高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2
高中数学4.1.2圆的一般方程导学案新人教A必修2
浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程导学案
新人教A 版必修2
一、【课前预案】 【学习目标】
1.掌握圆的一般方程，圆的一般方程和圆的标准方程之间的互化。
2.会用待定系数法求圆的一般方程。
【重点，难点】
重点：圆的一般方程与圆的标准方程互化。
难点：选择适当的方式求圆的方程。
1、已知圆的方程为4)1()
2(22=-++y x ，写出圆心坐标和半径；并将其展开。
二、【课中导案】
（一）、合作探究
归纳： 方程
满足的条件 暗示图形 022=++++F Ey Dx y x
（二）、当堂检测
1、判断下列二元二次方程是否暗示圆，若是，写出圆心与半径；反之说明理由
06420642320342220
34222222222=-+-+=-+-+=-+-+=-+-+y xy y x y x y x y x y x y x y x ④③②①
2、求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程，并求出圆心和半径.
归纳求圆的方程的方式：
练习、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程，并求出圆心和半径.
(三)课堂小结
1、知识点
2、方式
3、思想
三、【课后作业】
5、已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程.。
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2
4.1.2圆的一般方程自学导读：问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ，令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2=F ,结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2+Dx+Ey+F=0问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？把方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方可得：（1）当D 2+E 2-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2+E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D， y = 2-E ，表示一个点（ ， ）.（3）当D 2+E 2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.新课：1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2-4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2-2x +4y -4=0(4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2-12x +4y =03：例题讲解阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程小结：求圆的方程的方法2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？小结：求轨迹方程的方法三、自学检测1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=02..判断下列方程分别表示什么图形：① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0课本第123页练习1.2.3四、巩固训练课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4五、拓展延伸课本第124页习题4.1 B 组 2、3课堂小结（1）圆的一般方程的定义及特点（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系（3）用待定系数法，求圆的一般方程（4）用相关点法，求点的轨迹方程22224()()224D E D E F x y +-+++=。
高中数学第4章圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
示，又因为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、 C 三点不共线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两个端点．
因为 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)． 又因为 B、C 不能为一直径的两个端点， 所以x＋2 3≠4，且y＋2 5≠2， 即点 C 不能为(5，－1)． 故端点 C 的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨 迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第四章 圆的方程
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是 圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？
1．圆的一般方程
(1)方程：当 D2＋E2－4F>0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方 程，其中圆心为__C_(_－__D2_，__－__E2_)_，半径为 r＝__12___D_2_＋__E_2_－__4_F_____.
① ②
，
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，
由已知得|x1－x2|＝6(其中 x1、x2 是方程 x2＋Dx＋F＝0 的两根)，∴D2－4F＝36
③
由①②③联立组成方程组，解得
D＝－2
D＝－6
E＝－4 ，或E＝－8 .
F＝－8
F＝0
∴所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
高中数学必修二41圆的方程412圆的一般方程导学案
4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，把握求点的轨迹方程的思想方法。
二、课前导学：学问回忆：1、 圆的圆心为(1,2)C ，半径为2 ，那么圆的标准方程为222(1)(2)4x y -+-= ，将此方程绽开得222410x y x y +--+=问题导入：问题1、方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222450x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？〔1〕表示以)2,1(-为圆心，2为半径的圆；(2)表示点〔1，2〕〔3〕不表示任何图形问题2、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ （1） 配方44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （2） 当0422>-+F E D 时，方程表示 以(,)22D E --为圆心，2422F E D -+为半径的圆 （3） 当0422=-+F E D 时，方程表示 一个点(,)22D E -- （4） 当0422<-+F E D 时，方程表示 不表示任何图形 问题3、圆的一般方程的定义：当2240D E F +->时， 220 x y Dx Ey F ++++= 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，在什么条件下表示圆的方程？220040A C B D E AF =≠=+->，，练习2、圆22210240x y x y +-+-=的圆心为：___)51(-，_____，半径为：___25_____。
三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：以下二元二次方程能否表示圆？假设能表示圆，求出其圆心和半径。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的方程教案 新人教A版必修2(2021年最新整理)
高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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圆的标准方程教学目标（1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点,理解方程中各个字母的含义,能合理应用平面几何中圆的有关性质,结合方程解决圆的有关问题．（2）理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．（已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一）导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线（特殊的曲线）的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c（a,b）,半径是r的圆的方程．（引导学生推导)设 M(x，y)是圆上任意一点，圆心坐标为（a，b）,半径为r．则│CM│=r,两边平方．（x-a)2+（y—b）2=r2，我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a，b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0，0)．即a=0．b=0．问题1．说出下列圆的方程：（1)圆心在点C(3, -4)，半径为7。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A版必修2(2021年整理)
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圆的标准方程课时教学目标1.知识与技能目标：回顾圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程；会根据已知条件求圆的标准方程；能准确判断点与圆的位置关系。
2.过程与方法目标：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力和解决问题的能力，将几何问题转化为代数问题,渗透数形结合的思想，注意培养学生观察，分析和解决问题的能力.3。
情感与态度目标：树立学好数学的自信心，培养学生主动探究,合作交流。
教学重点、难点重点:圆的标准方程的推导步骤；掌握并会求圆的标准方程。
难点：根据具体条件正确写出圆的标准方程．教具投影仪，幻灯片教师教学活动设计设计意图（一）引入展示生活中平面图形为圆的实物在平面直角坐标系，两点确定一条直线,一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？确定圆的几何条件：圆心（定位置) 半径（定大小）(二）自学探究：阅读课本118页由生活实物感知圆.类比于确定一条直线位置的几何要素，引导学生明确确定圆的几何要素。
问题：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a ,b ），半径为r.（其中a 、b 、r 都是常数,r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点,观察圆的图形，圆上的点M （x ，y ）与圆心C(a ,b ）的距离有什么关系？ 圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离都相等且等于定长｜CM ｜=r 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。
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高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答
案新人教A 版必修2
自学导读：
问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ，
令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2
=F ,
结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0
问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？
把方程: x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0配方可得：
（1）当D 2+E 2
-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2
+E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D
， y = 2
-E ，表示一个点（ ， ）. （3）当D 2
+E 2
-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.
新课：
1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2
-4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2
-2x +4y -4=0
(4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2
-12x +4y =0
3：例题讲解
阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程
小结：求圆的方程的方法
2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2
=16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？
小结：求轨迹方程的方法
三、自学检测
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=0
2..判断下列方程分别表示什么图形：
① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0
课本第123页练习1.2.3
四、巩固训练
课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4
五、拓展延伸
课本第124页习题4.1 B 组 2、3
课堂小结
22224()()224
D E D E F x y +-+++=
（1）圆的一般方程的定义及特点
（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系（3）用待定系数法，求圆的一般方程（4）用相关点法，求点的轨迹方程。