圆与方程导学案
2.2.1圆的标准方程-导学案
圆与圆的方程2.1圆的标准方程（导学案）使用说明：1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。
2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。
【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程相关知识：1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？教材助读：1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：___________________________________________________________________3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为基础知识探究1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？预习案 探究案2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
圆的一般方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.4.2 圆的一般方程学习目标：1.探索并掌握圆的一般方程.2.能判断圆的一般方程并求圆心及半径.3.会利用待定系数法求圆的一般方程.重难点：重点：求圆的一般方程及其圆心半径难点：圆的一般方程的探究过程探索新知：活动一 探究圆的一般方程复习：圆的标准方程是什么？写出以C(1，-2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？思考1►►►将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？那么二元二次方程与圆有着怎样的关系呢？是否所有的二元二次方程表示的就是圆呢？(1) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0；(2) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0；(3) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.探究►►►形如022=++++C Ey Dx y x 的方程，它要表示圆，系数D 、E 、F 需要满足什么条件呢？方程022=++++C Ey Dx y x 配方得(1)当 时，方程表示一个点，该点的坐标为 .(2)当 时，方程不表示任何图形.(3)当 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为 ，半径为 .上述方程称为圆的一般方程.思考2►►►圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？活动二巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径例1 下列方程是否表示圆？若表示圆，写出其圆心的坐标和半径．（1）x2+2y2－6x+4y-1=0（2）x2+y2－12x+6y+50=0（3）x2+y2－3xy+5x+2y=0（4）2x2+2y2－12x+4y=0（5）x2+y2－2x+4y-4=0活动三能根据已知条件求圆的方程例2 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．思考3►►►确定一个圆的一般方程需要几个独立条件？方法点拨：用待定系数法求圆的方程的步骤：(1) 设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程；(2) 列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3) 解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值；(4) 代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解；练习△ABC的三个顶点分别为A(0，0)，B(1,0)，C(0,-1)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？。
高二数学教案：圆的参数方程学案
高二数学教案：圆的参数方程学案
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本文题目：高二数学教案：圆的参数方程学案
2.1.2 圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什幺?
二、新课导学。
吉林省舒兰市第一中学高中数学人教A版导学案 必修二 4.1 圆的方程
第四章 4.1 圆的方程 编号041【学习目标】１．把握圆的标准方程的特点，能依据所给有关圆心、半径的具体条件精确 地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简洁的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培育同学利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的力量．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想训练．【学习重点】(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)依据具体条件正确写出圆的标准方程． 【学问链接】（1）圆的定义；（2）直线方程的定义，直线上点的坐标与直线方程解得关系。
【基础学问】探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点： 2．写点集： 3．列方程： 4．化简方程：探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？【例题讲解】例1： 写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在C(3,4),半径为5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(1)5)2()3(22=-+-y x ；(2)7)3()4(22=+++y x ；(3)4)2(22=+-y x例２： (1)已知两点P (4，9)和P (6， 3)，求以PP 为直径的圆的方程；(2)试推断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？【基础学问】问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹. ⑴当2240D E F +->时，表示以(,)22D E --为圆心,22142D E F +-为半径的圆；⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不肯定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区分？例3：推断下列二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=； ⑵2244412110x y x y +-++=例4 ：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【达标检测】１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ D ）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为2)3(22=+-y x 3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（ C ） Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π45．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( A ) Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定6．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（ C ） Ａ1)1(22=++y x Ｂ．122=+y x Ｃ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x 7．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，求圆C 的方程.2)1(22=++y x8.已知圆心在x的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，求圆O 的方程.2)2(22=++y x9．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ A ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71 Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞7110．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ A ） Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 11．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ D ） Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0 12．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是21<k .13．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为0164622=-+-+y x y x . 14．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．轨迹方程是)5,3(0104822≠≠=+--+x x y x y x 轨迹是以A 为圆心10为半径的圆但除去两点【问题与收获】。
2.4.1 圆的标准方程 导学案正文
