高中数学：线性回归方程
线性回归方程
线性回归方程
线性回归证明公式
变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系,设随机变量*与变量之间存在线性相关关系,则由试验数据得到的点(,)将散布在某一直线周围,因此,可以认为关于的回归函数的类型为线性函数,即,下面用最小二乘法估计参数、b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数,并令它们等于零，得方程组
解得
其中，
线性回归证明公式
且为观测值的样本方差.
线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差.
利用公式求解：b=
线性回归方程公式
求出a
线性回归方程公式
是总的公式
线性回归方程y=bx+a过定点（x拔，y拔）。
《线性回归方程》课件
线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
线性回归方程是一种用于拟合一组数据的最常见的数学模型，它可以用来预测一个因变量（例如销售额）和一个或多个自变量（例如广告费用）之间的关系。
下面是线性回归方程的公式详解：
假设有n个数据点，每个数据点包含一个因变量y和k个自变量x1,x2,...,xk。
线性回归方程可以表示为：
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βk*xk + ε
其中，β0, β1, β2, ..., βk是模型的系数，ε是误差项，用来表示实际数据和模型预测之间的差异。
系数β0表示当所有自变量均为0时的截距，而β1, β2, ..., βk 则表示每个自变量对因变量的影响。
当系数为正时，自变量增加时因变量也会增加；而当系数为负时，自变量增加时因变量会减少。
通常，我们使用最小二乘法来估计模型的系数。
最小二乘法就是通过最小化所有数据点与模型预测之间的距离来找到最优的系数。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算系数：
β = (X'X)-1 X'y
其中，X是一个n×(k+1)的矩阵，第一列全为1，其余的列为自变量x1,x2,...,xk。
y是一个n×1的向量，每一行对应一个因
变量。
X'表示X的转置，-1表示X的逆矩阵，而β则是一个(k+1)×1的向量，包含所有系数。
当拟合出线性回归方程后，我们可以使用它来预测新的数据点的因变量。
具体来说，我们可以将自变量代入方程中，计算出相应的因变量值。
如果模型的系数是可靠的，我们可以相信这些预测结果是比较准确的。
高中数学线性回归方程
高中数学线性回归方程
线性回归方程的分析方法
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
线性回归方程的例题求解
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对
应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值。
利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。
求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。
x为xi的平均数，y为yi的平均数
线性回归方程两个重要公式
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高一数学必修三课件第章线性回归方程
01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
高三线性回归方程知识点
高三线性回归方程知识点线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量之间的关系。
在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。
本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。
一、基本概念1. 线性回归方程线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量y之间的关系。
它可以用如下的一般形式表示：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。
2. 参数估计线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。
常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之间的差异，来得到最优的参数估计值。
二、推导过程1. 求解参数通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。
具体推导过程包括以下几个步骤：（1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作为目标函数。
（2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。
（3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解出β0和β1的值。
2. 模型拟合度评估在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。
常用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。
相关系数R可以表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。
三、应用范围线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。
它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。
1. 经济学应用在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。
通过构建线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经济决策提供参考依据。
2. 统计学应用线性回归方程是统计学中的一项重要工具。
通过对观测数据的拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间的关系。
统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验数据的解释提供更为准确的结论。
新教材选择性必修二9.1.2线性回归方程课件(53张)
【解析】选 C.由 ＝0.7x＋ ，得 x 每增(减)一个单位长度，y 不一定增加(减少)0.7，而
是大约增加(减少)0.7 个单位长度，故选项 A，B 错误；由已知表中的数据，可知 x
1＋2＋3＋4＝5
5＋5＋6＋6＋8
＝
5
＝3， y ＝
5
＝6，则回归直线必过点(3，6)，故 D
错误；将(3，6)代入回归直线 ＝0.7x＋ ，解得 ＝3.9，即 ＝0.7x＋3.9，令 x＝6，解
2．根据如下样本数据：
x2 3 4 5 6 Y 4 2.5 －0.5 －2 －3
得到的经验回归方程为 ＝ x＋ ，则( )
A． ＞0， ＞0
B． ＞0， ＜0
C． ＜0， ＞0
D． ＜0， ＜0
【解析】选 B.由题干表中的数据可得，变量 Y 随着 x 的增大而减小，则 ＜0，
又回归方程为 ＝ x＋ 经过(2，4)，(3，2.5)，可得 ＞0.
A．(－1，－2)
B．(－1，2)
C．(1，－2)
D．(1，2)
3
3
【解析】选 D.由所给数据得 x ＝2， y ＝3， (xi－ x )(yi－ y )＝1.8， (xi
i1
i1
－ x )2＝2，
所以 b＝0.9，a＝3－0.9×2＝1.2，所以直线 ax＋by－3＝0 方程为 1.2x＋0.9y－3＝0，
B． ＝8.4x＋5.8 D． ＝4x＋31.6
2＋3＋4＋5＋6
【解析】选 A.由表格中的数据得 x ＝
5
＝4，
19＋25＋35＋37＋42
y＝
5
＝31.6，
5
xiyi－5 x y
i＝1
高中数学：2.4《线性回归方程课件》课件(苏教版必修三)
Part
02
线性回归方程的建立与求解
线性回归方程的建立方法
STEP 01
散点图观察
STEP 02
确定回归系数
通过绘制散点图，观察自 变量与因变量之间的关系 ，初步判断是否具有线性 关系。
STEP 03
检验残差
通过观察残差图或计算残 差平方和，检验模型的拟 合效果，判断是否需要进 一步调整模型。
根据最小二乘法原理，通 过计算得到回归系数，从 而确定线性回归方程的斜 率和截距。
以是( )
习题
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x + 5
C. ŷ = 1.23x + 4.5 D. ŷ = 1.23x + 3
3、题目：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方 程可以是( )
习题
01
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x +5
预测性
利用线性回归方程可以对 未知数据进行预测。
线性回归方程的应用场景
经济预测
科学实验
通过对历史数据的分析，利用线性回 归方程预测未来经济指标的变化趋势 。
在科学实验中，通过控制变量法来研 究自变量和因变量之间的线性关系， 并利用线性回归方程进行数据分析。
销售预测
根据历史销售数据和市场调查，利用 线性回归方程预测未来产品的销售情 况。
增加自变量
增加自变量可以更好地解释因变 量的变化，从而优化线性回归方 程。
调整模型形式
根据实际情况调整模型形式，可 以更好地拟合数据，从而优化线 性回归方程。
Part
04
线性回归方程的实例分析
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高中数学：线性回归方程
一、推导2个样本点的线性回归方程
例1、设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。
解：由最小二乘法，设，则样本点到该直线的“距离之和”为
从而可知：当时，b有最小值。
将代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再用配方法，可知：
此时直线方程为：
设AB中点为M，则上述线性回归方程为
可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。
这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。
上面我们是用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。
实际上，由线性回归系数计算公式：可得到线性回归方程为
设AB中点为M，则上述线性回归方程为。
二、求回归直线方程
例2、在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度下，溶解于100份水中的硝酸钠份数的数据如下
0 4 10 15 21 29 36 51 68
66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1
描出散点图并求其回归直线方程.
解：建立坐标系，绘出散点图如下：
由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性。
设回归直线方程为：由回归系数计算公式：
可求得：b=0.87，a=67.52，从而回归直线方程为：y=0.87x+67.52。
三、综合应用
例3、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
（1）求回归直线方程；（2）估计使用10年时，维修费用约是多少？
解：（1）设回归直线方程为：
（2）将x = 10代入回归直线方程可得y = 12.38，即使用10年时的维修费用大约是12.38万元。