．(3)∁R(A∩B)＝{x|x＜－3或x＞－2}．19．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，且满足下列三个条件：①A≠B，②A∪B＝B；③∅ (A∩B)，求实数a的值．解：B＝{2,3}，∵A∪B＝B，∴A⊆B，∵A≠B，∴A B.又∵∅ (A∩B)，∴A≠∅，∴A＝{2}或A＝{3}，∴方程x2－ax＋a2－12＝0只有一解，由Δ＝(－a)2－4(a2－12)＝0得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.当a＝4时，集合A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}符合；当a＝－4时，集合A＝{x|x2＋4x ＋4＝0}＝{－2}(舍去)．综上，a ＝4.20．(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤5}，Q ＝{x |＋1≤x ≤2 －1}，求当P ∩Q ＝∅时，实数 的取值范围．解：若Q ＝∅时， ＋1>2 －1，∴ <2，P ∩Q ＝∅成立．若Q ≠∅，∴ ＋1≤2 －1，即 ≥2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥2，2k －1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ≥2，k ＋1>5.∴ >4. 综上所述， 的取值范围是 <2或 >4.21．(本小题满分12分)在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？解：设参加径赛的为集合A ，参加田赛的为集合B ，参加球类比赛的为集合C ，根据题意画出Venn 图，如图所示．在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x ，由题意得：9＋3＋3＋(8－3－x )＋x ＋(14－3－x )＝28，解得x ＝3，即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人．22．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}，(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中方程，得a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{2}，也满足条件．综上，a 的值为－1或－3.(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)＜0，即a ＜－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足要求；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足要求，不可能．综上可知a 的取值范围是a ≤－3.(3)∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆(∁U B )，∴A ∩B ＝∅.①当Δ＜0，即a ＜－3时，B ＝∅满足要求；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，A ∩B ＝{2}不满足条件；③当Δ＞0，即a ＞－3时，此时只需1∉B 且2∉B 即可．将x ＝1代入B 中方程，得a ＝－1±3，将x＝2代入B中方程，得a＝－1或a＝－3；∴a＞－3且a≠－1且a≠－1±3.综上，a的取值范围是a＜－3或－3＜a＜－1－3或－1－3＜a＜－1或－1＜a＜－1＋3或a＞－1＋ 3.。