2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程【学习目标】1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程.2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.◆知识点一圆的标准方程1.圆的标准方程圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是.和分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.2.几种常见的特殊的圆的方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r>0)过原点(x-a)2+(y-b)2= a2+b2(a2+b2≠0)圆与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)圆与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)圆与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4.( )(4)已知A为定点,点M满足集合P={M||MA|=r(r>0)},则点M的轨迹为圆.( )◆知识点二点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法位置关系判断方法几何法代数法点M在圆上|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆外|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆内|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2◆探究点一求圆的标准方程例1根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2);(2)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2;(3)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点;(4)圆心在直线l:2x+3y-8=0上,且经过点P(1,0)和点Q(3,2).例2已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=9B.(x-1)2+(y-1)2=9C.x2+(y+1)2=9D.x2+y2=9变式1圆心在直线y=x+3上,且过点A(2,4),B(1,-3)的圆的标准方程为.变式2已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.[素养小结]求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.拓展已知二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,求圆M的标准方程.◆探究点二判断点与圆的位置关系例3 (1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.(2)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.(3)已知点M(5√a+1,√a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围.。
2014年人教A版数学必修二导学案：2.2.1圆的方程—圆的标准方程
例 2、已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽 为 2.7 m ，高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道？
思考：假设货车的最大宽度为 am 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
例 3、 （1）已知圆的直径的两个端点是 A(1 ， 2) ， B(7， 8) ．求该圆的标准方程． （2） 已知圆的直径的两个端点是 A( x1，y1 ) ，B( x2，y 2 ) ． 求该圆的标准方程．
， 1) ， B(1， 1) ，且圆心 C 在直线 x y 2 0 上的圆的标准方程． 例 4、求过点 A(1
【学后反思】
课题:2.2.1 圆的方程—圆的标准方程检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1．圆 C ： ( x 3) 2 ( y 2) 2 9 的圆心坐标和半径分别为__________；__________．
（4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线 2 x 3 y 5 0 上：
5) 和 B(3， 7) ，且圆心在 x 轴上： （5）经过点 A(3，
， 5) 为圆心，并与 y 轴相切的圆的标准方程． 2．求以点 C (1
5) 和 B(6， 1) ，求以线段 AB 为直径的圆的标准方程． 3．已知点 A(4，
问题 2．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 1．圆的标准方程的推导过程：
2． 圆的标准方程：_________________________________________________________．
【课堂研讨】
3) ，且经过原点的圆的标准方程． 例 1、求圆心是 C (2，
课题:2.2.1 圆的方程—圆的标准方程
班级： 【学习目标】 姓名： 学号： 第 学习小组
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。
高中数学圆的一般方程精品导学案
圆的一般方程一、课前导学1、自学课本P121-P1232、完成 P123 练习1（1） 、 。
（2） 、 。
（3） 、 。
（填入答案）3、（1） （2） （3）4、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个 ，坐标为 ；(2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程 ；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为 ，它的圆心坐标为 ，半径等于 ，上述方程称为圆的一般方程.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即(2)没有xy 项，即 ； (3) 时，它才表示圆.二、课堂导学要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0；(3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0；(4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.要点二求圆的一般方程例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.（多种方法）规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.（3）已知圆上两个点，可以考虑用垂径定理跟踪演练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.三、课堂小结四、课堂练习1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2,－3)D.(2,－3)2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )A.k≤12B.k＝12C.k≥12D.k<123.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.5.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.。
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A． (x 1)2 ( y 2)2 52
B．
(x 1)2 ( y 2)2 52
C． (x 1)2 ( y 2)2 52
D．
(x 1)2 ( y 2)2 52
2. 点 P(m2 ,5) 与圆的 x2 y2 24 的位置关系是（
）. A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确 定
）.
A． (2,0),5 B． (0,2), 5 C． (0,2), 5 D．
(2, 2),5
3.
动圆
x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心
轨迹是（ ）.
A． 2x y 1 0
B． x 2y 1 0
C． 2x y 1 0
D． x 2y 1 0
3.
圆心在直线 x 2 上的圆C 与 y 轴交于两点
A(0,4), B(0,2) ，则圆C 的方程为（ ）. A． (x 2)2 ( y 3)2 5 B．
(x 2)2 ( y 3)2 25
C． (x 2)2 ( y 3) 2 5 D． (x 2)2 ( y 3)2 25 4. 圆关于(x 2)2 y2 5 关于原点(0,0) 对称的圆 的方程 5. 过点 A(2,4) 向圆 x2 y2 4 所引的切线方程
三、总结提升 ※ 学习小结 1.方程 x2 y2 Dx Ey F 0 中含有三个参变 数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一 个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程 的转化.
2. 待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前
2. 求经过点 A(2,4) 且与直线l : x 3y 26 0 相 切于点 B(8,6) 的圆的方程.
0
0
变式: ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7, 3) C(2, 8) ，求它的外接圆的方程
2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线 都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否 也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又 有什么特征呢？
二、新课导学
※ 学习探究
新知：圆心为 A(a,b) ，半径为 r 的圆的方程
⑴当 D2 E2 4F 0 时，表示以( D , E ) 为圆 22
心, 1 D2 E2 4F 为半径的圆； 2
⑵当 D2 E2 4F 0 时，方程只有实数解 x D ， 2
y E ，即只表示一个点（- D ，- E ）;（3）当
2
22
D2 E2 4F 0 时，方程没有实数解，因而它不
4. 过点C(1,1),D(1,3) ，圆心在 x 轴上的圆的方程
是
.
5. 圆 x2 y2 4x 5 0 的点到直线3x 4 y 20
0 的距离的最大值为
.
课后作业
1. 设直线2x 3y 1 0 和圆 x2 y2 2x 3 0 相
交于 A, B ，求弦 AB 的垂直平分线方程.
