沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第6讲 相似三角形的性质(提高版)

相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲2 / 14ABC D EA 1E 1D 1 C 1B 1【例1】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【例2】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例4】 如图，∆ABC 和111∆A B C 中，AD 和BE 是∆ABC 的高，11A D 和11B E 是111∆A B C 的高，且1∠=∠C C ，1111=AD ABA D AB ． 求证：1111=AD BEA DB E例题解析A BCDEFGHKABCEFG DHPABCDEF 【例5】 如图，D 是∆ABC 的边BC 上的点，∠=∠BAD C ，BE 是∆ABC 的角平分线，交AD 于点F ，1=BD ，3=CD ，求BF ：BE ．【例6】 如图，在∆ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32=AH cm ，48=BC cm ，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【例7】 如图，矩形DEFG 的边EF 在∆ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3=AH ，5=BC ，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．4 / 14A B CDE F A BCD EF G 【例8】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．1、 相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例9】 如果两个三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析ABC DPAB CD EFABCP Q 【例10】 如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【例11】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【例12】 如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．6 / 14ABCDEF【例13】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长．1、 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例14】 （1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【例15】 两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲例题解析ABCDEABCDE ABCD EFABCD【例16】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【例17】 如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【例18】 如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值．【例19】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（）（A ）1:3（B ）2:3（C 32（D 338 / 14AB CDEFABCDEFABCDEFO【例20】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【例21】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ，求ADEBFCS S ∆∆的值．【例22】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求： （1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．A BCDEOABC D EFABCDEFG【例23】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．【例24】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【例25】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．10 / 14AB CDE F GH PABCD ENM【习题1】已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆．【习题2】如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【习题3】如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．随堂检测ABCD EF【习题4】如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，DE //AB ，DE 交AC 于点E ，点F 在边AB 上，且AF CEFB AE =． （1）求证：DF //AC ；（2）如果BD :DC = 1:2，ABC ∆的面积为18cm 2，求四边形AEDF 的面积．【习题5】梯形ABCD 的面积为S ，AB //CD ，AB = b ，CD = a （a < b ），对角线AC 、BD 相交于点O ，BOC ∆的面积为29S ，求a :b 的值．【习题6】在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上．如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，求∆ABC 的面积．12 / 14ABCD EABCDEA ’AB CDO【习题7】如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，BC = 10，ABC ∆的面积为25，点D 为AB边上任意一点（点D 不与点A 、B 重合），过点D 作DE //BC ，交AC 于点E ．设DE = x ，以DE 为折线将ADE ∆翻折（使ADE ∆落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的'A DE ∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． （1）用x 表示ADE ∆的面积；（2）求出010x <<时y 与x 的函数关系式．【作业1】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AOD S ∆= 4平方米，BOC S ∆= 9平方米，则=ABCD S 梯形平方米．【作业2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE //BC ，ACD B ∠=∠．（1）写出图中所有与ADE ∆相似的三角形（不必证明）；（2）如果CD = 20cm ，BC = 30cm ，BCD ∆的面积为18cm 2，求ABC ∆的面积．课后作业ABCDE OA B CD EF【作业3】 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是腰AB 上的一点，过点E 作BC 的平行线交CD 于点F ，已知AD = 2，BC = 6．（1）如果2=3AE EB ，试求EF 的长；（2）如果2=3AEFD EBCFS S 梯形梯形，试求EF 的长．【作业4】ABC ∆中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．（1）如果ABC ∆的面积与梯形BCED 的面积相同，求DE 的长； （2）如果ABC ∆的周长与梯形BCED 的周长相同，求DE 的长．【作业5】如图，在ABC ∆中，BE AC ⊥，CD AB ⊥．若1ADE S ∆=，4ABC S ∆=，求A∠的度数．14 / 14ABCDEF AB CDE 【作业6】如图，在等边ABC ∆中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BD = CE ，AD 与BE交于点F ．如果AB = 12，BD = 4，求:BDF ADB S S ∆∆．【作业7】如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BC = 3AD ，E 是腰AB 上的一点，连接CE ．（1）如果CE AB ⊥，AB = CD ，BE = 3AE ，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为S 1和S 2，且2S 1 = 3S 2，试求BEAE的值．。