王新敞
3) 的切线
学习评价 conc
学案
编写：贺联梅
校审：汤建郎
中ft市东升高中 高一数学◆必修 2◆导
下表示圆？
§4.1 圆的一般方程
学习目标 1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆 的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定 圆的圆心半径．掌握方程
x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的条件； 2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆 的标准方程．能用待定系数法求圆的方程； 3 ．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力
conc
学案
编写：贺联梅
校审：汤建郎
中ft市东升高中 高一数学◆必修 2◆导
§4.2 直线、圆的位置关系
学习目标
1. 理解直线与圆的几种位置关系； 2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求 圆 心 到 直 线 的 距 离 ； 3．会用点到直线 的距离来判断直线与圆的位置关 系．
学习过程
一、课前准备
3x
4
y
7
0
相切的圆的方程 学案
新疆 王新敞
2008 年下学期◆高一
月日
※ 自我评价 你完成本节导学案的情 况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 已知 A(2,4), B(4, 0) ，则以 AB 为直径的圆的方
程（ ）.
2008 年下学期◆高一
月日
也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利 用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这 种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练 掌握. 3． 使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意， 选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于
a, b, r 或 D, E, F 的方程组；⑶解出 a, b, r 或 D, E, F ， 代入标准方程或一般方程.
表示任何图形新疆 王新 学案
小结：方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示的曲线不
一定是圆 学新案 疆
只有当 D2 E 2 4F 0 时，它表示的
王新
曲线才是圆，形如 x2 y2 Dx Ey F 0 的方程
称为圆的一般方程新疆 王新 学案
思考： 1．圆的一般方程的特点？
2．圆的标准方程与一般方程的区别？
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（
）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 若方程 x2 y2 x y m 0 表示一个圆，则有
（ ）.
A． m 2 B. m 2 C． m 1 D． m 1
2
2
2. 圆 x2 y2 4x 1 0 的圆心和半径分别为（
※ 典型例题 例 1 用两种方法来判断直线3x 4 y 6 0 与圆 (x 2)2 ( y 3)2 4 的位置关系.
3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
学习过程
一、课前准备
（预习教材 P127~ P130，找出疑惑之处）
1．已知圆的圆心为C(a,b) ，半径为 r ，则圆的标
准方程
，若圆心为坐
标原点上，则圆的方程就是
新疆 王新敞
学案
2．求过三点 A(0,0), B(1,1),C(4, 2) 的圆的方程.
新知：方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示的轨迹.
方程 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示什么图形？
问题 2．方程 x2 y2 Dx Ey F 0 在什么条件
例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ，端点
A 在圆上x 12 y2 4 运动，求线段 AB 的中点
M 的轨迹方程.
learning education, need three kinds of consciousness: one is to establish an integrated awareness. "Learning" and "do" what car isTwo-wheel, birdwings, need to go hand inhand, one end can be neglected. Communist theoretician and man. Only by closely combining theory and practice together inorder totruly realize their value. "Learning" is the
22 与圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当 d r 时，直线l 与圆C 相离； ⑵当 d r 时，直线l 与圆C 相切； ⑶当 d r 时，直线l 与圆C 相交；
新知 2：如果直线的方程为 y kx m ，圆的方程 为 (x a)2 ( y b)2 r2 ，将直线方程代入圆的方 程，消去 y 得到 x 的一元二次方程式 Px2 Qx R 0 ，那么：⑴当 0 时，直线与圆 没有公共点； ⑵当 0 时，直线与圆有且只有一个公共点； ⑶当 0 时，直线与圆有两个不同的公共点；
(x a)2 ( y b)2 r2 叫做圆的
标准方程. 特殊：若圆心为坐标原点，这
时 a b 0 ，则圆的方程就是
x y r 2
2
2
学案
新疆
王新敞
探究：确定圆的标准方程的基本要素？
反思： 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出 关于 a,b, r 的方程组，求 a,b, r 或直接求出圆心 (a,b) 和半径 r . 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求 的圆的标准方程为(x a)2 ( y b)2 r2 ；（2）根 据已知条件，建立关于 a,b, r 的方程组；（3）解 方程组，求出 a,b, r 的值，并代入所设的方程，得 到圆的方程.
Foundation, the Foundation is
班级： 姓名：
第四章 圆与方程
※ 动手试试 练 1. 求过三点 A(0,0), B(1,1),C(4, 2) 的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标.
练 2. 已知一个圆的直径端点是 A(x1, y1), B(x2, y 2) ， 试求此圆的方程.
.
课后作业
1. 已知圆的圆心在直线2x y 0 上，且与直线
x y 1 0 切于点(2,1) ，求圆的标准方程.
三、总结提升
※ 学习小结
一．方法规纳
⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点
与圆的位置关系.
⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可
大大化简计算的过程与难度.
受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域.已知港 口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改 变航线，那么它是否会受到台风的影响？
二、新课导学 ※ 学习探究 新知 1：设直线的方程为l : ax by c 0 ，圆的 方程为C : x2 y2 Dx Ey F 0 ，圆的半径为 r ， 圆心( D , E ) 到直线的距离为 d ，则判别直线